4 - Tourbillon

Des mathématiques pour MPSI
(mais pas que pour)
2012-2013
JPV
Lycée international de Valbonne Sophia-Antipolis
E-mail address:[email protected]

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Résumé. Ce fascicule développe le programme officiel de mathématiques en MPSI (à quelques
suppléments près et comporte quelques démonstrations). L’ordre des notions 1n’est pas né-
cessairement celui suivi en classe.
Official program of mathematics of the MPSI’s option of the so called “classes prépara-
toires” (undergraduate level) with some light topics (seems to be heavier today).
Effective exposition is not teachable art. There is no useful recipe…(Halmos).

CHAPITRE 4
Nombres réels suites et fonctions
4.1. Corps des nombres réels
4.1.1. Propriétés fondamentales.
Définition 4.1.1.Rest un corps commutatif totalement ordonné, dans lequel toute partie
non vide majorée a une borne supérieure.
(1) Rest un corps : signifie que l’ensemble Rest muni de deux lois de composition, l’une
appelée addition et l’autre multiplication.
L’addition +est
(a) associative : (x+y)+z=x+(y+z)
(b) admet un élément neutre 0 : ∀x∈Ron a 0+x=x+0=x
(c) tout élément xa un symétrique −x:x+(−x)=(−x)+x=0
(d) commutative : ∀(x,y)∈R2nous avons : x+y=y+x
La multiplication notée ·est
(a) associative : (x.y).z=x.(y.z)
(b) admet un élément neutre 1 : ∀x∈Ron a 1.x=x.1 =x
(c) tout élément x,x6=0, a un inverse x−1:x.x−1=x−1.x=1
(2) Il y a une relation de distributivité entre ces lois
x.(y+z)=x.y+x.z, (y+z).x=y.x+z.x
(3) Rest un corps commutatif car la multiplication est commutative : ∀(x,y)∈R2nous avons :
x.y=y.x.
(4) Rest ordonné par la relation d’ordre ≤:
∀x,∀y,x≤y⇔0≤y−x
(a) réflexivité : ∀x∈R,x≤x
(b) antisymétrie : ∀(x,y)∈R2: si x≤yet y≤xalors x=y
(c) transitivité : ∀(x,y,z)∈R3, si x≤yet y≤zalors x≤z
(5) De plus les lois sont compatibles avec la relation d’ordre c’est-à-dire
—∀(x,y,z)∈R3, si 0≤xet 0≤yalors 0≤x+y.
—∀(x,y)∈R2, si 0≤xet 0≤yalors 0≤x.y
(6) Rest un corps commutatif totalement ordonné 1car nous pouvons toujours comparer
deux réels : ∀(x,y)∈R2ou bien x≤y, ou bien y≤x.
1. hors programme mpsi
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94 4. NOMBRES RÉELS SUITES ET FONCTIONS
(7) Enfin une partie Ade Rest dite majorée s’il existe un réel Mplus grand que tous les
éléments de Ai.e. :
∃M∈R,∀x∈A : x≤M
Mest appelé majorant de A.
Si Aest majorée, la borne supérieure de Aest le plus petit majorant de A(Toutes les
parties majorées de Qn’ont pas de borne supérieure rationnelle).
On note :
supA
(respectivement minorée, borne inférieure)
(8) Rest un corps commutatif totalement ordonné, archimédien parce qu’il n’y a pas d’élé-
ments infinis :
Pour tout xdans Ril existe ndans Ztel que : x≤n.
En effet, dans le cas contraire il existerait un réel xplus grand que tout entier, Nserait
donc majoré et aurait une borne supérieure réelle M. Mais alors M−1, étant strictement
inférieur à la borne supérieure, serait dépassé par un entier n:M−1≤net donc M≤n+1,
comme n+1est entier : n+1≤Md’où M=n+1et donc Mn’est pas un majorant de N,
ce qui contradit la définition de M.
4.1.2. Valeur absolue.
Définition 4.1.2.Soit xun réel, la valeur absolue |x|de xest définie par
|x|=sup{x,−x}
Soit yun autre réel, le nombre |x−y|est appelé distance de xày.
La valeur absolue a les propriétés fondamentales suivantes : Pour tous xet yréels,
(1) |x|=0si et seulement si x=0
(2) |x·y|=|x|·|y|
(3) |x+y|≤|x|+|y|
On en déduit que
— si y6=0,|x
y|= |x| |y|
—||x|−|y||≤|x+y|
Rappel : x<y⇔x≤yet x6= y
4.1.3. Intervalles.
Définition 4.1.3.Un intervalle Ide Rest une partie de Rtelle que :
si x∈Iet y∈I,x<y, alors tout zréel tel que x<z<yest dans I.
Exemple 4.1.1.I=[0,1[,supI =1,infI =minI =0mais maxI n’existe pas. supRn’existe pas
dans R, par définition c’est un élément noté +∞ (voir ci-dessous).
Définition 4.1.4.Les symboles +∞ et −∞, appelés respectivement plus l’infini et moins
l’infini, représentent des éléments non réels. On pose R={−∞}∪R∪{+∞}.Rest appelée droite
numérique achevée. On prolonge la relation d’ordre de Ren posant que pour tout réel x:−∞<
x<+∞.
Si Aest une partie non majorée de R, elle est majorée par +∞ dans R. On définit alors la borne
supérieure de Apar : sup A =+∞ (respectivement minorée, −∞).
Notations 4.1.1.Soient aet bdes éléments de Rtels que a≤b. On note :
(1) Intervalles de R: