blindage electromagnetique par courants de foucault

BLINDAGE ELECTROMAGNETIQUE PAR COURANTS DE FOUCAULT
Les courants de Foucault sont les courants induits apparaissant dans un matériau conducteur massif (non filiforme).
1 Principe :
Le blindage électromagnétique consiste à protéger un domaine d’espace des champs électromagnétiques
extérieurs. Le cas que nous étudions ici est réalisé grâce aux courants de Foucault, dont les effets
s’opposent au champ magnétique variable qui les a créés.
B1
On dispose de deux bobines coaxiales, dont l’une (B2), petite,
est placée au centre de la première (B1).
Alu.
Un fin cylindre d’aluminium (Alu.) est disposé entre les deux :
on observera que la fem induite dans la petite bobine intérieure
au cylindre d’aluminium décroît nettement à partir d’une certaine fréquence…
B2
La bobine B1 (1000 spires, issue d’un transformateur démontable) est alimentée par un générateur BF.
On mesure les tensions crête à crête aux bornes de B1 et B2 à l’oscilloscope numérique, pour des
fréquences allant de 1Hz à 50KHz.
2 Aspect théorique :
Pour mettre en évidence l’effet de blindage par le cylindre d’aluminium, on fait une première étude sans le
cylindre, puis une seconde en sa présence.
La longueur de la bobine B2 étant faible devant celle de B1 et du cylindre en aluminium, on assimilera B1
et l’aluminium à des cylindres infinis, vus par B2.
B1
2.1 Induction en l’absence de blindage (pas de cylindre d’aluminium):
B2
La bobine B1 est alimentée par une source de tension sinusoïdale u1(t)
de pulsation ω ; elle crée au voisinage de son centre un champ magnétique
r
r
N
bien représenté par B = µ o . 1 .i1 ( t ).u z soit en notation complexe, sur Oz :
l1
U1
N
B = µ o . 1 .I1 ( t ) = K1.I1 = K1.
avec j2=-1, où R1 et L1 sont résistance et coefficient d’autol1
R 1 + jL1ω
induction de B1, N1 et l 1 nombre de spires et longueur de B1, U1 l’amplitude de la tension appliquée à B1,
I1 l’amplitude du courant qui la traverse.
M
N
avec M = µ o . 1 .N 2 .πr22m où le coefficient
R 1 + jL1ω
l1
de mutuelle induction M s’obtient avec N2, nombre de spires de B2, r2m rayon moyen d’une spire de B2.
La bobine B2 n’ayant pour charge que l’oscilloscope d’impédance d’entrée de l’ordre de 106Ω, on peut
considérer que le courant la traversant est nul. Elle ne crée donc pas de champ magnétique, et donc, avec
On peut écrire pour la bobine B2 : Φ1 / 2 = M.I1 = U1.
une orientation convenable, on a U 2 =
dΦ1 / 2
d’ordre 1, de pulsation de coupure ω1 =
dt
= jωU1
U2
jMω
M
=
, soit donc
passe-haut
U1 R 1 + jL1ω
R1 + jL1ω
R1
M
, amplification maximale H max =
.
L1
L1
2.2 Induction en présence de blindage, mutuelle induction B1 / aluminium négligée :
Un cylindre fin d’aluminium est inséré entre les deux bobines.
B1
Calcul des courants de Foucault dans l’aluminium:
Bext
Alu.
r r
Le plan (u r , u z ) est plan d’antisymétrie pour les sources de champ :
r
r
les courants de Foucault ont une densité de la forme j = jF (r ).u θ .
B2
Bint
La bobine B2 ne crée par de champ magnétique, puisque parcourue
par un courant négligeable.
Bext
Le cylindre d’aluminium est donc soumis au champ magnétique créé par
la bobine B1 et le cylindre d’aluminium lui-même.
En notant Bext le champ magnétique du domaine extérieur au cylindre
d’aluminium, et Bint celui intérieur :
r
r
r
le champ électromoteur E créé par la variation temporelle de Bint est orthoradial, du type E = E(r ).u θ :
r
dΦ A
d Bint
r
rot (E ) = −
⇒ 2πrA .E (rA ) = −
= − πrA2 . jω.Bint ⇒ jF = − A γ. jωBint (rel.1)
dt
dt
2
2
densité de courant (A/m ) dans l’aluminium, avec γ conductivité électrique de l’aluminium , rA rayon du
cylindre d’aluminium.
Relation de passage :
2
. On peut considérer d’une
µ o γω
part que la densité de courant est uniforme dans l’aluminium, d’autre part que ce domaine constitue une
surface parcourue par un courant surfacique orthoradial js = jF .e où e est l’épaisseur d’aluminium.
r
r
r
r
r
Les équations de Maxwell donnent Bint − Bext = µ o . js ∧ (−u r ) = µ o . jF .e.u z , soit, avec l’expression (1)
r
r
r
r 
r
ω  r
2
 = Bext (rel.2), avec ωA =
Bint = Bext − µ o .e A γjωBint ⇒ Bint .1 + j
, que l’on pourrait aussi
2
ωA 
µ o γerA

r 
er  r
écrire Bint .1 + j 2A  = Bext .
δ 

Lien avec les tensions :
L’épaisseur d’aluminium est très faible devant l’épaisseur de peau δ =
Le cylindre creux d’aluminium est une nappe orthoradiale de courant : il est équivalent à un solénoïde
infini. Or un solénoïde infini ne crée pas de champ magnétique à l’extérieur : Bext est donc dû à B1 seule.
On néglige l’induction mutuelle de l’aluminium sur B1 : la fem induite dans B1 reste la fem auto-induite.
U1
N
On a donc toujours Bext = µ o . 1 .I1 ( t ) = K1.I1 = K1.
.
l1
R 1 + jL1ω
dΦ int
D’autre part, U 2 =
= N 2 .πr22m . jωBint = K 2 . jωBint soit en reportant dans (2) :
dt
U2 
ω 
K1
K '1
 = U1.
.1 + j
= U1.
avec K '1 = K1 , ω1 = R1
R1
L1
ω
jω.K 2 
ωA 
R 1 + jL1ω
1+ j
ω1
U 2 jωK '1 K 2
1
=
.
et donc
, passe bande d’ordre deux, avec ωA>>ω1.
ω
ω
U1
1+ j
1+ j
ω1
ωA
2.3 Induction en présence de blindage, avec mutuelle induction B1 / aluminium :
La présence des courants dans le cylindre d’aluminium modifie le flux à travers une section de B1 : la fem
induite dans B1 doit en tenir compte. En notant ΦAl le flux du champ magnétique créé par les courants
circulant dans l’aluminium, à travers une spire de la bobine B1 :
dφAl
La loi des mailles dans B1 s’écrit U1 = (R 1 + jL1ω).I1 +
= (R 1 + jL1ω).I1 + N1.πrA2 . jω(Bint − Bext )
dt
U2
jω.K '1 K 2
=
Avec Bext = K1.I1 , U 2 = K 2 . jωBint et la relation (2), il vient
ω 
ω 
U1 
1 + j .1 + j
 + ω2 .K A K '1
ω
ω

1 
A 
3 Mesures :
Valeurs numériques : µo=4.π.10-7H.m-1 ; Aluminium : γ=3,6.107S.m-1 e= 60µm environ pour 4 couches
B1 : N1=1000 spires l 1 =7.10-2m R1 : lu sur bobine
;
B2 : N2 : inconnu r2m=9.10-3m
rA=1,9.10-2m
3.1 Test sans blindage :
Prendre le premier montage (bobine 1000spires contenant la petite bobine noire en son milieu).
Alimenter B1 avec le générateur BF, avec une tension la plus importante possible donnant un régime
linéaire (forme sinusoïdale de la tension observée).
Relever à l’oscilloscope numérique les valeurs crête à crête de U1 et U2 , de f=1Hz à 50Khz. On prendra
pour chaque décade les valeurs 1, 2, 4, 6 (ex. 1KHz, 2KHz, 4KHz, 6KHz pour la troisième décade).
Pour les fréquences inférieures à 10Hz, il faut mettre les entrées en ‘DC’. La mesure peut se faire en
enregistrant les entrées en mode numérique (mode ‘REFRESH’, mesure manuelle de valeur crête à crête).
Attention : lorsque U2 est très faible, le signal est ‘bruité’ ; il faut ne relever
valeur à
que le domaine de variation de U2, pas l’oscillation parasite.
relever
domaine balayé par U2
1°) Enregistrer ces valeurs avec Synchronie en mode ‘Tableur’.
Dans la feuille de calcul, entrer : H=U2/U1, et en dessous GdB=20*LOG(H).
Tracer GdB en fonction de f, avec une échelle logarithmique. Quel est ce type de filtre ?
2°) Mesurer les pentes remarquables, la fréquence de coupure basse.
3°) Mesure de L1 : on dispose d’un résistor de R=1KΩ, d’un condensateur de capacité C=10-6F. En utilisant
le générateur BF, la bobine B1, R et C, réaliser un montage très simple permettant de mesurer précisément
le coefficient d’auto-induction L1 de la bobine B1. Ce calcul étant effectué, lire la valeur de R1 sur B1 et en
déduire la valeur attendue de la fréquence de coupure basse f1. Commenter.
4°) Déduire de la valeur de l’amplification maximale la mesure du coefficient d’induction mutuelle M. En
utilisant l’expression approchée du 2.1, en déduire une estimation de N2.
3.2 Test avec blindage :
Prendre le second montage, comportant un cylindre cartonné recouvert de plusieurs couches de feuille
d’aluminium. Effectuer le même travail que pour la question 1°) du chapitre précédent.
5°) Mesurer les pentes remarquables, l’amplification maximale, les deux fréquences de coupure.
6°) Quel est le phénomène responsable de la fréquence de coupure basse ? Que retrouve-t-on ?
7°) Expliquer clairement, en quelques phrases, pourquoi le comportement en haute fréquence seulement est
modifié en présence du cylindre d’aluminium.
8°) Ordres de grandeur : calculer les valeurs numériques de K’1, K2 et KA. En déduire la valeur attendue de
la fréquence de coupure haute. On notera que dans la fonction de transfert globale, en ‘haute‘ fréquence, les
ordres de grandeurs permettent de simplifier l’écriture. Commenter.
9°) Comment peut-on protéger un domaine d’espace d’un champ magnétique ‘rapidement’ variable ?