Algèbre linéaire Matrices - Déterminants

Université Paris-Est Marne-la-Vallée
Préparation au CAPES
2009/2010
Algèbre linéaire
Matrices - Déterminants - Systèmes linéaires
1
Matrice d’une application linéaire - changement de base.
Exercice 1. Soit E un espace vectoriel de dimension 3 et B = (e1 , e2 , e3 ) une base de E. On
considère f l’endomorphisme de E dont la matrice dans la base B est


1 0 2
M =  1 1 2 .
1 2 1
Donner sa matrice M 0 dans la base B 0 = (f1 , f2 , f3 ), où f1 = e1 + e2 , f2 = e1 + e2 + e3 ,
f3 = e1 − e2 + e3 .
Exercice 2.
Soit φ : E → E un endomorphisme de E, dim(E) = n. On suppose que φn = 0
n−1
et φ
6= 0 ; montrer qu’il existe une base B de E dans laquelle φ est représentée par la matrice


0 1 ··· 0
 .. . .
.. 
..
 .
.
.
. 
.
M =
 ..

 .
0 1 
0 ··· ··· 0




1 1 0 0
1 2 3 4
 0 1 1 0 


 et B =  0 1 2 3  sont
Application : Montrer que les matrices A = 
 0 0 1 1 
 0 0 1 2 
0 0 0 1
0 0 0 1
semblables.

 

0 6 2
1 4 5
Exercice 3. Les matrices  6 2 2  et  5 2 2  sont elles semblables ?
3 1 1
8 2 3
Exercice 4. Matrices de trace nulle Soit M ∈ Mn (K) \ {0} telle que tr(M ) = 0.
1. Montrer qu’il existe X1 ∈ Mn,1 (K) telle que X1 et M X1 ne soient pas colinéaires.
!
0 ···
2. En déduire que M est semblable à une matrice N =
, où M1 ∈ Mn−1 (K) et
..
. M
1
tr(M1 ) = 0.
3. En déduire que M est semblable à une matrice de diagonale nulle.
4. Montrer qu’une matrice M est de trace nulle si et seulement si elle s’écrit M = U V − V U ,
pour un certain couple U, V ∈ Mn (K).
2
Puissances de matrices
Exercice

1
A= 0
1
Dans chacun des cas suivants, calculer An pour tout n ∈ N :





 2

1 2 3 4
1
(2)
0 0
x xy xz


0
1
2
3


..

 xy y 2 yz 
1 1  A=
 A=
.
 0 0 1 2  A=
0 1
xz yz z 2
(2)
1
0 0 0 1
5.
1
Exercice
6.
Soit A ∈ Mn (K) ; on suppose qu’il existe α, β ∈ K et U, V ∈ Mn (K) tels que

 A = αU + βV
A2 = α2 U + β 2 V . Montrer que pour tout p ≥ 1, Ap = αp U + β p V.
 3
A = α3 U + β 3 V
3
Matrices inversibles
Exercice 7.
Déterminer les inverses des matrices suivantes :

1
1
..
.


A1 = 


(0)

0 0

..
. 0 


..
. 1 
1

(0)
an
·
A2 = 
a1



A3 = 
(0)
Exercice 8. Quaternions

Montrer que H =
(1)
..
a b
−b̄ ā



.
(1)
M=
1 + a1
1 + an
; a, b ∈ C est un corps non
commutatif, appelé corps des quaternions.
Exercice 9.
On note (Eij ) la base canonique de Mn (K).
1. Montrer que Fij = I + Eij est inversible.
2. Déterminer les matrices M telles que M P = P M pour toute P ∈ GLn (K).
3. Soit E un espace vectoriel de dimension finie ; que dire d’un endomorphisme ayant même
matrice dans toutes les bases de E ?
Exercice 10.
Soit K un corps de caractéristique nulle ; montrer que Vect(Gln (K)) = Mn (K).
Exercice 11.
Soit M ∈ Mn (R) une matrice antisymétrique ; montrer que I + M est inversible.
i−1
Exercice 12.
Soit A ∈ Mn+1 (Q) telle que aij = Cj−1
. Interpréter A comme la matrice d’un
−1
endomorphisme simple de Qn [X]. En déduire A .
A B
Exercice 13. Soient A, B, C, D ∈ Mn (K) avec A inversible. On pose M =
.
C D
1. Effectuer une décomposition LU par blocs de la matrice M . (voir exercice 29)
2. En déduire que det(M ) = det(A) det(D − CA−1 B). Que peut on dire quand A et C commutent ?
3. On suppose que M, A, B, C et D sont inversibles ; en s’inspirant de la question 1, déterminer
M −1 .
4
Déterminants
Exercice 14.
Soit A ∈ Mn (R) ; montrer que | det(A)| ≤
n X
n
Y
|aij |.
i=1 j=1
Exercice 15.
Soient A, B ∈ Mn (R) telles que AB = BA ; montrer que det(A2 + B 2 ) ≥ 0.
Exercice 16. Soit A ∈ Mn (K) ; calculer le déterminant de l’application linéaire φ : Mn (K) →
Mn (K) : X 7→ AX.
Exercice 17.
A.
Soit A ∈ Mn (K) ; donner le rang de la comatrice de A en fonction de celui de
2
Exercice 18. Calculer les déterminants suivants :
a + b ab
(0)
1
Cn0
Cn1 · · ·
(1) .. ..
1
C0
1−x
1
.
.
n+1 Cn+1 · · ·
(2) (1) (3)
.
..
..
.. ..
..
.
.
.
.
ab
0
1
Cn+p Cn+p · · ·
(1)
n−x
(0)
1 a+b a1 + b1
b1
··· ···
b1
b2
a2 + b2 b2 · · ·
b2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
(4) ..
bn−1
.
bn−1 bn
···
···
an + bn Cnp
p
Cn+1
..
.
p
Cn+p
Exercice 19. Déterminant de Vandermonde Pour tout a1 , a2 , . . . , an ∈ K, calculer le déterminant
1 a1 a21 · · · an−1 1
1 a2 a2 · · · an−1 2
2
V (a1 , . . . , an ) = .
.. .
..
. 1 an a2 · · · an−1 n
n
Exercice 20. Déterminant de Cauchy Soit (ai )i≤n , (bi )i≤n
i. On veut calculer le déterminant de Cauchy ∆n :
1
1
1
a1 +b1 a1 +b2 · · · a1 +bn
1
1
1
· · · a2 +b
a2 +b2
n
1
∆n = a2 +b
..
..
..
.
.
···
.
1
1
1
a +b
·
·
·
an +b2
an +bn
n
1
telles que ai + bi 6= 0 pour tout
.
1. Que vaut ∆n si les ai ne sont deux à deux distincts ?
2. Déterminer λ1 , . . . , λn tels que F (x) =
3. Montrer que ∆n =
F (bn )
λn ∆n−1 ,
Exercice 21. Résultant de deux
bo + b1 X + . . . + bq X q avec ap 6= 0 et
le déterminant suivant :
Res(P, Q) = (b1 −X)···(bn−1 −X)
(X+a1 )···(X+an )
=
λ1
X+a1
+ ··· +
λn
X+an .
puis donner une expression de ∆n en fonction des ai , bj .
polynômes Soient P = ao + a1 X + . . . + ap X p et Q =
bq 6= 0. Le résultant des polynômes P, Q noté Res(P, Q) est
ap
..
ap−1
..
.
..
ao
..
..
bq
..
.
..
.
.
.
..
.
..
.
..
.
.
ap
b1
. ap−1 bo
..
..
.
.
ao
..
.
..
. bq
.
. ..
.
..
. ..
..
b1
bo
.
(Les q premières colonnes de la matrice sont formées des coefficients de P et les p dernières des
coefficients de Q.) Montrer que Res(P, Q) 6= 0 si et seulement si les polynômes P et Q sont
premiers entre eux.
3
5
Systèmes linéaires - Rang - Méthode du pivot
Exercice 22.
Résoudre les systèmes suivants :

= 6
 x − 2y + 3z
3x + y − 5z
= −3
(1)

−8x + 3y + 6z = −5

 2x + y − z = a
x + my + z = b
(3)

3x + y − mz = c
Exercice 23.

 2x − 3y + z = 0
x + 2y + 4z = 0
(2)

5x − 4y + 6z = 0
avec a, b, c, m ∈ R.
Déterminer le rang des matrices suivantes :



1
1 2 −4 −2 −1
 −2
2
0  (2) 
(1)  0 −2 4
 −1
1 1 −2 −1 1
1
7
1
2
4
2
1
1
1

5
5 

4 
2
A O
Exercice 24. Soit M =
avec A ∈ Mp (K), B ∈ Mq,p (K) et C ∈ Mq (K). Montrer
B C
que rg(M ) ≥ rg(A) + rg(C), et qu’il y a égalité si l’une des matrices A ou C est inversible.
Exercice 25.
Soit a ≤ b ∈ [−1, 1] et α, β ≥ 0. Pour toute f : [−1, 1] → R, on pose
I(f ) = αf (a) + βf (b). On définit
Z 1
d = max n ∈ N : I(P ) =
P (t) dt, ∀P ∈ Rn [X] .
0
Déterminer a, b, α, β de sorte que d soit le plus élevé possible.
P
Exercice 26.
Soit A ∈ Mn (C) telle que |aii | > j6=i |aij |, pour tout i ∈ {1, . . . , n}. Montrer
en utilisant la méthode du pivot que A est inversible.
Exercice 27. Décomposition LU Soit M ∈ GLn (K) ; on dit que M admet une décomposition LU si M s’écrit M = LU , avec L triangulaire inférieure avec des 1 sur la diagonale et U
triangulaire supérieure.
1. Montrer que si M ∈ GLn (K) admet une décomposition LU , alors celle-ci est unique.
2. Pour tout k ≤ n, on note M (k) la matrice M (k) = [mij ]i≤k,j≤k et de même pour U (k) , L(k) .
Montrer que si M = LU , alors M (k) = L(k) U (k) , pour tout k ≤ n. En déduire que si M
admet une décomposition LU , alors M (k) ∈ GLk (K), pour tout k ≤ n.
3. Réciproquement, établir que si M (k) ∈ GLk (K) pour tout k ≤ n, alors M admet une
décomposition LU . Indication : Appliquer l’algorithme du pivot de Gauss sur les lignes de
la matrice M .


2
3
2
1
 4
5
3
5 

4. Donner la décomposition LU de la matrice : M = 
 −2 −6 −1 6 .
8 10 2 17
4