1 Espaces normés, topologie associée

Espaces vectoriels norm´es de dimension finie, normes usuelles, ´equivalence des normes
Ed´esigne un espace vectoriel sur le corps Rdes r´eels.
1 Espaces norm´es, topologie associ´ee
On rappelle quelques r´esultats sur les espaces vectoriels norm´es qui peuvent ˆetre consid´er´es comme des pr´erequis.
D´efinition 1 Une norme sur Eest une application :
∥·∥ :E→R
x7−→ ∥x∥
qui v´erifie les propri´et´es suivantes :
∀x∈E, (∥x∥= 0 ⇒x= 0)
∀λ∈R,∀x∈E, ∥λx∥=|λ|∥x∥
∀x∈E, ∀y∈E, ∥x+y∥ ≤ ∥x∥+∥y∥
On notera (E, ∥·∥) l’espace vectoriel Emuni de la norme ∥·∥.
Remarque 1 Une norme sur Eest n´ecessairement `a valeurs dans R+.
Un espace vectoriel norm´e est naturellement muni d’une structure d’espace vectoriel topologique.
Pour tout x0dans Eet tout r´eel rstrictement positif, on note :
B(x0, r) = {x∈E| ∥x−x0∥< r}
la boule ouverte de centre x0et de rayon r.
D´efinition 2 On dit qu’une partie Ode (E, ∥·∥)est un ouvert si cette partie est vide ou si elle est non vide et pour tout a
dans Oil existe un r´eel r > 0tel que B(a, r)⊂ O.
D´efinition 3 On dit qu’une partie Fde (E, ∥·∥)est un ferm´e si son compl´ementaire dans Eest un ouvert de E.
D´efinition 4 On dit qu’une suite (xn)n∈Nd’´el´ements de (E, ∥·∥)est convergente s’il existe un ´el´ement xde Etel que
lim
n→+∞∥xn−x∥= 0.Une suite non convergente est dite divergente.
Remarque 2 Cette notion d´epend a priori de la norme choisie sur E.
D´efinition 5 On dit qu’une suite (xn)n∈Nd’´el´ements de (E, ∥·∥)est une suite de Cauchy si pour tout r´eel ε > 0on peut
trouver un entier nεtel que pour tous entiers p, q on a :
p≥nε, q ≥nε,⇒ ∥xp−xq∥< ε
D´efinition 6 On dit qu’un espace vectoriel norm´e (E, ∥·∥)est complet, ou que c’est un espace de Banach, si toute suite de
Cauchy dans Eest convergente.
On rappelle que (R,|·|) est complet. De ce r´esultat on d´eduira que tout espace vectoriel norm´e de dimension finie est
complet.
D´efinition 7 On dit qu’une partie non vide Bde (E, ∥·∥)est born´ee s’il existe une constante λ > 0telle que ∥x∥ ≤ λpour
tout xdans B.
D´efinition 8 On dit qu’une partie non vide Cde (E, ∥·∥)est compacte si de toute suite de points de Con peut extraire une
sous-suite qui converge vers un ´el´ement de C.
Toute partie compacte d’un espace vectoriel norm´e (E, ∥·∥) est ferm´ee et born´ee. Nous verrons plus loin que la r´eciproque
est vraie seulement dans les espaces de dimension finie.
Si Iest une partie non vide d’un espace vectoriel norm´e (E, ∥·∥) et fune fonction d´efinie sur I`a valeurs dans un espace
vectoriel norm´e (F, ∥·∥′),on rappelle les d´efinitions suivantes de continuit´e et d’uniforme continuit´e.
D´efinition 9 On dit que fest continue en x0∈Isi :
∀ε > 0,∃η > 0| ∀x∈I, ∥x−x0∥ ≤ η⇒ ∥f(x)−f(x0)∥′≤ε.
On dit que fest continue sur Isi elle est continue en tout point de I.
Th´eor`eme 1 fest continue sur Isi, et seulement si, l’image r´eciproque par fde tout ouvert [resp. ferm´e] de Fest un
ouvert [resp. ferm´e] de I.
D´efinition 10 On dit que fest uniform´ement continue sur Isi :
∀ε > 0,∃η > 0|((x, y)∈I2,∥x−y∥ ≤ η)⇒ ∥f(x)−f(y)∥ ≤ ε.
D´efinition 11 Soient (E, ∥·∥)et (F, ∥·∥′)deux espaces vectoriels norm´es. On dit qu’une application fd´efinie sur Eet `a
valeurs dans Fest un hom´eomorphisme si elle est continue bijective d’inverse f−1continue.
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2 Applications lin´eaires continues, normes ´equivalentes
Th´eor`eme 2 Soit uune application lin´eaire de (E, ∥·∥)dans (F, ∥·∥′).Les assertions suivantes sont ´equivalentes :
1. uest continue en 0;
2. uest continue sur E;
3. uest born´ee sur la sph`ere [resp. boule] unit´e de (E, ∥·∥);
4. il existe une constante r´eelle ctelle que :
∀x∈E, ∥u(x)∥′≤c∥x∥
5. uest uniform´ement continue sur E.
Th´eor`eme 3 Soient (E, ∥·∥),(F, ∥·∥′)deux espaces vectoriels norm´es et uune application lin´eaire surjective de Edans F.
Les assertions suivantes sont ´equivalentes :
1. uest un hom´eomorphisme de Esur F;
2. il existe des constantes r´eelles strictement positives αet βtelles que :
∀x∈E, α ∥x∥ ≤ ∥u(x)∥′≤β∥x∥
3. il existe des constantes r´eelles strictement positives αet βtelles que :
(x∈E, ∥x∥= 1) ⇒α≤ ∥u(x)∥′≤β
D´efinition 12 On dit que deux normes ∥·∥ et ∥·∥′sont ´equivalentes sur un espace vectoriel Esi l’application identit´e :
Id : (E, ∥·∥)→(E, ∥·∥′)
x7→ x
est un hom´eomorphisme.
Corollaire 1 Deux normes ∥·∥ et ∥·∥′sur un espace vectoriel Esont ´equivalentes si et seulement si il existe deux constantes
r´eelles αet βstrictement positives telles que :
∀x∈E, α ∥x∥ ≤ ∥x∥′≤β∥x∥
De ce r´esultat on d´eduit que deux normes ´equivalentes sur Ed´efinissent la mˆeme topologie.
Dans ce qui suit on va voir qu’une application lin´eaire de rang fini est continue si et seulement si son noyau est ferm´e.
De ce r´esultat, cons´equence de la compl´etude de R,on va d´eduire que sur un espace vectoriel de dimension finie toutes les
normes sont ´equivalentes. Une autre d´emonstration, plus classique, de cette ´equivalence des normes en dimension finie est
une cons´equence de la locale compacit´e de R.
Th´eor`eme 4 Soient (E, ∥·∥),(F, ∥·∥′)deux R-espaces vectoriels norm´es et uune application lin´eaire de Edans Fde rang
fini. L’application uest continue si, et seulement si, son noyau ker (u)est ferm´e dans (E, ∥·∥).
Corollaire 2 Soient (E, ∥·∥)un espace vectoriel norm´e de dimension finie et (F, ∥·∥′)un espace vectoriel norm´e. Toute
application lin´eaire de Edans Fest continue.
Le th´eor`eme qui suit nous donne plusieurs caract´erisations des R-espaces vectoriels norm´es de dimension finie.
Th´eor`eme 5 Soit Eun espace vectoriel sur R.Les assertions suivantes sont ´equivalentes.
1. Eest de dimension finie sur R.
2. Toutes les normes sur Esont ´equivalentes.
3. Quelle que soit la norme choisie sur Etoute forme lin´eaire d´efinie sur (E, ∥·∥)est continue.
4. Quelle que soit la norme choisie sur E, la sph`ere [resp. boule] unit´e de (E, ∥·∥)pour cette norme est compacte.
5. Quelle que soit la norme choisie sur E, les compacts de (E, ∥·∥)sont les ferm´es born´es.
On peut donc conclure que sur un espace vectoriel de dimension finie on a une seule topologie compatible avec la structure
d’espace vectoriel.
Corollaire 3 Un espace vectoriel norm´e de dimension finie est complet.
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