Méthodes de simulation de variables aléatoires 1 Loi

Universit´e Paris Dauphine Ann´ee 2007-2008
U.F.R. Math´ematiques de la D´ecision / MD3
Mat-6-3 — NOISE
M´ethodes de simulation de variables al´eatoires
1 Loi des grands nombres
Nous consid´erons une variable al´eatoire Xsuivant une loi de Cauchy C(0,1) de densit´e
f(x) = 1
π
1
1 + x2
sur R.
1Montrer que l’on peut simuler des r´ealisations de X`a l’aide de l’algorithme de Box-
M¨uller de simulation de lois normales grˆace `a la propri`et´e suivante :
si X1, X2∼N(0,1) ,alors X1/X2∼C(0,1) .
2´ Etudier l’´evolution de la moyenne empirique
Xn=1
n
n
X
i=1
XiXiiid ∼C(0,1)
quand n≥1 croit. Montrer que la loi C(0,1) n’a pas de moyenne.
3Construire une exp´erience de Monte Carlo pour montrer empiriquement que Xna
aussi une loi de Cauchy C(0,1), quel que soit n≥1.
2 Slice sampler
Nous consid´erons une variable al´eatoire Xsuivant une loi exponentielle de param`etre
λ= 1. Cr´eer une fonction R permettant de simuler des r´ealisations de X`a l’aide de
l’algorithme Slice Sampler.
3 L’algorithme de Hastings-Metropolis
1Nous consid´erons une variable al´eatoire gaussienne Xcentr´ee r´eduite. Cr´eer une fonc-
tion R permettant de simuler des r´ealisations de X`a l’aide de l’algorithme de Hasting-
Metropolis `a marche al´eatoire.

2Nous consid´erons une variable al´eatoire Xsuivant une loi inverse-gaussienne de pa-
ram`etre θ1=3
2et θ2= 2. La densit´e de Xest donn´ee `a une constante multiplicative pr`es
par :
x−3/2exp −3
2x−2 x1x>0.
Cr´eer une fonction R permettant de simuler des r´ealisations de X. Nous propo-
sons d’utiliser l’algorithme de Hasting-Metropolis avec comme propositions successives
ind´ependantes une loi gamma de param`etre α=r4
3et β= 1 ou une loi gamma de
param`etre α=1
2r4 3et β=1 2.
4 Simulation de vecteurs al´eatoires gaussiens
Nous consid´erons un vecteur al´eatoire gaussien Y= (Y1, Y2) `a valeurs dans R2d’esp´erance
(1,3) et de matrice de variance-covariance 3 1
1 1 .
1Cr´eer une fonction R permettant de simuler nr´ealisations ind´ependantes de Y.
2V´erifier empiriquement que, lorsque nous simulons Y, les r´ealisations marginales de
Y1et Y2suivent bien des lois normales dont on pr´ecisera les esp´erances et les variances.
5 Simulation de lois normales tronqu´ees
Nous consid´erons une variable al´eatoire gaussienne Xcentr´ee r´eduite contrainte au sup-
port [a, b] avec 0 < a < b.
1Donner la densit´e de cette variable al´eatoire en pr´ecisant la constante de normalisation
et tracer en R la probabilit´e P(Y∈[a, b]) lorsque Y∼N(0,1) et (a, b) varie.
2Discuter de la pertinence de l’algorithme qui consiste `a simuler Y∼N(0,1) jusqu’`a
ce que Y∈[a, b].
3Proposer une m´ethode d’acceptation-rejet fond´ee sur une loi exponentielle E(λ) trans-
lat´ee de a. Optimiser en λet ´ecrire une fonction R idoine.