⋄⋄⋄ Polynômes unitaires de norme minimale Première partie

Spéciales MP
⋆
23/01/2006
Devoir surveillé n
◦
8
⋄ ⋄ ⋄
Polynômes unitaires de norme minimale
•Pour tout entier d0,on désigne par E
d
l’espace vectoriel complexe des
polynômes à coefficients complexes de degré au plus det par U
d
le sous-ensemble
des polynômes unitaires de degré d.
Première partie
•Soit n∈N
∗
et soient x
1
, . . . , x
n
des nombres complexes distincts. On considère
le polynôme
P(X) =
n
k=1
(X−x
k
),
et l’on désigne par P
′
le polynôme dérivé de P.
1. Pour tout entier jtel que 1jn, on pose :
P
j
(X) = P(X)
(X−x
j
)P
′
(x
j
).
a) Montrer que cette expression définit un polynôme P
j
de degré n−1.
b) Calculer P
j
(x
k
)pour 1knet montrer que, pour tout polynôme F, le
polynôme L
F
=
n
j=1
F(x
j
)P
j
prend la même valeur que Fen tous les points
x
1
, . . . , x
n
.
c) Montrer que
n
j=1
P
j
= 1.
d) Les polynômes P
j
,1jn, forment-ils une base de E
n−1
?
2. Pour 1jn, on pose P
j
(X) =
n−1
i=0
b
i,j
X
i
où b
i,j
∈C.Soient Vet Bles
matrices complexes n×ndont les éléments à la i
`eme
ligne (1in) et à la
j
`eme
colonne (1jn) sont (x
i
)
j−1
et b
i−1,j
respectivement. Montrer que V
est inversible, et que Vet Bsont inverses l’une de l’autre.
3. a) Montrer que b
n−1,j
=1
P
′
(x
j
).Déterminer la valeur de
n
k=1
(x
k
)
j
P
′
(x
k
)pour
0jn−1.
1

b) En déduire que
n
k=1
(X−x
k
)
n−1
P
′
(x
k
)est un polynôme constant que l’on calculera.
◮Dans toute la suite, d∈N
∗
est un entier fixé, et Kest une partie compacte du
plan complexe, contenant au moins d+ 1 éléments. On pose ρ= sup
z∈K
|z|.Pour
tout polynôme Q∈ E
d
,on pose :
Q
K
= sup
z∈K
|Q(z)|.
Deuxième partie
•Pour tout polynôme Q∈ E
d
défini par Q(X) =
d
i=0
a
i
X
i
,on pose :
N(Q) = sup
0id
|a
i
|.
1. a) Montrer que Q→ N(Q)et Q→ Q
K
sont des normes sur E
d
et qu’elles
sont équivalentes.
b) La fonction Q→ Q
K
est-elle continue sur l’espace vectoriel normé (E
d
, 
K
) ?
2. a) Majorer sup
Q∈E
d
Q=0
Q
K
N(Q)en fonction de ρ.
b) On choisit n=d+ 1 points distincts dans K, x
1
, . . . , x
d+1
,et l’on reprend
les notations de la première partie. On pose β= sup
0id
1jd+1
|b
i,j
|.En utilisant
les résultats de la question I.2, montrer que :
sup
Q∈E
d
Q=0
N(Q)
Q
K
β(d+ 1) .
◮Dans toute la suite du problème, on pose : m= inf
Q∈U
d
Q
K
.
3. a) Montrer que 0mρ
d
.
b) Montrer que inf
Q∈U
d
Q
K
ρ
d
Q
K
=m.
c) Montrer qu’il existe Q
0
∈ U
d
tel que Q
0 K
=m.
Troisième partie
1. Soient k∈N
∗
et c∈C
∗
.Soit z
0
∈C.On considère le polynôme
Q(X) = 1 + c(X−z
0
)
k
.
2

Démontrer, pour tout ε > 0,l’existence de z∈Ctel que |Q(z)|>|Q(z
0
)|et
|z−z
0
|=ε.
◮indication :on introduira un réel θtel que c=|c|e
iθ
.
2. Plus généralement, soit Q∈ E
d
et soit z
0
∈C.On suppose que Q(z
0
) = 1 et
que Qn’est pas constant.
a) Montrer qu’il existe un entier k1,un nombre complexe c= 0,et un
polynôme Rtels que R(z
0
) = 0 et :
Q(X) = 1 + c(X−z
0
)
k
(1 + R(X))
b) Montrer que, pour tout réel ε > 0,il existe z∈Ctel que |z−z
0
|=εet
Q(z) = 1 + |c|ε
k
(1 + R(z))
c) Montrer que, pour tout réel r > 0,il existe z∈Ctel que |z−z
0
|< r et
|Q(z)|>|Q(z
0
)|.
◮indication :utiliser b) et majorer 1 + |c|ε
k
− |Q(z)|.
3. a) Montrer que la propriété démontrée à III.2.c) est satisfaite pour tout polynôme
non constant Q∈ E
d
et pour tout point z
0
∈C.
b) En déduire que, pour tout Q∈ E
d
:
sup
|z|1
|Q(z)|= sup
|z|=1
|Q(z)|.
c) Soit Q∈ E
d
et ˜ Qdéfini par ˜ Q(X) = X
d
Q
1
X
.Montrer que ˜
Q∈ E
d
et que :
sup
|z|=1
˜
Q(z)
= sup
|z|=1
|Q(z)|.
4. Dans cette question, on choisit K={z∈C/|z|1}.Montrer que le polynôme
Q
0
(X) = X
d
satisfait
Q
0 K
=m.
Quatrième partie
1. Soient z
0
et z
1
deux nombres complexes non nuls. Montrer que |z
0
+z
1
|=
|z
0
|+|z
1
|si et seulement s’il existe un réel λ > 0tel que z
1
=λz
0
.
◮Pour Q∈ E
d
,on pose
M(Q) = {z∈K / |Q(z)|=Q
K
}.
3

2. On suppose qu’il existe des polynômes distincts Q
0
∈ U
d
et Q
1
∈ U
d
vérifiant
Q
0 K
=Q
1 K
=m.
Pour tout t∈]0,1[ ,on pose Q
t
= (1 −t)Q
0
+tQ
1
.
a) Montrer que, pour tout t∈[0,1] ,Q
t K
=m.
b) Soit t∈]0,1[ et soit z∈ M (Q
t
).Montrer que z∈ M (Q
0
)et z∈ M (Q
1
),
puis montrer que Q
0
(z) = Q
1
(z).
c) En déduire que, pour tout t∈]0,1[ ,card M(Q
t
)< d.
3. On suppose qu’il existe Q∈ U
d
tel que Q
K
=met tel que card M(Q)d.
a) Montrer qu’il existe un polynôme L∈ E
d−1
tel que, pour tout z∈ M (Q),
L(z) = Q(z).
b) Soit Q
p
=Q−1
pLpour p∈N
∗
.Montrer que, pour chaque p∈N
∗
,il existe
z
p
∈Ktel que |Q
p
(z
p
)|Q
K
.
◮Kétant compact, il existe une suite strictement croissante d’entiers p→ n
p
telle que la suite p→ z
n
p
converge vers un élément ℓ∈K.
c) Montrer que |Q(ℓ)|=Q
K
.En déduire que Q(ℓ) = L(ℓ).
d) Montrer que Qz
n
p
=Q(ℓ) (1 + ε
p
)et Lz
n
p
=Q(ℓ) (1 + ε
p
)1 + ε
′
p
,
où (ε
p
)et ε
′
p
sont des suites de nombres complexes, définies pour passez
grand, telles que lim
p→+∞
ε
p
= 0 et |1 + ε
p
|1,et lim
p→+∞
ε
′
p
= 0.En
déduire que, pour passez grand, 
Q
n
p
z
n
p
<Q
K
.
e) Conclure.
4. Y a-t-il unicité du polynôme Q
0
∈ U
d
tel que Q
0 K
=m?
5. On suppose dans cette question que K= [−1,1] .On admet qu’il existe un
unique polynôme T
d
tel que T
d
(cos θ) = cos dθ pour tout réel θ, que ce polynôme
est de degré det a pour coefficient dominant 2
d−1
.On pose Q
d
=
1
2
d−1
T
d
et
x
j
= cos 
j
d
πpour 0jd.
a) Calculer Q
d K
.
b) On suppose que Q∈ U
d
vérifie Q
K
<Q
d K
.Déterminer le signe de
Q
d
(x
j
)−Q(x
j
)pour 0jn, et en déduire une contradiction.
c) Démontrer que m=
1
2
d−1
et que Q
d
est l’unique polynôme Q∈ U
d
tel que
Q
K
=m.
4

Spéciales MP
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01/2006
Corrigé du devoir surveillé n
◦
8
⋄⋄⋄
Première partie
1. Une famille de polynômes
a) P
j
est un polynôme de degré n−1 : P
j
est bien défini, car les racines de Pétant simples, on a
P
′
(x
j
)= 0.Puis, P
j
=
1
P
′
(x
j
)
Q
j
avec Q
j
=
k=j
(X−x
k
),donc P
j
est un polynôme de degré
n−1.
b) Polynôme L
F
:On a d’abord P
j
(x
k
) = 0 pour k=j. Puis, en écrivant P= (X−x
j
)Q
j
(cf.
notations du a)), on a P
′
=Q
j
+ (X−x
j
)Q
′
j
,en particulier P
′
(x
j
) = Q(x
j
),donc P
j
(x
j
) =
Q
j
(x
j
)
P
′
(x
j
)
= 1.On a donc P
j
(x
k
) = δ
j,k
pour 1j, k n. Ensuite, si on pose L
F
=
n
j=1
F(x
j
)P
j
,
on a L
F
(x
k
) = 
n
j=1
F(x
j
)δ
j,k
=F(x
k
)pour tout k∈[[1, n]].
c) 
n
j=1
P
j
= 1 : En effet, le polynôme 
n
j=1
P
j
−1s’annule en chacun des points x
k
,1kn
et est de degré au plus n−1,donc il est nul. On peut aussi le montrer en décomposant
1
P(X)
en
éléments simples : il existe des scalaires λ
1
, . . . , λ
n
tels que :
1
P(X)=
n
j=1
λ
j
X−x
j
et le coefficient λ
j
est égal à
1
P
′
(x
j
)
(si la fraction s’écrit
A
B
,avec λracine simple de Bnon racine
de A, le coefficient devant
1
X−λ
vaut 
A
B
′
(λ)), ici A= 1, B =Pet λ=x
j
).
d) Une base : Si λ
1
, . . . , λ
n
sont des complexes tels que 
n
j=1
λ
j
P
j
= 0,on a
0 = 
n
j=1
λ
j
P
j
(x
k
) =
n
j=1
λ
j
δ
j,k
=λ
k
donc (P
1
, . . . , P
n
)est libre. Comme c’est un système de nvecteurs de E
n−1
qui est un espace de
dimension n, c’est donc une base de E
n−1
.
◮Remarque : On montre aisément par la même méthode que :
∀P∈ E
n−1
, P =
n
j=1
P(x
j
)P
j
.
Les polynômes P
j
ne sont autres que les polynômes L
j
utilisées dans l’interpolation de La-
grange.
2. Matrices Vet B:Si 1i, j n, on a :
(V B)
i,j
=
n
k=1
V
i,k
B
k,j
=
n
k=1
(x
i
)
k−1
b
k−1,j
=
n
k=1
(x
i
)
k−1
b
k−1,j
=
n−1
p=0
b
p,j
(x
i
)
p
=P
j
(x
i
) = δ
i,j
donc V B =I
n
.A fortiori, Vest inversible et V
−1
=B.
◮Remarques : La seule relation V B =I
n
montre l’inversibilité des matrices et la relation B=
V
−1
.D’autre part, on peut aussi interpréter Bcomme la matrice de passage de (1, X, . . . , X
n−1
)à
1