Tout-en-un

R. Mansuy
MATHS
MPSI
VUIBERT
Tout-en-un
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CONFORME
AU NOUVEAU
PROGRAMME
VUIBERT
SOMMAIRE :
1. Bases mathématiques – 2. Nombres complexes – 3. Manipulations algébriques – 4. Limites
et continuité – 5. Équations différentielles – 6. Suites numériques – 7. Limites de fonctions,
continuité – 8. Dérivabilité – 9. Études locales et asymptotiques – 10. Arithmétique des
entiers – 11. Structures algébriques – 12. Polynômes et fractions rationnelles – 13. Espaces
vectoriels – 14. Espaces vectoriels de dimension fi nie – 15. Matrices – 16. Échelonnement
et systèmes linéaires – 17. Déterminants – 18. Espaces euclidiens – 19. Calcul intégral
20. Séries numériques – 21. Dénombrement – 22. Probabilités sur un univers fi ni – 23. Variables
aléatoires
L’auteur :
Roger Mansuy est Professeur en classe préparatoire scientifi que au lycée Louis-le-Grand
à Paris
ISBN : 978-2-311-01297-2
, des ouvrages pour faire la différence :
– des cours complets pour acquérir les connaissances indispensables,
– des fi ches de synthèse pour réviser l’essentiel avant les kholles ou les épreuves,
– de nombreux exercices intégralement corrigés pour s’entraîner :
vrai/faux, exercices d’application et d’approfondissement
MATHS
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Sicogif Certified PDF LES PAOISTES

Avant-propos
Les choix de rédaction
Écrire un livre impose des choix sur le contenu, l’ordonnancement et la forme du cours et des
exercices. Cet ouvrage est avant tout rédigé afin d’être efficace. Voici quelques partis pris.
• Respecter l’ esprit du programme en particulier la progression lorsque celle-ci est annon-
cée. Il ne s’agit pas de se limiter strictement au contenu explicitement mentionné dans le
programme (ajouter une proposition qui permet de mieux comprendre un point exigible
est un choix assumé) mais de fournir un outil qui permet de comprendre en profondeur les
notions mises en œuvre.
• Ajouter une grande variété d’exemples : l’importance des exemples est sous-estimée ; ils
permettent de voir les propositions et théorèmes en actions.
• Illustrer les résultats avec des dessins explicites ou des schémas formateurs (il y en a plus
d’une centaine dans cet ouvrage). L’intuition se nourrit de ces représentations.
• Hiérarchiser et structurer les chapitres afin de faciliter l’assimilation et de mettre en évidence
les articulations logiques.
L’utilisation recommandée
Si ce livre est construit pour être un outil utile, sa seule possession ne suffit pas et l’étudiant doit
aussi apprendre à l’exploiter. Voici quelques pistes de travail.
• Lire le cours, exemples compris ; si besoin, refaire un calcul ou un schéma sur une feuille de
brouillon.
• Retenir les énoncés et l’importance de chaque hypothèse ; pour cela on peut utiliser les
questionnaires de type Vrai ou Faux (à la fin du chapitre en classe, avant une colle ou un
devoir).
• Faire une fiche de synthèse personnelle (celles proposées dans ce livre sont purement
indicatives) en faisant apparaître les points de cours importants, leurs articulations voire
des méthodes de calcul ou de résolution.
• Chercher les exercices suffisamment longtemps et ne jamais abandonner un énoncé sans
s’être posé les questions suivantes : quels sont les points de cours concernés ? quels sont les
énoncés proches que je connais ? pourquoi mes tentatives ne fonctionnent pas ?
Remerciements
Un tel ouvrage ne serait rien sans les efforts renouvelés de dévoués relecteurs et testeurs ; Marion
Scoazec, Anne-Laure Biolley, Yasmine Cheikh, Ulysse Mizrahi, Denis Monasse, Jean Parvillers,
Yixin Shen, les collègues, les anciens élèves, les élèves : « un seul mot, usé, mais qui brille comme
une vieille pièce de monnaie : merci ! » (Pablo Neruda).
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Table des matières
Préface .......................................................... 7
Chapitre 1. Bases mathématiques ........................................ 9
1. Écritures mathématiques 9 – 2. Ensembles et applications 15 – 3. Opérations entre parties 21 –
4. Ensembles ordonnés 27 – 5. L’ensemble des entiers naturels 32 – Synthèse 35 – Exercices 37 –
Corrigés 41
Chapitre 2. Nombres complexes ......................................... 47
1. Corps des nombres complexes 47 – 2. Exponentielle complexe 52 – 3. Équations algébriques 64
–Synthèse 70 –Exercices 72 –Corrigés 76
Chapitre 3. Manipulations algébriques ..................................... 83
1. Manipulations de sommes et produits 83 – 2. Quelques sommes classiques 91 – 3. Formule du
binôme 95 – 4. Systèmes linéaires 100 –Synthèse 105 –Exercices 107 –Corrigés 111
Chapitre 4. Limites et continuité .........................................121
1. Relation d’ordre sur R121 – 2. Propriétés des fonctions réelles 123 – 3. Exponentielles, loga-
rithmes, puissances 132 – 4. Exponentielle complexe, fonctions circulaires 140 – Synthèse 146 –
Exercices 148 –Corrigés 152
Chapitre 5. Équations différentielles ......................................161
1. Calculs de primitives 161 – 2. Équations différentielles 165 – 3. Équations linéaires d’ordre
1168 – 4. Équations linéaires d’ordre 2 170 –Synthèse 176 –Exercices 178 –Corrigés 181
Chapitre 6. Suites numériques ..........................................189
1. Compléments sur les réels 189 – 2. Suites convergentes 192 – 3. Suites réelles 200 – 4. Suites
extraites 207 –Synthèse 211 –Exercices 213 –Corrigés 217
Chapitre 7. Limites de fonctions, continuité .................................225
1. Étude locale 225 – 2. Fonctions continues sur un intervalle 236 – 3. Fonctions continues sur un
segment 240 –Synthèse 244 –Exercices 246 –Corrigés 251
Chapitre 8. Dérivabilité ...............................................261
1. Fonctions dérivables 261 – 2. Fonctions de régularité supérieure 266 – 3. Propriété des accrois-
sements finis 268 –Synthèse 278 –Exercices 280 –Corrigés 284
Chapitre 9. Études locales et asymptotiques .................................291
1. Relations de comparaison 291 – 2. Développements limités 298 – 3. Applications 305 – Syn-
thèse 309 –Exercices 311 –Corrigés 315
4

Table des matières
Chapitre 10. Arithmétique des entiers .....................................325
1. Divisibilité 325 – 2. PGCD, PPCM 330 – 3. Nombres premiers 334 – 4. Systèmes congruen-
tiels 339 –Synthèse 342 –Exercices 344 –Corrigés 347
Chapitre 11. Structures algébriques .......................................353
1. Groupes 354 – 2. Anneaux et Corps 359 –Synthèse 364 –Exercices 365 –Corrigés 369
Chapitre 12. Polynômes et fractions rationnelles ..............................377
1. Définitions et premières propriétés 377 – 2. Racines de polynômes 382 – 3. Arithmétique des
polynômes 387 – 4. Fractions rationnelles 395 –Synthèse 405 –Exercices 407 –Corrigés 412
Chapitre 13. Espaces vectoriels ..........................................425
1. Structure d’espace vectoriel 425 – 2. Applications linéaires 434 – 3. Bases 445 – Synthèse 450 –
Exercices 452 –Corrigés 456
Chapitre 14. Espaces vectoriels de dimension finie .............................465
1. Dimension 465 – 2. Applications linéaires en dimension finie 473 – Synthèse 481 – Exer-
cices 483 –Corrigés 488
Chapitre 15. Matrices .................................................499
1. Matrices 499 – 2. Produit matriciel 507 – 3. Équivalence et similitude 515 – Synthèse 521 –
Exercices 523 –Corrigés 527
Chapitre 16. Échelonnement et systèmes linéaires .............................535
1. Opérations élémentaires 535 – 2. Systèmes linéaires 543 – Synthèse 547 – Exercices 549 –
Corrigés 552
Chapitre 17. Déterminants .............................................559
1. Groupe symétrique 559 – 2. Déterminant de n vecteurs dans une base 566 – 3. Applications
linéaires et matrices 572 – 4. Quelques méthodes de calcul 576 – 5. Applications 583 – Syn-
thèse 586 –Exercices 588 –Corrigés 593
Chapitre 18. Espaces euclidiens ..........................................601
1. Produit scalaire 601 – 2. Orthogonalité 608 – 3. Isométries vectorielles 618 – Synthèse 627 –
Exercices 629 –Corrigés 634
Chapitre 19. Calcul intégral .............................................643
1. Intégrale sur un segment 644 – 2. Sommes de Riemann 650 – 3. Intégration et dérivation 653 –
4. Formule de Taylor 661 –Synthèse 666 –Exercices 668 –Corrigés 673
Chapitre 20. Séries numériques ..........................................683
1. Séries générales 683 – 2. Séries à termes positifs 687 – Synthèse 694 – Exercices 696 – Corri-
gés 700
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