TD: Magnétostatique Correction Série n°2 Exercice 1 : Fil infini Par raison de symétrie, le champ magnétique en tout point de l’espace ne dépend que de la distance d du point d'observation M à l'axe du fil infini et il est tangent au cercle d'axe . Fil rectiligne infini Pour déterminer les lignes de champ, on peut utiliser soit le produit vectoriel, ou la règle du bonhomme d’Ampère ou encore la règle de trois doigts. Les lignes de champ magnétique sont des cercles d'axe . Invariants : B ne dépend ni de , ni de z. Il ne dépend que de d, distance du fil au point M. Comme B est constant sur la courbe d’Ampère on a : B dl B 2 d Le courant I dans le conducteur traverse toute surface s'appuyant sur le cercle. Donc : B dl B 2 d 0 I d’où B 0 I 2 d Page 1 sur 9 Exercice 2 : Solénoïde infini 1°/ Le plan orthogonal à l’axe du solénoïde est un plan de symétrie du système donc B( M ) B e z . 2°/ 2°/ Si on applique le théorème d'Ampère à un parcours rectangulaire dont deux côtés de longueur sont parallèles à , B. dl B1l B2l B1 B2 .l a – On choisit un parcourt 1 entièrement intérieur au solénoïde, il n'encercle aucun courant : Bint . dl 0 B1 int B2 int 1 Donc le champ d’induction magnétique est uniforme partout à l'intérieur du solénoïde : Bint Cte b - On choisit un parcourt 2 entièrement à l’extérieur au solénoïde, il n'encercle aucun courant : Bext . dl 0 B1ext B2ext 2 Donc le champ d’induction magnétique est uniforme partout à l'extérieur du solénoïde. Or infiniment loin du solénoïde le champ magnétique doit s’annuler, donc : Bext 0 c - On choisit un parcourt 3 dont un côté est à l’extérieur et l'autre à l’intérieur du solénoïde. Dans ce cas le contour encercle une quantité de courant proportionnelle à sa longueur : Bint . dl µ0 nlI Bint .l µ0 nlI B µ n I e int 0 z 3 Page 2 sur 9 3°/ Pour que les deux systèmes soient parfaitement équivalents, il faut que les courants traversant une longueur h dans les deux systèmes soient égaux : Pour le solénoïde la longueur h est traversée par un courant nhI Et pour le cylindre traversé par une nappe de courant de densité, j s , le courant total le long de la h même longueur est : js . dz e 0 h js e . dz e js .h 0 D’où : nhI j s h j s nI Par analogie avec l’expression du champ magnétique dans le solénoïde, Bint µ0 nI ez µ0 j s e z Bext 0 Donc : Bext Bint µ0 js ez µ0 js er e µ0 js e er µ0 js n12 Page 3 sur 9 Exercice 3 : Champ magnétique créé par une plaque d’épaisseur e / nappe de courant 1°/ xOz est un plan de symétrie de la distribution de courants donc le champ magnétique est orthogonal à ce plan : B( M ) B( x, y, z ) u y Toute translation le long de l’axe Ox ou Oy n’a aucune influence sur le champ magnétique, donc : B( M ) B( z ) u y Le plan xOy est également plan de symétrie, donc en principe le champ magnétique est orthogonal également à ce plan. Cette condition impose au champ magnétique d’être nul en tout point de ce plan. En deux points symétriques par rapport à xOy les champs ont des sens opposés, c’est-à-dire que la fonction B(z) est impaire. 2°/ Appliquons le Th. d’Ampère : B( M ) .dl 0 j dS S - Point M à l’intérieur du volume conducteur : On choisira le contour rectangulaire orienté 1, tel que AB = CD = l (voir figure). B D D B.dl B.dl B.dl 0 B.dl Bl D’autre part : A 1 j dS S C C (sur les côtés BC et DA B.dl 0 ) j dS jS j l z S Donc : B( z) µ0 jz Page 4 sur 9 - Point M à l’extérieur du volume conducteur : On choisira le contour rectangulaire orienté 2, tel que AB = CD = l (voir figure). B D D B.dl B.dl B.dl 0 B.dl Bl 2 S A j dS C j dS jS j l C e 2 S e Donc : B( z ) µ0 j 2 3°/ Dans ce cas on prendra le contour de la figure suivante : µ j 2B( z) l µ0 j s l B( z) 0 s 2 µ j µ j B B 0 s e y ( 0 s e y ) µ0 j s e y La discontinuité du champ magnétique vaut alors : 2 1 2 2 En considérant la formule B 2 B 1 µ0 ( j s n1 2 ) Avec n1 2 e z on obtient : B 2 B 1 µ0 j s e y Page 5 sur 9 Exercice 4 : Champ magnétique et potentiel vecteur créés par un fil infini parcouru par une densité volumique de courant 1°/ Tout plan passant par l’axe Oz et contenant le point M est un B plan de symétrie du système donc : (M ) B(r, , z)e . Le fil est invariant par translation selon Oz et par rotation de B( M ). dl µ0 j .dS autour de Oz. Donc : B(M ) B(r )e . Th. d’Ampère : S Nous choisirons une ligne de champ de rayon r pour contour orienté de manière à ce que la surface S du disque qu’il délimite soit orientée selon le sens positif de l’axe Oz. er 1 cas : r > a : - B(M ).dl B(r ) µ0 I 2r B(r).dl B(r) dl B(r).2r µ I 0 - 2ème cas : B( M ).dl B(r ).2r µ0 r S j .dS µ0 < a: j.dS µ0 j. r 2 S µ j B(r ) 0 r 2 µ0 I I I r Or j S 2 ; donc B (r ) 2a 2 a 2°/ Représentation graphique : pour r < a augmentation linéaire puis pour r > a décroissance en 1/r. Remarquer la continuité du champ en r = a. 3°/ A est un vecteur axial (vrai vecteur) ; il a donc les mêmes propriétés de symétrie que le champ électrostatique. Tout plan orthogonal à l’axe du fil et contenant le point M est un plan d’antisymétrie du système A A donc est orthogonal à ce plan : (M ) A(r , , z )ez . Le fil est invariant par translation selon Oz et par rotation de autour de Oz. Donc : A(M ) A(r )ez Az (r )ez . Page 6 sur 9 A A Ar 1 Az A Ar Az 4°/ B rot A , donc : r z 0 , z r B et r r r 0 . Az dA (r ) z B r dr 5°/ µ0 I dAz (r ) µ0 I - 1er cas : r > a , dr 2 r Az (r ) 2 Ln(r ) cte µ0 I A Ln(a ) cte 0 A ( a ) A Le potentiel vecteur est toujours continu. Or pour r = a , z 0 , donc 2 µ0 I et cte A0 2 Ln(a) µ0 I r Finalement, on trouve : Az (r ) 2 Ln a A0 - 2ème cas : r < a, µ I µ I dAz (r ) 0 r Az (r ) 0 r 2 Cte 2 dr 2a 4a 2 µ0 I µ0 I Or pour r = a, Az (a) A0 , donc A0 4 Cte et Cte A0 4 µ I Az (r ) 0 4 r2 1 A0 a2 Page 7 sur 9 Exercice 5 : Champ magnétique crée par un câble coaxial Page 8 sur 9 Exercice 6 : Inductance d’un solénoïde – Energie emmagasinée 1°/ 2°/ Page 9 sur 9
