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UPVM Sciences THEME N°1 2EME PARTIE Exercices supplémentaires G.Lauton ; D-M Bissengue ; N.Gonzalez
DAEU-B MATHS NOMBRES ENTIERS NATURELS ET RELATIFS 2009/2010
Exercice 1 (*)
Une célèbre formule de physique, due à Einstein, est
E = mc2. Cette formule signifie qu’une quantité de matière m, exprimée en kg, est théoriquement convertible en énergie E, exprimée en
joules, le coefficient de proportionnalité étant c2 où c est la vitesse de la lumière égale à 3×108m.s-1.
Un autre résultat de physique énonce que l’énergie E’, nécessaire pour accélérer une masse M, exprimée en kg, depuis le repos jusqu’à une
vitesse V, exprimée en m.s-1, est E’ =
Error!
MV2
a) On convertit un gramme de matière en énergie. Calculer l’énergie correspondant à cette conversion.
b) On veut accélérer une masse d’une tonne avec l’énergie calculée à la question a). Quelle vitesse sera atteinte ?
Exercice 2 (***)
Construire un carré ADEF de côté l avec l = 5cm.
Placer le milieu G de [DE]. Tracer un arc de centre G passant par F qui coupe la demi-droite [DE) en un point C. Terminer la construction
pour que ABCD soit un rectangle.
On appelle L sa longueur. Etablir que
Error!
est égal au nombre d’or.
Indication : Le nombre
Error!
est appelé le « nombre d’or »
Exercice 3 (**)
SABC est une pyramide régulière dont toutes les faces sont des triangles équilatéraux de côté 6 cm. H est le milieu du côté [BC] et [SO]
est la hauteur de la pyramide.
a) Construire un patron de cette pyramide en faisant apparaitre H et O.
b) Calculer AH, et l’exprimer sous la forme a 3
c) Quelle est la nature du triangle SAH ?
d) Montrer que SO = 2 6cm (on précise que dans une pyramide régulière, le pied de la hauteur de la pyramide est le
centre de gravité du triangle de base).
Exercice 4 (***)
On va montrer que 2 n’est pas rationnel, c’est-à-dire qu’il ne peut pas s’écrire sous la forme d’une fraction.
On va raisonner par l’absurde, et donc supposer que 2 peut s’écrire sous la forme d’une fraction.
A) Question préliminaire
1) Si un nombre n est pair, son carré est-il pair ou impair ?
2) Même question si n est impair.
3) Si n2 est pair, que peut-on dire de n ? Justifier à l’aide de l’une des questions précédentes.
B) Supposons qu’il existe deux nombres entiers p et q tels que 2 =
Error!
avec
Error!
irréductible, autrement dit p
et q premiers entre eux.
1) Démontrer dans ces conditions que p2 = 2q2 et en déduire que p est pair. Expliquer pourquoi q est alors impair.
2) Puisque p est pair, notons k le nombre entier tel que
p = 2k. Démontrer que 2k2 = q2 et en déduire que q est pair.
3) En déduire que 2 est irrationnel.