Méthodes de simulation de variables aléatoires 1 Loi

Université Paris Dauphine
U.F.R. Mathématiques de la Décision / MD3
Mat-6-3 — NOISE
Année 2007-2008
Méthodes de simulation de variables aléatoires
1
Loi des grands nombres
Nous considérons une variable aléatoire X suivant une loi de Cauchy C (0, 1) de densité
f (x) =
1
1
π 1 + x2
sur R.
1 Montrer que l’on peut simuler des réalisations de X à l’aide de l’algorithme de BoxMüller de simulation de lois normales grâce à la proprièté suivante :
si X1 , X2 ∼ N (0, 1) , alors X1 /X2 ∼ C (0, 1) .
2 Étudier l’évolution de la moyenne empirique
Xn =
n
1 X
Xi
n
iid
Xi ∼ C (0, 1)
i=1
quand n ≥ 1 croit. Montrer que la loi C (0, 1) n’a pas de moyenne.
3 Construire une expérience de Monte Carlo pour montrer empiriquement que X n a
aussi une loi de Cauchy C (0, 1), quel que soit n ≥ 1.
2
Slice sampler
Nous considérons une variable aléatoire X suivant une loi exponentielle de paramètre
λ = 1. Créer une fonction R permettant de simuler des réalisations de X à l’aide de
l’algorithme Slice Sampler.
3
L’algorithme de Hastings-Metropolis
1 Nous considérons une variable aléatoire gaussienne X centrée réduite. Créer une fonction R permettant de simuler des réalisations de X à l’aide de l’algorithme de HastingMetropolis à marche aléatoire.
2 Nous considérons une variable aléatoire X suivant une loi inverse-gaussienne de pa3
ramètre θ1 = et θ2 = 2. La densité de X est donnée à une constante multiplicative près
2
par :
3
2
−3/2
x
exp − x −
1x>0 .
2
x
Créer une fonction R permettant de simuler des réalisations de X. Nous proposons d’utiliser l’algorithme de Hasting-Metropolis r
avec comme propositions successives
4
et β = 1 ou une loi gamma de
indépendantes une loi gamma de paramètre α =
3
r
1 4
1
paramètre α =
et β = .
2 3
2
4
Simulation de vecteurs aléatoires gaussiens
2
Nous considérons un vecteur aléatoire gaussien
Y =(Y1 , Y2 ) à valeurs dans R d’espérance
3 1
(1, 3) et de matrice de variance-covariance
.
1 1
1 Créer une fonction R permettant de simuler n réalisations indépendantes de Y .
2 Vérifier empiriquement que, lorsque nous simulons Y , les réalisations marginales de
Y1 et Y2 suivent bien des lois normales dont on précisera les espérances et les variances.
5
Simulation de lois normales tronquées
Nous considérons une variable aléatoire gaussienne X centrée réduite contrainte au support [a, b] avec 0 < a < b.
1 Donner la densité de cette variable aléatoire en précisant la constante de normalisation
et tracer en R la probabilité P (Y ∈ [a, b]) lorsque Y ∼ N (0, 1) et (a, b) varie.
2 Discuter de la pertinence de l’algorithme qui consiste à simuler Y ∼ N (0, 1) jusqu’à
ce que Y ∈ [a, b].
3 Proposer une méthode d’acceptation-rejet fondée sur une loi exponentielle E (λ) translatée de a. Optimiser en λ et écrire une fonction R idoine.