Algèbre linéaire Matrices - Déterminants

Université Paris-Est Marne-la-Vallée
Préparation au CAPES
2009/2010
Algèbre linéaire
Matrices - Déterminants - Systèmes linéaires
1 Matrice d’une application linéaire - changement de base.
Exercice 1. Soit Eun espace vectoriel de dimension 3et B= (e1, e2, e3)une base de E. On
considère fl’endomorphisme de Edont la matrice dans la base Best
M=
1 0 2
1 1 2
1 2 1 
.
Donner sa matrice M0dans la base B0= (f1, f2, f3), où f1=e1+e2,f2=e1+e2+e3,
f3=e1−e2+e3.
Exercice 2. Soit φ:E→Eun endomorphisme de E,dim(E) = n. On suppose que φn= 0
et φn−16= 0 ; montrer qu’il existe une base Bde Edans laquelle φest représentée par la matrice
M=
0 1 · · · 0
.
.
........
.
.
.
.
.0 1
0· · · · · · 0
.
Application : Montrer que les matrices A=
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
0 0 0 1
et B=
1 2 3 4
0 1 2 3
0 0 1 2
0 0 0 1
sont
semblables.
Exercice 3. Les matrices 
145
622
823
et 
062
522
311
sont elles semblables ?
Exercice 4. Matrices de trace nulle Soit M∈ Mn(K)\ {0}telle que tr(M)=0.
1. Montrer qu’il existe X1∈ Mn,1(K)telle que X1et MX1ne soient pas colinéaires.
2. En déduire que Mest semblable à une matrice N= 0· · ·
.
.
.M1!,où M1∈ Mn−1(K)et
tr(M1)=0.
3. En déduire que Mest semblable à une matrice de diagonale nulle.
4. Montrer qu’une matrice Mest de trace nulle si et seulement si elle s’écrit M=UV −V U,
pour un certain couple U, V ∈ Mn(K).
2 Puissances de matrices
Exercice 5. Dans chacun des cas suivants, calculer Anpour tout n∈N:
A=
100
011
101
A=
1 (2)
...
(2) 1
A=
1 2 3 4
0 1 2 3
0 0 1 2
0 0 0 1
A=
x2xy xz
xy y2yz
xz yz z2
1

Exercice 6. Soit A∈ Mn(K); on suppose qu’il existe α, β ∈Ket U, V ∈ Mn(K)tels que
A=αU +βV
A2=α2U+β2V
A3=α3U+β3V
.Montrer que pour tout p≥1, Ap=αpU+βpV.
3 Matrices inversibles
Exercice 7. Déterminer les inverses des matrices suivantes :
A1=
1 1 0 0
......0
...1
(0) 1
A2=
(0) an
·
a1(0) 
A3=
1 + a1(1)
...
(1) 1 + an
Exercice 8. Quaternions Montrer que H=M=a b
−¯ b¯a;a, b ∈Cest un corps non
commutatif, appelé corps des quaternions.
Exercice 9. On note (Eij )la base canonique de Mn(K).
1. Montrer que Fij =I+Eij est inversible.
2. Déterminer les matrices Mtelles que MP =P M pour toute P∈GLn(K).
3. Soit Eun espace vectoriel de dimension finie ; que dire d’un endomorphisme ayant même
matrice dans toutes les bases de E?
Exercice 10. Soit Kun corps de caractéristique nulle ; montrer que Vect(Gln(K)) = Mn(K).
Exercice 11. Soit M∈ Mn(R)une matrice antisymétrique ; montrer que I+Mest inversible.
Exercice 12. Soit A∈ Mn+1(Q)telle que aij =Ci−1
j−1.Interpréter Acomme la matrice d’un
endomorphisme simple de Qn[X].En déduire A−1.
Exercice 13. Soient A, B, C, D ∈ Mn(K)avec Ainversible. On pose M=A B
C D .
1. Effectuer une décomposition LU par blocs de la matrice M. (voir exercice 29)
2. En déduire que det(M) = det(A) det(D−CA−1B).Que peut on dire quand Aet Ccom-
mutent ?
3. On suppose que M, A, B, C et Dsont inversibles ; en s’inspirant de la question 1, déterminer
M−1.
4 Déterminants
Exercice 14. Soit A∈ Mn(R); montrer que |det(A)| ≤
n
Y
i=1
n
X
j=1
|aij |.
Exercice 15. Soient A, B ∈ Mn(R)telles que AB =BA ; montrer que det(A2+B2)≥0.
Exercice 16. Soit A∈ Mn(K); calculer le déterminant de l’application linéaire φ:Mn(K)→
Mn(K) : X7→ AX.
Exercice 17. Soit A∈ Mn(K); donner le rang de la comatrice de Aen fonction de celui de
A.
2

Exercice 18. Calculer les déterminants suivants :
(1) 
a+b ab (0)
1......
......ab
(0) 1 a+b
(2) 
1 (1)
1−x
...
(1) n−x
(3) 
C0
nC1 n· · · Cp
n
C0
n+1 C1 n+1 · · · Cp
n+1
.
.
..
.
..
.
.
C0
n+pC1 n+p· · · Cp
n+p
(4)
a1+b1b1· · · · · · b1
b2a2+b2b2· · · b2
.
.
.....
.
.
bn−1...bn−1
bn· · · · · · an+bn
Exercice 19. Déterminant de Vandermonde Pour tout a1, a2, . . . , an∈K,calculer le dé-
terminant
V(a1, . . . , an) = 
1a1a2
1· · · an−1
1
1a2a2
2· · · an−1
2
.
.
..
.
.
1ana2
n· · · an−1 n
.
Exercice 20. Déterminant de Cauchy Soit (ai)i≤n,(bi)i≤ntelles que ai+bi6= 0 pour tout
i. On veut calculer le déterminant de Cauchy ∆n:
∆n=
1
a1+b1
1
a1+b2· · · 1 a1+bn
1
a2+b1
1
a2+b2· · · 1 a2+bn
.
.
..
.
.· · · .
.
.
1
an+b1
1
an+b2· · · 1 an+bn
.
1. Que vaut ∆nsi les aine sont deux à deux distincts ?
2. Déterminer λ1, . . . , λntels que F(x) = (b1−X)···(bn−1−X)
(X+a1)···(X+an)=λ1
X+a1+· · · +λn X+an.
3. Montrer que ∆n=F(bn)
λn∆n−1, puis donner une expression de ∆nen fonction des ai, bj.
Exercice 21. Résultant de deux polynômes Soient P=ao+a1X+. . . +apXpet Q=
bo+b1X+. . . +bqXqavec ap6= 0 et bq6= 0.Le résultant des polynômes P, Q noté Res(P, Q)est
le déterminant suivant :
Res(P, Q) =
apbq
ap−1....
.
....
.
.
........
.
....bq
ao
......apb1....
.
.
......ap−1bo ....
.
.
....
.
.b1
aobo
.
(Les qpremières colonnes de la matrice sont formées des coefficients de Pet les pdernières des
coefficients de Q.) Montrer que Res(P, Q)6= 0 si et seulement si les polynômes Pet Qsont
premiers entre eux.
3

5 Systèmes linéaires - Rang - Méthode du pivot
Exercice 22. Résoudre les systèmes suivants :
(1) 
x−2y+ 3z= 6
3x+y−5z=−3
−8x+ 3y+ 6z=−5
(2) 
2x−3y+z= 0
x+ 2y+ 4z= 0
5x−4y+ 6z= 0
(3) 
2x+y−z=a
x+my +z=b
3x+y−mz =c
avec a, b, c, m ∈R.
Exercice 23. Déterminer le rang des matrices suivantes :
(1) 
1 2 −4−2−1
0−2 4 2 0
1 1 −2−1 1 
(2) 
1 7 2 5
−2 1 1 5
−1 2 1 4
1 4 1 2
Exercice 24. Soit M=A O
B C avec A∈ Mp(K), B ∈ Mq,p(K)et C∈ Mq(K). Montrer
que rg(M)≥rg(A) + rg(C),et qu’il y a égalité si l’une des matrices Aou Cest inversible.
Exercice 25. Soit a≤b∈[−1,1] et α, β ≥0.Pour toute f: [−1,1] →R, on pose
I(f) = αf(a) + βf(b).On définit
d= max n∈N:I(P) = Z1
0
P(t)dt, ∀P∈Rn[X].
Déterminer a, b, α, β de sorte que dsoit le plus élevé possible.
Exercice 26. Soit A∈ Mn(C)telle que |aii|>Pj6=i|aij |, pour tout i∈ {1, . . . , n}. Montrer
en utilisant la méthode du pivot que Aest inversible.
Exercice 27. Décomposition LU Soit M∈GLn(K); on dit que Madmet une décomposi-
tion LU si Ms’écrit M=LU, avec Ltriangulaire inférieure avec des 1sur la diagonale et U
triangulaire supérieure.
1. Montrer que si M∈GLn(K)admet une décomposition LU , alors celle-ci est unique.
2. Pour tout k≤n, on note M(k)la matrice M(k)= [mij ]i≤k,j≤ket de même pour U(k),L(k).
Montrer que si M=LU, alors M(k)=L(k)U(k), pour tout k≤n. En déduire que si M
admet une décomposition LU, alors M(k)∈GLk(K),pour tout k≤n.
3. Réciproquement, établir que si M(k)∈GLk(K)pour tout k≤n, alors Madmet une
décomposition LU. Indication : Appliquer l’algorithme du pivot de Gauss sur les lignes de
la matrice M.
4. Donner la décomposition LU de la matrice : M=
2 3 2 1
4 5 3 5
−2−6−1 6
8 10 2 17
.
4