Telechargé par vegasdimitri139

TD Magnétostatique 02 2016-2017 Corrige (1)

publicité
TD: Magnétostatique
Correction Série n°2
Exercice 1 : Fil infini
Par raison de symétrie, le  champ magnétique en tout point de l’espace ne dépend
que de la distance d du point d'observation M à l'axe du fil infini et il est tangent au
cercle d'axe .
Fil rectiligne infini
Pour déterminer les lignes de champ, on peut utiliser soit le produit vectoriel, ou la
règle du bonhomme d’Ampère ou encore la règle de trois doigts. Les lignes de champ
magnétique sont des cercles d'axe .
Invariants : B ne dépend ni de , ni de z. Il ne dépend que de d, distance du fil au
point M.
Comme B est constant sur la courbe d’Ampère on a :
 
 B dl  B 2 d
Le courant I dans le conducteur traverse toute surface s'appuyant sur le cercle. Donc :
 
 B dl  B 2 d  0 I
d’où
B
0 I
2 d
Page 1 sur 9
Exercice 2 : Solénoïde infini
1°/ Le plan orthogonal à l’axe du solénoïde est un plan de symétrie du système donc

B( M )  B e z .
2°/
2°/ Si on applique le théorème d'Ampère à un parcours rectangulaire dont deux côtés de longueur sont
parallèles à ,


B. dl  B1l  B2l  B1  B2 .l

a – On choisit un parcourt 1 entièrement intérieur au solénoïde, il n'encercle aucun courant :


Bint . dl  0  B1 int  B2 int
1

Donc le champ d’induction magnétique est uniforme partout à l'intérieur du solénoïde : Bint  Cte
b - On choisit un parcourt 2 entièrement à l’extérieur au solénoïde, il n'encercle aucun courant :


Bext . dl  0  B1ext  B2ext
2
Donc le champ d’induction magnétique est uniforme partout à l'extérieur du solénoïde. Or infiniment
loin du solénoïde le champ magnétique doit s’annuler, donc :


Bext  0
c - On choisit un parcourt 3 dont un côté est à l’extérieur et l'autre à l’intérieur du solénoïde. Dans ce
cas le contour encercle une quantité de courant proportionnelle à sa longueur :


Bint . dl  µ0 nlI  Bint .l  µ0 nlI  B  µ n I e
int
0
z
3
Page 2 sur 9
3°/ Pour que les deux systèmes soient parfaitement équivalents, il faut que les courants traversant
une longueur h dans les deux systèmes soient égaux :
Pour le solénoïde la longueur h est traversée par un courant nhI

Et pour le cylindre traversé par une nappe de courant de densité, j s , le courant total le long de la
h
même longueur est :



js . dz e 
0
h



js e . dz e  js .h
0
D’où : nhI  j s h  j s  nI
Par analogie avec l’expression du champ magnétique dans le solénoïde,



Bint  µ0 nI ez  µ0 j s e z


Bext  0









Donc : Bext  Bint  µ0 js ez  µ0 js er  e  µ0 js e  er  µ0 js  n12
Page 3 sur 9
Exercice 3 : Champ magnétique créé par une plaque d’épaisseur e / nappe de courant
1°/ xOz est un plan de symétrie de la distribution de courants donc le champ magnétique est
orthogonal à ce plan : B( M )

 B( x, y, z ) u y
Toute translation le long de l’axe Ox ou Oy n’a aucune influence sur le champ magnétique, donc :

B( M )  B( z ) u y
Le plan xOy est également plan de symétrie, donc en principe le champ
magnétique est orthogonal également à ce plan. Cette condition impose au champ magnétique d’être
nul en tout point de ce plan.
En deux points symétriques par rapport à xOy les champs ont des sens opposés, c’est-à-dire que la
fonction B(z) est impaire.
2°/ Appliquons le Th. d’Ampère :


B( M ) .dl   0



j dS
S
- Point M à l’intérieur du volume conducteur : On choisira le contour
rectangulaire orienté 1, tel que AB = CD = l (voir figure).

B
D
D

B.dl 
B.dl 
B.dl  0  B.dl  Bl

D’autre part :

A
1


j dS 
S
C

C

(sur les côtés BC et DA B.dl  0 )
 j dS  jS  j l z
S
Donc : B( z)  µ0 jz
Page 4 sur 9
- Point M à l’extérieur du volume conducteur : On choisira le contour
rectangulaire orienté 2, tel que AB = CD = l (voir figure).

B
D
D

B.dl 
B.dl 
B.dl  0  B.dl  Bl
2

S

A

j dS 



C
j dS  jS  j l
C
e
2
S
e
Donc : B( z )  µ0 j 2
3°/ Dans ce cas on prendra le contour  de la figure suivante :
µ j
 2B( z) l  µ0 j s l  B( z)  0 s
2



µ j 
µ j 
B

B
  0 s e y  ( 0 s e y )  µ0 j s e y
La discontinuité du champ magnétique vaut alors : 2
1
2
2


 
En considérant la formule B 2  B 1  µ0 ( j s  n1 2 )





Avec n1 2  e z on obtient : B 2  B 1   µ0 j s e y
Page 5 sur 9
Exercice 4 : Champ magnétique et potentiel vecteur créés par un fil infini parcouru par une
densité volumique de courant
1°/ Tout plan passant par l’axe Oz et contenant le point M est un


B
plan de symétrie du système donc : (M )  B(r, , z)e .
Le fil est invariant par translation selon Oz et par rotation de



B( M ). dl  µ0

j .dS
 autour de Oz. Donc : B(M )  B(r )e .
Th. d’Ampère :



S
Nous choisirons une ligne de champ de rayon r pour contour orienté de manière à ce que la

surface S du disque qu’il délimite soit orientée selon le sens positif de l’axe Oz.
er
1 cas : r > a :
-


B(M ).dl 

B(r ) 
µ0 I
2r
 B(r).dl  B(r) dl  B(r).2r  µ I
0

-
2ème


cas :

B( M ).dl  B(r ).2r  µ0

r

S

j .dS  µ0
<

a:
j.dS µ0 j. r 2
S
µ j
B(r )  0 r
2
µ0 I
I
I
r
Or j  S  2 ; donc B (r ) 
2a 2
a
2°/ Représentation graphique : pour r < a augmentation linéaire puis pour r > a décroissance en 1/r.
Remarquer la continuité du champ en r = a.

3°/ A est un vecteur axial (vrai vecteur) ; il a donc les mêmes propriétés de symétrie que le champ
électrostatique.
Tout plan orthogonal à l’axe du fil et contenant le point M est un plan d’antisymétrie du système



A
A
donc est orthogonal à ce plan : (M )  A(r , , z )ez .
Le fil est invariant par translation selon Oz et par rotation de  autour de Oz. Donc :



A(M )  A(r )ez  Az (r )ez .
Page 6 sur 9


A A Ar
1 Az A
Ar Az
4°/ B  rot A , donc : r   z  0 , z  r  B et r  r  r  0 .
Az
dA (r )
 z
 B
r
dr
5°/
µ0 I
dAz (r ) µ0 I
- 1er cas : r > a ,  dr  2 r  Az (r )   2 Ln(r )  cte

µ0 I
A


Ln(a )  cte
0
A
(
a
)

A
Le potentiel vecteur est toujours continu. Or pour r = a , z
0 , donc
2
µ0 I
et cte  A0  2 Ln(a)
µ0 I  r 
Finalement, on trouve : Az (r )   2 Ln a   A0
 
- 2ème cas : r < a, 
µ I
µ I
dAz (r )
 0 r  Az (r )   0 r 2  Cte
2
dr
2a
4a 2
µ0 I
µ0 I
Or pour r = a, Az (a)  A0 , donc A0   4  Cte et Cte  A0  4
µ I
Az (r )   0
4
 r2


 1  A0
 a2



Page 7 sur 9
Exercice 5 : Champ magnétique crée par un câble coaxial
Page 8 sur 9
Exercice 6 : Inductance d’un solénoïde – Energie emmagasinée
1°/
2°/
Page 9 sur 9
Téléchargement
Random flashcards
Commune de paris

0 Cartes Edune

Le lapin

5 Cartes Christine Tourangeau

Anatomie membre inf

0 Cartes Axelle Bailleau

Fonction exponentielle.

3 Cartes axlb48

Créer des cartes mémoire