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Terminale S
TD Introduction de la fonction exponentielle
A l’aide des suites géométriques
Novembre 2016
1) Représentations graphiques de suites :
Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O; ⎯→ i; ⎯→ j )
a) Suites arithmétiques :
On considère la suite arithmétique
( )
n
u
de premier terme
01u=
et de raison 2
∀n∈!, on a un=
On représente graphiquement la suite
( )
n
u
par les points de coordonnées
( )
,n nu
.
Ces points sont alignés sur la droite d’équation
y=
b) Suites géométriques :
On considère la suite géométrique
( )
n
u
de premier terme
01u=
et de raison 2.
On a ∀n∈!, on a un=
.
a) Compléter :
012345
n
n
u
b) Représenter graphiquement les cinq premiers termes de la suite.
On voudrait savoir s’il existe, comme pour les suites arithmétiques,
une fonction f dérivable sur
!
dont la représentation graphique passe
par tous les points
An,∀n∈!.
• Cette fonction f peut-elle être affine ?
• Déterminer le trinôme du second degré dont la représentation graphique
passe par
01 2
, et AA A
.
Cette représentation graphique passe-t-elle par
3
A
?
La fonction f peut-elle être un polynôme du second degré ?
En fait, la représentation graphique de aucune des fonctions dérivables sur
!
que nous avons rencontrées jusque-là ne peut passer par tous les points
An,∀n∈!.

2) Racines nièmes, puissances rationnelles
a) On appelle racine carrée, racine cubique et de façon générale la racine nième,
∀n∈!∗,
d’un nombre
positif a le nombre positif b tel que
n
ba=
. On note
na
cette racine nième.
Par définition, on a
( )
n
naa=
.
Déterminer
35
24
988132== = =
b) Soient un nombre positif a et deux entiers
et , 0.pqq≠
On peut définir
( )
comme étant égal à
pp
q
q
aa
.
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
C'est cohérent avec les formules sur les puissances.
q
pqp
ppqqpq
qqq q p
q
aaaaaa
××
⎛⎞
=====
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
c) Compléter alors le tableau suivant :
1
10
10
0.1 0.5 1.2 1.7 2.4
1
10
2 2 2 2 1.07
p
xq
x
p
xq =
==;
3) La fonction puissance
Supposons qu’il existe une définie et dérivable sur
!
telle que
∀x∈!,f x
( )
=2x
.
Nous allons conjecturer une relation entre f et f’.
( ) ( )
0
On rappelle que est dérivable en lim existe.
h
fa h fa
fa h
→
+−
∈⇔°
a) Commençons par choisir
1a=
.
b) Recommençons avec différentes valeurs de a :
Quelle conjecture pouvons-nous faire sur le rapport
( )
( )
'fa
fa
en général ?