THEME N°1 2EME PARTIE Exercices supplémentaires G.Lauton NOMBRES ENTIERS NATURELS ET RELATIFS UPVM Sciences DAEU-B MATHS ; D-M Bissengue ; N.Gonzalez 2009/2010 Exercice 1 (*) Une célèbre formule de physique, due à Einstein, est E = mc2. Cette formule signifie qu’une quantité de matière m, exprimée en kg, est théoriquement convertible en énergie E, exprimée en joules, le coefficient de proportionnalité étant c2 où c est la vitesse de la lumière égale à 3×108m.s-1. Un autre résultat de physique énonce que l’énergie E’, nécessaire pour accélérer une masse M, exprimée en kg, depuis le repos jusqu’à une vitesse V, exprimée en m.s-1, est E’ = Error! MV2 a) On convertit un gramme de matière en énergie. Calculer l’énergie correspondant à cette conversion. b) On veut accélérer une masse d’une tonne avec l’énergie calculée à la question a). Quelle vitesse sera atteinte ? Exercice 2 (***) Construire un carré ADEF de côté l avec l = 5cm. Placer le milieu G de [DE]. Tracer un arc de centre G passant par F qui coupe la demi-droite [DE) en un point C. Terminer la construction pour que ABCD soit un rectangle. On appelle L sa longueur. Etablir que Error! est égal au nombre d’or. Indication : Le nombre Error! est appelé le « nombre d’or » Exercice 3 (**) SABC est une pyramide régulière dont toutes les faces sont des triangles équilatéraux de côté 6 cm. H est le milieu du côté [BC] et [SO] est la hauteur de la pyramide. a) Construire un patron de cette pyramide en faisant apparaitre H et O. b) Calculer AH, et l’exprimer sous la forme a 3 c) Quelle est la nature du triangle SAH ? d) Montrer que SO = 2 6cm (on précise que dans une pyramide régulière, le pied de la hauteur de la pyramide est le centre de gravité du triangle de base). Exercice 4 (***) On va montrer que 2 n’est pas rationnel, c’est-à-dire qu’il ne peut pas s’écrire sous la forme d’une fraction. On va raisonner par l’absurde, et donc supposer que A) Question préliminaire 1) 2 peut s’écrire sous la forme d’une fraction. Si un nombre n est pair, son carré est-il pair ou impair ? 2) Même question si n est impair. 3) Si n2 est pair, que peut-on dire de n ? Justifier à l’aide de l’une des questions précédentes. B) Supposons qu’il existe deux nombres entiers p et q tels que 2 = Error! avec Error!irréductible, autrement dit p et q premiers entre eux. 1) Démontrer dans ces conditions que p2 = 2q2 et en déduire que p est pair. Expliquer pourquoi q est alors impair. 2) Puisque p est pair, notons k le nombre entier tel que p = 2k. Démontrer que 2k2 = q2 et en déduire que q est pair. 3) En déduire que 2 est irrationnel.