TD Introduction de la fonction exponentielle A l’aide des suites géométriques Terminale S 1) Représentations graphiques de suites : ⎯ → ⎯ → Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O; i ; j ) a) Suites arithmétiques : On considère la suite arithmétique ( un ) de premier terme u0 = 1 et de raison 2 ∀n ∈!, on a un = On représente graphiquement la suite ( un ) par les points de coordonnées ( n, un ) . Ces points sont alignés sur la droite d’équation y = b) Suites géométriques : On considère la suite géométrique ( un ) de premier terme u0 = 1 et de raison 2. On a ∀n ∈!, on a un = . a) Compléter : n un 0 1 2 3 4 5 b) Représenter graphiquement les cinq premiers termes de la suite. On voudrait savoir s’il existe, comme pour les suites arithmétiques, une fonction f dérivable sur ! dont la représentation graphique passe par tous les points An , ∀n ∈!. • Cette fonction f peut-elle être affine ? • Déterminer le trinôme du second degré dont la représentation graphique passe par A0 , A1 et A2 . Cette représentation graphique passe-t-elle par A3 ? La fonction f peut-elle être un polynôme du second degré ? En fait, la représentation graphique de aucune des fonctions dérivables sur ! que nous avons rencontrées jusque-là ne peut passer par tous les points An , ∀n ∈!. Novembre 2016 2) Racines nièmes, puissances rationnelles a) On appelle racine carrée, racine cubique et de façon générale la racine nième, ∀n ∈!∗ , d’un nombre positif a le nombre positif b tel que bn = a . On note n a cette racine nième. Par définition, on a ( a) n n = a. 3 5 4 Déterminer 2 9 = 8= 81 = 32 = b) Soient un nombre positif a et deux entiers p et q, q ≠ 0. On peut définir a q (( ) ) p q comme étant égal à ( a) . p q (( ) ) ⎛ qp ⎞ p q p×q q× p q p q q q q a = a = a = a = ap ⎜⎜ a ⎟⎟ = ⎝ ⎠ C'est cohérent avec les formules sur les puissances. ( ) ( ) c) Compléter alors le tableau suivant : x x= 0.1 p q p 2x = 2 q 0.5 1.2 1.7 1 10 1 210 = 10 2 ; 1.07 3) La fonction puissance Supposons qu’il existe une définie et dérivable sur Nous allons conjecturer une relation entre f et f’. On rappelle que f est dérivable en a ∈ ° ⇔ lim ! telle que ∀x ∈!, f ( x ) = 2 x . f (a + h) − f (a) h →0 h existe. a) Commençons par choisir a = 1 . b) Recommençons avec différentes valeurs de a : Quelle conjecture pouvons-nous faire sur le rapport f '(a ) f (a) en général ? 2.4