Limite et continuité de fonctions réelles

Limite et continuité de fonctions réelles
Denis Vekemans ∗
Introduction : on désigne par "fonction réelle" tout fonction d’une variable réelle à valeurs réelles.
1 Limite finie
1.1 Définitions
1.1.1 Définition de point adhérent
Soit Dune partie de R. On dit qu’un réel cest adhérent àDsi pour tout ε > 0il existe x∈D∩]c−
ε, c +ε[, ce qui s’écrit aussi si pour tout ε > 0, il existe x∈Dtel que |x−c|< ε. L’ensemble des points
adhérents à Dest noté ¯ D.
On déduit directement de la définition :
Théorème 1
Soit Dune partie de R. Le réel cest un point adhérent à Dsi et seulement si il existe une suite réelle (xn)n∈N
telle que
∀n∈N, xn∈Det lim
n→∞ xn=c.
1.1.2 Définition de limite finie en un point aréel
Soit A⊂R,ffonction réelle définie sur Aet aun point adhérent à A. La limite en un point aréel
d’une fonction fexiste et vaut l∈Rsi, quel que soit ε > 0, il existe une valeur δ > 0telle que, lorsque
x∈Aest à une distance inférieure à δde a,f(x)est à une distance inférieure à εde l, ce qui s’écrit
∃l∈R,∀ε > 0,∃δ > 0,tel que ∀x∈Aon a (|x−a| ≤ δ=⇒ |f(x)−l| ≤ ε).
Notation.
On note la limite ld’une fonction réelle fau point a,
lim
x→af(x) = l.
Remarque.
Quelquefois on rappelle le domaine Ade la fonction en écrivant limx→a,x∈Af(x) = l, ou si on veut
marquer que an’est pas dans le domaine de définition de f,limx→a,x6=af(x) = l(la définition de cette limite
est ∀ε > 0,∃δ > 0tel que ∀x∈A, on a 0<|x−a| ≤ δ=⇒ |f(x)−l| ≤ ε).
∗Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais
cedex ; France
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L1 - Analyse Limite et continuité de fonctions réelles 20010
1.1.3 Définition de limite finie en l’infini
Un ensemble Aréel est non borné supérieurement si, pour tout M∈R, il existe x∈Atel que x≥M.
Soit Aun ensemble réel non borné supérieurement et fune fonction réelle définie sur A. La limite en
∞de fexiste et vaut l∈Rsi, quel que soit ε > 0, il existe une valeur M∈Rtelle que, lorsque x∈Aest
plus grand que M,f(x)est à une distance inférieure à εde l, ce qui s’écrit
∃l∈R,∀ε > 0,∃M∈R,∀x∈Aon a (x≥M=⇒ |f(x)−l| ≤ ε).
Notation.
On note la limite ld’une fonction réelle fen ∞,
lim
x→∞ f(x) = l.
Un ensemble Aréel est non borné inférieurement si, pour tout M∈R, il existe x∈Atel que x≤M.
Soit Aun ensemble réel non borné inférieurement et ffonction réelle définie sur A. La limite en −∞
de fexiste et vaut l∈Rsi, quel que soit ε > 0, il existe une valeur M∈Rtelle que, lorsque x∈Aest
plus petit que M,f(x)est à une distance inférieure à εde l, ce qui s’écrit
∀ε > 0,∃M∈R,∀x∈Aon a (x≤M=⇒ |f(x)−l| ≤ ε).
Notation.
On note la limite ld’une fonction réelle fen −∞,
lim
x→−∞ f(x) = l.
Complété de ROn note ¯ Rle complété de R, c’est-à-dire ¯ R=R∪{−∞,∞}. Ces notations vont permettre
d’éviter la répétition inutile de théorèmes selon que asoit réel fini, ∞ou −∞.
Ainsi, "Aun ensemble réel non borné supérieurement" va s’écrire "A⊂Ret ∞un point adhérent à A".
De même, "Aun ensemble réel non borné inférieurement" va s’écrire "A⊂Ret −∞ un point adhérent
àA".
Dans ces notations, les points "∞" et "−∞" sont pris dans le complété de R.
1.2 Unicité de la limite finie
Théorème 2
Soit A⊂R,ffonction réelle définie sur Aet a∈¯ Run point adhérent à A. Si fadmet une limite l∈Rau
point a, cette limite est unique.
Démonstration.
– Cas où a∈R.
∃l1∈R,∀ε > 0,∃δ1>0,tel que ∀x∈Aon a (|x−a| ≤ δ1=⇒ |f(x)−l1| ≤ ε).
∃l2∈R,∀ε > 0,∃δ2>0,tel que ∀x∈Aon a (|x−a| ≤ δ2=⇒ |f(x)−l2| ≤ ε).
A supposer que l1> l2, en choisissant ε=l1−l2
3>0, on obtient pour x∈Atel que |x−a| ≤ min(δ1, δ2),
2l1+l2
3≤f(x)≤l1+2l2 3puis par différence l2−l1 3≥0, ce qui contredit l1> l2.
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– Cas où a=∞ ∈ ¯ R.
∃l1∈R,∀ε > 0,∃M1∈R,∀x∈Aon a (x≥M1=⇒ |f(x)−l1| ≤ ε).
∃l2∈R,∀ε > 0,∃M2∈R,∀x∈Aon a (x≥M2=⇒ |f(x)−l2| ≤ ε).
A supposer que l1> l2, en choisissant ε=l1−l2
3>0, on obtient pour x∈Atel que x≥max(M1, M2),
2l1+l2
3≤f(x)≤l1+2l2 3puis par différence l2−l1 3≥0, ce qui contredit l1> l2.
– Cas où a=−∞ ∈ ¯ R. Se traite comme précédemment.
1.3 Propriétés algébriques sur les limites finies
Théorème 3
Soit A⊂R,ffonction réelle définie sur A,gfonction réelle définie sur Aet a∈¯ Run point adhérent à A.
1. Si les limites lim
x→af(x)et lim x→ag(x)existent et sont finies, alors la limite lim x→a(f+g)(x)existe et
lim
x→a(f+g)(x) = lim x→af(x) + lim x→ag(x) ;
2. Si les limites lim
x→af(x)et lim x→ag(x)existent et sont finies, alors la limite lim x→a(f·g)(x)existe et
lim
x→a(f·g)(x) = lim x→af(x)·lim x→ag(x) ;
3. Si la limite lim
x→af(x)existe et est finie bien que différente de zéro, alors la limite lim x→a
1
f(x)existe et
lim
x→a
1
f(x) = 1 lim
x→af(x).
1.4 Cas particulier des fonctions réelles tendant vers 0
Théorème 4
Soit A⊂R,ffonction réelle définie sur Aet a∈¯ Run point adhérent à A. Il est équivalent de dire que
lim
x→af(x) = 0 et que lim x→a|f(x)|= 0.
Théorème 5
Soit A⊂R,ffonction réelle définie sur A,gfonction réelle définie sur Aet a∈¯ Run point adhérent à A.
Si lim
x→af(x) = 0 et si la fonction réelle gest bornée sur A, alors lim x→af(x)g(x) = 0.
Théorème 6
Soit A⊂R,ffonction réelle définie sur A,gfonction réelle définie sur Aet a∈¯ Run point adhérent à A.
Si ∀x∈R,|f(x)| ≤ g(x)et si lim
x→ag(x) = 0, alors lim x→af(x) = 0.
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1.5 Propriétés liées à l’ordre des fonctions réelles ou des limites finies
Théorème 7
Soit A⊂R,ffonction réelle définie sur A,gfonction réelle définie sur Aet a∈¯ Run point adhérent à A.
Supposons que ∀x∈A, f(x)≤g(x). Si de plus les limites lim
x→af(x)et lim x→ag(x)existent, alors
lim
x→af(x)≤lim x→ag(x).
Théorème 8
Théorème des gendarmes Soit A⊂R,ffonction réelle définie sur A,gfonction réelle définie sur A,h
fonction réelle définie sur Aet a∈¯ Run point adhérent à A. Supposons que ∀x∈A, f(x)≤g(x)≤h(x).
Si de plus, lim
x→af(x) = lim x→ah(x) = l, alors gpossède une limite en aet
lim
x→ag(x) = l.
1.6 Limite de fonctions réelles composées
Composée d’une fonction réelle et d’une suite
Théorème 9
Soit A⊂R,ffonction réelle définie sur Aet a∈¯ Run point adhérent à A.
Les propriétés suivantes sont équivalentes :
1. lim
x→af(x) = l;
2. pour toute suite (xn)n∈Ndans Atelle que lim
n→∞ xn=aon a lim n→∞ f(xn) = l.
Théorème 10
Soit A⊂R,ffonction réelle définie sur Aet a∈¯ Run point adhérent à A. S’il existe deux suites (xn)n∈N
et (yn)n∈Ndans Ade limite adont les suites (f(xn))n∈Net (f(yn))n∈Nne convergent pas vers une même
limite, alors fn’a pas de limite en a.
Théorème 11
Soit A⊂R,ffonction réelle définie sur Aet a∈¯ Run point adhérent à A. S’il existe une suite (xn)n∈Ndans
Ade limite atelle que la suite (f(xn))n∈Ndiverge, alors fn’a pas de limite finie en a.
Composée de deux fonctions réelles
Théorème 12
Soit A⊂R,f(A)⊂B⊂R,f:A−→ R,g:B−→ R,a∈¯ Run point adhérent à Aet b∈¯ Run point
adhérent à B. Si
lim
x→af(x) = bet lim
y→bg(y) = l
alors la limite en ade g◦fexiste et
lim
x→a(g◦f)(x) = l.
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2 Limite infinie
2.1 Définition de limite infinie en un point aréel
Soit A⊂R,ffonction réelle définie sur A, et aun point adhérent à A. Nous dirons que la limite en a
d’une fonction réelle fvaut ∞si quel que soit K∈R, il existe une valeur δ > 0telle que, lorsque x∈A
est à une distance inférieure à δde a,f(x)est supérieur à K. Cette définition s’écrit
∀K∈R,∃δ > 0,∀x∈A, on a (|x−a| ≤ δ=⇒f(x)≥K).
Notations. On note la limite ∞d’une fonction réelle fen a,
lim
x→af(x) = ∞.
Soit A⊂R,ffonction réelle définie sur A, et aun point adhérent à A. Nous dirons que la limite en
ad’une fonction réelle fvaut −∞ si quel que soit K∈R, il existe une valeur δ > 0telle que, lorsque
x∈Aest à une distance inférieure à δde a,f(x)est inférieur à K. Cette définition s’écrit
∀K∈R,∃δ > 0,∀x∈A, on a (|x−a| ≤ δ=⇒f(x)≤K).
Notations. On note la limite −∞ d’une fonction réelle fen a,
lim
x→af(x) = −∞.
2.2 Définition de limite infinie en l’infini
Soit Aun ensemble réel non borné supérieurement et ffonction réelle définie sur A. La limite en ∞de
fexiste et vaut ∞si, quel que soit K∈R, il existe une valeur M∈Rtelle que, lorsque x∈Aest plus
grand que M,f(x)est supérieur à K, ce qui s’écrit
∀K∈R,∃M∈R,∀x∈Aon a (x≥M=⇒f(x)≥K).
Notations. On note la limite ∞d’une fonction réelle fen ∞,
lim
x→∞ f(x) = ∞.
Soit Aun ensemble réel non borné supérieurement et ffonction réelle définie sur A. La limite en ∞de
fexiste et vaut −∞ si, quel que soit K∈R, il existe une valeur M∈Rtelle que, lorsque x∈Aest plus
grand que M,f(x)est inférieur à K, ce qui s’écrit
∀K∈R,∃M∈R,∀x∈Aon a (x≥M=⇒f(x)≤K).
Notations. On note la limite −∞ d’une fonction réelle fen ∞,
lim
x→∞ f(x) = −∞.
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