4 - Tourbillon

Des mathématiques pour MPSI
(mais pas que pour)
2012-2013
JPV
Lycée international de Valbonne Sophia-Antipolis
E-mail address: [email protected]
3
Résumé. Ce fascicule développe le programme oﬃciel de mathématiques en MPSI (à quelques
suppléments près et comporte quelques démonstrations). L’ordre des notions 1 n’est pas nécessairement celui suivi en classe.
Oﬃcial program of mathematics of the MPSI’s option of the so called “classes préparatoires” (undergraduate level) with some light topics (seems to be heavier today).
Eﬀective exposition is not teachable art. There is no useful recipe…(Halmos).
CHAPITRE 4
Nombres réels suites et fonctions
4.1. Corps des nombres réels
4.1.1. Propriétés fondamentales.
Définition 4.1.1. R est un corps commutatif totalement ordonné, dans lequel toute partie
non vide majorée a une borne supérieure.
(1) R est un corps : signiﬁe que l’ensemble R est muni de deux lois de composition, l’une
appelée addition et l’autre multiplication.
L’addition + est
(a) associative : (x + y) + z = x + (y + z)
(b) admet un élément neutre 0 : ∀x ∈ R on a 0 + x = x + 0 = x
(c) tout élément x a un symétrique −x : x + (−x) = (−x) + x = 0
(d) commutative : ∀(x, y) ∈ R2 nous avons : x + y = y + x
La multiplication notée · est
(a) associative : (x.y).z = x.(y.z)
(b) admet un élément neutre 1 : ∀x ∈ R on a 1.x = x.1 = x
(c) tout élément x , x 6= 0, a un inverse x −1 : x.x −1 = x −1 .x = 1
(2) Il y a une relation de distributivité entre ces lois
x.(y + z) = x.y + x.z,
(y + z).x = y.x + z.x
(3) R est un corps commutatif car la multiplication est commutative : ∀(x, y) ∈ R2 nous avons :
x.y = y.x .
(4) R est ordonné par la relation d’ordre ≤ :
∀x, ∀y, x ≤ y ⇔ 0 ≤ y − x
(a) réﬂexivité : ∀x ∈ R , x ≤ x
(b) antisymétrie : ∀(x, y) ∈ R2 : si x ≤ y et y ≤ x alors x = y
(c) transitivité : ∀(x, y, z) ∈ R3 , si x ≤ y et y ≤ z alors x ≤ z
(5) De plus les lois sont compatibles avec la relation d’ordre c’est-à-dire
— ∀(x, y, z) ∈ R3 , si 0 ≤ x et 0 ≤ y alors 0 ≤ x + y .
— ∀(x, y) ∈ R2 , si 0 ≤ x et 0 ≤ y alors 0 ≤ x.y
(6) R est un corps commutatif totalement ordonné 1 car nous pouvons toujours comparer
deux réels : ∀(x, y) ∈ R2 ou bien x ≤ y , ou bien y ≤ x .
1. hors programme mpsi
93
94
4. NOMBRES RÉELS SUITES ET FONCTIONS
(7) Enﬁn une partie A de R est dite majorée s’il existe un réel M plus grand que tous les
éléments de A i.e. :
∃M ∈ R,
∀x ∈ A :
x ≤M
M est appelé majorant de A.
Si A est majorée, la borne supérieure de A est le plus petit majorant de A (Toutes les
parties majorées de Q n’ont pas de borne supérieure rationnelle).
On note :
sup A
(respectivement minorée, borne inférieure)
(8) R est un corps commutatif totalement ordonné, archimédien parce qu’il n’y a pas d’éléments inﬁnis :
Pour tout x dans R il existe n dans Z tel que : x ≤ n .
En eﬀet, dans le cas contraire il existerait un réel x plus grand que tout entier, N serait
donc majoré et aurait une borne supérieure réelle M. Mais alors M − 1, étant strictement
inférieur à la borne supérieure, serait dépassé par un entier n : M−1 ≤ n et donc M ≤ n +1,
comme n + 1 est entier : n + 1 ≤ M d’où M = n + 1 et donc M n’est pas un majorant de N,
ce qui contradit la déﬁnition de M.
4.1.2. Valeur absolue.
Définition 4.1.2. Soit x un réel, la valeur absolue |x| de x est déﬁnie par
|x| = sup{x, −x}
Soit y un autre réel, le nombre |x − y| est appelé distance de x à y .
La valeur absolue a les propriétés fondamentales suivantes : Pour tous x et y réels,
(1) |x| = 0 si et seulement si x = 0
(2) |x · y| = |x| · |y|
(3) |x + y| ≤ |x| + |y|
On en déduit que
|x|
— si y 6= 0, | xy | = |y|
— ||x| − |y|| ≤ |x + y|
Rappel : x < y ⇔ x ≤ y et
x 6= y
4.1.3. Intervalles.
Définition 4.1.3. Un intervalle I de R est une partie de R telle que :
si x ∈ I et y ∈ I, x < y , alors tout z réel tel que x < z < y est dans I.
Exemple 4.1.1. I = [0, 1[, sup I = 1, inf I = min I = 0 mais max I n’existe pas. sup R n’existe pas
dans R, par déﬁnition c’est un élément noté +∞ (voir ci-dessous).
Définition 4.1.4. Les symboles +∞ et −∞, appelés respectivement plus l’inﬁni et moins
l’inﬁni, représentent des éléments non réels. On pose R = {−∞} ∪ R ∪ {+∞}. R est appelée droite
numérique achevée. On prolonge la relation d’ordre de R en posant que pour tout réel x : −∞ <
x < +∞.
Si A est une partie non majorée de R, elle est majorée par +∞ dans R. On déﬁnit alors la borne
supérieure de A par : sup A = +∞ (respectivement minorée, −∞).
Notations 4.1.1. Soient a et b des éléments de R tels que a ≤ b . On note :
(1) Intervalles de R :
4.2. SUITES DE NOMBRES RÉELS
95
— ]a, b[= {x ∈ R/a < x < b}, intervalle ouvert.
— si a et b sont réels [a, b] = {x ∈ R/a ≤ x ≤ b}, intervalle fermé (borné), appelé aussi
segment d’extrémités a et b .
— si a est réel [a, b[= {x ∈ R/a ≤ x < b} et
— si b est réel ]a, b] = {x ∈ R/a < x ≤ b}, intervalles semi-ouverts (ou semi-fermés)
(2) Intervalles de R :
Ce sont les mêmes, plus [a, b], [a, b[ et ]a, b] où a ou b sont inﬁnis. Mais si a = ∞ on dit
que [a, b[ est ouvert, de même pour ]a, b] si b = ∞ (se rappeler qu’un intervalle [a, b] est
toujours fermé et que le complémentaire d’un intervalle ouvert est fermé, par déﬁnition).
Par conséquent, on note aussi :
R = [−∞, +∞]
4.2. Suites de nombres réels
Définition 4.2.1. Une suite u de nombres réels est une application de N dans R. u(n) est
le terme général de u .
Notations 4.2.1. Le terme général u(n) se note traditionnellement u n et u est aussi noté
(u n )n≥0 .
Plus généralement, on appelle suite réelle une fonction d’une partie A de N dans R. Si la
partie A est ﬁnie, on dit que la suite est ﬁnie. Si la partie A est inﬁnie, il existe une bijection ϕ
de N sur A, en posant : v n = u ϕ(n) , on se ramène à la déﬁnition ci-dessus.
4.2.0.1. Développement décimal.
Définition 4.2.2 (Partie entière). Soit x un nombre réel, sup{m ∈ Z/m ≤ x} existe d’après
Archimède et est appelée partie entière de x , on note E(x) ou bxc.
On déﬁnit une suite (p n )n≥0 par :
p n = b10n xc
puis une suite (an )n≥0 par :
a0 = p 0 ,
et si
n≥1 :
a n = p n − 10p n−1
enﬁn une suite (x n )n≥0 en posant :
xn =
pn
10n
Définition 4.2.3. La suite (x n )n≥0 est la suite des développements décimaux de x , x n est la
valeur approchée à 10−n près, x n + 10−n la valeur approchée par excès de x .
Nous avons : p n ≤ 10n x < p n + 1 et p n−1 ≤ 10n−1 x < p n−1 + 1 donc 10p n−1 ≤ 10n x < 10p n−1 + 10,
par déﬁnition de p n il vient : 10p n−1 ≤ p n et p n + 1 ≤ 10p n−1 + 10 d’où : 0 ≤ p n − 10p n−1 = an ≤ 9.
p
p
Enﬁn 10nn ≤ x < 10nn + 101n donne :
0 ≤ x − xn ≤
1
10n
et :
xn =
X
ak
k
0≤k≤n 10
96
4. NOMBRES RÉELS SUITES ET FONCTIONS
4.2.1. Opérations sur les suites. Dans ce qui suit, u , v et w désignent des suites réelles.
Définition 4.2.4 (Opérations sur les suites).
— Somme : u + v est la suite de terme général u n + v n .
— Produit externe : Soit λ un réel, λ.u est la suite de terme général λ.u n
Nous noterons 0 la suite constante égale à 0 (respectivement 1). La somme des suites a les
propriétés suivantes :
i associativité (u + v) + w = u + (v + w)
ii élément neutre u + 0 = 0 + u = u
iii symétrique u + (−u) = (−u) + u = 0
iv commutativité u + v = v + u
Qui font que l’ensemble des suites réelles, `(R), muni de (+), est un groupe commutatif.
La multiplication externe, notée par un point (ou rien !) est telle que, λ, µ, ν étant des réels :
i associativité mixte (λ.µ).u = λ.(µ.w)
ii 1, réel vériﬁe u.1 = 1.u = u
iii distributivités λ.(v + w) = λ.v + λ.w et (λ + µ).w = λ.w + µ.w
De sorte que `(R) muni de la somme et du produit externe est un espace vectoriel, muni de la
somme et du produit c’est un anneau.
Définition 4.2.5. Une suite u est dite majorée (respectivement minorée) si et seulement
s’il existe un réel M (respectivement m ) tel que pour tout n dans N : u n ≤ M (respectivement
u n ≥ m ). Une suite majorée et minorée est dite bornée. M est appelé majorant de u , m est un
minorant de u .
L’ensemble des suites bornées est noté `∞ (R).
Définition 4.2.6.
(1) Une suite u est croissante si et seulement si m ≤ n implique u m ≤ u n (respectivement
décroissante et u m ≥ u n ).
(2) Une suite u est strictement croissante si et seulement si m < n implique u m < u n (respectivement strictement décroissante et u m > u n ).
Si u est croissante ou décroissante, la suite u est monotone (respectivement strictement monotone).
4.2.2. Limite d’une suite.
4.2.2.1. Convergence, divergence. La déﬁnition suivante est hors programme, cependant on
peut être amené à utilisé le mot voisinage, ce mot a un sens précis en mathématiques.
Définition 4.2.7. Soit a dans R. Une partie V dans R est un voisinage de a dans R si et
seulement si elle contient un intervalle ouvert contenant a (respectivement R).
Si a = +∞ (respectivement a = −∞), nous dirons encore (par abus de langage) qu’une partie
de R qui contient un intervalle de la forme ]b, +∞[ est un voisinage de ∞ (respectivement ]−∞, b[).
Définition 4.2.8. Une suite réelle converge vers un réel a si et seulement si pour tout réel
ε strictement positif il existe un entier N tel que :
si n ≥ N alors |u n − a| < ε
ou
si n ≥ N alors |u n − a| ≤ ε
4.2. SUITES DE NOMBRES RÉELS
97
La suite u est convergente si et seulement s’il existe un réel vers lequel elle converge. On dit aussi
que u tend vers a , nous écrirons u n −−−−−→ a et que a est la limite de u . Notation : limn→+∞ u n = a .
n→+∞
Une suite qui ne converge pas est dite divergente.
Dans la déﬁnition, ε peut être remplacé par cε où c est une constante. Ce qui importe c’est
que |u n − a| puisse être aussi proche de 0 que l’on veuille. En d’autres termes, u n est, pour n
assez grand (voir la remarque 4.2.3), une valeur approchée de a à ε près. Le réel ε représente la
précision de l’approximation.
Remarque 4.2.1. u tend vers a équivaut à u − a tend vers 0.
Définition 4.2.9. LA suite u tend vers +∞ si et seulement si pour tout réel M il existe un
entier N tel que :
si n ≥ N alors u n ≥ M
La suite u diverge vers +∞ et +∞ est la limite de u . Notation : limn→+∞ u n = +∞ (respectivement
−∞ et u n ≤ M).
M peut être remplacé par cM où c est une constante non nulle.
Remarque 4.2.2. Dans les déﬁnitions, nous écrirons <<la limite de u >>, en eﬀet une suite
réelle ne peut avoir qu’une limite. En eﬀet soit ε > 0, si pour n assez grand : |u n − a| ≤ ε et
|u n − b| ≤ ε, alors :
|a − b| ≤ |u n − a| + |u n − b| ≤ 2ε
Comme ε est arbitraire il vient : a = b .
Remarque 4.2.3. L’existence d’un N tel que pour n ≥ N une assertion P(n), dépendant de n
soit vraie, s’écrit <<pour n assez grand>> ou <<à partir d’un certain rang>> si des précisions
supplémentaires sont inutiles.
Exemple 4.2.1. La suite n1
converge vers 0.
n≥1
En eﬀet, si ε est un réel strictement positif, il existe (d’après Archimède) un entier N tel que :
1
1
1
ε ≤ N. Donc pour tout entier plus grand que N : n ≤ N ≤ ε.
³ ´
Exemple 4.2.2. Nous pourrions démontrer par récurrence que pour tout réel n supérieur à
1 : n ≤ 10n , donc la suite (x n ) des développements décimaux d’un réel x converge vers x puisque
pour tout ε strictement positif il existe un entier N tel que :
1
1
n ∈ N? , n ≥ N =⇒ 0 ≤ x − x n ≤ n ≤
10
n
Remarque 4.2.4. Les éléments x n sont des exemples de nombres décimaux. Or un décimal
est un nombre rationnel. Par conséquent, entre deux réels distincts, il y a au moins un nombre
rationnelp(en fait une inﬁnité). Il existe des nombres irrationnels, c.à.d. non rationnels, par
exemple 2 (voir les exercices d’arithmétique). Soient deux réels x et y que nous supposerons
irrationnels et tels que x < y , nous allons montrer qu’il existe un rationnel r vériﬁant : x < r < y .
Posons ε = y −x , alors si n est assez grand : 0 ≤ y − y n < 101n ≤ ε, d’où x < y n < y ( y étant irrationnel
ne peut être égal à y n ), il suﬃt de prendre r = y n .
Maintenant, soient q1 et q2 , deux nombres rationnels distinctsp : q1 < q2 . Déﬁnissons une
x−q
bijection de [q1 , q2 ] sur [0, 1] en posant f (x) = q2 −q11 . Nous savons que 22 est un nombre irrationnel
contenu dans [0, 1]. Nous en déduisons que f −1
¡ p2 ´
2
est un irrationnel contenu dans [q1 , q2 ].
Exemple 4.2.3. La suite (n)n diverge et tend vers +∞.
Proposition 4.2.1. Une suite convergente est bornée.
98
4. NOMBRES RÉELS SUITES ET FONCTIONS
Démonstration. Soit une suite u convergeant vers le réel `. Alors si ε = 1, par exemple, il
existe N entier tel que pour n ≥ N : |u n − `| ≤ 1, donc
|u n | = |u n − ` + `| ≤ |u n − `| + |`| ≤ 1 + |`|
Si n < N, |u n | est plus petit que le plus grand élément M de {|u 0 |, . . . , |u N−1 |}. Donc
Si n < N
Si n ≥ N
|u n | ≤ M
|u n | ≤ 1 + |`|
Dans tous les cas : |u n | ≤ max(M, 1 + |`|), donc u est bornée.
Proposition 4.2.2. Une suite u convergeant vers un réel a strictement positif est minorée,
à partir d’un certain rang, par un nombre strictement positif. Précisément :
Pour tout b vériﬁant 0 < b < a , il existe un entier N tel que si n ≥ N alors u n ≥ b .
a
2.
Démonstration. Posons ε = a2 , alors il existe N tel que si n ≥ N alors |u n | ≥ a − |u n − a| >
Proposition 4.2.3. L’ensemble des suites qui convergent vers 0 est muni d’une structure
d’espace vectoriel.
Démonstration. Il suﬃt de montrer la stabilité par les lois de compositions. Soient u et v
tendant vers 0 et λ un réel. Alors étant donné un réel ε strictement positif, il existe des entier N1
et N2 tels que pour n ≥ N1 et n ≥ N2 : |u n | ≤ ε et |v n | ≤ ε. Donc si n ≥ max(N1 , N2 ) : |u n + v n | ≤ 2ε.
Enﬁn : |λu n | ≤ |λ| ε indique la convergence de (λu) vers 0.
Proposition 4.2.4. Soit u une suite convergeant vers 0 et v une suite bornée, alors la suite
uv converge vers 0.
Démonstration. Soit M une borne de (|v|) et ε un réel strictement positif, alors à partir
d’un certain rang :
|u n v n | ≤ Mε
Exemple 4.2.4. u n = n1 et v n = sin(n)
4.2.2.2. Extension à R des lois de R. L’étude des limites de suites réelles montre que l’on ne
peut espérer faire de R un corps : +∞ ne peut avoir de symétrique pour l’addition car il semble
raisonnable de déﬁnir (+∞) + 1 = (+∞) et l’existence d’un symétrique impliquerait 1 = 0.
Les déﬁnitions compatibles avec les limites de suites sont :
— 0+ symbolise la limite d’une suite positive qui tend vers 0, respectivement 0− pour une
suite négative. Alors : 01± = ±∞.
— −(±∞) = ∓∞
— pour x réel, x + (±∞) = ±∞
— (+∞) + (+∞) = +∞ et (−∞) + (−∞) = −∞
1
— ±∞
=0
— Pour x réel, x > 0 : x.(+∞) = +∞
0 +∞
∞
0
Mais nous ne pouvons déﬁnir +∞−∞, +∞
∞ , 0 , 0 , ∞.0, 1 , ni 0 , de telle sorte que les opérations
2
2
2
sur les limites soient vraies, par exemple n −n , n −n et (n +1) −n 2 montrent qu’il n’y a pas de
résultat général pour l’addition. Si 1∞ = 1, on ne peut aﬃrmer en général que la limite de la suite
v
u nn est 1 lorsque u n tend vers 1 et v n tend vers +∞. C’est pourquoi les expressions ci-dessus
sont appelées formes indéterminées.
Un résultat utile :
4.2. SUITES DE NOMBRES RÉELS
99
Lemme 4.2.1. Soit u une suite bornée et v une suite tendant vers +∞. Alors u + v tend vers
+∞.
Démonstration. Supposons que u soit bornée par K. Soit M un réel, puisque v tend vers
+∞ il existe un entier N tel que si n ≥ N alors v n ≥ M−K . Mais alors u n + v n ≥ M, donc u + v tend
vers +∞.
Résultats généraux.
Théorème 4.2.1 (Opérations sur les limites). u , v et w sont des suites admettant des
limites.
(1) Si pour tout n w n 6= 0 et lim w 6= 0 alors lim
(2) Si pour tout n w n > 0 et lim w = 0 alors lim
1
w
1
w
=
1
lim w
= +∞
(3) Dans tous les cas où les membres de droite sont déﬁnis les égalités sont vraies :
(a) lim (u + v) = lim u + lim v
(b) lim (uv) = (lim u)(lim v)
(c) Pour tout réel λ : lim λ.u = λ lim u
(4) Compatibilité avec l’ordre : si pour tout n , u n ≤ v n (ou u n < v n ), alors lim u ≤ lim v
Démonstration.
(1) Soit ` = lim w . Le membre de droite est déﬁni si ` 6= 0. Soit ε
strictement positif, pour n assez grand : `−ε ≤ w n ≤ `+ε, comme ` 6= 0, en prenant ε assez
petit : ε < |`|
2 , nous pouvons supposer que 0 < ` − ε si ` > 0 ou ` + ε < 0 si ` < 0. Dans ces
deux cas :
¯
¯
µ
¶
Ainsi :
Or
¯ 1 ¯
1
1
1
¯
¯
¯ w ¯ ≤ max |` − ε| , |` + ε| = min(|` − ε|, |` + ε|)
n
¯
¯ ¯
¯
¯ 1
1 ¯¯ ¯¯ ` − w n ¯¯
ε
¯
−
=
≤
¯w
` ¯ ¯ `w n ¯ `min(|` − ε|, |` + ε|)
n
|`|
|`|
< `−ε < ` < `+ε < `+
2
2
¯
¯
¯ 1
1 ¯¯
ε
¯
¯
¯ ¯
¯
¯w − `¯≤
¯
¯ ¯
¯
|`|
n
`min(¯` − 2 ¯ , ¯` + |`|
2 ¯)
`−
Donc
d’où le résultat.
Autre façon ; nous avons :
1
1 ` − wn
− =
wn `
`w n
comme (` − w n )n tend vers 0, il suﬃt de vériﬁer que `w1 n est bornée puisque le produit
n
d’une suite bornée par une suite qui converge vers 0, converge vers 0. Or (`w n )n converge
2
vers `2 , choisissons ε = `2 , il existe un entier N tel que pour tout entier n supérieur à N
nous avons :
³
0≤
d’où :
ce qui prouve que
`2
`2
`2 3`2
= `2 −
≤ `w n ≤ `2 +
=
2
2
2
2
2
2
≤ `w n ≤ 2
3`2
`
³
´
1
`w n n
´
est bornée.
100
4. NOMBRES RÉELS SUITES ET FONCTIONS
(2) exercice.
(3) (a) Si les limites sont réelles, en posant Un = u n − lim u et Vn = v n − lim v , l’égalité est
vériﬁée d’après la proposition 4.2.3. Si les deux limites sont +∞ alors pour tout M si
n est assez grand : M ≤ u n et M ≤ v n donc 2M ≤ u n + v n ce qui montre que (u + v) tend
vers +∞. Le cas où les deux suites tendent vers −∞ se traite de la même façon. Enﬁn
si u tend vers un réel `, elle est bornée or v vers +∞, donc d’après le lemme 4.2.1,
u + v tend vers +∞. Les autres cas s’en déduisent.
(b) Soient a = lim u et b = lim v . Si ces limites sont ﬁnies :
u n v n − ab = u n v n − av n + av n − ab = (u n − a)v n + a(v n − b)
v est bornée et u n − a tend vers 0, donc le produit tend vers 0, a(v n − b) tend vers 0,
d’où le résultat.
Si a = +∞ et b > 0, soit M un réel positif, pour n assez grand : v n ≥ b2 et u n ≥ M, donc :
u n v n ≥ M b2 , M étant arbitraire, u n v n tend vers +∞.
Les autres cas sont semblables à ceux-ci.
(c) exercice.
(4) Par contraposition. Si lim u > lim v alors il existe un réel b > 0 tel que pour n assez grand :
u n − v n ≥ b > 0, donc u n > v n .
Propriétés relatives à l’ordre.
Proposition 4.2.5.
— Si |u| ≤ v et lim v = 0 alors lim u = 0
— Si u ≤ v ≤ w et lim u = lim w = a alors lim v = a
— Si u ≤ v et lim u = +∞, alors lim v = +∞
Définition 4.2.10. Une suite extraite de la suite u est toute suite de la forme (u ϕ(n) )n≥0 où
ϕ est une application strictement croissante de N dans lui-même.
Exemple 4.2.5. u n = sin( πn
12 ) et ϕ(n) = 6n .
Proposition 4.2.6. Si la suite u a une limite `, alors toute suite extraite de u admet ` pour
limite.
Démonstration. Soit ε > 0 et N tel que n ≥ N implique |u n −`| ≤ ε. Comme ϕ est strictement
croissante, on montre (par récurrence) que ϕ(n) ≥ n , donc a fortiori : ϕ(n) ≥ N ce qui entraîne :
|u ϕ(n) − `| ≤ ε.
Corollaire 4.2.1. S’il existe deux suites extraites de u qui ont des limites distinctes, alors
u n’a pas de limite.
Démonstration. Une conséquence immédiate de la proposition précédente est : quelles
que soient les applications ϕ et ψ strictement croissantes de N dans N, on a l’implication :
µ³
³
´
´ ³
´¶
∀` : u n −−−−−→ ` =⇒ u ϕ(n) −−−−−→ ` ∧ u ψ(n) −−−−−→ `
n→+∞
n→+∞
n→+∞
Par contraposition, si (u ϕ(n) ) ou (u ψ(n) ) ne tend pas vers ` alors u ne tend pas vers `, en particulier :
si (u ϕ(n) ) tend vers `1 et (u ψ(n) ) tend vers `2 avec `1 6= `2 alors u n’a pas de limite.
4.2. SUITES DE NOMBRES RÉELS
101
4.2.3. Relations de comparaison. L’étude d’une suite peut se faire en la comparant avec
des suites, appelées suites de référence, dont le comportement (variations, limites) est connu (voir
le paragraphe 4.2.5).
Définition 4.2.11. Soient u et v deux suites réelles.
(1) La suite v domine la suite u si et seulement s’il existe un réel M tel que : |u| ≤ M|v|.
Notation
u = O(v)
(si v ne s’annule pas cela équivaut au fait que
u
v
est bornée).
(2) La suite u est négligeable devant la suite v si et seulement si pour tout réel ε > 0 il existe
un entier N tel que, si n ≥ N alors |u n | ≤ ε|v n |. On note
u = o(v)
(si v ne s’annule pas cela équivaut à lim uv = 0).
(3) La suite u est équivalente à la suite v si et seulement si : u − v = o(v). Notation
u∼v
(si v ne s’annule pas cela équivaut à lim uv = 1).
O et o sont les notations de Landau.
Remarque 4.2.5. Pratiquement, dans les déﬁnitions ci-dessus, on utilise lim uv lorsque v n 6= 0
à partir d’un certain rang (i.e. il existe un entier N tel que si n ≥ N alors v n 6= 0).
Théorème 4.2.2.
— Si u = o(v) alors u = O(v)
— Si u = O(v) et lim v = 0 alors lim u = 0
— Si v et w sont négligeables devant u alors v +w est négligeable devant u (respectivement :
dominées par).
— Si u ∼ v alors
— À partir d’un certain rang u n et v n ont le même signe.
— u n et v n sont de même nature, i.e. elles n’ont pas de limites ou ont la même limite,
elles sont toutes deux convergentes ou toutes deux divergentes.
— Si u ∼ v alors : w = o(u) ⇔ w = o(v).
— Si u ∼ v et x ∼ y alors ux ∼ v y .
Exemple 4.2.6. Il n’y a pas de règle générale pour l’équivalence des sommes de suites :
si u n = n 2 + n , v n = n 2 + 1, w n = n 2 alors u n ∼ v n et w n ∼ w n , pourtant u n − w n = n n’est pas
équivalente à v n − w n = 1.
4.2.4. Théorèmes d’existence de limites.
Théorème 4.2.3 (Limite monotone). Toute suite monotone a une limite.
Plus précisément, une suite croissante u a une limite, à savoir la borne supérieure de {u n /n ∈ N}
et si, de plus, elle est majorée, elle converge vers cette borne supérieure.
Respectivement : suite décroissante, borne inférieure, minorée.
Démonstration. Si u est croissante et bornée, l’ensemble {u n /n ≥ 0} a une borne supérieure
α. Par déﬁnition, pour tout ε > 0 il existe N tel que α − ε ≤ u N ≤ α, mais u étant croissante et
majorée par α, pour tout n ≥ N :
α − ε ≤ uN ≤ un ≤ α
102
4. NOMBRES RÉELS SUITES ET FONCTIONS
qui montre que u converge vers α.
Si u n’est pas bornée : quel que soit le réel M, il existe N tel que : M ≤ u N , u étant croissante,
pour tout n ≥ N on a :
M ≤ uN ≤ un
donc u tend vers +∞.
Définition 4.2.12. Deux suites u et v sont dites adjacentes si et seulement si
(1) u est croissante, v est décroissante.
(2) lim u − v = 0
Proposition 4.2.7. Deux suites adjacentes convergent vers la même limite.
Corollaire 4.2.2 (Théorème des segments emboîtés). Soit, pour tout n un intervalle
[u n , v n ]. On suppose
— La suite u est croissante et la suite v est décroissante
— La longueur |v n − u n | de [u n , v n ] est le terme général d’une suite qui tend vers 0.
Alors les intervalles ([u n , v n ])n ont un seul point commun qui est la limite commune des suites u
et v .
Théorème 4.2.4 (Bolzano-Weierstraß). De toute suite d’éléments de l’intervalle [a, b] de R
on peut extraire une suite qui converge.
La suite extraite converge vers un réel dans [a, b].
Démonstration. Soit u une suite d’éléments de [a, b], on pose : v m = supn≥m u n , v m existe
car u est bornée. Remarquons que pour tout ε > 0, il y a une inﬁnité de termes u n tels que :
n ≥ m et v m − ε ≤ u n ≤ v m car v m − ε n’est pas un majorant alors que v m majore tous les termes
à partir du rang m .
La suite v est décroissante car q ≥ m implique {n ∈ N/n ≥ q} ⊂ {n ∈ N/n ≥ m} d’après le théorème 4.2.3, v converge vers sa borne inférieure α. On déﬁnit la fonction ϕ par récurrence. On
pose n 0 = 0. Si k ≥ 1, comme v tend vers α en décroissant, il existe m k tel que :
α ≤ v mk ≤ α +
1
k
Soit n k ≥ max(m k , n k−1 + 1) tel que :
v mk −
1
≤ n nk ≤ v mk
k
Ce qui est possible car il existe une inﬁnité de termes de la suite u qui satisfont à l’inégalité. De
plus n k > n k−1 . Posons : ϕ(k) = n k , alors ϕ est strictement croissante et :
0 ≤ v mk − u nk ≤
1
k
et
0 ≤ v mk − α ≤
donc
|u nk − α| ≤
Ce qui montre que la suite (u nk )k≥0 tend vers α.
1
k
2
k
4.2. SUITES DE NOMBRES RÉELS
103
Exercice 4.2.1. Soit σn ([a, b]) = (x k )0≤k≤n , une subdivision de l’intervalle
h [a, b], pour n h≥
(k+1)(b−a)
b−a
n
k ≥ 1 : x k = k 10n . Une telle subdivision déﬁnit 10 intervalles de la forme : k(b−a)
.
10n ,
10n
k
n
Par exemple, considérons [0, 1] : si x est un réel dans 10kn , k+1
10n , alors k = b10 xc, et 10n est
l’approximation décimale de x par défaut à 10−n près.
h
i
k k+1
Soit une suite u dans [0, 1], alors il existe au moins un intervalle I1 = 10
, 10 de σ1 ([0, 1]) qui
contient une inﬁnité de termes de la suite u . Par récurrence, In est un intervalle de la subdivision
σ1 (In−1 ) (incluse dans σn ([0, 1])) qui contient une inﬁnité de termes de la suite. Ainsi (In ) est
une suite d’intervalles emboîtés dont la longueur tend vers 0 donc, d’après le corollaire 4.2.2,
l’intersection de ces intervalle contient un unique réel `. Dans chaque intervalle In , on choisit
un élément u mn de u , tel que : mn > m n−1 , ce qui est possible car l’intervalle In contient une
inﬁnité de termes de la suite. Nous en déduisons que la suite (u mn )n est une suite extraite de u
qui converge vers `.
Nous pourrions utiliser également les subdivisions binaires.
h
h
4.2.5. Suites de références. Les suites de référence au programme sont :
n 7→ n!,
n 7→ n α ,
n 7→ a n ,
n 7→ (ln n)β
où a est un réel strictement positif, α et β des réels quelconques.
Limites :
(1) n! : pour tout n , n! ≥ n , donc : limn n! = +∞.
1
(2) a n (a > 1) : si n est assez grand (n ≥ a−1
), posons u n = an , la suite uun+1
tend vers a > 1,
n
elle est donc supérieure à 1 à partir d’un rang N ce qui implique que (u n ) est croissante
pour n ≥ m et ne converge pas car limn uun+1
> 1, elle tend donc vers +∞. Ainsi, à partir
n
d’un certain rang : a n ≥ n , donc : limn a n = +∞.
n
(3) n α (α > 0) : soient m un entier tel que mα > 1 (d’après Archimède) et M un réel positif,
alors pour n assez grand : n mα ≥ n ≥ Mm , d’où n α ≥ M, donc : limn n α = +∞.
1
(4) (ln n)β (β > 0) : d’après la déﬁnition du logarithme, ln(n + 1) − ln(n) ≥ n+1
donc :
ln(n + 1) ≥
1
1
+···+
2
n +1
1
Mais hn = 12 +· · ·+ n+1
est le terme général d’une suite croissante non convergente, en eﬀet
P
1
l’inégalité : h2n −hn−1 = n≤k≤2n k1 ≥ n 2n
= 12 l’empêche d’avoir une limite ﬁnie. Cette suite
tend vers +∞ donc aussi ln n . On en déduit, comme pour n α que (ln n)β tend vers +∞.
Ces suites ont toutes la même limite, comparons leurs vitesses de croissance (en utilisant les
notions vues ci-dessus). Les hypothèses sur les paramètres restent les mêmes.
(1) a n = o(n!) : Posons u n =
n!
an ,
alors pour n ≥ bac,
u n+1
un
µ
um
um
u n+1
n +1
=
···
≥
un
u m−1
un
a
≥ n+1
a > 1 et si m ≥ n :
¶m−n
Donc u m est minoré par le terme général d’une suite géométrique qui tend vers +∞.
´α
n
(2) n α = o(a n ) : soit u n = na α alors uun+1
= a n+1
> 1 tend vers a > 1, par conséquent (u n ) est
n
strictement croissante à partir d’un certain rang, donc (u n ) a une limite. Si (u n ) converge
u n+1
u n tend vers 1, ce qui n’est pas le cas donc limn u n = +∞.
n
³
(3) ln n = o(n) : nous savons maintenant que a n ≥ n si n est assez grand et a un réel strictement
supérieur à 1. ln est une fonction strictement croissante, donc n ln a ≥ ln n pour n assez
grand, soit : 0 ≤ lnnn ≤ ln a . Mais ceci est vrai pour tout a > 1, en particulier a de la forme
104
4. NOMBRES RÉELS SUITES ET FONCTIONS
e m où m est un entier strictement positif. On peut prendre m aussi grand que l’on veut,
donc limn lnnn = 0.
Par déﬁnition du logarithme, pour n ≥ 1 et θ > −1 :
"
#n
Z n
Z n
1
t θ+1
θ
dt ≤
t dt =
θ+1
1 t
1
1
1
d’où :
n θ+1 − 1
θ+1
> γ > 0 et θ =
ln n ≤
Ainsi, pour α > 0, β > 0 et γ tel que
ln n
n
α
−γ
β
α
β
≤
α
β
− γ − 1 + ε (ε < 0 ) :
n θ+1 − 1
α
nβ
−γ
(θ + 1)
ln n
= O(n ε )
α
−γ
nβ
n ε tend vers 0 quand n tend vers +∞, donc :
(ln n)β = o(n α )
Calcul direct de limn→+∞ ln(n)
:
n
¡
¢
1
ln(n + 1) ln(n) ln(n) + ln n + n
ln(n)
−
=
−
n +1
n
n +1
n
¡
¢
ln n + n1 − ln(n)
=
n(n + 1)
<0
Donc la suite
`, or
³
´
ln(n)
n
n≥1
est décroissante et minorée par 0, donc elle converge vers un réel
ln(2n) ln(2) ln(n)
=
+
2n
2n
2n
et en prenant les limites de chaque membre :
`=
`
2
donc ` = 0.
4.3. Suites de nombres complexes
Voir aussi le paragraphe ?? sur les nombres complexes.
Définition 4.3.1. Une suite u de nombres complexes est une application de N dans C.
L’expression u(n) est le terme général de u .
Définition 4.3.2. Une suite complexe u est dite bornée si et seulement s’il existe un réel M
tel que pour tout n : |u n | ≤ M.
L’ensemble des suites complexes bornées est noté `∞ (C).
Théorème 4.3.1. `∞ (C) est un espace vectoriel sur C (ou R).
et une algèbre (hors programme).
4.3. SUITES DE NOMBRES COMPLEXES
105
Définition 4.3.3. Soient a un complexe et r un réel (positif). L’ensemble
{z ∈ C/|z − a| < r }
est appelé disque ouvert de centre a et de rayon r .
Le disque
est appelé disque fermé.
{z ∈ C/|z − a| ≤ r }
Définition 4.3.4. Soit a dans dans C. Une partie V dans C est un voisinage de a dans C si
et seulement si elle contient un disque ouvert contenant a .
Définition 4.3.5. Une suite complexe converge vers un complexe a si et seulement pour
tout réel ε strictement positif il existe un entier N tel que :
si n ≥ N alors |u n − a| < ε
La suite u est convergente si et seulement s’il existe un complexe vers lequel elle converge.
On dit aussi que u tend vers a , nous dirons u n −−−−−→ a ou, a est la limite de u . Notation :
n→+∞
limn→+∞ u n = a .
Une suite qui ne converge pas est dite divergente.
Définition 4.3.6. La suite u tend vers ∞ si et seulement si pour tout réel M il existe un
entier N tel que :
si n ≥ N alors |u n | ≥ M
La convergence d’une suite complexe se représente géométriquement par un « nuage » de
points, voir les ﬁgures 1 (100 points) et 2 (400 points) qui représentent des suites complexes
convergentes avec un cercle qui matérialise le bord d’un disque de rayon 14 : quand n augmente
les points s’accumulent dans le disque.
Figure 1. 100 termes de u n
Toute suite complexe u s’écrit sous la forme v +i w où v et w sont des suites réelles appelées
respectivement partie réelle et partie imaginaire de u . En conséquence l’étude d’une suite complexe
peut se ramener à l’étude de deux suites réelles.
Proposition 4.3.1. Une suite complexe u converge vers un complexe a si et seulement si
les parties réelles et imaginaires convergent respectivement vers les parties réelle et imaginaire
de a .
Les propositions et théorèmes sur les suites complexes qui ne font pas intervenir la relation
d’ordre de R sont encore valables pour les suites complexes, le module remplaçant la valeur
absolue. Quelques exemples sont donnés ci-dessous.
106
4. NOMBRES RÉELS SUITES ET FONCTIONS
Figure 2. 400 termes de u n
Proposition 4.3.2. Une suite convergente est bornée.
Proposition 4.3.3. L’ensemble des suites convergeant vers 0 est muni d’une structure
d’espace vectoriel.
Proposition 4.3.4. Soit u une suite convergeant vers 0 et v une suite bornée, alors la suite
uv converge vers 0.
4.4. Fonctions : limites et continuité
4.4.1. Généralités.
Notations 4.4.1. Soit I une partie de R. Nous noterons F (I, R), l’ensemble des fonctions
déﬁnies sur I, à valeurs réelles. Les déﬁnitions qui suivent sont valables pour des fonctions déﬁnies
sur un ensemble quelconque, cependant en pratique nous n’étudierons que des fonctions déﬁnies
sur une réunion d’intervalles.
Dans ce qui suit, sauf mention du contraire, toutes les fonctions sont dans F (I, R).
Définition 4.4.1.
— Soient f et g deux fonctions, nous dirons que f est inférieure ou égale à g , si pour tout
x dans I : f (x) ≤ g (x). Nous écrirons : f ≤ g . f est majorée par g et g est minorée par f .
— Nous dirons que f est majorée si elle est inférieure à une fonction constante (respectivement minorée, supérieure). La fonction f est bornée si elle est majorée et minorée.
Rappelons que F (I, R) est muni de trois lois :
(1) (addition) f + g : x 7→ f (x) + g (x)
4.4. FONCTIONS : LIMITES ET CONTINUITÉ
107
(2) (multiplication interne) f .g : x 7→ f (x)g (x)
(3) (multiplication externe) λ ∈ R, λ. f : x 7→ λ f (x).
Le sous-ensemble des fonctions bornées de F (I, R) est noté B(I, R).
Définition 4.4.2. Soit V une partie de I, la borne supérieure de f sur V est : sup f (V). On
note :
sup f (x), ou sup f
x∈V
V
(Respectivement borne inférieure et inf).
Définition 4.4.3. La fonction f admet un maximum local en c (c ∈ I) si et seulement s’il
existe un voisinage V de c tel que :
sup f = f (c)
x∈V
On note :
maxx∈V f = f (c)
(Respectivement minimum et minx∈V f = f (c))
I:
Définition 4.4.4. La fonction f est croissante sur I, si et seulement si pour tous x , x 0 dans
x ≤ x 0 ⇒ f (x) ≤ f (x 0 )
La fonction f est strictement croissante sur I, si et seulement si pour tous x , x 0 dans I :
x < x 0 ⇒ f (x) < f (x 0 )
(respectivement décroissante).
Une fonction croissante, ou décroissante, est dite monotone (respectivement strictement monotone).
Proposition 4.4.1. Soient f , déﬁnie sur I et g , déﬁnie sur l’intervalle J, telles que : f (I) ⊂ J.
Le tableau suivant indique la nature de g ◦ f en fonction de celles de f et g :
Alors g ◦ f est si f est
croissante
croissante
croissante
décroissante
décroissante
Respectivement strictement croissante ou décroissante.
si
g
est
décroissante
décroissante
croissante
Remarque 4.4.1. La composée d’une fonction monotone et d’une fonction strictement monotone est monotone.
Définition 4.4.5. La fonction f est paire si pour tout x dans I, −x appartient à I et :
f (−x) = f (x)
Respectivement, impaire et f (−x) = − f (x).
Proposition 4.4.2. Les fonctions paires constituent un espace vectoriel (respectivement
impaires).
Définition 4.4.6. Soient T un réel et une fonction f (déﬁnie sur R), T est une période de f
si et seulement si pour tout x réel :
f (x + T) = f (x)
La fonction f est périodique, ou T-périodique, si et seulement s’il existe une plus petite période
strictement positive T, appelée la période de f .
108
4. NOMBRES RÉELS SUITES ET FONCTIONS
Définition 4.4.7. La fonction f est lipschitzienne (ou k -lipschitzienne), si et seulement s’il
existe un réel k tel que pour tous réels x et x 0 :
| f (x) − f (x 0 )| ≤ k|x − x 0 |
La fonction f est k -contractante lorsque k < 1.
Proposition 4.4.3. Les fonctions de période T constituent un espace vectoriel.
Remarque 4.4.2. Plus généralement, les fonctions invariantes par un groupe G de transformations de l’ensemble de déﬁnition D, c’est-à-dire que pour tout g dans G et tout x dans D :
f (g (x)) = f (x), déﬁnissent un espace vectoriel.
Remarque 4.4.3. Les fonctions périodiques ne forment paspun espace vectoriel. On peut
s’en convaincre en faisant la somme de f et g de périodes 1 et 2 respectivement. Supposons
qu’il existe T tel que :
( f + g )(x + T) = ( f + g )(x)
Il vient :
f (x + T) + g (x + T) = f (x) + g (x)
Posons h(x) = f (x + T) − f (x) = −gp
(x + T) + g (x). D’une part : h(x + 1) = h(x), puisque la période
de f est 1 et d’autre part : h(x + 2) = h(x), d’après la période de g . Donc, pour tout x et tous
entiers m et n :
p
h(x + m + n 2) = h(x)
p
Or H = {m +n 2/m ∈ Z, n ∈ Z} est un sous-groupe dense ou discret de R (suivant que inf H∩ R?
+ est
0 ou strictement positif ; lemme, voir plus bas…). Ici H est dense
dans
R
.
Ainsi
on
peut
approcher
p
n’importe quel réel par une suite de réels de la forme
p m + n 2, donc h est constante. Ainsi une
fonction qui a deux périodes dont le rapport est 2, est constante : h(x) = c . On a donc, pour
tout entier k :
f (x + kT) = f (x) + kc
Si c 6= 0 et T 6= 0, on en déduit que f n’est pas bornée sur R, comme elle a pour période 1, elle
n’est pas bornée sur [0, 1]. Il est facile de trouver des contre-exemples.
Avec les notations qui précèdent, prouvons l’assertion suivante.
Lemme 4.4.1. inf H ∩ R?
+ = α > 0.
Démonstration. α est dans H, sinon on pourrait trouver, par déﬁnition de la borne supérieure, deux éléments a et b de H (au moins) tels que a < b et :
|α − a| <
α
,
2
|α − b| <
α
2
Donc 0 < b − a < α, ce qui contredit la déﬁnition de α. Les éléments de H sont donc isolés.
Soit x dans H, posons k = b αx c, alors
0 ≤ x − kα < α
x − kα est dans H, positif et inférieur strictement à α, donc x = kα. On en déduit :
H = αZ
Mais alors il existe des entiers p et q tels que
1 = pα,
Mais ceci implique que
p
2 = qα
p
2 est rationnel, il est connu que c’est faux, donc α = 0.
4.4. FONCTIONS : LIMITES ET CONTINUITÉ
109
4.4.2. Étude locale des fonctions : limites.
Définition 4.4.8. La fonction f , déﬁnie sur I et a dans R, a une limite en a si et seulement
si pour toute suite u qui tend vers a , la suite ( f (u n ))n≥0 a une limite. Notation :
ou
lim f (x)
x→a
lim f
a
Remarque 4.4.4. Conséquences de la déﬁnition :
— La position de a relativement à I est remarquable (a est proche de I voire contenu dans
I ; a adhère à I).
— Si f a une limite en a , la limite de la suite ( f (u n ))n≥0 ne dépend pas de la suite u
utilisée. En eﬀet, soient u et v deux suites telles que : limn→+∞ u n = a et limn→+∞ v n = a , si
limn→+∞ f (u n ) = ` et limn→+∞ f (v n ) = `0 . On déﬁnit la suite w par : w 2n = u n et w 2n+1 = v n ,
ainsi u et v sont extraites de w , par conséquent f (u) et f (v) sont extraites de f (w), donc :
` = lim f (u n ) = lim f (w n ) = lim f (v n ) = `0
n→+∞
n→+∞
n→+∞
— Si a appartient à I et si lima f existe, alors lima f = f (a)
La proposition suivante donne une autre déﬁnition de la limite.
Proposition 4.4.4. Soit f , déﬁnie sur l’intervalle I et a ∈ R. f a une limite ` en a si
(1) a ∈ R, ` ∈ R :
∀ε > 0, ∃η > 0, ∀x ∈ I :
(|x − a| ≤ η ⇒ | f (x) − `| ≤ ε)
(2) a ∈ R, ` = +∞ :
∀M ∈ R, ∃η, ∀x ∈ I :
(|x − a| ≤ η ⇒ f (x) ≥ M)
(3) a = +∞, ` ∈ R :
x ≥ K ⇒ | f (x) − `| ≤ ε)
∀ε > 0, ∃K ∈ R, ∀x ∈ I :
(4) a = +∞, ` = +∞ :
∀M ∈ R, ∃K ∈ R, ∀x ∈ I :
x ≥ K ⇒ f (x) ≥ M)
Les déﬁnitions comportant −∞ sont semblables.
Démonstration. Démontrons le premier point, les autres sont laissés en exercice.
Si u n → a , alors il existe un entier N tel que pour tout entier n supérieur à N :
|u n − a| ≤ η ⇒ | f (u n ) − `| ≤ ε
Donc pour tout ε > 0 il existe N tel que n ≥ N implique | f (u n ) − `| ≤ ε, donc limn→+∞ f (u n ) = `.
Réciproquement, soit la négation de 1 :
∀` ∈ R, ∃ε > 0, ∀η, ∃x ∈ I :
Pour tout entier n ≥ 1, choisissons η =
1
n,
(|x − a| ≤ η) ∧ (| f (x) − `| ≥ ε)
alors on a :
1
) ∧ (| f (x n ) − `| ≥ ε)
n
Donc (x n ) tend vers a et ( f (x n )) ne tend pas vers `.
∀n, ∃x n ∈ I :
(|x n − a| ≤
Remarque 4.4.5. L’usage de la notion de voisinage permet d’avoir un énoncé unique et
succint pour tous les cas :
Pour tout voisinage V de ` il existe un voisinage U de a tel que pour tout x dans U :
x ∈ U =⇒ f (x) ∈ V
110
4. NOMBRES RÉELS SUITES ET FONCTIONS
On dit abusivement que ]a, +∞[ est un voisinage de +∞ alors que l’on ne devrait parler de
voisinage de +∞ que dans R : ]a, +∞] est un tel voisinage.
Définition 4.4.9. Soient E un ensemble et A une partie de E, f une fonction déﬁnie sur A
et F une fonction déﬁnie sur E. La fonction f est la restriction de F à A si et seulement si pour
tout x dans A :
F(x) = f (x)
Dans ce cas, F est le prolongement de f à E.
Définition 4.4.10. Nous dirons que f admet une limite à droite en a si et seulement si la
restriction de f à I∩]a, +∞[ a une limite en a . Nous notons :
lim f (x)
x→a
x>a
ou
lim f
a+
La limite à gauche, lima − f , est déﬁnie de manière semblable.
Remarque 4.4.6.
— Si b ∈ R alors f (x) → b équivaut à f (x) − b → 0
— Si a ∈ R alors f (x) → b lorsque x → a équivaut à f (a + h) → b lorsque h → 0
Théorème 4.4.1 (Opérations sur les limites). Les limites de fonctions se ramènent à des
limites de suites. Par conséquent toutes les opérations sur les limites de suites se traduisent en
opérations sur les limites de fonctions, de même que la compatibilité avec l’ordre. Les égalités
suivantes sont vraies lorsque le membre de droite est déﬁni, α représente un réel a ou +∞ ou
−∞, f et g sont des fonctions :
— limα ( f + g ) = limα f + limα g ;
— limα f g = (limα f )(limα g ) ;
— limα 1f = lim1α f ;
— si lima g = 0 et | f | ≤ g alors lima f = 0.
Preuve en exercice.
Néanmoins, il y a un petit supplément :
Proposition 4.4.5. Soient deux fonctions, f déﬁnie sur I, g déﬁnie sur J, a et b dans R,
on suppose que :
— f (I) ⊂ J
— limb g et lima f existent et lima f = b .
Alors lima g ◦ f existe et est égale à limb g .
Démonstration. Faisons la démonstration dans le cas où a et b sont ﬁnis. Soit ` = limb g :
∀ε > 0, ∃η > 0, ∀y ∈ J :
(|y − b| ≤ η ⇒ |g (y) − `| ≤ ε)
∀ε0 > 0, ∃η0 > 0, ∀x ∈ I :
(|x − a| ≤ η ⇒ | f (x) − b| ≤ ε0 )
Choisissons ε0 = η, alors pour tout ε > 0 il existe η0 tel que :
|x − a| ≤ η ⇒ | f (x) − b| ≤ ε0 = η
donc
| f (x) − b| ≤ η ⇒ |g ( f (x)) − `| ≤ ε)
En résumé :
∀ε > 0, ∃η0 > 0, ∀x ∈ I :
Soit : limx→a g ( f (x)) = `.
(|x − a| ≤ η0 ⇒ |g ( f (x)) − `| ≤ ε)
4.4. FONCTIONS : LIMITES ET CONTINUITÉ
111
Proposition 4.4.6. Toute fonction f , déﬁnie sur un intervalle I, admettant une limite ﬁnie
b en a est bornée au voisinage de a .
Autrement dit, il existe un réel M un voisinage V de a , tel que pour tout x dans V ∩ I :
| f (x)| ≤ M
Démonstration. Soit b = lima f . Soit ε = 1, par déﬁnition il existe un réel η tel que :
|x − a| ≤ η implique | f (x) − b| ≤ 1 d’où : | f (x)| ≤ |b| + 1, donc f est bornée.
Proposition 4.4.7. Soit f déﬁnie sur I, admettant une limite strictement positive en a .
Alors il existe un réel c strictement positif et un voisinage V de a tels que pour tout x dans V ∩I :
f (x) ≥ c
Démonstration. Soit b = lima f . Pour ﬁxer les idées supposons que a et b soient réels (les
autres cas se traitent de manière semblable). Quelque soit ε > 0, il existe un voisinage V de a tel
que pour tout x dans V : | f (x) − b| ≤ ε. Choisissons ε = b4 , alors si x est dans V : | f (x) − b| ≤ b4
d’où :
f (x) ≥ b −
b 3b
=
>0
4
4
On peut prendre c = 3b
4 .
Proposition 4.4.8. Soit a dans R. Le sous-ensemble de F (I, R), constitué des fonctions dont
la limite est nulle en a , est un sous-espace vectoriel de F (I, R).
Démonstration. D’après les opérations sur les limites de fonctions (théorème 4.4.1).
Proposition 4.4.9. Si g est bornée au voisinage de a et si lima f = 0 alors lima f g = 0 (où
( f g )(x) = f (x)g (x)).
Démonstration. D’après le théorème 4.4.1.
Proposition 4.4.10. Soit f monotone sur I, f admet une limite à droite et une limite à
gauche en tout point c de I et :
(
limc − f ≤ f (c) ≤ limc + f
limc − f ≥ f (c) ≥ limc + f
si f est croissante
si f est décroissante
De plus si a et b sont les extrémités de I (a ≤ b ), l i m a + f et limb − f existent.
Démonstration. Supposons que f est croissante sur un intervalle I, soient c dans I et
G = {x ∈ I/x < c}. Pour tout x dans G : f (x) ≤ f (c) donc f est bornée sur G, elle admet une borne
supérieure ` : ` = supG f ≤ f (c). Par déﬁnition de la borne supérieure :
∀ε > 0, ∃x 0 ∈ G :
` − ε ≤ f (x 0 ) ≤ `
Soit η = c − x 0 , alors si c − η ≤ x < c : x 0 ≤ x < c , comme f est croissante : f (x 0 ) ≤ f (x) ≤ `, d’où :
0 ≤ ` − f (x) ≤ ` − f (x 0 ) = ε
autrement dit : limc − f = ` et limc − f ≤ f (c). De même : f (c) ≤ limc + f .
112
4. NOMBRES RÉELS SUITES ET FONCTIONS
f (x2 )
f (x1 )
f (b)
f (a)
a
x1
x2
b
Figure 3. Fonction discontinue.
4.4.3. Étude locale des fonctions : continuité en un point.
Définition 4.4.11. Soit a dans I. La fonction f est continue en a si et seulement si lima f
existe.
Alors nécessairement lima f = f (a)
Proposition 4.4.11 (Déﬁnition équivalente de la continuité). f est continue en a si et
seulement si :
∀ε ∈ R, ε > 0
∃η ∈ R, η > 0
∀x ∈ I :
(|x − a| < η ⇒ | f (x) − f (a)| < ε)
Proposition 4.4.12. f est continue en c si et seulement si
lim f = f (a) = lim
f
−
a
a+
Démonstration. Écrivons trois assertions :
(1) existence de la limite `0 à gauche :
∀ε > 0
∃η0 > 0
∀x ∈ I :
(0 < a − x ≤ η0 ⇒ | f (x) − `0 | ≤ ε)
(2) existence de la limite `00 à droite :
∀ε > 0
∃η00 > 0
∀x ∈ I :
(0 < x − a ≤ η00 ⇒ | f (x) − `00 | ≤ ε)
(3) `0 = `00 = f (a).
En posant η = min(η0 , η00 ) nous obtenons la continuité de f en a . Inversement il est clair que la
continuité de f en a implique les trois assertions ci-dessus.
Théorème 4.4.2 (Opérations sur les fonctions continues). Si f et g sont continues en a , λ
est réel :
(1) la somme f + g et le produit f g sont continus en a .
(2) λ. f est continue en a
(3) Si g (a) 6= 0 alors
f
g
est continue en a .
i.e. les fonctions continues en a forment un espace vectoriel et un anneau (donc une algèbre).
Démonstration. C’est une conséquence immédiate des opérations sur les limites (théorème 4.4.1).
De même :
Proposition 4.4.13. Soient f , continue en a , g continue en f (a), alors g ◦ f est continue
en a .
4.4. FONCTIONS : LIMITES ET CONTINUITÉ
113
4.4.4. Étude globale des fonctions continues.
Définition 4.4.12. La fonction f est continue sur I si et seulement si f est continue en tout
point de I.
Théorème 4.4.3 (Opération sur les fonctions continues). Soient f et g continues sur l’intervalle I.
(1) la somme f + g et le produit f g sont continus sur I.
(2) λ. f est continue sur I.
(3) Si pour tout x dans I, g (x) 6= 0 alors
f
g
est continue sur I.
Les fonctions continues sur I forment un espace vectoriel et un anneau (donc une algèbre).
Démonstration. Appliquer le théorème 4.4.2 en chaque point de l’intervalle.
De même :
Proposition 4.4.14. Soient f , continue sur I, g continue sur J où f (I) ⊂ J, alors g ◦ f est
continue sur I.
Exemple 4.4.1. Les fonctions polynômes, les fractions rationnelles sont continues sur R.
Exemple 4.4.2. Si f et g sont continues alors sup( f , g ), | f |, f + et f − sont continues.
Définition 4.4.13. Soient I un intervalle d’extrémité a n’appartenant pas à I et f une
fonction déﬁnie sur I. Le prolongement par continuité de f en a est la fonction F déﬁnie par :
(
F(x) = f (x)
F(a) = lima f
si x est dans I
sinon
Proposition 4.4.15 (Inertie). Soient I =]a, b[ un intervalle ouvert non vide et c dans I.
Supposons que f soit une fonction continue sur I telle que f (c) > 0. Alors :
Il existe un intervalle ouvert J contenant c et contenu dans I et un réel d tels que pour tout x
dans J : f (x) ≥ d > 0.
Démonstration. Choisissons ε = 2 dans la déﬁnition de la continuité en c de f : alors il
f (c)
existe η > 0 tel que c − η < x < c + η implique f (c) − ε < f (x) < f (c) + ε, donc d = f (c) − ε = 2 > 0
convient.
f (c)
f (a) + ε
f (a − η)
f (a)
f (x)
f (a + η)
f (a) − ε
a−η
x
a
a+η
Figure 4. Inertie d’une fonction continue
114
4. NOMBRES RÉELS SUITES ET FONCTIONS
Corollaire 4.4.1 (Préservation des inégalités). Soient f et g continues en c et telles que :
f (c) < g (c). Alors dans un voisinage de c on a encore : f (x) < g (x).
Théorème 4.4.4 (Bolzano (1817) ; théorème des valeurs intermédiaires). Si f est une fonction continue sur [a, b] telle que f (a) < 0 et f (b) > 0, alors il existe c dans ]a, b[ tel que : f (c) = 0
On peut aussi écrire une version de ce théorème avec des inégalités larges.
Démonstration. Soit E = {x ∈ [a, b]/ f (x) > 0}, E contient b donc est non vide, il est borné
par a et b , il possède donc une borne inférieure α. Supposons f (α) > 0, alors le théorème d’<<inertie>> permet de trouver ε tel que x ∈]α − ε, α + ε[ et a ¡≤ α − ¢ε (car f (α) et f (a) n’étant pas de
même signe : a < α) implique f (x) > 0, en particulier : f α − 2ε > 0, ce qui contredit que α soit la
borne inférieure de E. Donc : f (α) ≤ 0. De la même façon, f (α) < 0 est impossible, donc f (α) = 0.
c = α convient.
Corollaire 4.4.2. Si f est une fonction à valeurs réelles déﬁnie et continue sur un intervalle
I alors f (I) est un intervalle.
Démonstration. Soient α = f (a) et β = f (b) dans f (I) (a et b sont dans I). Pour démontrer
que f (I) est un intervalle, il suﬃt de montrer que tout élément γ entre α et β est dans f (I).
Supposons α ≤ β et soit γ un nombre réel tel que : α ≤ γ ≤ β. Posons, pour x dans I : g (x) = f (x)−γ.
La fonction g est continue sur I, telle que : g (a)g (b) ≤ 0, le théorème des valeurs intermédiaires
(4.4.4) assure l’existence d’un réel c de I tel que : g (c) = 0, soit : f (c) = γ, donc γ ∈ f (I).
Théorème 4.4.5 (Weierstrass (1861)). Soit f continue sur [a, b], alors f est bornée et atteint
ses bornes.
Démonstration. Soient L = sup f ([a, b]) et v une suite d’éléments de f ([a, b]) qui tend vers
L. Pour tout n il existe au moins un élément u n dans [a, b) tel que : f (u n ) = v n . Nous obtenons une
suite u d’éléments de [a, b], d’après le théorème de Bolzano-Weierstraß, il existe une suite (u ϕ(n) )
extraite de u qui converge vers un réel `. f étant continue : limn→+∞ f (u ϕ(n) ) = f (`), mais (u ϕ(n) )
converge vers la même limite que u donc L = f (`). Par conséquent : L ∈ f ([a, b]), ce qui montre
que f est majorée et atteint sa borne supérieure. Il en est de même pour la borne inférieure K,
ce qui achève la démonstration.
En corollaire on obtient :
Proposition 4.4.16. Si f est continue sur [a, b], alors f ([a, b]) est de la forme [a 0 , b 0 ] ( i.e.
fermé et borné).
Démonstration. D’après le théorème 4.4.5, avec les mêmes notations : f ([a, b]) ⊂ [K, L] et
d’après le corollaire du théorème de Bolzano (4.4.4), f ([a, b]) est un intervalle qui contient L et
K , donc f ([a, b]) = [L, K].
Proposition 4.4.17. Soit f une fonction déﬁnie, continue et strictement monotone sur
un intervalle I. Alors l’application réciproque f −1 , déﬁnie sur l’intervalle f (I) est continue (et
monotone).
Démonstration. Il est assez facile de voir que f (I) est un intervalle sur lequel est déﬁnie
f −1 , monotone (de même variation que f ). Il reste à démontrer la continuité, ce qui se fait en
utilisant le lemme suivant : si f est monotone, elle est continue si et seulement si f (I) est un
intervalle.
Le sens direct a déjà été prouvé pour toute fonction continue, démontrons la réciproque dans le
cas où, par exemple, f est croissante. Soit d dans f (I), nous allons démontrer que limd − f −1 =
4.4. FONCTIONS : LIMITES ET CONTINUITÉ
115
f −1 (d ) = limd + f −1 , sous réserve que ces limites aient un sens.
Supposons, par exemple, que d n’est pas une extrémité gauche de f (I) ; soit alors
c ∈] lim
f −1 , f −1 (d )[
−
d
Puisque f est continue en lim y→d − f
µ
f
Donc ] limd − f
en d .
−1
,f
−1
(y) :
¶
lim− f −1 (y) = lim− f ( f −1 (y)) = lim− y = d < d
−1
y→d
y→d
y→d
(d )[= ∅. Puisqu’il en est de même pour la limite à droite, f −1 est continue
Définition 4.4.14. La fonction f , déﬁnie sur I, est uniformément continue sur I si et seulement si pour tout ε strictement positif il existe un réel η strictement positif tel que pour tous x
et x 0 dans I :
|x − x 0 | ≤ η =⇒ | f (x) − f (x 0 )| ≤ ε
Proposition 4.4.18. Toute fonction continue sur un intervalle fermé et borné est uniformément continue.
Donnons deux démonstrations, la première utilise le théorème de Bolzano et Weierstrass et
la seconde emploie la connexité de l’intervalle.
Démonstration. Supposons que f ne soit pas uniformément continue sur [a, b] : alors il
1
existe ε > 0 tel que pour tout η = n+1
> 0, il existe u n et v n dans [a, b] tels que :
(|u n − v n | ≤
1
)
n
∧
(| f (u n ) − f (v n )| > ε)
D’après le théorème de Bolzano-Weierstrass (4.2.4) il existe une suite convergente (u ϕ(n) )n extraite
de u .
Nous pouvons procéder de la façon suivante :
Soit ε > 0, comme ϕ est strictement croissante, elle tend vers +∞, donc il existe un N0 tels que
n ≥ N0 ⇒
1
≤ε
ϕ(n) + 1
et puisque (u ϕ(n) )n converge vers un réel `, il existe un entier N1 tel que :
n ≥ N1 ⇒ |u ϕ(n) − `| ≤ ε
Ainsi l’inégalité
|v ϕ(n) − `| ≤ |v ϕ(n) − u ϕ(n) | + |u ϕ(n) − `| ≤ 2ε
montre que la suite (v ϕ(n) )n converge aussi vers `. Ceci implique
lim | f (u ϕ(n) ) − f (v ϕ(n) )| = 0 > ε
n→+∞
qui est en contradiction avec l’hypothèse. Donc f est uniformément continue sur [a, b].
Autre manière : nous pouvons aussi extraire de la suite (v ϕ(n) )n une suite convergente (v ϕ(ψ(n)) )n
converge vers un réel `0 , de plus (u ϕ(ψ(n)) )n est une suite extraite d’une suite convergente, elle
converge vers la même limite `. Enﬁn
|u ϕ(ψ(n)) − v ϕ(ψ(n)) | ≤
1
ϕ(n) + 1
montre que ` = `0 . Nous concluons ensuite comme pour la première manière.
Autre preuve :
116
4. NOMBRES RÉELS SUITES ET FONCTIONS
Démonstration. Soit f déﬁnie et continue sur I = [a, b]. Soient ε > 0 et E = {x ∈ [a, b]/∃δ >
0, ∀(x 0 , x 00 ) ∈ [a, x]2 , : |x 0 −x 00 | ≤ δ =⇒ | f (x 0 )− f (x 00 )| ≤ ε}. E est non vide, il contient a et est borné par
b , donc E a une borne supérieure β. Si β < b , comme f est continue en β, il existe η > 0 tel que :
|x − β| ≤ η implique | f (β) − f (x)| ≤ 2ε . Donc si x 0 ou x 00 est supérieur à β : |x 0 − β| ≤ η, |x 00 − β| ≤ η
alors |x 0 − x 00 | ≤ 2η et : | f (β) − f (x 0 )| ≤ 2ε , | f (β) − f (x 00 )| ≤ 2ε d’où | f (x 0 ) − f (x 00 )| ≤ ε. En remplaçant
η
η par min(δ, η), on constate que β appartient à E et aussi β + 4 , contredisant le fait que β soit la
borne supérieure de E. Donc β = b , ce qui achève la démonstration.
Exemple 4.4.3. Donc, mises à part les fonctions continues sur des intervalles fermés et bornés, les fonctions lipschitziennes sont uniformément continues sur leurs ensembles de déﬁnition
p
(quels qu’ils soient), x 7→ x n’est pas lipschitzienne mais est uniformément continue sur l’intervalle fermé mais non borné R+ .
x 7→ x1 n’est pas uniformément continue sur l’intervalle borné mais pas fermé : ]0, 1].
p
(1) x 7→ x n’est pas lipschitzienne. Supposons le contraire ; soit k réel tel que :
p
p
∀(x, t ) ∈ R2+ , x 6= t : | x − t | ≤ k|x − t |
Donc
p
p 1p
x+ t
≤ k , or la fonction du membre de gauche n’est pas bornée.
(2) x 7→ x est uniformément
continue. Pour tout ε > 0 il existe η = ε2 tel que pour tous x et
p
p
t : |x − t | ≤ η ⇒ | x − t | ≤ ε. En eﬀet, supposons t = x + s :
0≤
Il suﬃt que
p
p
p
p
x +s − x ≤ x +η− x = p
p
η ≤ ε.
η
p ≤
x +η+ x
p
η
(3) x 7→ x1 n’est pas uniformément continue sur ]0, +∞[. La négation de l’uniforme continuité
s’écrit :
∃ε, ∀η > 0, ∃x, ∃x 0 , (|x − x 0 | ≤ η) ∧ (| f (x) − f (x 0 )| > ε)
1
1
Prenons ε = 12 , x = n+1
, x 0 = 2n+2
avec n entier assez grand.
4.4.5. Extension des notations de Landau. Dans ce qui suit, il est sous-entendu que x
appartient aux ensembles de déﬁnition des fonctions f et g .
Définition 4.4.15. Soient f et g deux fonctions déﬁnies sur I et a dans R.
(1) La fonction g domine la fonction f (ou f est dominée par g ) si et seulement s’il existe
un réel M et un voisinage V de a tel que, pour tout x dans V : | f (x)| ≤ M|g (x)|. Notation :
f = O(g )
(ou f = O(g )).
a
(2) La fonction f est négligeable devant la fonction g si et seulement si pour tout réel ε > 0
il existe un voisinage V de a et un entier N tel que, si n ≥ N alors | f (x)| ≤ |g (x)|. On note
f = o(g )
(ou f = o(g )). Si g ne s’annule pas cela équivaut à lima
a
f
g
= 0.
(3) La fonction f est équivalente à g si et seulement si : f − g = o(g ). Nous noterons
f ∼g
(ou f ∼ g ). Si g ne s’annule pas cela équivaut à lima
a
f
g
= 1.
Remarque 4.4.7. Pratiquement, dans les déﬁnitions ci-dessus, nous écrirons lima g lorsque
g (x) 6= 0 sur un voisinage de a . Sauf mention du contraire, un quotient est déﬁni implicitement
sur l’intersection de l’ensemble de déﬁnition de f , g et {x/g (x) 6= 0}.
f
4.4. FONCTIONS : LIMITES ET CONTINUITÉ
117
La ﬁgure 5 dessinée avec Maple ® représente les comportements des fonctions exponentielle,
x 7→ x 2 , racine carrée et logarithme sur [1, +∞]. Une option permet de représenter les fonctions
sur des intervalles inﬁnis. Il faut prendre garde au fait que ce logiciel ne fait pas la diﬀérence en
+∞, les diﬀérents ordres de croissances sont indiqués par les tangentes en ∞.
Figure 5. Comparaison de fonctions usuelles
Proposition 4.4.19. a ∈ R.
— Si f = o(g ) alors f = O(g )
— Si f = O(g ) et lim g = 0 alors lim f = 0
— Si f = o(g ) et h = o(g ) alors : f + h = o(g ).
— Si f = O(g ) et h = O(g ) alors : f + h = O(g ).
— Si f ∼ g alors
— Au voisinage de a f et g ont le même signe.
— lima f existe si et seulement si lima g existe et dans le cas où elles existent, elles sont
égales.
— Si f 1 ∼ g 1 et f 2 ∼ g 2 , alors f 1 f 2 ∼ g 1 g 2 .
a
a
a
Remarque 4.4.8.
(1) Il n’y a pas de règle générale pour l’addition des équivalents :
au voisinage de 0, x est équivalente à x + x 2 et −x + x 3 est équivalente à −x + x 3 mais
x + (−x + x 3 ) = x 3 n’est pas équivalente à x + x 2 + (−x + x 3 ) = x 2 + x 3 .
(2) En général, les relations ne sont pas conservées par dérivation :
¶
1
= o(x)
x2
µ ¶
µ ¶
1
2
1
2x sin 2 − cos 2 6= o(1)
x
x
x
x 2 sin
µ
Le comportement des primitives est hors-programme.
∞.
Exercice 4.4.1. Comparer les croissances des fonctions usuelles aux voisinages de 0 et de
118
4. NOMBRES RÉELS SUITES ET FONCTIONS
4.4.6. Développements asymptotiques.
Définition 4.4.16. Soient a dans R (ou C), (E, ≤) un ensemble totalement ordonné et E =
(e j ) j ∈E une famille de fonctions indexées par E tels que :
i < j ⇒ e j = o(e i )
a
E est une échelle de comparaison au voisinage de a .
Exemple 4.4.4. Fonctions d’une variable réelle : E 1 = (x 7→ e j x ) j ∈R , E 2 = (x 7→ x j ) j ∈Z .
Définition 4.4.17. Soit f une fonction, a dans K, et E = (e j ) j ∈E une échelle de comparaison
au voisinage de a . On appelle développement asymptotique de f au voisinage de a dans l’échelle
P
E toute expression de la forme 0≤i ≤n a i e j i telle que :
f (x) =
a
X
a i e j i (x) + o(e j n (x))
0≤i ≤n
Proposition 4.4.20. L’échelle de comparaison E étant ﬁxée, s’il existe, le développement
asymptotique est unique.
Définition 4.4.18. Soit f une fonction déﬁnie au voisinage de a . Supposons qu’il existe un
P
polynôme 0≤ j ≤n a j x j tel que :
f (x) −
X
a j (x − a) j = o((x − a)n )
0≤ j ≤n
La somme
P
0≤ j ≤n a j (x − a)
j
est le développement limité de f au voisinage de a à l’ordre n .
Le développement limité de f au voisinage de a à l’ordre n est unique. C’est un exemple
important de développement asymptotique.
Remarque 4.4.9. Si f admet un développement limité en a à l’ordre 1, alors f est dérivable
en a .
p
Exemple 4.4.5. Développement limité de f : f (x) = 1 + x , au pvoisinage de 0. Nouspavons :
f (x) ∼ 1, à l’étape suivante on cherche l’équivalent de la diﬀérence : 1 + x −1 ∼ x2 . Puis : 1 + x −
0
0
1 − x2 ∼ − x4 etc.
2
0
4.5. Intégrale de Riemann
(Intégration sur un segment des fonctions à valeurs réelles)
4.5.1. Fonctions continues par morceaux.
Définition 4.5.1. Soit [a, b] un intervalle de R, une subdivision σ de [a, b] est une suite
croissante ﬁnie (x j )0≤ j ≤n d’éléments de [a, b] telle que x 0 = a et x n = b . La subdivision (x 0j )0≤ j ≤n
est plus ﬁne que la subdivision(x j )0≤ j ≤n si et seulement si la seconde suite est extraite de la
première suite (la seconde est moins ﬁne que la première).
Proposition 4.5.1. La relation << est plus ﬁne que >> (respectivement << est moins ﬁne
que >>) déﬁnit une relation d’ordre partiel sur l’ensemble des subdivisions de [a, b] qui est un
ensemble réticulé (ou treillis). (sup(σ, σ0 ) et inf(σ, σ0 ) existent pour toutes subdivision σ et σ0 ).
On note : σ0 ¹ σ pour <<σ0 est plus ﬁne que σ>>.
Définition 4.5.2. Étant donné un intervalle [a, b], on appelle fonction en escalier déﬁnie
sur [a, b] toute fonction ϕ telle qu’il existe :
4.5. INTÉGRALE DE RIEMANN
119
(1) une subdivision σ = (x j )0≤ j ≤n de [a, b]
(2) des réels (c j )0≤ j ≤n−1 et (d j )0≤ j ≤n tels que
ϕ(x) =
si x ∈]x j , x j +1 [
si x = x j
(
cj
dj
Ainsi ϕ est constante sur les intervalles ]x j , x j +1 [. Toute subdivision σ ayant cette propriété est
dite adaptée (ou subordonnée) à ϕ.
Une fonction en escalier sur R est une fonction en escalier sur un intervalle [a, b], nulle en dehors
de [a, b].
Une fonction en escalier s’écrit donc comme combinaison linéaire de fonctions indicatrices
d’intervalles deux à deux disjoints :
X
X
d j 1x j +
0≤ j ≤n
0≤ j ≤n−1
c j 1]x j ,x j +1 [
On peut remplacer les intervalles ouverts par des intervalles fermés ou semi-ouverts. L’utilisation
des intervalles ouverts est plus souple, cependant nous ne considérerons que des fonctions en
escalier sur des intervalles fermés et bornés pour lesquels ou peut utiliser indiﬀéremment des
intervalles ouverts, fermés ou semi-ouverts.
Plus généralement :
Définition 4.5.3. Une fonction f , continue par morceaux sur un intervalle [a, b] est une
fonction telle que :
(1) il existe une subdivision (x j )0≤ j ≤n de [a, b]
(2) f est continue sur tout intervalle ]x j , x j +1 [, 0 ≤ j ≤ n − 1
(3) f admet une limite ﬁnie à droite en x j et une limite ﬁnie à gauche en x j +1
(x j )0≤ j ≤n est dite adaptée à f .
Remarque 4.5.1. Une fonction f continue par morceaux n’est pas nécessairement continue
à gauche en un point x , c.à.d. : limx − f = f (x), ou continue à droite : limx + f = f (x).
Proposition 4.5.2. L’ensemble des fonctions continues par morceaux (respectivement en
escalier) sur un intervalle [a, b] est muni d’une structure d’algèbre (espace vectoriel et anneau).
Démonstration. Faisons la démonstration pour les fonctions en escalier. Soient f et g
deux fonctions en escalier :
f =
X
c j 1I j ,
X
g=
0≤ j ≤m−1
d k 1Jk
0≤ j ≤n−1
Leur produit est une somme de produits de fonctions indicatrices :
X
fg=
c j d k 1I j 1Jk
0≤ j ≤m−1
0≤ j ≤n−1
Le produit de deux fonctions indicatrices d’intervalles est la fonction indicatrice d’un intervalle.
Lorsque les intervalles sont ouverts il y a deux cas :
1]a,b[ 1]c,d [
1]a,b[ 1]c,d [
=0
= 1]c,b[
si
]a, b[∩]c, d [= ;
sinon
La somme de fonctions indicatrices d’intervalles est une fonction en escalier. Soit :
f =
X
0≤ j ≤m−1
c j 1I j
120
4. NOMBRES RÉELS SUITES ET FONCTIONS
où pour tout j , c j est réel et I j est un intervalle d’extrémités α j et β j (éventuellement égales).
Soit σ la subdivision obtenue en faisant la réunion de a , b et des extrémités des intervalles I j :
σ = (x k )0≤k≤n . On pose pour tout :
dj
=
cj
=
f (x
³ j)
f
x j +x j +1
2
0≤ j ≤n
´
0 ≤ j ≤ n −1
car f est constante sur chaque intervalle ]x j , x j +1 [. Il suit que :
X
f =
X
d j 1x j +
0≤ j ≤n
0≤ j ≤n−1
c j 1]x j ,x j +1 [
Donc le produit de fonctions en escalier est une fonction en escalier (ceci implique le corollaire 4.5.1).
La démonstration pour les fonctions continues par morceaux se fait en premant une subdivision plus ﬁne que les subdivisions données pour les fonctions continues par morceaux, sur chaque
intervalle de cette subdivision, on eﬀectue la somme ou le produit de fonctions continues.
Corollaire 4.5.1. L’ensemble des fonctions en escalier sur R est égal à l’ensemble des
combinaisons linéaires des fonctions indicatrices d’intervalles.
4.5.2. Intégrale d’une fonction continue par morceaux.
Définition 4.5.4. L’aire d’un rectangle ]a, b[×]c, d [ (où a ≤ b et c ≤ d ) est
(b − a)(d − c)
Proposition 4.5.3. Soient f une fonction en escalier et σ = (x j )0≤ j ≤n une subdivision
adaptée à f :
X
X
f =
d j 1x j +
c j 1]x j ,x j +1 [
Soit c dans [a, b], et σ
0≤ j ≤n
0
= (x 0j )0≤ j ≤n 0
0≤ j ≤n−1
la subdivision inf(σ, (a, c, b)). Alors σ0 est adaptée à f et :
X
X
c j (x j +1 − x j ) =
0≤ j ≤n−1
0≤ j ≤n
c 0j (x 0j +1 − x 0j )
Démonstration. Pour k ≤ j : x 0j = x j , si k = j + 1 : x 0j +1 = c et pour k > j + 1 : x 0j = x j +1 . S’il
existe j tel que : c = x j , c’est évident car rien n’est changé. Si c ∈]x j , x j +1 [, alors c j la valeur de
f sur ]x j , x j +1 [ est aussi la valeur c j 0 = c j 0 +1 de f sur ]x j , c[ et ]c, x j +1 [ :
c j (x j +1 − x j ) = c j (x j +1 − c) + c j (c − x j ) = c 0j (x 0j 0 +1 − x 0j 0 ) + c j 0 +1 (x 0j 0 +2 − x 0j 0 +1 )
Les autres termes sont inchangés. Donc :
X
X
c j (x j +1 − x j ) =
0≤ j ≤n−1
0≤ j ≤n
c 0j (x 0j +1 − x 0j )
Définition 4.5.5. Soit une fonction ϕ en escalier sur [a, b]
ϕ(x) = c j pour x ∈]x j , x j +1 [ et ϕ(x j ) = d j
R
L’intégrale de ϕ sur [a, b] est le nombre noté ab ϕ(t ) dt , déﬁni par
Z b
X
ϕ(t ) dt =
c j (x j +1 − x j )
a
0≤ j ≤n−1
Vériﬁons que cette déﬁnition ne dépend pas de la subdivision.
Proposition 4.5.4.
Rb
a
ϕ(t ) dt ne dépend pas de la subdivision adaptée à f .
4.5. INTÉGRALE DE RIEMANN
121
g
f
Figure 6. Voisinage de f contenant une fonction g
Démonstration. Soit S σ la somme 0≤ j ≤n−1 c j (x j +1 − x j ) relative à la subdivision σ =
(x j )0≤ j ≤n . Si σ0 ¹ σ, une récurrence montre, d’après la proposition 4.5.3, que les sommes S σ
et S σ0 sont égales. Donc si σ et σ0 sont deux subdivisions adaptées à f alors S σ = S inf(σ,σ0 ) = S σ0 ,
d’où la proposition.
P
Proposition 4.5.5. Propriétés de l’intégrale de fonctions en escalier.
Soient ϕ et ψ des fonctions en escalier déﬁnies sur [a, b], λ et µ deux réels :
R
R
R
— Linéarité : ab λϕ(t ) + µψ(t ) dt = λ ab ϕ(t ) dt + µ ab ψ(t ) dt
R
— Croissance (ou positivité) : si a ≤ b et ϕ ≥ 0 alors ab ϕ(t ) dt ≥ 0, si ϕ ≤ ψ alors
Rb
Rb
a ϕ(t ) dt ≤ a ψ(t ) dt .
— Relation de Chasles : si a ≤ c ≤ b alors
Z
b
a
ϕ(t ) dt =
Z
c
a
ϕ(t ) dt +
b
Z
c
ϕ(t ) dt
en particulier
Z
b
a
ϕ(t ) dt = −
a
Z
b
ϕ(t ) dt
Démonstration.
— ab λϕ(t ) = λ ab ϕ(t ) dt est évident, prouvons que l’intégrale de
R
R
R
la somme est la somme des intégrales : ab ϕ(t )+ψ(t ) dt = ab ϕ(t ) dt + ab ψ(t ) dt . Soient σ et
σ0 les subdivisions adaptées au fonctions en escalier f et g . D’après la proposition 4.5.4,
quitte à remplacer σ et σ0 par inf(σ, σ0 ), on peut supposer que : σ = σ0 , l’égalité est alors
évidente.
— Chasles : il suﬃt d’utiliser la subdivision obtenue en ajoutant c aux points d’une
subdivision adaptée à f .
R
R
Sur un intervalle R on dispose d’une notion de voisinage d’une fonction semblable à celle de
voisinage d’un réel ou d’un complexe. La ﬁgure 6 illustre cette notion : un voisinage de f est
constitué des fonctions g telles que pour tout x dans l’ensemble de déﬁnition :
f (x) − ² < g (x) < f (x) + ²
où ² est un réel strictement positif.
Les ﬁgures 8 et 7 représentent l’approximation d’une fonction continue par des fonctions ϕ
et ψ en escalier.
Proposition 4.5.6. Approximation
Soit f , une fonction continue par morceaux sur l’intervalle [a, b]. Pour tout ² réel strictement
122
4. NOMBRES RÉELS SUITES ET FONCTIONS
O
Figure 7. Fonctions f et ψ
positif, il existe des fonctions en escalier ϕ et ψ telles que
ϕ≤ f ≤ψ
et
ψ−ϕ ≤ ²
Démonstration. Il suﬃt de démontrer la proposition dans le cas d’une fonction continue
sur un segment. En eﬀet, si f est continue par morceaux, ses restrictions aux intervalles ]x j , x j +1 [,
d’une subdivision adaptée, sont prolongeables par continuité sur [x j , x j +1 ]. La proposition appliquée aux restrictions (elles sont continues) assure l’existence de fonctions en escalier ϕ j et ψ j
sur [x j , x j +1 ] telles que :
ϕj ≤ f ≤ ψj
et
ψj − ϕj ≤ ²
On déﬁnit alors les fonctions en escalier ϕ et ψ sur ]x j , x j +1 [ par : ϕ(x) = ϕ j (x) et ψ(x) = ψ j (x) et
ϕ(x j ) = ψ(x j ) = f (x j ). La proposition est vériﬁée pour les fonctions continues par morceaux.
Supposons donc f continue sur [a, b]. f est uniformément continue (proposition 4.4.18) :
∀ε > 0, ∃η > 0, ∀x, ∀x 0 : |x − x 0 | ≤ η ⇒ | f (x) − f (x 0 )| ≤ ε
³
´
Soit n entier supérieur à 1 tel que n1 < η, soit σ la subdivision a + k b−a
n 0≤k≤n , on pose c j =
³ x +x ´
j
j +1
f
et d j = f (x j ), alors on déﬁnit les fonctions en escalier :
2
X
X
ϕ=
d j 1x j +
(c j − ε)1]x j ,x j +1 [
0≤ j ≤n
0≤ j ≤n−1
et
ψ=
X
0≤ j ≤n
d j 1x j +
X
0≤ j ≤n−1
(c j + ε)1]x j ,x j +1 [
ϕ et ψ vériﬁent la proposition en x j (0 ≤ j ≤ n ) de manière évidente et en x ∈]x j , x j +1 [ car :
| f (x) − f (x j )| ≤ ε.
Tout ce qui concerne les sommes de Darboux est hors-programme.
Proposition 4.5.7. Soit f une fonction continue par morceaux sur l’intervalle [a, b]. Alors
R
l’ensemble des nombres ab ϕ(t ) dt tels que ϕ est une fonction en escalier sur [a, b] et ϕ ≤ f , a une
R
borne supérieure m égale à la borne inférieure M des nombres ab ψ(t ) dt où ψ est une fonction
en escalier sur [a, b] telle que f ≤ ψ.
4.5. INTÉGRALE DE RIEMANN
123
O
Figure 8. Fonctions f et ϕ
Démonstration. voir du Bois-Reymond et Darboux.
f étant continue par morceaux, d’après la proposition 4.5.6, pour tout ε > 0 il existe des fonctions
en escalier ϕε et ψε telles que : ϕε ≤ f ≤ ψε et 0 ≤ ψε − ϕε ≤ ε. Donc pour tous ε et ε0 :
Z b
Z b
ϕε ≤
ψε
a
a
Donc l’ensemble des intégrales de fonctions en escalier inférieures à f est majoré par une intégrale
Rb
a ψε (t ) dt , donc a une borne supérieure m ﬁnie. RL’ensemble des intégrales de fonctions en escalier
supérieures à f est minoré par une intégrale ab ϕ(t ) dt et a une borne inférieure M ﬁnie. Or
Rb
0 ≤ M−m ≤ a ψε −ϕε ≤ ε(b−a) où ε est arbitrairement petit. Donc m = M, ce qui était attendu. Définition 4.5.6. Les intégrales des fonctions ϕ et ψ sont appelées, respectivement, somme
de Darboux inférieure lorsque sur I j =]x j , x j +1 [ la valeur de ϕ est infI j f et somme de Darboux
supérieure lorsque sur I j la valeur de ψ est supI j f .
Définition 4.5.7. Soit σ = (x j )0≤ j ≤n une subdivision de [a, b], on appelle oscillation de σ le
nombre δ = sup0≤ j ≤n−1 |x j +1 − x j |.
Donc si σ0 est plus ﬁne que σ, l’oscillation de σ0 est plus petite que l’oscillation de σ.
Les sommes de Darboux ont une propriété intéressante.
Proposition 4.5.8. Soient deux sommes supérieures de Darboux S 1 et S 2 d’une fonction f
telles que la subdivision σ2 subordonnée à S 2 soit plus ﬁne que la subdivision σ1 subordonnée à
S 1 σ1 . Alors :
S2 ≤ S1
De même pour les sommes inférieures s 2 ≥ s 1 .
Démonstration. C’est une conséquence immédiate des déﬁnitions des bornes inférieures
et supérieures.
Proposition 4.5.9. Soit f déﬁnie sur [a, b] (a ≤ b ). Les assertions suivantes sont équivalentes :
(1) Pour tout ε > 0 il existe des fonctions en escalier ϕ et ψ telles que : ϕ ≤ f ≤ ψ et
Rb
a (ψ − ϕ) ≤ ε.
124
4. NOMBRES RÉELS SUITES ET FONCTIONS
(2) Pour tout ε > 0 il existe η > 0 tel que pour toute subdivision σ dont l’oscillation δ(σ) est
inférieure à η les sommes de Darboux supérieures S σ ( f ) et inférieures s σ ( f ) vériﬁent :
S σ ( f ) − s σ ( f ) ≤ ε.
Définition 4.5.8 (Intégrale de Riemann d’une fonction continue par morceaux). Avec les
notations de la proposition 4.5.7, le nombre M est l’intégrale de Riemann de la fonction f sur
[a, b], on le note
Z
b
f (t ) dt
a
Si a ≤ b , on note aussi
R
[a,b]
f (t ) dt ou
Rb
a
f.
Remarque 4.5.2. La déﬁnition d’une fonction f intégrable au sens de Riemann peut s’écrire
sous la forme donnée dans la proposition 4.5.7 (sans l’hypothèse de continuité par
R morceaux)
ou : pour tout ε il existe des fonctions en escalier ψ et ϕ telles que ϕ ≤ f ≤ ψ et [a,b] ψ − ϕ ≤ ε.
L’hypothèse de continuité permet de démontrer des thèorèmes moins généraux mais plus simples.
Remarque 4.5.3. Soit A une partie de R2 , on considère l’ensemble I des réunions ﬁnies de
rectangles contenues dans A (les rectangles sont nécessairement contenus dans A) et l’ensemble
E des réunions ﬁnies de rectangles qui contiennent A (les rectangles sont contenus ou non dans
A). On a :
sup{aire(E)/E ∈ I } ≤ inf{aire(E)/E ∈ E }
Si on a l’égalité : sup{aire(E)/E ∈ I } = inf{aire(E)/E ∈ E }, la valeur commune est appelée aire de A
et notée : aire(A).
Par conséquent, si f est une fonction continue par morceaux et positive sur [a, b], l’intégrale
de f sur [a, b] s’interprète comme l’aire de A = {(x, y) ∈ R2 /x ∈ [a, b], 0 ≤ y ≤ f (x)}. En eﬀet les
intégrales des fonctions en escaliers sont des cas particuliers d’aires d’éléments de I et E donc,
avec les notations de la proposition 4.5.7 : m ≤ sup{aire(E)/E ∈ I } ≤ inf{aire(E)/E ∈ E } ≤ M, d’où le
résultat puisque m = M.
Définition 4.5.9. Soit f continue par morceaux sur [a, b] et σ = (x j )0≤ j ≤n une subdivision
de [a, b]. Une somme de Riemann de f sur [a, b] est une somme de la forme :
X
f (t j )(x j +1 − x j )
0≤ j ≤n
où, pour tout j : t j ∈]x j , x j +1 [.
On peut aussi prendre les t j dans les [x j , x j +1 ].
Proposition 4.5.10 (Sommes de Riemann). Soit f continue par morceaux sur [a, b], pour
tout ε > 0 il existe η > 0 tel que si l’oscillation de la subdivision σ est inférieure à η alors toute
somme de Riemann S , admettant σ comme subdivision adaptée, vériﬁe :
¯
Z
¯
¯S −
¯
b
a
¯
¯
f ¯¯ ≤ ε
D’après Chasles, il suﬃt de démontrer le théorème lorsque f est continue.
Démonstration. Soit ε > 0, il existe η > 0 tel que pour tous t et t 0 dans [a, b] :
|t − t 0 | ≤ η ⇐⇒ | f (t ) − f (t 0 )| ≤ ε
Soit S = 0≤k≤n f (t k )(x k+1 − x k ) une somme de Riemann dont la subdivision σ = (x k )0≤k≤n a une
oscillation inférieure à η :
P
Z
b
a
f (t ) dt − S =
X Z
x k+1
0≤k≤n x k
f (t ) − f (t k ) dt
4.5. INTÉGRALE DE RIEMANN
125
Or pour t dans [x k , x k+1 ] : | f (t ) − f (t k )| ≤ ε, par suite :
¯Z
¯
¯
¯
b
a
¯
X
¯
f (t ) dt − S ¯¯ ≤
(x k+1 − x k )ε = (b − a)ε
0≤k≤n
Comme ε est arbitraire, le théorème est démontré.
Remarque 4.5.4. Parmi les approximations possibles, on utilise souvent des fonctions en
escalier dont la subdivision (x j )0≤ j ≤n est à pas constant i.e. telle que pour tout j : x j +1 −x j = b−a
n ,
soit : x j = a + j b−a
.
Le
résultat
est
:
n
Z b
b−a X
f (x j ) =
f (t ) dt
n→+∞ n
a
0≤ j ≤n−1
lim
Proposition 4.5.11. Propriétés
Soient f et g des fonctions continues par morceaux sur [a, b], λ et µ deux réels :
R
R
R
— Linéarité : ab λ f (t ) + µg (t ) dt = λ ab f (t ) dt + µ ab g (t ) dt
— Croissance (ou positivité) : Si a ≤ b alors
b
Z
f ≥0⇒
f ≥0
a
plus généralement :
b
Z
f ≤g ⇒
et
¯Z
¯
¯
¯
b
a
a
¯ Z
¯
f (t ) dt ¯¯ ≤
— Relation de Chasles : Si a ≤ b ≤ c alors
c
Z
a
g
a
b
a
| f (t )| dt
b
Z
f (t ) dt =
b
Z
f ≤
a
c
Z
f (t ) dt +
f (t ) dt
b
(Cette relation permet de se limiter à l’étude des intégrales des fonctions continues) et
b
Z
a
a
Z
f (t ) dt = −
f (t ) dt
b
— Inégalité de la moyenne. Soient f et g des fonctions continues par morceaux sur [a, b]
(a ≤ b ), alors
¯Z
¯
¯
¯
b
a
¯
Z
¯
f (t )g (t ) dt ¯¯ ≤ sup | f |
[a,b]
b
a
|g (t )| dt
En particulier
¯Z
¯
¯
¯
b
a
¯
¯
f (t ) dt ¯¯ ≤ (b − a) sup | f |
[a,b]
— Inégalité de Cauchy-Schwarz-Bouniakovsky :
¯Z
¯
¯
¯
b
a
¯ ¯Z
¯ ¯
f (t )g (t ) dt ¯¯ ≤ ¯¯
b
a
¯ 12 ¯Z
¯ ¯
f (t ) dt ¯¯ ¯¯
2
b
a
¯ 12
¯
g (t ) dt ¯¯
2
— Inégalité triangulaire (euclidienne ou quadratique) :
s
Z
s
b
a
( f (t ) + g (t ))2 dt ≤
Z
s
b
a
f (t )2 dt +
Z
b
g (t )2 dt
a
126
4. NOMBRES RÉELS SUITES ET FONCTIONS
Démonstration.
— Soient f et g continues par morceaux, ϕ1 , ψ1 , ϕ2 , ψ2 des fonctions en escalier telles que :
ϕ 1 ≤ f ≤ ψ1 ,
Z
ϕ 2 ≤ g ≤ ψ2 ,
Z
b
ψ1 − ϕ 1 ≤ ε
a
b
ψ2 − ϕ 2 ≤ ε
a
On démontre la linéarité en deux étapes, pour la première on remarque que pour tout λ
positif :
b
a
λψ1 − λϕ1 ≤ λε
a
Comme λε est arbitraire, ceci implique :
Z
b
Z
λϕ1 ≤ λ f ≤ λψ1 ,
λf = λ
b
Z
f
a
car ces deux intégrales sont approchées par les mêmes intégrales de fonctions en escalier.
Si λ est négatif, le sens des inégalités est changé mais pas la conclusion.
Seconde étape :
ϕ = ϕ 1 + ϕ 2 ≤ f + g ≤ ψ1 + ψ2 = ψ
Z b
ψ1 + ψ2 − (ϕ1 + ϕ2 ) ≤ 2ε
a
Z b
Z b
Z b
ϕ1 +
ϕ2 =
ϕ1 + ϕ2
a
a
a
Z b
Z b
Z b
ψ1 +
ψ2 =
ψ1 + ψ2
a
a
a
Rb
Rb
R
R
R
Donc a f + g est approchée par excès par a ψ1 + ab ψ2 et par défaut par ab ϕ1 + ab ϕ2
R
R
qui peuvent être arbitrairement proches de ab f + ab g , par conséquent :
Z b
Z b
Z b
f +g =
f+
g
a
a
a
— Si f ≥ 0, les fonctions en escalier ψ qui la majorent sont positives, donc
R
borne inférieure de ces intégrales qui est ab f est positive.
R
R
Si f ≤ g alors g − f est positive, on en déduit que f ≤ g ⇒ ab f ≤ ab g .
Que g soit positive ou négative, on a :
−g sup | f | ≤ f g ≤ g sup | f |
[a,b]
d’où
b
Z
− sup | f |
a
[a,b]
[a,b]
b
Z
g≤
Z
f g ≤ sup | f |
a
[a,b]
b
g
a
d’où l’inégalité annoncée.
— Pour tout λ réel (λ f + g )2 est positif, donc (a ≤ b ) :
λ2
Z
b
a
f 2 + 2λ
b
Z
a
b
Z
fg+
a
g2 =
b
Z
a
(λ f + g )2 ≥ 0
Donc le discriminant du polynôme en λ est négatif, soit :
µZ
fg
4
a
l’inégalité en découle.
¶2
b
µZ
−4
b
f
a
2
¶µZ
b
g
a
2
¶
≤0
Rb
a
ψ ≥ 0 et la
4.6. DÉRIVÉES
127
— L’inégalité équivalente obtenue en élevant les membres au carré se résume à l’inégalité
de Cauchy.
Définition 4.5.10. Soit f une fonction continue par morceaux sur [a, b] où a < b . La valeur
moyenne de f est le nombre
1
b−a
Z
b
f (t ) dt
a
Remarque 4.5.5. C’est la valeur d’une fonction constante sur [a, b] dont l’intégrale serait
égale à celle de f . En exercice, nous pourrions montrer, si f est continue (valeurs intermédiaires),
Rb
1
qu’il existe
c dans [a, b] tel que f (c) = b−a
a f (t ) dt . De plus (remarque 4.5.4), si pour tout j :
h
i
b−a
t n, j ∈ a + j b−a
n , a + ( j + 1) n , alors :
Z b
1 X
1
lim
f (t n, j ) =
f (t ) dt
n→+∞ n
b−a a
0≤ j ≤n−1
Remarque 4.5.6. Précision : la déﬁnition de l’intégrale de Riemann d’une fonction f utilise
R
les fonctions en escalier ϕ et ψ qui encadrent f : ϕ ≤ f ≤ ψ telle que : ab ψ−ϕ ≤ ε. Dans le cas où
f est continue par morceaux, qui est dans le cadre du programme, nous approchons f par des
R
fonctions en escalier telles que : ψ − ϕ ≤ ε ; ce qui implique la majoration de ab ψ − ϕ par (b − a)ε
puis l’existence de l’intégrale de f .
4.6. Dérivées
4.6.1. Fonction dérivée.
Définition 4.6.1. On dit que la fonction f , déﬁnie sur I, est dérivable en c (c ∈ I) si et
seulement s’il existe un réel k tel que pour tout x dans I :
f (x) − f (c) − k(x − c) = o(x − c)
On note k = f (c), le nombre dérivé de f en c .
On dit que f est dérivable sur I si et seulement si elle est dérivable en tout point de I, l’application
x 7→ f 0 (x) est appelée application dérivée de f et f 7→ f 0 est la dérivation.
0
Remarque 4.6.1. Certains auteurs déﬁnissent la dérivée comme limite du taux d’accroissement en autorisant les limites inﬁnies avec pour conséquence que les théorèmes restent vrais
avec ces hypothèses.
Remarque 4.6.2. Interprétation de la dérivée : un taux d’accroissement représente une
vitesse moyenne, donc la dérivée en un point représente une vitesse instantanée, la vitesse de
variation de la fonction. Géométriquement, f est dérivable en c si et seulement si le graphe
de f possède une droite tangente en (c, f (c)). Numériquement, f est dérivable en c si f (x) est
<<peu diﬀérente>> du polynôme de dégré 1 ; f (c)+ f 0 (c)(x −c). L’erreur commise peut s’évaluer
précisément dans certains cas.
Proposition 4.6.1. Si f est dérivable en c , elle est continue en c .
Démonstration. Si f (x)− f (c)−k(x −c) = o(x −c) alors f (x)− f (c) = o(1) donc f est continue
en c .
Définition 4.6.2. f est dérivable à droite en c si et seulement si la restriction de f à
I ∩ [c, +∞[ est dérivable. Respectivement à gauche.
On note : f d0 (c) et f g0 (c).
128
4. NOMBRES RÉELS SUITES ET FONCTIONS
y
M
N
O
x0
x1
x
Figure 9. Fonction continue non dérivable en x 0 , dérivable en x 1 .
Proposition 4.6.2. f , dérivable à droite et à gauche en c , est dérivable en c si :
f d0 (c) = f g0 (c)
Démonstration. f (x)− f (c)−k(x−c) = o(x−c) est vraie pour x > c , pour x < c et évidemment
pour x = c , donc sans condition sur x .
4.6.2. Opérations sur les dérivées.
Notations 4.6.1. On note f 0 = D f ou
df
dx
Proposition 4.6.3 (Propriétés de la dérivation). Toutes les propriétés sont vraies en un
point ou sur I selon le cas.
(1) La dérivation est linéaire.
(2) Pour toutes f , g dérivables : D( f .g ) = D f .g + f .Dg
(3) Si f et h sont composables et dérivables : D(h ◦ f ) = (Dh ◦ f ).D f .
Démonstration. Linéarité : si f (x)− f (c)− f 0 (c)(x −c) = o(x −c) et g (x)− g (c)− g 0 (c)(x −c) =
o(x − c) alors :
λ( f (x) − f (c) − f 0 (c)(x − c)) + µ(g (x) − g (c) − g 0 (c)(x − c)) = o(x − c)
d’où :
λ f (x) + µg (x) − (λ f (c) + µg (c) − (λ f 0 (c) + µg 0 (c))(x − c) = o(x − c)
Produit : f (x)g (x) = f (c)g (c)+( f 0 (c)g (c)+ f (c)g 0 (c))(x −c)+o(x −c), car o(x −c) absorbe les autres
termes. Donc ( f g )0 (c) = f 0 (c)g (c) + f (c)g 0 (c).
Composition : par hypothèse h est dérivable en f (c) donc : h(y) = h( f (c)) + h 0 ( f (c))(y − f (c)) +
o(y − f (c)) et avec y = f (c) + f 0 (c)(x − c) + o(x − c) :
h( f (x)) = h( f (c)) + h 0 ( f (c))( f 0 (c)(x − c) + o(x − c)) + o( f 0 (c)(x − c) + o(x − c))
d’où :
h( f (x)) = h( f (c)) + h 0 ( f (c))( f 0 (c)(x − c)) + o(x − c))
car o( f 0 (c)(x − c) + o(x − c)) = o(x − c), donc : (h ◦ f )0 (c) = h 0 ( f (c)) f 0 (c).
n ieme
Définition 4.6.3. Soit f une fonction dérivable sur I, la dérivée
de f est déﬁnie
récursivement par : f (0) = f et si f (n−1) est dérivable alors f (n) = D f (n−1) . Nous dirons que la
fonction f est n fois dérivable. Si f n est continue, on dit que f est n fois continûment dérivable
ou de classe Cn . Si f est n fois dérivable, pour tout n , on dit que f est indéﬁniment dérivable.
Notations 4.6.2. On note C (I) l’ensemble des fonctions continues sur I et, plus généralement
C k (I), l’ensemble des fonctions de classe Cn (si n = 0 : C 0 (I) = C (I), si n = ∞ : C ∞ (I)).
Proposition 4.6.4. C k (I) est un espace vectoriel et un anneau (algèbre).
4.6. DÉRIVÉES
129
Démonstration. Cette proposition n’est qu’une autre formulation de la proposition 4.6.3.
Proposition 4.6.5 (Formule de Leibniz). Soient f et g , n fois dérivables, alors
Ã !
n k
D (f g) =
D f .Dn−k g
o≤k≤n k
n
X
Démonstration. Comme pour les polynômes, par récurrence.
4.6.3. Étude globale des fonctions dérivables.
Théorème 4.6.1 (Rolle). Soit f une fonction continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[ telle
que f (a) = f (b), alors il existe c dans ]a, b[ tel que : f 0 (c) = 0.
Démonstration. Si f est constante alors le théorème de Rolle est vrai puisque f 0 = 0.
Supposons que f ne soit pas constante ; elle prend des valeurs positives ou négatives. Supposons
qu’elle prend des valeurs positives, sinon on considère − f . f étant continue sur un intervalle
fermé et borné, elle a un maximum strictement positif f (c) > 0 où : ∀x ∈ [a, b] : f (x) ≤ f (c).
f (x)− f (c)
f (x)− f (c)
Donc si x < c : x−c ≤ 0 et si x > c : x−c ≥ 0 ; ces deux inéquations donnent en prenant les
limites, puisque f est dérivable sur ]a, b[ :
lim f = lim
f ≤0
−
c
et
c
lim f = lim f ≥ 0
c
d’où : limc f = 0.
c+
Figure 10. Théorème de Rolle
Corollaire 4.6.1 (Égalité des accroissements ﬁnis). Soit f une fonction continue sur [a, b],
dérivable sur ]a, b[. Alors il existe c dans ]a, b[ tel que : f (b) − f (a) = f 0 (c)(b − a).
Démonstration. Il suﬃt d’incliner la situation, soit pour x dans [a, b] :
ϕ(x) =
f (b) − f (a)
(x − a) + f (a)
b−a
f −ϕ satisfait aux hypothèses du théorème de Rolle donc il existe c dans ]a, b[ tel que f 0 (c)−ϕ0 (c) =
f (b)− f (a)
0, or f 0 − ϕ0 = f 0 − b−a .
Corollaire 4.6.2 (Inégalité des accroissements ﬁnis). Soient f une fonction continue sur
[a, b] (a ≤ b ), dérivable sur ]a, b[, m et M des réels tels que pour tout x dans ]a, b[ : m ≤ f 0 (x) ≤ M.
Alors
m(b − a) ≤ f (b) − f (a) ≤ M(b − a)
130
4. NOMBRES RÉELS SUITES ET FONCTIONS
Figure 11. Accroissements ﬁnis
Démonstration. D’après l’égalité des accroissements ﬁnis il existe c tel que : f 0 (c) =
donc :
f (b)− f (a)
b−a
m≤
D’où l’inégalité car a ≤ b .
f (b) − f (a)
≤M
b−a
Remarque 4.6.3. Si f a une dérivée bornée : | f 0 | ≤ M, f est M-lipschitzienne.
Corollaire 4.6.3 (Fonctions monotones dérivables). f , dérivable sur l’intervalle I, est
croissante si et seulement si f 0 ≥ 0 (respectivement décroissante ssi f 0 ≤ 0), donc constante si et
seulement si f 0 = 0.
Si f 0 > 0, f est strictement croissante (respectivement f 0 < 0 et décroissante).
Démonstration. Supposons f 0 ≥ 0 (respectivement f 0 > 0). D’après l’égalité des accroissements ﬁnis appliquée à tout intervalle [a, b] contenu dans I :
f (b) − f (a)
= f 0 (c)
b−a
Donc si f 0 ≥ 0 f est croissante (respectivement strictement croissante si f 0 > 0).
f (b)− f (a)
Réciproquement si pour tous a et b dans I : b−a ≥ 0 alors la limite de tout taux d’accroisse0
ment est positive et f ≥ 0.
Remarque 4.6.4.

La réciproque est fausse (voir x 3 ). La proposition suivante précise cela.
Proposition 4.6.6. Soit f une bijection de l’intervalle I sur l’intervalle J.
— Soient a dans I, b = f (a) et f dérivable en a . Alors f −1 est dérivable en b si et seulement
si f 0 (a) 6= 0 et
( f −1 )0 (b) =
1
f
0 ( f −1 (b))
— On suppose que f est dérivable sur I et que pour tout x dans I
f 0 (x) 6= 0
Alors l’application réciproque f −1 est dérivable sur J et :
( f −1 )0 (y) = ( f 0 ( f −1 (y))−1
Démonstration. Supposons f est dérivable en a et f −1 dérivable en f (a). La formule de
dérivation des fonctions composées appliquée à f −1 ◦ f donne :
( f −1 ◦ f )(a) = ( f −1 )0 ( f (a)) f 0 (a) = 1
4.6. DÉRIVÉES
131
Donc f 0 (a) 6= 0 et ( f −1 )0 ( f (a)) = f 01(a) .
Réciproquement, supposons f dérivable en a et f 0 (a) 6= 0, alors : f (x) = f (a)+ f 0 (a)(x −a)+o(x −a).
Posons y = f (x), si f 0 (a) 6= 0 : y = f (a) + f 0 (a)( f −1 (y) − a) + o( f −1 (y) − a) et y − f (a) = f 0 (a)(x − a) +
o(x − a) d’où : y − f (a) = o(x − a) et f −1 (y) = a + f 01(a) ( f (a) − y) + o(y − f (a)) donc f −1 est dérivable
en f (a) et : ( f −1 )0 ( f (a)) = f 01(a)
Proposition 4.6.7. Soit f une fonction continue sur [a, b], de classe C1 sur ]a, b] telle que
f ait une limite ﬁnie en a . Alors f est de classe C1 sur [a, b] et f 0 (a) = lima f .
0
Démonstration. Supposons seulement f continue et dérivable sur ]a, b]. Soit ` = lima f 0 ;
alors pour tout voisinage V de ` il existe η > 0 tel que :
|c − a| ≤ η ⇒ f 0 (c) ∈ V
Pour tout x dans ]a, b] il existe, d’après l’égalité des accroissements ﬁnis, un c tel que : a < c < x
f (x)− f (a)
et f 0 (c) = x−a . Si on choisit x tel que |x − a| ≤ η alors, a fortiori, |c − a| ≤ η, ce qui implique :
f (x)− f (a)
f 0 (c) ∈ V , donc
∈ V . En résumé, pour tout voisinage V de ` :
x−a
∃η > 0 : |x − a| ≤ η ⇒
D’où la proposition et même un peu plus.
f (x) − f (a)
∈V
x −a
Remarque 4.6.5. La démonstration ci-après n’est pas justiﬁée. Pour tout x dans ]a, b] :
f (a) − f (x) = f 0 (x)(a − x) + o(a − x)
donc :
f (x) − f (a)
= f 0 (x) + o(1)
x −a
et :
f (x) − f (a)
= lim f 0
a
x −a
En eﬀet o(1) tend vers 0 lorsque a tend vers x , on ne peut rien aﬃrmer lorsque x tend vers a ( a−x
x
où x 6= 0, par exemple). L’utilisation des notations de Landau doit se faire avec discernement et
f 0 (a) = lim
a
précaution.
4.6.4. Relation avec l’intégrale de Riemann. (Primitives et intégrales d’une fonction
continue)
Définition 4.6.4. Soit f , une fonction continue sur [a, b], F est une primitive de f si et
seulement si : F0 = f .
Proposition 4.6.8. Soient F1 et F2 deux primitives de f sur [a, b], alors F1 −F2 est constante
sur [a, b].
Démonstration. F01 − F02 = f − f = 0 sur un intervalle, donc F1 − F2 est constante.
Théorème 4.6.2. Soit f continue sur [a, b], alors F : x 7→
f , nulle pour x = a .
Rx
a
f (t ) dt est l’unique primitive de
Démonstration.
Z
x
x0
Z
f (t ) dt =
x
x0
Z
f (x 0 ) dt +
Donc
x
Z
F(x) − F(x 0 ) = f (x 0 )(x − x 0 ) +
f (t ) − f (x 0 ) dt
x0
x
x0
f (t ) − f (x 0 ) dt
132
4. NOMBRES RÉELS SUITES ET FONCTIONS
Pour tout ε > 0, il existe η > 0 tel que |t − x 0 | < η implique | f (t ) − f (x 0 )| < ε. Par conséquent
¯Z
¯
¯
¯
Donc
Rx
x0
x
x0
¯
¯
f (t ) − f (x 0 ) dt ¯¯ ≤ ε|t − x 0 |
f (t ) − f (x 0 ) dt = o(t − x 0 ), par déﬁnition f (x 0 ) est la dérivée de F en x 0 .
Corollaire 4.6.4.
R
— Soit f continue sur [a, b], pour tout x de [a, b] : ax f (t ) dt = F(x) −R F(a)
— Soit F de classe C 1 sur [a, b], pour tout x de [a, b] : F(x) − F(a) = ax F0 (t ) dt
4.6.4.1. Changement de variables. Soient u et F des fonctions de classe C 1 sur [a, b]. L’égalité
(F ◦ u)0 (t ) = F0 (u(t ))u 0 (t ) donne la formule de changement de variables valable pour toute fonction
f continue :
Z
u(b)
u(a)
Z
f (t ) dt =
b
f (u(s))u 0 (s) ds
a
4.6.4.2. Intégration par parties. Soient f et g deux fonctions de classe C 1 sur [a, b], la formule
de dérivation d’un produit ( f g )0 = f 0 g + f g 0 conduit à la formule d’intégration par parties :
b
Z
a
f (t )g 0 (t ) dt = f (b)g (b) − f (a)g (a) −
Z
b
f 0 (t )g (t ) dt
a
On note généralement [ f (t )g (t )]ba = f (b)g (b) − f (a)g (a).
4.6.4.3. Formule de Taylor avec reste intégral.
Proposition 4.6.9. Soit f de classe C n+1 sur [a, b], alors
f (b) =
X
0≤k≤n
f (k) (a)
(b − a)k
+
k!
Z
b
f (n+1) (t )
a
(b − t )n
dt
n!
Démonstration. Par récurrence et intégration par parties : la formule est vraie pour n = 0
et si on la suppose vraie pour n :
Z
b
f
a
(n+1)
·
¸b Z b
(b − t )n
(b − t )n+1
(b − t )n+1
(n+1)
(t )
dt = − f
(t )
+
f (n+2) (t )
dt
n!
(n + 1)! a
(n + 1)!
a
elle vraie au rang n + 1.
Remarque 4.6.6. La formule de Taylor avec reste intégral est, parmi les trois formules de
Taylor du cours, celle dont les hypothèses sont les plus fortes.
4.6.4.4. Règles de Bioche. Les règles de Bioche permettent de trouver un changement de
variable simple pour intégrer des fonctions de la forme F(cos x, sin x) où F est une fraction rationnelle de polynômes à deux variables. Une fonction polynôme à deux variables est déﬁnie par une
expression de la forme :
X
G(x, y) =
c j ,k x j y k
0≤ j ≤m
0≤k≤n
que l’on peut écrire aussi :
X
c k (x)y k
0≤k≤n
où les c k sont des polynômes. On vériﬁe facilement que G(x, y) − G(x, −y) (fonction impaire
en y ) peut s’écrire sous une forme où tous les exposants de y sont impairs, tandis que pour
G(x, y)G(x, −y) (fonction paire en y ) les exposants de y sont pairs.
4.6. DÉRIVÉES
133
P(x, y)
où P et Q sont des polynômes à deux variables. Supposons que pour
Q(x, y)
tous réels x et y : F(cos x, − sin x) = −F(cos x, sin x). Alors :
Soit F(x, y) =
1
F(cos x, sin x) = (F(cos x, sin x) − F(cos x, − sin x)) =
2
1 P(cos x, sin x)Q(cos x, − sin x) − P(cos x, − sin x)Q(cos x, sin x)
2
Q(cos x, sin x)Q(cos x, − sin x)
D’après ce qui a été remarqué concernant les polynômes de deux variables, le numérateur de
cette fraction est de la forme :
a j ,2k (cos x) j (sin x)2k+1
X
0≤ j ≤m
0≤k≤b n2 c
ou, puisque sin2 x = 1 − cos2 x :
X
a j ,2k (cos x) j (1 − cos2 x)k sin x
0≤ j ≤m
0≤k≤b n2 c
alors que le dénominateur est de la forme :
b j ,2k (cos x) j (1 − cos2 x)k
X
0≤ j ≤m
0≤k≤b n2 c
Donc en posant :
P
0≤ j ≤m a j ,2k t
0≤k≤b n2 c
j
0≤ j ≤m b j ,2k t
0≤k≤b n2 c
j (1 − t 2 )k
f (t ) = P
on a :
(1 − t 2 )k
F(cos x, sin x) = f (cos x) sin x
De même, si F(cos x, − sin x) = −F(cos x, sin x), il existe une fraction rationnelle f telle que :
F(cos x, sin x) = f (sin x) cos x
R
Application au calcul d’intégrales ab F(cos x, sin x) dx :
À cet endroit du cours on admet que l’expression F(cos x, sin x) dx est une forme diﬀérentielle. Un
changement de variable x = u(t ), où u est continûment dérivable, transforme la forme diﬀérentielle
en : F(cos u(t ), sin u(t )) u 0 (t )dt ; de la même façon que le changement de variable dans l’intégrale.
(1) Si la forme est, comme cos, invariante par x 7→ −x (c’est le cas si F est impaire en y ), on
pose : t = cos x .
(2) sin est invariante par x 7→ π− x , si F(cos x, sin x) dx est aussi invariante par ce changement
de variables (ce qui arrive lorsque F(x, y) est impaire en x car cos(π − x) = − cos x ). Ce
changement de variable t = sin x donne :
Z
b
a
Z
F(cos x, sin x) dx =
sin b
sin a
p(1 − t 2 , t )
dt
q(1 − t 2 , t )
qui ramène au calcul de l’intégrale d’une fraction rationnelle.
(3) Si la forme est invariante par x 7→ x + π (comme tan), on pose t = tan x .
(4) Dans tous les cas le changement de variable t = tan x2 ramène à l’intégrale d’une fraction
rationnelle.
134
4. NOMBRES RÉELS SUITES ET FONCTIONS
4.6.4.5. Intégration des fractions rationnelles. Une première méthode consiste à décomposer
la fraction rationnelle en éléments simples sur R, puis d’intégrer les éléments simples, par récurrence sur l’ordre des pôles. La principale diﬃculté est de calculer les racines du dénominateur.
Une seconde méthode ne nécessite pas le calcul des racines, mais il faut encore factoriser (il
existe des algorithmes) : on considère une fraction rationnelle QP (P et Q sont des polynômes,
quitte à soustraire la partie entière, on suppose que deg P < deg Q.
n
Soit Q = Q1n1 . . . Qk k la décomposition de Q en produits de facteurs irréductibles. On pose
n
Q
n
T j = n j . D’après Bézout, il existe des polynômes U j tels que : 1 = U1 T1 1 + · · · + Uk Tk k , donc :
Qj
P
U1
Uk
=
+ · · · + nk
Q Q1n1
Qk
et on peut choisir les polynômes U j tels que deg U j < deg Q j .
Le calcul des intégrales de fractions rationnelles se ramène par linéarité aux intégrales de
fractions rationnelles de la forme : QPn où Q est irréductible et deg P < deg Q.
Comme Q est irréductible : Q0 ∧Q = 1 et il existe des polynômes A et B tels que : P = AQ0 +BQ,
ainsi lorsque n ≥ 2 :
P
AQ0
B
= n + n−1
n
Q
Q
Q
Or :
³
´
AQ 0
Qn−1
AQ0
A0 Q
= (n − 1) Qn + Qn−1 , donc :
µ
¶
P
1
AQ 0 B − A0 Q
=
+
Qn n − 1 Qn−1
Qn−1
0
Si n = 1 : AQ
Q s’intègre à l’aide d’un logarithme.
Par récurrence descendante sur n , on achève le calcul de l’intégrale (ou d’une primitive).
Il existe d’autres méthodes, par exemple la décomposition d’Hermite des fractions rationnelles
(1872).
4.6.5. Dérivées d’ordre n et développements limités.
4.6.5.1. Formules de Taylor. L’égalité de Taylor-Lagrange, ci-dessous est hors-programme.
Proposition 4.6.10 (Égalité de Taylor-Lagrange). Soit f de classe Cn sur [a, b] et n +1 fois
dérivable sur ]a, b[. Alors il existe c dans ]a, b[ tel que :
f (b) =
1 (k)
(b − a)n+1
f (a)(b − a)k + f (n+1) (c)
(n + 1)!
0≤k≤n k!
X
Démonstration d’après Ampère. Posons :
ϕ(x) = − f (b) +
1 (k)
(b − x)n+1
f (x)(b − x)k + λ
(n + 1)!
0≤k≤n k!
X
où λ est tel que ϕ(a) = 0 (a 6= b ). ϕ est continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[ nulle en a et en b ,
d’après Rolle il existe c dans ]a, b[ tel que : ϕ0 (c) = 0. Ce qui donne, après simpliﬁcation :
λ = f (n+1) (c)
Corollaire 4.6.5 (Inégalité de Taylor-Lagrange). Soit f de classe Cn sur [a, b], n + 1 fois
dérivable sur ]a, b[ telle que sup]a,b[ | f (n+1) | = M < +∞. Alors :
¯
¯
¯
¯
X 1 (k)
M
¯
k¯
f (a)(b − a) ¯ ≤
|b − a|n+1
¯ f (b) −
¯
¯
k!
(n
+
1)!
0≤k≤n
4.6. DÉRIVÉES
135
Démonstration. La démonstration d’Ampère utilise
ϕ(x) = f (b) −
1 (k)
(b − x)n+1
f (x)(b − x)k − λ
(n + 1)!
0≤k≤n k!
X
où λ est tel que ϕ(a) = 0, appliquer le théorème de Rolle et si f (n+1) est continue, utiliser la
formule de Taylor avec reste intégral.
Proposition 4.6.11 (Formule de Taylor-Young). Soit f déﬁnie au voisinage de a et n fois
dérivable en a . Alors pour x au voisinage de a :
f (x) =
1 (k)
f (a)(x − a)k + o((x − a)n )
0≤k≤n k!
X
Démonstration. Quitte à remplacer f par g (x) = f (x + a), on peut supposer que a = 0.
Soit f que l’on suppose n fois dérivable en 0. On considère l’hypothèse de récurrence suivante :
il existe un polynôme P de degré n et une fonction h telle que lim0 h = 0 et f (t ) = P(t ) + t n h(t ).
Posons F(t ) = f (t ) − P(t ), F satisfait aux mêmes hypothèses que f , il suﬃt donc de prouver la
proposition pour F, fonction nulle en 0 ainsi que ses dérivées d’ordres 0 à n .
Pour n = 1, c’est la déﬁnition de la dérivabilité de F, supposons la formule vraie pour toute
fonction n fois (n ≥ 0) en 0.
Soit F, n +1 fois dérivable en 0 et telle que Fk (0) = 0 pour tout k tel que 0 ≤ k ≤ n +1. F0 est n
fois dérivable en 0, d’après l’hypothèse de récurrence, il existe une fonction k déﬁnie au voisinage
de 0 telle que lim0 k = 0 et :
F0 (t ) = t n k(t )
F est dérivable sur un voisinage de 0, alors d’après le théorème des accroissements ﬁnis, il existe
ξ dans [0, t ] tel que :
F(t ) = F0 (ξ)t
or :
|F0 (ξ)| ≤ |ξ|n sup |k(s)|
s∈[0,ξ]
or |ξ| ≤ |t | et sups∈[0,ξ] |k(s)| ≤ sups∈[0,t ] |k(s)|, donc :
|F(t )| ≤ |t n+1 | sup |k(s)|
s∈[0,t ]
comme sups∈[0,t ] |k(s)| = o(1), la formule est démontrée au rang n +1, donc pour tout n positif. Les formules de Taylor permettent d’approcher numériquement et graphiquement les fonctions au voisinage d’un point.
Exemple 4.6.1. La fonction f : x 7→ sin(x + x 2 ), représentée avec son polynôme de Taylor à
l’ordre 3 :
puis avec son polynôme de Taylor à l’ordre 9 :
136
4. NOMBRES RÉELS SUITES ET FONCTIONS
Remarque 4.6.7. Soit f une fonction n fois dérivable sur un voisinage de a . Notons F une
primitive de f . Si :
f (x) =
1 (k)
f (a)(x − a)k + o((x − a)n )
k!
0≤k≤n
X
alors (n ≥ 1) :
f 0 (x) =
et :
F(x) = F(0) +
1 (k+1)
f
(a)(x − a)k + o((x − a)n )
k!
0≤k≤n−1
X
1
f (k) (a)(x − a)k+1 + o((x − a)n+1 )
(k
+
1)!
0≤k≤n
X
Application : calcul des développements de
1
,
(1+x)2
et Arcsin en 0.
4.6.5.2. Développements limités. Dans ce paragraphe, les fonctions admettent des développements limités en O.
Opérations sur les développements limités : il s’agit d’eﬀectuer des opérations sur les polynômes et surtout de calculer le reste.
P
P
f (x) = 0≤k≤m a k x k + o(x m ), g (x) = 0≤k≤n b k x k + o(x n ).
P
Somme : f (x) + g (x) = 0≤k≤inf(m,n) (ak + bk )x k + o(x inf(m,n) )
P
P
Produit : soient p = val(P) et q = val(Q), donc a p 6= 0 et b q 6= 0 et on a : f (x)g (x) = p+q≤k≤r ( i + j =k ai b j )x k +
o(x r ) où r = inf(p + n, q + m).
P
P
Composé : f (0) = 0 (p ≥ 1). Posons p = val(P), P(x) = p≤k≤m ak x k et Q(x) = 0≤k≤n bk x k .
Alors :
g ( f (x)) = Q(P(x) + o(x m )) + o((P(x) + o(x m ))n )
Or : o((
P
p≤ j ≤m a j x
j
+ o(x m ))n ) = o(x np ), si q = val(Q) :
³
´q
Q(P(x) + +o(x m )) = b q x p (a p + · · · + o(x m−p )) + . . .
donc le <<o>> dominant est :
q−1
bq ap
o(x pq+m−p )
X
c k x k + o(x r )
Par suite g ( f (x)) est de la forme :
où r = inf(pn, m + p(q − 1)).
0≤k≤n
Exemple 4.6.2. Application : par changement de variable nous obtenons des fonctions déﬁnies au voisinage de 0, puis en décomposant la fonction en produits de composition, nous
développons les fonctions simples obtenues, enﬁn nous recomposons les développements.
1
Calcul du développement de Taylor de 2x+1
en x = 3 :
Cette fonction étant indéﬁniment dérivable, elle admet un développement de Taylor en 0 à tout
ordre. Un développement de Taylor est un développement limité et le développement limité est
unique. Donc le développement limité est le développement de Taylor. Eﬀectuons le changement
4.7. FONCTIONS À VALEURS COMPLEXES
de variables t = x − 3 :
dominant en facteur :
1
2x+1
1
7+2t
=
=
1
1
2(x−3)+7 = 2t +7 . Ici le dénominateur est développé, mettons le
1 1
2
1
1 1
7 2 t +1 , posons y = 7 t : 2 t +1 = 7 y+1 = g (y). Développons g en
7
7
g (y) =
Alors :
1
7
µ
X
137
terme
0:
¶
(−1)k y k + o(y n )
0≤k≤n
µ
¶
µ
µ
¶k ¶
1
2
1 X
k 2
= g (x − 3) =
(−1)
(x − 3)
+ o((x − 3)n )
2x + 1
7
7 0≤k≤n
7
4.7. Fonctions à valeurs complexes
4.7.1. Limites et continuité.
Définition 4.7.1. Une fonction à valeurs complexes est une fonction dont l’image est contenue dans C. En particulier, une suite complexe est une suite (u n )n≥0 où pour tout n : u n ∈ C.
Définition 4.7.2.
— La conjuguée d’une fonction f à valeurs complexes est la fonction f¯ déﬁnie par f¯(x) =
f (x).
— La partie réelle d’une fonction f à valeurs complexes est la fonction Re f := 12 ( f + f¯) et
sa partie imaginaire, Im f , est déﬁnie par Im f = 2i1 ( f − f¯).
Précisons les notions métriques, c’est le module qui déﬁnit la distance.
Définition 4.7.3. Une partie A de C est bornée si et seulement s’il existe un réel M tel que
tout élément z de A soit tel que : |z| ≤ M.
Autrement dit, A est contenue dans le disque de centre 0 de rayon M.
Définition 4.7.4. Une partie A de C est ouverte, si et seulement sitout élément a de A est
le centre d’un disque contenu dans A.
Une partie A est fermée lorsque la partie complémentaire C \ A est ouverte.
La somme et le produit de deux fonctions complexes se déﬁnissent de la même manière que
pour les fonctions réelles.
Proposition 4.7.1. L’ensemble des fonctions complexes bornées est muni de structures
d’espace vectoriel et d’anneau (algèbre).
Les notions de limite, de convergence, sont analogues aux notions réelles, le module remplaçant la valeur absolue.
Définition 4.7.5.
— Nous dirons que la fonction complexe f admet une limite en a si et seulement si pour
toute suite (réelle) (u n )n≥0 qui tend vers a , la suite (complexe) ( f (u n ))n≥0 admet une
limite (cette limite étant un (unique) complexe si f est bornée ou ∞ sinon).
— La fonction complexe f est continue en a , élément de C, si et seulement si elle est
déﬁnie en a et admet une limite ﬁnie (lima f ∈ C) en a .
Remarque 4.7.1. Ces déﬁnitions peuvent s’écrire avec la notion de voisinage et C = C ∪{∞}.
Proposition 4.7.2. Une fonction complexe admet une limite ` dans C si et seulement si ses
parties réelle et imaginaire admettent une limite.
Remarque 4.7.2. La fonction f a une limite inﬁnie si et seulement si sa partie réelle ou sa
partie imaginaire admet une limite inﬁnie.
Proposition 4.7.3. Une fonction complexe admettant une limite ﬁnie en un point est bornée
au voisinage de ce point.
138
4. NOMBRES RÉELS SUITES ET FONCTIONS
4.7.1.1. Opérations algébriques sur les limites de fonctions. Hormis ce qui concerne ±∞
toutes les relations réelles se récrivent telles quelles. D’aprés ce qui précède, il est toujours possible
de se ramener au cas réel.
Théorème 4.7.1. Soit I un intervalle de R, l’ensemble C (I) est muni d’une structure d’algèbre
(espace vectoriel et anneau).
4.7.2. Dérivation et intégration des fonctions à valeurs complexes. Tous les résultats concernant les fonctions à valeurs complexes ont leurs équivalents pour les fonctions à
valeurs dans R2 , sauf exception.
4.7.2.1. Dérivation. Les notions de fonctions dominantes, négligeables se transcrivent au cas
complexe, par exemple :
Soient f et g deux fonctions déﬁnies sur un intervalle I et à valeurs complexes, on dit que g = o( f )
en a (a ∈ R) si et seulement si pour tout ² > 0 il existe un voisinage V de a tel que x ∈ V implique
|g (x)| ≤ ²| f (x)|. Par suite
Définition 4.7.6. La fonction f , déﬁnie au voisinage de a et à valeurs complexes, est
dérivable en a , de dérivée égale à f 0 (a) si et seulement si, pour tout x au voisinage de a :
f (x) − f (a) − f 0 (a)(x − a) = o(|x − a|)
Proposition 4.7.4. f , fonction complexe, est dérivable en a si et seulement si Re f et Im f
sont dérivables en a . Dans ce cas :
f 0 (a) = Re f 0 (a) + iIm f 0 (a)
Démonstration. L’opération qui à une fonction associe son développement limité est linéaire.
Nous déﬁnirions de même une fonction dérivable sur un intervalle, une fonction n fois dérivable, une fonction de classe C k (k ∈ N ∪{∞}). La formule de Leibniz est valable pour les fonctions
à valeurs complexes (les fonctions de classe C k forment une algèbre).

Remarque 4.7.3.
Le théorème de Rolle est faux. En eﬀet, soit f (x) = eix , on a f (0) = 1
et f (2π) = 1 pourtant, pour tout x : | f 0 (x)| = 1.
Proposition 4.7.5. Soit f , fonction complexe déﬁnie et continue sur [a, b], dérivable sur
]a, b[ (et à dérivée bornée), alors :
| f (b) − f (a)| ≤ |b − a| sup | f 0 (t )|
t ∈]a,b[
Démonstration. Soient f 1 = Re( f ) et f 2 = Im( f ), α et β deux réels quelconques, on pose
g (x) = α f 1 (x) + β f 2 (x), on peut appliquer le théorème des accroissement ﬁnis, version réelle, à g :
il existe c dans ]a, b[ tel que g (b) − g (a) = g 0 (c)(b − a), d’où :
α( f 1 (b) − f 1 (a)) + β( f 2 (b) − f 2 (a)) = (α f 10 (c) + β f 20 (c))(b − a)
Posons α = f 1 (b) − f 1 (a) et β = f 2 (b) − f 2 (a), alors :
| f (b) − f (a)|2 = (α f 10 (c) + β f 20 (c))(b − a)
D’après Cauchy-Schwarz-Bouniakovsky :
q
| f (b) − f (a)|2 ≤ α2 + β2 | f 0 (c)| |b − a|
p
L’inégalité attendue est obtenue car : α2 + β2 = | f (b) − f (a)|.
(si la dérivée n’est pas bornée, la conclusion reste valide mais pas très utile.)
4.8. APPROXIMATIONS
139
4.7.2.2. Intégration. La déﬁnition de l’intégrale s’étend naturellement au cas d’une fonction
f déﬁnie sur un intervalle [a, b] et à valeurs complexes.
Définition 4.7.7. Soit f , déﬁnie sur [a, b] à valeurs complexes, continue par morceaux (telle
que Re f et Im f soient continues par morceaux). Alors l’intégrale de f sur [a, b] est déﬁnie par :
Z
b
a
b
Z
f (t ) dt =
a
Z
Re ( f )(t ) dt + i
b
Im ( f )(t ) dt
a
Proposition 4.7.6. (Propriétés) Soit f une fonction complexe déﬁnie et continue par morceaux sur [a, b]¯ où a ≤ b ¯:
¯R b
¯ Rb
—
¯ a f (t ) dt ¯ ≤ a | f (t )| dt
—
¯R
¯
¯ b
¯
¯ a f (t ) dt ¯ ≤ |b − a| sup[a,b] | f |
Démonstration. Soient f 1 = Re( f ) et f 2 = Im( f ), α et β deux réels quelconques (a ≤ b ) :
¯ Z b
¯ Z b
Z b ¯ ¯Z b
¯
¯ ¯
¯
¯α
¯=¯
¯≤
f
+
β
f
α
f
+
β
f
|α f 1 + β f 2 |
1
2
1
2
¯
¯ ¯
¯
a
a
a
a
p
Intégrons |α f 1 + β f 2 | ≤ α2 + β2 | f | en posant :
Z b
Z b
α=
f1,
β=
f2
a
il vient :
¯Z
¯
¯
¯
b
a
¯2 ¯Z
¯
¯
f ¯¯ ≤ ¯¯
a
b
a
¯Z
¯
f ¯¯
b
a
|f |
La seconde inégalité de la proposition découle de la première.
4.7.2.3. Primitives.
Proposition
4.7.7. Soit f , déﬁnie et continue sur [a, b] à valeurs complexes, alors la fonction
Rx
a f (t ) dt est l’unique primitive de f , nulle pour x = a .
F : x 7→
4.7.2.4. Formules de Taylor.
Proposition 4.7.8. Les formules de Taylor-Young et de Taylor avec reste intégral sont
valables pour les fonctions complexes.
Il n’y a pas d’égalité pour la formule de Taylor-Lagrange mais l’inégalité est valide (et utile
lorsque la dérivée d’ordre n + 1 est bornée).
Proposition 4.7.9. Soit f , déﬁnie, de classe C n sur [a, b], n + 1 fois dérivable sur ]a, b[, à
valeurs complexes. Alors :
¯
¯
¯
X (k)
(b − a)k ¯¯
|b − a|n+1
¯
f (a)
¯ f (b) −
¯ ≤ sup | f (n+1) (t )|
¯
k! ¯ t ∈]a,b[
(n + 1)!
0≤k≤n
4.8. Approximations
4.8.1. Méthode d’Euler. Résolution numérique d’équations diﬀérentielles du type :
y(x 0 ) = y 0 ,
y 0 = f (x, y)
où y désigne une fonction réelle inconnue de la variable réelle x et f est une fonction donnée
déﬁnie sur un produit I × E l’équation. Une solution doit être déﬁnie au voisinage de x 0 et à
valeurs dans E.
La résolution est généralement un problème diﬃcile.
140
4. NOMBRES RÉELS SUITES ET FONCTIONS
Avec un peu d’expérience nous imposons, par prudence, à f une condition de régularité
minimale : f est continue.
La continuité en (x 0 , y 0 ) de f est déﬁnie par : pour tous (x 0 , y 0 ) et ε > 0, il existe η1 > 0 et
η2 > 0 tels que :
|x − x 0 | ≤ η1 ,
|y − y 0 | ≤ η2 ⇒ | f (x, y) − f (x 0 , y 0 )| ≤ ε
Mais la plupart du temps f est au moins de classe C1 par rapport à la seconde variable.
Nous supposerons qu’un théorème d’existence et d’unicité s’applique (par exemple, CauchyPeano-Arzela), c.à.d. qu’il existe une unique fonction ϕ déﬁnie sur un intervalle J telle que :
ϕ(x 0 ) = y 0 et pour tout x dans I, ϕ0 (x) = f (x, ϕ(x)).
Certaines équations n’ont pas de solution s’exprimant à l’aide de fonctions usuelles, même
lorsque f est simple. Dans certains cas, on obtient une intégrale première, c’est à dire une relation
de la forme F(x, y) = 0 qui lie les valeurs de x et y = ϕ(x). Il existe des algorithmes qui permettent
de calculer y en fonction de x .
Une autre façon de résoudre une telle équation sur un intervalle I, consiste à approcher une
solution ϕ par le tableau de ses valeurs (x j , y j )0≤ j ≤n où (x j )0≤ j ≤n est une suite d’éléments de I et
pour tout j : y j = ϕ(x j ). Le calcul s’eﬀectue de proche en proche : partant de (x 0 , y 0 ), en chaque
point (x j , y j ) du plan, on progresse dans la direction y 0 (égale à f (x, y)) de la tangente à une
courbe solution, jusqu’à un point (x j +1 , y j +1 ). La distance de progression est à évaluer de manière
à ne pas trop s’écarter de la solution.
Méthode d’Euler : nous déﬁnissons un pas de progression, h et pour tout j , nous posons
x j +1 = x j + h et approchons y j +1 par le développement limité à l’ordre 1 :
y j +1 = y j + y 0 (x j )(x j +1 − x j )
soit
y j +1 = y j + f (x j , y j )h
Algorithme 4 Méthode d’Euler
Initialisation :
(x 0 , y 0 ), n , h << conditions initiales, nombre de points et pas >>
pour j = 0 à n faire
y j +1 := y j + f (x j , y j )h
x j +1 := x j + h
ﬁn pour
Théoriquement, diminuer le pas améliore la précision. En fait le nombre d’itération augmente
et, par suite, l’erreur cumulée aussi. Le comportement peut aussi varier d’une équation à l’autre.
Z
y(x j +1 ) = y(x j ) +
x j +1
xj
y 0 (t ) dt = y(x j ) +
Z
y j +1 = y j + f (x j , y j )h = y j +
D’où :
Z
y(x j +1 ) − y j +1 = y(x j ) − y j +
x j +1
xj
x j +1
xj
Z
x j +1
f (t , y(t )) dt
xj
f (x j , y j ) dt
f (t , y(t )) − f (x j , y j ) dt
Ce qui permet de calculer l’écart entre la position réelle et la position estimée en x n .
4.8. APPROXIMATIONS
141
Remarque 4.8.1. L’équation diﬀérentielle
x ∈ I,
y(x) ∈ E,
y(x 0 ) = y 0 ,
y 0 (x) = f (x, y(x))
équivaut à l’équation intégrale
x
Z
y(x) − y(x 0 ) =
f (t , y(t )) dt
x0
Le thérème d’existence peut être démontré avec une technique de point ﬁxe, de la façon suivante.
La fonction u 0 , déﬁnie dans I et à valeur dans E, est la fonction initiale. Nous déﬁnissons une
suite de fonctions (u k )k≥0 par récurrence en posant pour k entier supérieur ou égal à 0 :
x
Z
u k+1 (x) = u k (x 0 ) +
x0
f (t , u k (t )) dt
Avec de bonnes hypothèses, la suite est bien déﬁnie (les fonctions sont déﬁnies au voisinage de x 0
et à valeurs dans E) et converge (en un sens à préciser) vers une fonction y solution de l’équation
intégrale.
Exemple 4.8.1. Autres méthodes.
— Méthode d’Euler modiﬁée : y i +1 = y i + h( f (x i , y i ) + f (x i +1 , y i + h f (x i , y i )))/2.
— Méthode de Runge-Kutta : y i +1 = y i + h(v 1 + 4v 2 + 4v 3 + v 4 )/6 avec
v 1 = f (x i , y i )
v 2 = f (x i + h/2, y i + hv 1 /2)
v 3 = f (x i + h/2, y i + hv 2 /2)
v 4 = f (x i + h, y i + hv 3 )
— Méthode des développements de Taylor…
4.8.2. Méthode des trapèzes. Soit f de classe C 2 sur [a, b] (a < b ). La méthode du
trapèze consiste à approcher f par un polynôme de degré inférieur à 1, donc par une fonction
R
R
f (b)− f (a)
aﬃne, ϕ(x) = b−a (x − a) + f (a) puis approcher ab f (t ) dt par ab ϕ(t ) dt , l’erreur est majorée :
¯Z
¯
¯
¯
b
a
Z
f (t ) dt −
b
a
¯
¯ (b − a)3
ϕ(t ) dt ¯¯ ≤
sup | f 00 (t )|
12 t ∈[a,b]
t
Pour simpliﬁer on peut se ramener à [−1, 1] et étudier la fonction Φ : x 7→ −t
f (u) d u − t ( f (t ) +
3
f (−t )) − λt où λ est tel que Φ(1) = 0. D’après Rolle il existe c dans ]0, 1[ tel que Φ(c) = 0 puis
il existe d dans ]0, c[ tel que f 0 (c) − f 0 (−c) = 2c f 00 (d ), on en déduit la valeur de λ. f étant C 2 ,
l’erreur est bornée mais peut être relativement importante. Nous pouvons la réduire grâce à une
subdivision de [a, b], (x j )0≤ j ≤n à pas constant, en appliquant la méthode du trapèze à chaque
intervalle ]x j , x j +1 [. Nous obtenons (ﬁgure 13) :
R
¯Z
¯
µ
¶
µ
¶
¯ b
X
f (a)
f (b) b − a ¯¯
1 b−a 3
¯
f (t ) dt −
+
f (x k ) +
sup | f 00 (t )|
¯
¯≤n
¯ a
¯
2
2
n
12
n
t ∈[a,b]
1≤k≤n−1
Posons
T(n) =
X
f (a)
f (b)
+
f (x k ) +
2
2
1≤k≤n−1
Il est possible d’accélérer la convergence de (T(n))n≥1 et de minimiser le nombre de calculs en
considérant la suite extraite (T(2m ))m≥0 (voir TD : méthode de Richardson-Romberg, méthode
de Simpson).
La méthode du point moyen consiste à approcher la fonction par des polynômes constants sur
chaque intervalle (ﬁgure 12) tandis que la méthode de Simpson utilise des polynômes de degrés
inférieurs à 2 (ﬁgure 14).
142
4. NOMBRES RÉELS SUITES ET FONCTIONS
O
Figure 12. Méthode du point moyen
O
Figure 13. Méthode du trapèze
O
Figure 14. Méthode de Simpson
4.8.3. Le théorème du point ﬁxe.
Définition 4.8.1. Soit f une fonction déﬁnie sur un ensemble E à valeurs dans E. L’élément
a de E est appelé point ﬁxe de f si f (a) = a .
Définition 4.8.2. Soit f déﬁnie sur une partie E de C telle qu’il existe un réel k vériﬁant
0 ≤ k < 1 et :
pour tous z et z 0 dans E : | f (z) − f (z 0 )| ≤ k|z − z 0 |
On dit que f est k -contractante.
Théorème 4.8.1. Une fonction f , déﬁnie sur une partie fermée et bornée E de C à valeurs
dans E et k -contractante, admet un unique point ﬁxe a dans E.
Démonstration. Soit u 0 dans E, on déﬁnit une suite (u n )n≥0 en posant, pour n ≥ 0 :
u n+1 = f (u n ). Ainsi : u n = f n (u 0 ). On va démontrer que (u n )n≥0 converge vers l’unique point ﬁxe.
Existence du point ﬁxe.
4.8. APPROXIMATIONS
143
Un candidat. Pour tout n , v n désigne la partie réelle de u n et w n sa partie imaginaire : u est
bornée donc v et w également. v est une suite réelle bornée, donc d’après Bolzano-Weierstrass,
il existe une suite extraite qui converge vers un réel α. De même, (w ϕ(n) )n≥0 est une suite réelle
bornée dont on peut extraire une suite (w ϕ(ψ(n)) )n≥0 qui converge vers un réel β. Alors la suite
(u ϕ(ψ(n)) )n≥0 converge vers ξ = α + i β. Si ξ 6∈ E, puisque E est fermé, C \ E est ouvert, donc il existe
un disque D de centre ξ de rayon ε contenu dans C \ E, ce qui contredit la convergence de la suite
(u ϕ(ψ(n)) )n≥0 de E vers ξ. Donc ξ ∈ E.
Convergence de (u n ). Soient m et n deux entiers tels que m ≤ n , alors :
¯
¯
¯ X
¯
X
¯
¯
|u n − u m | = ¯
u j +1 − u j ¯ ≤
|u
−uj |
¯m≤ j ≤n−1
¯ m≤ j ≤n−1 j +1
Par récurrence on obtient : |u j +1 − u j | ≤ k j |u 1 − u 0 |, donc :
|u n − u m | ≤
k j |u 1 − u 0 |
X
m≤ j ≤n−1
Si E est contenu dans un disque de diamètre δ nous avons : |u 1 − u 0 | ≤ δ, et d’autre part :
P
j
m 1
m≤ j ≤n−1 k ≤ k 1−k , donc :
|u n − u m | ≤ k m
δ
1−k
Posons θ = ϕ ◦ ψ, pour tout entier m et tout entier n tel que : θ(n) ≥ m , on a :
|u θ(n) − u m | ≤ k m
En faisant tendre n vers l’inﬁni, il vient :
|ξ − u m | ≤ k m
D’où :
δ
1−k
δ
1−k
lim u m = ξ
m→+∞
Finalement en prenant les limites de chaque membre de u m+1 = f (u m ), comme
| f (ξ) − f (u n )| ≤ k|ξ − u n |
on obtient : f (ξ) = ξ.
Unicité.
Si ξ et ζ sont deux points ﬁxes de f :
|ξ − ζ| = | f (ξ) − f (ζ)| ≤ k|ξ − ζ|
d’où : 0 ≤ (k − 1)|ξ − ζ|, mais k − 1 ≤ 0, donc : ξ − ζ = 0.
La démonstration peut-être raccourcie en utilisant les suites de Cauchy.
Exemple 4.8.2. La ﬁgure 15 illustre la convergence de la suite réelle déﬁnie par x 0 et pour
n ≥ 0 par : u n+1 = cos(u n ).
4.8.4. Méthode de Newton. Méthode de calcul des solutions d’une équation de la forme
f (x) = 0. Le principe de cette méthode est de construire une suite récurrente (x n )n≥0 de la façon
suivante :
f étant déﬁnie sur l’intervalle [a, b], on prend x 0 dans [a, b]. Pour tout n , x n+1 est l’abscisse du
point d’intersection de la tangente en (x n , f (x n )) à la courbe d’équation y = f (x) et de l’axe des
abscisses (voir la ﬁgure 16). Ainsi :
x n+1 = x n −
f (x n )
f 0 (x n )
144
4. NOMBRES RÉELS SUITES ET FONCTIONS
y
cosinus
O
`
x0
x1
x
Figure 15. Point ﬁxe.
y
y = f (xn ) + f 0 (xn )(x − xn )
M(xn , f (xn ))
xn+1
xn
O
x
Figure 16. Méthode de Newton
Supposons la suite bien déﬁnie (i.e. pour tout n , x n ∈ [a, b]), f est deux fois dérivable et il
existe deux réels strictement positifs M et N tels que :
supt ∈[a,b] | f 00 (t )| ≤ M
inft ∈[a,b] | f 0 (t )| ≥ N
Soit α une solution de f = 0, alors d’après l’inégalité de Taylor-Lagrange :
(4.1)
(4.2)
f (α) = 0
2
¯
¯
¯ f (α) − f (x n ) − f 0 (x n )(α − x n )¯ ≤ (α − x n ) sup | f 00 (c)|
2
c∈[a,b]
(4.3)
− f (x n ) = f 0 (x n )(x n+1 − x n )
D’où (après un petit calcul) :
|α − x n+1 | ≤ |α − x n |2
puis :
M
2 f 0 (x n )
|α − x n+1 | ≤ |α − x n |2
M
2N
4.8. APPROXIMATIONS
145
On en déduit une formule de récurrence de la forme :
|α − x n | ≤ |α − x 0 |2
µ
n
M
2N
¶kn
(Calcul de la suite (kn )n≥0 par récurrence : k0 = 0 et kn+1 = 2kn + 1 d’où kn = 2n − 1).
Pour être assuré que x n → α, il suﬃt que
|α − x 0 |
2n
µ
M
2N
¶kn
n→∞
−−−−→ 0
Soit
|α − x 0 |
M
<1
2N
Exercice 4.8.1. Démontrer que l’équation cos x − x = 0 admet une unique solution α sur R.
Calculer une valeur approchée de α en utilisant la méthode de Newton.
4.8.5. Formules pour algorithmes de calcul de e, π.
4.8.5.1. π. Leibnitz :
π X (−1)k
=
4 k≥0 2k + 1
Machin :
1
1
π = 16arctan − 4arctan
5
239
Wallis (à vériﬁer) :
π
22 (n!)3
= lim
2 n→+∞ (2n + 3)!
Euler :
π2 X 1
=
2
6
k≥1 k
X?
π+3 =
X k2k
¡2k ¢
k≥1
Ramanujan :
k
p
1
2 2 X (4k)!(1103 + 26390k)
=
π 9801 k≥0
(k!)4 (3964k )
Tchoudnovsky (David et Gregory) :
X (−1)k (6k)!(13591409 + 545140134k)
1
= 12
3
π
(3k)!(k!)3 6403203k+ 2
k≥0
Formule utilisée par un algorithme compte-goutte :
π = 2+
µ
µ
µ
¶¶¶
1
2
3
4
2 + 2 + 2 + (2 + · · · )
3
5
7
9
Formule de Bailey, Borwein, Plouﬀe :
π=
X
k≥0
µ
¶
4
2
1
1
1
−
−
−
8k + 1 8k + 4 8k + 5 8k + 6 16k
146
4. NOMBRES RÉELS SUITES ET FONCTIONS
4.8.5.2. e.
µ
¶
1 n
e = lim 1 +
n→+∞
n
X 1
e = lim
n→+∞
0≤k≤n k!
1−
X (−1)k+1
1
= lim
e n→+∞ 1≤k≤n
k!
4.8. APPROXIMATIONS
147
4.8.6. Ordres de grandeurs. Certaines grandeurs peuvent être contestées.
Diamètres :
atome: 10−10 m.
noyau: 10−15 m
terre: 6, 3.106 m
soleil: 3, 84.108 m
orbite terre: 1, 49.1011 m
orbite lune: 3, 84.108 m
orbite pluton: 5, 8.1012 m
voie lactée: 9, 47.1026 m
Évaluations
année lumière: 9, 46.1017 m.
atmosphère: 9/10 de l’atmosphère se trouve à moins de 16km d’altitude et 99/100 à moins de
31km.
océans: 71% de la surface terrestre, 1, 37.109 km3 , profondeur moyenne : 3700 km, 0,023% de la
masse terrestre.
Quantités estimées
atomes: 1080 (http://www.lacosmo.com/dixpuissance80.html).
Planck
distance: 1, 66.10−35 m.
temps: 5, 44.10−44 s (âge de l’univers : 1017 s).
Ce qui suit est pris dans http://spt06.chez-alice.fr/distance.htm
— Les grandes distances :
(1) 100 : 1 m : Être humain
(2) 101 : 10 m : Grand mammifère
(3) 102 : 100 m : Hauteur d’un grand immeuble
(4) 103 : 1 km : Balade
(5) 104 : 10 km : Diamètre d’une étoile à neutrons ou d’un trou noir
(6) 105 : 100 km : Trajet en voiture
(7) 106 : 1000 km : Trajet en avion
(8) 107 : 10 000 km : Taille de La Terre et des plus petites étoiles : les naines blanches.
(9) 108 : 100 000 km : fraction de seconde de lumière. Distance Terre-Lune, taille des
petites étoiles.
(10) 109 : 1 000 000 km : Dimension du Soleil
(11) 1010 : Dimension des étoiles géantes
(12) 1011 : 1 UA : 10 minutes lumière : Distance Terre-Soleil : dimension des plus grandes
étoiles : supergéantes rouges : Antarès
(13) 1012 : 1 heure lumière : Distance Soleil-Uranus
(14) 1013 : Distance Soleil-Pluton : taille du système solaire
(15) 1014 : Orbites des comètes
148
4. NOMBRES RÉELS SUITES ET FONCTIONS
(16) 1015 : Orbites des comètes lointaines
(17) 1016 : 1 année lumière
(18) 1017 : Parsec : Distance des étoiles les plus proches : Proxima de la constellation du
Centaure (4.4. A.L.)
(19) 1018 : Distance des grosses étoiles visibles à l’oeil nu : Alkaïd (la queue de la Grande
Ourse)
(20) 1019 : Épaisseur de notre galaxie : La Voie Lactée, Distance à l’étoile Deneb (Cygne).
(21) 1020 : Distance à un Trou noir X-1 ( ?) dans la constellation du Cygne.
(22) 1021 : Diamètre de notre galaxie : La Voie Lactée
(23) 1022 : Distance des galaxies les plus proches : galaxie d’Andromède…
(24) 1023 : Dimension d’un amas de galaxies
(25) 1024 : Dimension des superamas de galaxies
(26) 1025 : Échelle du maximum de ﬂuctuation de masse (satellite COBE), Les conﬁns de
l’Univers
(27) 1026 : Échelle à partir de laquelle l’Univers est homogène
(28) 1027 : 10 milliards d’année lumière : dimension estimée de notre Univers : limite
inférieure de sa courbure.
Nota : la vitesse des objets étant forcément inférieure à celle de la lumière, d’après le Big
Bang, l’âge de l’univers étant estimé à 12 milliards d’année, il ne peut donc pas y avoir,
dans notre univers, d’objets situés à plus de 12 milliards d’année lumière…
— Les petites distances :
(1)
(2) 100 : 1 m : Être humain
(3) 10−1 : 10 cm : Petit mammifère
(4) 10−2 : 1 cm : Insecte
(5) 10−3 : 1 mm : Petit insecte
(6) 10−4 : 0.1 mm : Limite de résolution de l’œil humain : amibe
(7) 10−5 : 0.01 mm : Précision d’une machine outil, taille d’un globule blanc
(8) 10−6 : 1 micron : Précision métrologique : bactérie, chromosome
(9) 10−7 : 1000 Angström : Longueur d’onde de la lumière (infra-rouge) : virus
(10) 10−8 : 100 Angströms
(11) 10−9 : 10 Angströms : 1 nanomètre : Molécule
(12) 10−10 : 1 Angström : Atome
(13) 10−11 :
(14) 10−12 : 1 picomètre
(15) 10−13 : <<précision>> de localisation d’un électron
(16) 10−14 : Noyau d’un atome
(17) 10−15 : 1 Fermi : 1 femtomètre : Diamètre d’un proton et résolution des grands accélérateurs de particules.
(18) 10−16 : <<précision>> de localisation d’un proton
4.8. APPROXIMATIONS
149
(19) 10−17 :
(20) 10−18 : 1 attomètre : jusque là la physique de la matière est bien comprise…
(21) 10−19 : Dimension de l’électron, du quark : résolution des futurs accélérateurs 1000
Gev
(22) 10−20 :
(23) 10−21 :
(24) 10−22 :
(25) 10−23 :
(26) 10−24 : rayon de Schwarzschild d’une boule d’acier de 1 tonne
(27) 10−25 :
(28) 10−26 : Taille de l’Univers à 10−35 s (après le Big Bang)
(29) 10−27 : <<précision>> de localisation d’une balle de tennis
(30) 10−28 :
(31) 10−29 :
(32) 10−30 :
(33) 10−31 : longueur d’onde de Compton d’une particule
(34) 10−32 :
(35) 10−33 : Distance de Planck : longueur des supercordes
(36) 10−34 : À partir d’ici on ne dispose même plus de théorie physique, s’il y en a encore…
150
4. NOMBRES RÉELS SUITES ET FONCTIONS
4.9. Fonctions convexes
Définition 4.9.1. Une partie C du plan est dite convexe si et seulement si le segment [A, B]
est contenu dans C dès que les points A et B sont dans C.
Définition 4.9.2. Une fonction f déﬁnie sur un intervalle I et à valeurs réelles est dite
convexe si et seulement si {(x, f (x)) ∈ R2 /x ∈ I, y ≥ f (x)} est une partie convexe. f est dite concave
si − f est convexe.
{(x, f (x)) ∈ R2 /x ∈ I, y ≥ f (x)} est appelé épigraphe.
Autrement dit, f est convexe si pour tous x et x 0 dans I et tout u dans [0, 1] :
f (ux + (1 − u)x 0 ) ≤ u f (x) + (1 − u) f (x 0 )
La corde est au-dessus du graphe et le graphe est au-dessus de la tangente.
(a, f (a))
u f (a) + (1 − u) f (b)
(b, f (b))
f (ua + (1 − u)b)
ua + (1 − u)b
Figure 17. Corde et arc sous tendu
f 00 (t1 )
f 0 (t1 )
f (t1 )
Figure 18. Fonction convexe et tangente
Remarque 4.9.1. Si f est continue sur I, f est convexe si et seulement si :
µ
f
¶
x + x0
f (x) + f (x 0 )
≤
2
2
Il suﬃt de démontrer la réciproque. Considérons les développements 2-adiques des réels dans
p
1
[0, 1] : tout nombre α tel que 0 ≤ α ≤ 1 est approché, à 2n+1
près, par des rationnels s’écrivant 2n
4.9. FONCTIONS CONVEXES
151
où n est un entier positif et p est un entier compris entre 0 et 2n (comme pour un développement
décimal,
qui est un développement 10-adique). Donc il existe une suite (p n )n d’entiers telle que
³ ´
pn
2n n converge vers α.
Nous pourrions démontrer par récurrence que pour tous entiers p et n tels que 0 ≤ p ≤ 2n :
µ
¶ ¶
µ
¶
p
p
p
p
x
+
1
−
y
≤
f
(x)
+
1
−
f (y)
2n
2n
2n
2n
³ ´
p
La même inégalité est vraie en remplaçant p par p n tels que 2nn converge vers α (0 ≤ α ≤ 1),
µ
f
n
en prenant la limite, nous obtenons :
f (αx + (1 − α)y) ≤ α f (x) + (1 − α f (y)
Théorème 4.9.1. f est convexe si et seulement si, pour tout a dans I, l’application
x 7→
est croissante sur I \ {a}.
f (x) − f (a)
x −a
Démonstration. Soient x, y, z des réels tels que : x < y < z et α dans [0, 1]. Choisissons α
z−y
de manière à avoir : αx + (1 − α)z = y , soit : α = z−x . Alors :
f (y) ≤ α f (x) + (1 − α) f (z)
Donc : 0 ≤
z−y
z−x ( f
(x) − f (z)) + f (z) − f (y), nous en déduisons :
µ
¶
f (z) − f (x) f (z) − f (y)
0 ≤ (z − y) −
+
z −x
z−y
Comme z > y , il vient :
f (z) − f (x) f (z) − f (y)
≤
z −x
z−y
En échangeant x et z on obtient α =
x−y
x−z
et
µ
¶
f (x) − f (z) f (x) − f (y)
0 ≤ (x − y) −
+
x −z
x−y
et comme x < y :
D’où (formule des trois cordes) :
f (x) − f (y) f (z) − f (x)
≤
x−y
z −x
f (x) − f (y) f (z) − f (x) f (z) − f (y)
≤
≤
x−y
z −x
z−y
qui démontre la croissance du taux d’accroissement.
La réciproque se prouve en remontant les calculs.
Remarque 4.9.2. La démonstration précédente prouve que :
lim
x→y −
existe car
minore
f (x)− f (y)
est
x−y
f (z)− f (y)
donc :
z−y
f (x) − f (y)
x−y
une fonction croissante de x , majorée par
lim
z→y +
f (z) − f (y)
z−y
f (z)− f (y)
.
z−y
De même
f (x)− f (y)
x−y
152
4. NOMBRES RÉELS SUITES ET FONCTIONS
existe. Ainsi, f admet une dérivée à gauche et une dérivée à droite en y . Par suite, une fonction
convexe sur un intervalle ouvert est continue.
Corollaire 4.9.1. Soit f dérivable sur I alors f est convexe si et seulement si f 0 est
croissante.
Démonstration. Supposons f convexe. En faisant tendre y vers x dans l’inégalité
f (x)− f (y)
x−y
f (z)− f (y)
−
z−y
≥ 0, on trouve :
f (z) − f (x)
≥ f 0 (x)
z −x
f (z)− f (x)
f (z)− f (y)
De même, en faisant tendre y vers z dans z−x ≤ z−y ( f est continue) :
f (z) − f (x)
≤ f 0 (z)
z −x
D’où f 0 (x) ≤ f 0 (z).
Réciproquement : supposons f 0 croissante. La somme de deux fonctions convexes est convexe et
une fonction aﬃne est convexe, il suﬃt donc de montrer que, pour tous a et b dans I, la fonction
g :
f (b) − f (a)
(x − a)
b−a
est croissante. Comme g (a) = g (b) = 0, si g (x) ≤ 0 lorsque x est dans ]a, b[ alors la courbe est
f (b)− f (a)
sous la corde. Or d’après le théorème de Rolle, il existe c dans ]a, b[ tel que : b−a = f 0 (c). f 0
0
étant croissante, g est négative sur ]a, c[, nulle en c et positive sur ]c, b[. Donc g est négative sur
]a, b[.
g (x) = f (x) − f (a) −
Remarque 4.9.3. La courbe est située au-dessus de ses tangentes. En eﬀet, soit h déﬁnie
par :
h(x) = f (x) − ( f (a) + f 0 (a)(x − a))
a une dérivée négative pour x ≤ a et positive pour x ≥ a , donc h admet un minimum en a or :
h(a) = 0, donc pour tout x dans I : h(x) ≥ 0.
Corollaire 4.9.2. Si f est deux fois dérivable sur I alors f est convexe si et seulement si
f 00 ≥ 0.
Démonstration. f est convexe si et seulement si f 0 est croissante, donc si et seulement si
f ≥ 0.
00
Compléments :
Proposition 4.9.1. Soit f admettant une dérivée à droite sur l’intervalle I, f est croissante
si et seulement si f d0 ≥ 0.
Proposition 4.9.2. Soit f déﬁnie sur l’intervalle ouvert I. f est convexe si et seulement si
elle est continue et admet une dérivée à droite croissante.
Index
A
I
anti-rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
application aﬃne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
application linéaire associée à une application aﬃne
202
automorphisme orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
isométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191, 207
L
longueur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
B
base orthonormale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
M
matrice orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
C
convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
N
norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
normer un vecteur ou une base. . . . . . . . . . . . . . . . . .188
D
déplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
distance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188, 207
euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
F
P
parties orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
point massique ou pondéré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
projection othogonale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .190
famille orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
famille orthonormale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
273
274
INDEX
R
réﬂexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
repère cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
rotation gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . voir anti-rotation
S
segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
similitude directe (ou positive) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
supplémentaire orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
symétrie orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
T
trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
transformation d’un espace aﬃne . . . . . . . . . . . . . . . 203
V
vecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
vissage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

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