Dipôle magnétique

I Approche du dipôle magnétique : la boucle de courant
A) Définition
OI
M
r
B) Moment magnétique
1) Définition
ld
I
 On a
SdS 
.
 On pose alors
SI M
.
Ainsi,
M
est un pseudo-vecteur :
S
dépend à la fois du sens choisi pour
ld
et de la convention du trièdre direct (si on inverse
ld
, on inverse
S
aussi, et c’est
pareil pour le trièdre direct), donc
SI M
ne dépend plus que de la convention
pour le trièdre.
2) Expression intégrale
On prend un cône centré en O qui s’appuie sur le contour :
O
r
ld
Le vecteur surface du petit triangle est
ldr 
2
1
On a alors
 ldrI 
2
1
M
C) Champ magnétique créé par une boucle de courant
1) Potentiel vecteur
A
.
O
P
M
On note
OMr
,
PMr'
.
On a alors
'4 0rld IA
On pourrait faire un développement limité
...
11
'
1
 OP
rrr P
, mais on
peut faire plus élégant :
 A l’ordre 0,
rr 1 '
1
et
0
40
 ld
r
I
A
 A l’ordre 1, on a d’après la formule de Kelvin :
SfSdlfd 
Dipôle magnétique

Et donc ici
3
0
3
0
'
'
044'
1
4
33
r
r
Sd
I
r
r
Sd
I
r
Sd
I
ASSS
r
r
r
r
p
Soit
3
0
4rr
A M
Remarque :
On a fait en fait dans le calcul un DL à l’ordre 0 de la dérivée plutôt qu’un
DL à l’ordre 1 de la fonction elle-même.
L’égalité trouvée est analogue à
3
0
41rrp
V 
2) Champ magnétique
On a
AB 
 Expression en sphériques :
z
M
M
r
u
u
u
On a
u
rr
A
2
0
2
0sin
4
1
0
0
1
0
sin
cos
4MM 
Et
3
0cos2
4r
Br M
,
3
0sin
4r
B M
,
0 B
On retrouve la même structure qu’en électrostatique !!
 On aura donc de même qu’en électrostatique
M
M
r
rr r
B23
03
.4
3) Pseudo–potentiel
On avait
VE  
, avec
3
0
41rrp
V 
Ici, par analogie,
*VB  
avec
3
0
4
*rr V M
Le champ magnétique créé par une boucle de courant loin de cette boucle de
courant dérive donc d’un potentiel scalaire.
Explication :
Quand on calcule la circulation du champ
B
à grande distance, on a
0
j
,
et donc
0
0
  jB
D) Action d’un champ
B
sur une boucle de courant
Ici, la boucle est considérée comme passive.
1) Champ
B
uniforme
Si le champ est uniforme, on aura :
 Une résultante
0
F
 Un moment
BBSIM 
 M
 Une énergie potentielle
BBSIIEp
 M
Remarque :
On trouve un résultat analogue à l’électrostatique pour les trois formules.

On n’a pas fait intervenir ici le fait que la boucle de courant était « petite » ;
en fait, le champ varie avec une dimension caractéristique infinie, donc tout
circuit fermé est de « petite dimension » devant cette distance.
 Quand on a une boucle de courant dans un champ uniforme, celle-ci n’a
pas tendance à se déplacer globalement :
Il va s’orienter dans le sens du champ
L’énergie potentielle est minimale lorsque le moment magnétique est dans le
sens de
B
.
2) Champ
B
non uniforme
I
S
On suppose que
B
varie avec une distance caractéristique très grande devant
les dimensions de la boucle de courant.
On a alors
SBSdB 
 Résultante :
- Expression générale :
Translation élémentaire selon Ox :
x
B
SI
x
IFx
, soit
x
B
Fx M
- Cas où
M
est indépendant de
B
:
On a alors
xB
Fx
M
, et donc
)( BF 
  M
- Si
M
est induit par
B
: on a alors
B M
, donc
)(
2
1BF 
  M
- Cas où localement
0
  B
:
On a alors
x
z
B
z
z
y
B
y
y
x
xx B
x
B
x
B
x
B
F
xx
MMMM
Et donc
BF 
 M
.
 Moment :
On a
)()( OBBOM 
 MM
 Energie potentielle :
On a
)(OBEp
 M
 Conclusion :
- On a le même effet d’orientation que dans un champ uniforme.
- Et une force le déplaçant dans le sens des champs forts (lignes de champ
plus resserrées)
II Dipôle magnétique
A) Définition
- C’est un objet ponctuel
- Caractérisé par son moment magnétique
M
- Qui crée en tout point de l’espace un champ
B
de composantes sphériques
0
sin
4
cos2
4
3
0
3
0
B
r
B
r
Br
M
M

B) Discussion
- C’est un modèle, un tel objet n’a pas d’existence physique.
- On peut montrer que d’après le théorème de l’action et de la réaction, un être
créant ce champ là est soumis dans un champ magnétique extérieur à une force
)()(
)()(
OBOE
OBOM x
B
F
p
x
M
M
M
- Comparaison dipôles électrostatiques/magnétostatiques :
Les deux dipôles créent le même champ, subissent les mêmes actions.
- Comparaison des systèmes réels :
-q +q
Lorsqu’on est à grande distance, la structure du champ est la même.
Mais lorsqu’on est proche, on n’a plus du tout la même chose (l’un est à
divergence nul, et pas l’autre)
Remarque :
Le dipôle électrostatique a effectivement deux pôles.
Mais on ne peut pas en dire autant pour le dipôle magnétique.
Par exemple, si on coupe un aimant en deux entre les pôles, on obtiendra toujours
un pôle nord et un pôle sud sur chacun des deux bouts.
Et on peut couper ainsi de suite jusqu’à la dimension de l’électron, qu’on ne peut
plus couper et qui possède aussi un moment magnétique.
III Complément
Les milieux magnétiques
1) Vecteur aimantation
d
Dans un volume
d
, on aura un moment magnétique
dMd 
M
M
s’appelle le vecteur aimantation. Il peut dépendre de la position, et
éventuellement du temps.
2) Densité de courant lié
d
PM
On cherche le champ magnétique en M, connaissant
)(rM 
dans le volume.
 Expression :
Un volume
d
en P produit un potentiel vecteur
3
0
4
)( r
r
dMAd 
  M
Et donc
d
r
r
MMA 3
0
4
)( 

On a
rr
rP1
3 
Et de façon générale,
XfXfXf   .)(
,
soit
XfXfXf   .)(
.
Et donc :
dS
rnM
d
rM
rSdM
d
rM
d
r
M
d
rM
MA
4
4
4
)(
0
0
0
On note alors
lié
jM 
,
lié,s
jnM 
Ainsi, l’égalité devient :
  dS
r
j
d
r
j
MA slié,
0lié044
)(
Ainsi, le champ créé par la répartition est le même que celui créé par une
répartition de courant ayant une répartition surfacique
nM 
et une répartition
volumique
M
.
 Exemple :
M
On suppose
M
uniforme.
Ainsi, la répartition est équivalente à une répartition où :
0
lié
j
Sur les côtés,
0
lié, s
j
Et sur la face latérale
uMuuMj rzs
lié,
C’est comme si on avait une nappe solénoïdale.
Justification :
Pour une tranche du cylindre, coupée en petits cubes de courant :
M
M
S'annule
Ainsi, le courant s’annule partout sauf à l’extérieur.
« Si la matière est aimantée, c’est parce qu’elle est parcourue par des petits
courants à l’échelle microscopique » (Ampère)
C’est en partie vrai : il y a en effet un mouvement magnétique orbital de
l’électron.
Mais il y a en plus de cela un moment de spin (« tourner sur soi-même »),
qu’on modélise par une rotation de l’électron sur lui-même. En réalité, l’électron
ne tourne pas véritablement sur lui-même : le spin est une caractéristique
purement quantique d’une particule ; ceci se justifie par le fait que même des
particules non chargées ont un moment de spin.
3) Equations locales du champ
 On a
0 B
 Et
)( liélibre0 jjB 