énoncé

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Spé ψ 2001-2002 Devoir n°5
ÉLECTROMAGNÉTISME
Partie I
MOTEUR LINEAIRE A INDUCTION
I-1-Réalisation d'un champ magnétique à géométrie sinusoïdale
Les bobines représentées figure n°1 sont en série et alimentées par le même courant I0,
les enroulements sont tels que deux bobines consécutives soient parcourues par des courants
circulant en sens inverse, la présence du fer, représenté par les zones hachurées, canalise les
lignes d'induction de sorte que le champ magnétique B(x) a l'allure d'un créneau alternatif
d'amplitude Bo et de période spatiale λ.
Sachant qu'une fonction périodique f(t) de période T se décompose en série de Fourier
sous la forme
f t a a Tnt b Tnt
n
n
n
n
( ) cos sin= +
F
H
G
I
K
J
+
F
H
G
I
K
J
=
∞
=
∞
∑ ∑
0
1
1
2 2
π
π
où a
T
f t dt
T
00
1
=
z
( ) aTf t Tnt dt
n
T
=
F
H
G
I
K
J
z
2 2
0( ).cos
π
bTf t Tnt dt
n
T
=
F
H
G
I
K
J
z
2 2
0( ).sin
π
montrer que le développement en série de Fourier du créneau alternatif peut s'écrire
B x a x a x a p x
p
( ) .cos .cos . ...... .cos ( ). ....=
F
H
G
I
K
J
+
F
H
G
I
K
J
+ + +
F
H
G
I
K
J
+
+1 3 2 1
2322 1 2
π
λ
π
λ
π
λ
et que le terme fondamental a1 a pour expression:
a
B
10
4
=
π
Par la suite, on ne prendra en compte que le seul terme fondamental, le champ magné-
tique B(x) se réduira donc à l'expression:

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B x a x( ) .cos=
F
H
G
I
K
J
12
π
λ
I-2-Entraînement d'un cadre conducteur dans un champ à géométrie sinusoïdale.
I-2-1) Un cadre conducteur fermé sur lui-même est formé de N spires rectangulaires de
dimensions a et b (b suivant l'axe Ox et a suivant la direction perpendiculaire à Ox). Il est
placé dans l'entrefer, les lignes de champ étant normales au plan du cadre, et entraîné à la vi-
tesse v suivant Ox (à l'instant t, le centre du cadre est à l'abscisse x = v.t).
Dans l'hypothèse où
b
λ
<< 1, ce qui revient à considérer le champ magnétique locale-
ment uniforme sur la surface du cadre, calculer le flux φ du champ magnétique à travers le
cadre.
I-2-2) Déterminer l'expression exacte du flux φ et montrer que l'on retrouve l'expres-
sion approchée dans le cas où b << λ.
Par la suite, on conservera l'expression approchée.
I-2-3) Le cadre a pour résistance R et pour inductance L.
On posera Ω =
2
π
λ
v
et φΜ = NabBM avec BM = a1.
Exprimer l'intensité du courant i(t) dans le cadre en régime établi.
I-2-4) Montrer que la force électromagnétique moyenne qui s'exerce sur le cadre a
pour expression
< >= −
F
H
G
I
K
J+F
H
GI
K
J
F R v
R Lv
22
22
22
π
λφπ
λ
M.
Préciser son sens, en déduire la puissance développée par l'opérateur qui entraîne le
cadre. I-2-5) Calculer la puissance moyenne perdue par effet Joule dans le cadre; conclusion.
I-3-Réalisation d'un champ magnétique glissant à géométrie sinusoïdale.
On suppose à présent que l'intensité du courant qui alimente les bobines de la figure
n°1 est de la forme I0 cosωt.
I-3-1) Justifier de manière simple le fait que B0 devient B0 cosωt (la fréquence f asso-
ciée à ω est supposée basse)
I-3-2) Donner l'expression de B(x, t) en prenant en compte le seul terme fondamental
et montrer que B(x, t) peut être considéré comme la superposition de deux champs. On peut
interpréter ces deux champs comme deux ondes progressives circulant en sens inverse appe-
lées « champs glissants ».
I-3-3) Pour les applications qui vont suivre, l'onde progressive, circulant dans le sens
négatif de l'axe Ox doit être supprimée, de manière à obtenir un champ glissant unique dans le
sens positif de l'axe Ox.
Ceci sera obtenu de manière statique (sans déplacement de matière) grâce à des cou-
rants déphasés de
2
3
π
dans le temps (appelés courants triphasés) alimentant des bobines déca-

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lées de
λ
3
dans l'espace. On montre que le champ B(x, t) résultant de l'action combinée des
trois courants se réduit à B(x, t) = 342Btx
M.cos ω
π
λ
−
F
H
G
I
K
J
.
Exprimer la vitesse v0 du champ glissant.
Application numérique: f = 50 Hz, λ = 1 m, calculer v0.
I-4-Le moteur linéaire.
I-4-1) Dans la question 2, le cadre se déplaçait à la vitesse v dans le champ magnétique
sinusoïdal fixe. A présent, le cadre se déplace à la vitesse v constante dans le champ glissant
dont la vitesse est v0. En transposant le calcul de la force moyenne s'exerçant sur le cadre ef-
fectué à la question I-2-4, donner l'expression de la force moyenne de propulsion du cadre en
fonction de sa vitesse v. Cette expression représente la caractéristique mécanique du moteur
linéaire.
I-4-2) Étude de la caractéristique mécanique <F>(v).
a) Donner l'expression de <F0> au démarrage.
b) Donner l'expression vM de la vitesse pour laquelle la force est maximum.
c) Pour quelles valeurs de la vitesse le système fonctionne-t-il en moteur ou en
générateur ? d) Quelle opportunité présente le fonctionnement en générateur lors de la trac-
tion d'un véhicule par un moteur linéaire?
e) Tracer la courbe <F>(v).
PARTIE II
ÉTUDE DES PERTES ENERGETIQUES DANS LES MATERIAUX SUPRACONDUCTEURS
Pour augmenter la puissance du moteur étudié dans la partie I, il faut augmenter
l’intensité du courant circulant dans les bobines . Les dissipations thermiques dues à l’effet
Joule dans les conducteurs usuels limitent les valeurs de l’intensité. On songe donc à utiliser
un matériau supraconducteur pour réaliser le bobinage.
Lorsqu’un matériau est dans l’état supraconducteur, il est dépourvu de toute résistance
électrique. Malgré cela, les matériaux supraconducteurs sont le siège de pertes énergétiques.
On se propose ici d’en étudier les principales contributions.
II-1-Pertes provoquées par induction
On considère une plaque supraconductrice
d’épaisseur 2a. On associe à cette plaque un repère
OXYZ, OX étant perpendiculaire à la plaque. La lon-
gueur et la largeur de la plaque étant beaucoup plus
grandes que 2a, on adopte le modèle d’une plaque il-
limitée dans les directions OY et OZ. Le plan YOZ est
plan de symétrie de la plaque.
Cette plaque est plongée dans un champ ma-
gnétique uniforme dont on ne considère pas explicite-
ment, dans un premier temps, la dépendance tempo-
relle.
Y
X
Za
–
a

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A l'extérieur de la plaque, on a
r
B
E = BE.
r
e
y.
Il se développe à l'intérieur de la plaque des courants supraconducteurs d'écrantage de
densité volumique de module JC constant, qui tendent à s’opposer au champ
r
B
E, en créant, à
l'intérieur de la plaque, un champ magnétique opposé.
Ces courants d'écrantage se développent
d'abord sur la périphérie de la plaque et circulent
sur une épaisseur d'autant plus importante que
r
B
E
est intense. On ne s'intéresse pas à la portion du
supraconducteur qui permet de fermer le circuit
électrique.
Dans le modèle de BEAN, l’écrantage du
champ magnétique extérieur est réalisé dans la
zone centrale –xSAT < x < xSAT par une distribution
volumique de courant périphérique caractérisée par
le vecteur densité uniforme
r
J
e suivant
Pour x ∈ [–xSAT , xSAT ] ,
r
J
e = 0 ;
pour x ∈ [xSAT , a ] ,
r
J
e = +JC
r
e
z
;
pour x ∈ [–a , –xSAT ] ,
r
J
e = – JC
r
e
z
;
On note
r
B
INT le champ magnétique à l’intérieur de la plaque.
II-1-1-a) A partir d'un raisonnement reposant sur des arguments qualitatifs à préciser
soigneusement :
α) Montrer que
r
B
INT ne possède qu'une composante sur la base (
r
e
x
,
r
e
y,
r
e
z
)
β) Établir que cette composante ne dépend que de x.
γ) Comparer les composantes BINT(x) et BINT(–x).
II-1-1-b) A partir du théorème d'Ampère ou de l’équation de Maxwell-Ampère :
α) Établir que
r
B
INT est uniforme dans la zone x ∈ [–xSAT , xSAT ] .
β) Trouver BINT en fonction de x, JC, xSAT, a et BE pour tout x ∈ [-a , +a ]. Véri-
fier que les résultats satisfont aux conditions aux limites .
II-1-1-c) En déduire une relation entre xSAT, JC, BE et a lorsque le champ magnétique
est nul dans la zone centrale (x ∈ [-a , +a ]) .
II-1-1-d) Montrer que cette relation n’est valable que pour 0 < BE < BMAX; déterminer
BMAX ;II-1-1-e) Représenter BINT(x) en fonction de x pour –a < x < +a.
II-1-2) Lorsque BE > BMAX, la plaque est dite en complète pénétration. Dans ce cas,
xSAT = 0. a) Représenter graphiquement la densité de courant d’écrantage Je en fonction
de x .
b) Établir l’expression du champ magnétique BINT pour x ∈ [-a , +a ] ; on dis-
tinguera les cas x < 0 et x > 0 . Représenter graphiquement BINT en fonction de x .
II-1-3) Le champ BE dépend maintenant du temps mais reste uniforme. On considérera
que les expressions trouvées en II-2 sont valables en remplaçant BE par BE(t), avec dB
dtE
Y
X
Za
–
a
r
B
E(t)
,
–
xSAT
x
SAT

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constant . De plus, on suppose que la plaque est toujours en complète pénétration. et que JC ne
dépend pas du temps.
a) Montrer l’existence d'un champ électrique
r
E
(x, t) . En admettant que
E(x = 0, t) = 0 quel que soit t, déterminer E(x, t) pour x ∈ [-a , +a ].
b) Établir l’expression de la puissance volumique pV dissipée localement par
les porteurs de charge dans le matériau puis compléter le tableau ci dessous.
x–a ≤ x ≤ 0 0 ≤ x ≤ a
BINT(x, t)
E(x, t)
pVc) Donner la valeur moyenne spatiale pVMOY de pV pour –a < x < +a.
d) Application numérique dans le cadre d’une plaque :
On donne: a = 0,5 µm ; JC = 2×109 S.I.; dB
dtE = 100 T.s–1.
Calculer la densité volumique moyenne de pertes dans la plaque.
II-1-4) D'autres modèles d 'écrantage pourraient être proposés.
a) Montrer que, dans tout modèle , on doit avoir
r
J
= J(x).
r
e
z
.
b) Donner, en justifiant, la condition de parité à respecter pour la fonction J(x).
II-2-Pertes par courants de couplage dans la matrice.
Pour réduire les pertes énergétiques provoquées par un champ magnétique extérieur
variable, les conducteurs supraconducteurs destinés aux applications en régime variable se
composent d'une multitude de filaments très fins,
submicroniques, noyés dans une matrice résistive .
Ces filaments sont torsadés entre eux. Compte tenu
du champ magnétique extérieur
r
B
E(t), des courants
de Foucault se développent à l'intérieur du
conducteur . Ces courants ont un trajet non dissipatif à l'intérieur des filaments supraconduc-
teurs, mais se rebouclent d'un filament à l’autre par l’intermédiaire de la matrice résistive,
d'où une dissipation d'énergie pCF(t). On note ρTR la résistivité (dite transverse) de la matrice.
L'expression de la densité volumique de pertes instantanée est de la
forme p t p dB
dt
ac b
CF TR E
( ) =
F
H
G
I
K
J
ρπ2où p est une grandeur géométrique homogène à une longueur.
II-2-1-a) En considérant que les courants induits parcourent une boucle purement ré-
sistive, de résistance R et d'aire S, trouver en analysant le phénomène d'induction dans la bou-
cle, une relation entre la puissance électrique P dissipée dans la boucle, R, S et dB
dtE.
b) En déduire, par une analyse dimensionnelle, les valeurs des exposants a, b et
c de l'expression de la puissance volumique pCF proposée ci dessus .
II-2-2) Application numérique : On donne ρTR = 4×10–6 Ω.m ; p = 1,12 mm et
dB
dtE = 100 T.s–1. Calculer pCF et commenter le résultat.
I
I
⊗
r
B
E
(
t
)