Exemples de recherche de primitives par des méthodes variées.

DOSSIER N◦ 78
Question :
Présenter un choix d'exercices sur le thème suivant :
Exemples de recherche de primitives par des méthodes variées.
Consignes de l'épreuve :
Pendant votre préparation (deux heures), vous devez rédiger sur les ches
mises à votre disposition, un résumé des commentaires que vous développerez
dans votre exposé et les énoncés de vos exercices. La qualité de ces ches interviendra dans l'appréciation de votre épreuve. Le terme exercice est à prendre au sens large ; il peut s'agir d'applications directes du cours, d'exemples ou
contre-exemples venant éclairer une méthode, de situations plus globales ou plus
complexes utilisant éventuellement des notions prises dans d'autres disciplines.
Vous expliquerez dans votre exposé (25 minutes maximum) la façon dont vous
avez compris le sujet et les objectifs recherchés dans les exercices présentés : acquisition de connaissances, de méthodes, de techniques, évaluation. Vous analyserez
la pertinence des diérents outils mis en jeu.
Cet exposé est suivi d'un entretien (20 minutes minimum).
Annexes :
Vous trouverez page suivante, en annexe, quelques références aux programmes
ainsi qu'une documentation conseillée.
Ces indications ne sont ni exhaustives, ni impératives ; en particulier, les références
au programme ne constituent pas le plan de l'exposé.
1
2
ANNEXE DU DOSSIER N◦ 78
Références aux programmes :
Extraits de programmes de Terminales S :
Intégration
Pour une fonction
f
positive sur
[a, b], introduction de la notation
Z b
f (x)dx comme aire sous la
a
On indiquera que l'aire sous
la
courbe
peut
être
(...)
ap-
prochée en l'encadrant par
deux
suites
adjacentes
en
quadrillant le plan de plus
courbe. (...)
en plus nement. (...)
Intégration et dérivation.
On démontera que
Notion de primitive.
une primitive de
f est continue
intervalle I , laZ fonction
Théorème :
sur un
F
si
x
f (t)dt
F (x) =
telle que
a
est l'unique primitive de f sur
s'annulant en
cas
où
f
est
f
F
est
dans le
continue
et
L'intégration permet
d'établir l'existence des
primitives des fonctions
croissante, et on admettra le
continues et d'en donner
cas général.
des méthodes numériques
de calcul ; inversement, la
I
connaissance d'une
a.
primitive d'une fonction
continue donne une formule
Z
Calcul
de
b
f (x)dx
a
d'une primitive de
à
l'aide
f.
Tableau primitives-dérivées
des fonctions usuelles (fonc√
n
tions x 7→ x , x 7→
x,
x 7→ ln x, x 7→ ex , sinus,
explicite pour le calcul des
intégrales : les élèves
devront percevoir l'intérêt
de cette double démarche.
cosinus).
Application de la dérivation
des fonctions composées à
u0 0 u
la primitivation de
, ue ,
u 0 un .
u
Intégration par parties.
On se limitera à des cas simples où l'élève aura à trouver lui-même le recours à la
technique d'intégration par
parties.
Documentation conseillée :
Manuels de terminales S. Annales de baccalauréats.
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Il ne s'agit en aucun cas d'une correction,
mais seulement de mon point de vue sur le sujet.
Le calcul intégral est, d'une certaine façon, l'aboutissement de l'enseignement
de l'analyse dans le secondaire.
Il fournit un outil puissant pour calculer des
grandeurs jusqu'alors inaccessibles et rares sont les sujets de Baccalauréat qui ne
comportent pas d'intégrale. Il est introduit en s'appuyant sur l'aire sous la courbe
représentative d'une fonction continue positive.
Le lien avec les primitives est
établi par la suite.
On insistera sur le fait qu'il n'est pas toujours possible de donner une formule
explicite pour une intégrale. Néanmoins, la recherche d'une primitive reste un outil
important pour calculer explicitement des intégrales.
Cette activité d'inversion
de la dérivation est dicile : elle est multivoque, l'inconnue est une fonction, les
fonctions engendrées par les fonctions usuelles ne sont pas stables par primitivation
(contrairement à la dérivation). Pour la mener à bien, il est donc raisonnable de
dégager des méthodes qui pourront nous guider dans nos recherches.
Je les ai
organisées en deux familles : les méthodes générales et les méthodes particulières.
I. Méthode(s) générale(s).
Par dénition, la recherche de primitive sur un intervalle est l'opération inverse
de la dérivation :
Dénition :
Soit I un intervalle et
f sur I est une
(∀x ∈ I), F 0 (x) = f (x).
Une primitive de
que :
f
une fonction dénie sur I.
fonction
F
dérivable sur I et telle
De ce fait, tous les résultats sur les calculs de dérivés ont leur pendant pour la
recherche de primitives.
La correspondance entre fonction constante et dérivé
nulle nous donne, par exemple, le fait que deux primitives d'une fonction sur un
intervalle dièrent d'une constante.
De fait, toutes les techniques de calcul de
dérivées se transposent pour la recherche de primitives. Ce sont ces méthodes que
je veux mentionner ici :
1-) Lecture inverse des tableaux de dérivation des fonctions usuelles.
2-) Formule d'intégration par parties ou dérivée d'un produit de deux fonctions.
3-) Reconnaissance de forme, lecture inverse de tableaux (changement de variable
élémentaire).
4-) Changement de variable ou dérivée d'une composée de deux fonctions.
Seules les méthodes 1-) et 3-) sont exigibles des élèves, avec l'intégration par parties
dans des cas simples. Il est néanmoins possible, en le guidant, de mener à bien un
changement de variable.
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II. Méthodes particulières.
Ces méthodes sont spéciques à plusieurs familles de fonctions, comme les fractions rationnelles ou les polynômes en fonctions trigonométriques. Chaque famille
a sa méthode adaptée qui permet à coup sur de trouver une primitive de toute
fonction qui lui appartient. J'ai proposé dans mes exercices des illustrations de
deux méthodes accessibles aux élèves de Terminale :
1-) la linéarisation pour rechercher une primitive d'un monôme en
sin
et
cos,
2-) la décomposition en éléments simples des fractions rationnelles.
On pourait continuer la liste avec les fonctions qui sont produit d'un polynôme et
d'une exponentielle ou une fonction trigonométrique. Mais, plus qu'être exhaustif,
j'ai voulu donner un aperçu représentatif de ce qui peut être fait au lycée sur le
sujet.
Le cas des fractions rationnelles est de plus important pour la suite du
cursus mathématiques des élèves.
Aucune de ces méthodes particulières n'est
exigible d'un élève de Terminale.
Pour nir, j'ai choisi mes exercices pour illustrer, du mieux possible, les méthodes que j'ai mentionnées ci-dessus. Il est à noter que le découpage que j'ai utilisé,
général et particulier, est relativement arbitraire, puisque de nombreuses méthodes particulières consistent à faire un changement de variable particulier, ce qui
constitue, en soit, une méthode quasi-générale.
La pratique de méthodes permettra ainsi aux élèves d'aborder plus sereinement
ces recherches de primitives. Signalons toutefois deux écueils à éviter :
1-) la meilleure méthode est quelquefois l'astuce : un léger changement d'écriture
permet quelquefois de faire beaucoup d'économie ;
2-) il ne faut pas, à travers ces activités de recherches de primitives, laisser penser
que l'on sait calculer une primitive de toute fonction qui en possède.
Pour ce dernier point, on insistera sur le fait que certaines fonctions usuelles
ne possèdent pas de primitive exprimable à l'aide des fonctions usuelles, ce qui
nous amènera naturellement à la nécessité de faire des approximations de leurs
intégrales.
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EXERCICES :
Exercice 1 :
Reconnaissance d'une forme
◦
0
(exp u)u0 , uα u0 , uu ...
◦
Transmath TS n 69 page 228 ; Transmath TS 98 n 14, 18, 23 page 106 ; voir
aussi Terracher TS page 138.
Déterminer des primitives sur
R
des fonctions
f, g
et
h
dénies par :
f (x) = tan x + tan3 x, g(x) = p 4x − 2 , h(x) = (1 − x)(x2 − 2x + 2)−3 .
x2 − x + 1
Exercice 2 :
Intégration par parties.
◦
◦
Terracher TS n 53 page 139 ; Transmath 98 TS n 3 page 227.
A l'aide d'un intégration par parties, déterminer la primitive qui s'annule en
la fonction
ln
Exercice 3 :
sur
1
de
]0, +∞[.
Linéarisation.
◦
Transmath TS n 98 page 229.
R des fonctions f et g dénies
x
f (x) = cos4 sin2 x, g(x) = sin x cos 3x.
2
Déterminer des primitives sur
Exercice 4 :
sur
Décomposition en éléments simples.
◦
R
par :
◦
Transmath TS n 76 et 100 pages 228 et 230 ; Terracher TS n 82 page 141.
On se propose de déterminer une primitive de la fonction
f
dénie sur
]0, +∞[
par :
3
f (x) = x +2 x + 1 .
x(x + 1)
Déterminer quatre constantes rélles a, b, c et d telles que :
∀x ∈]0, +∞[, f (x) = a + xb + cx2 + d .
x +1
En déduire une primitive de f sur ]0, +∞[.
Exercice 5 :
Reconnaissance d'écriture ou changement de variable.
◦
◦
Transmath 98 TS, n 82 page 112 ; Terracher n 113 page 146.
R de la fonction f dénie par :
p
(x +p x2 + 1)2
f (x) =
x2 + 1
p
u(x) = x + x2 + 1. Calculer u0 et en déduire une primitive
On se propose de déterminer une primitive sur
Pour cela , on pose :
de
f.
6
Exercice 6 :
Changement de variable.
On considère les fonctions suivantes :
f : ] − 1, 1[ −→
t
7−→
R
1
3
(1 − t2 ) 2
G : ] − π/2, π/2[ −→
R
Z sin θ
θ
7−→
f (t)dt
0
] − π/2, π/2[.
2-) En déduire que pour tout réel x ∈] − π/2, π/2[,
G(x) = tan x
3-) En utilisant la bijectivité de sin sur ] − π/2, π/2[,
f qui s'annule en 0.
1-) Calculer la dérivée de
G
sur
déterminer la primitive
F
de