Évaluation : Statistique et Probabilités (2 heures) Énoncé et corrigé.

Université Paris Est Créteil, ESIPE Licence première année
Statistiques descriptives et probabilités Année 2016-2017
B. de Tilière
13 décembre 2016
Évaluation : Statistique et Probabilités (2 heures)
Énoncé et corrigé.
Le barème est donné à titre indicatif.
Exercice 1. [Probabilités] (4 points)
1) Soit Ωun univers et Al’ensemble des événements de Ω. Une probabilité sur (Ω,A)
est une application de Adans [0,1] qui satisfait à deux axiomes. Énoncer ces deux
axiomes.
2) Soient Aet Bdeux évènements de Atels que P(A) = 4
5et P(B) = 1 4. Montrer que
1
20 ≤P(A∩B)≤1 4.
Solution de l’exercice 1.
1) Voir définition cours p. 57.
2) Montrons l’inégalité de gauche. Comme conséquence de la définition d’une proba-
bilité, on a :
P(A∪B) = P(A) + P(B)−P(A∩B).
Or P(A∪B)≤1, ce qui implique P(A∩B)≥P(A) + P(B)−1. Dans notre cas
cela donne
P(A∩B)≥4
5+1 4−1 = 1 20,
et montre la première inégalité. Pour la deuxième, on utilise que A∩B⊂B, ce
qui implique
P(A∩B)≤P(B) = 1
4.
Exercice 2. [Dénombrement] (4 points)
1) Combien y a-t-il d’anagrammes
— du mot PROBA ?
— du mot STAT ?
2) Huit nouveaux professeurs vont être envoyés dans quatre écoles.
1

— Combien y a-t-il d’affectations possibles ? (sans contrainte sur le nombre de
professeurs par école).
— Qu’en est-il si chaque école recevra exactement deux professeurs ?
Solution de l’exercice 2.
1) Il y a 5! = 120 anagrammes du mot PROBA. Il y a 4!
2! = 12 anagrammes du mot
STAT.
2) Réponse à la première question : 48= 65536 (chaque professeur a le choix entre
quatre école). Réponse à la deuxième question : 8!
2!2!2!2 =8 26 24 22 2= 2520
(nombre de choix pour les deux professeurs de la première école, puis pour ceux de
la deuxième école parmi ceux restants, etc.).
Exercice 3. [Dénombrement et probabilités] (4 points)
Une forêt abrite vingt cerfs. Cinq sont capturés, marqués et relâchés. Un peu plus tard,
quatre cerfs sont de nouveau capturés. Quelle est la probabilité que deux d’entre eux
soient marqués ?
N.B. : Ne pas oublier de déterminer un univers Ωadapté à cette problématique, puis de
dire quel est l’ensemble des événements Aconsidérés sur Ω, et finalement de préciser la
probabilité choisie sur (Ω,A)ainsi que les conséquences de ce choix sur les calculs que
vous êtes amenés à faire.
Solution de l’exercice 3. On choisit comme univers Ω“l’ensemble des manières de capturer
4 cerfs parmi 20”. Ainsi, card(Ω) = 20
4(tirage sans remise non ordonné). Étant donné
que Ωest de cardinal fini, on le munit de la tribu A=P(Ω) des parties de Ω. On suppose
que les cerfs sont capturés au hasard, de sorte que l’on munit (Ω,A)de la probabilité
uniforme, notée P. Ainsi, pour tout événement Ade A, on a :
P(A) = card(A)
card(Ω) =card(A)
20
4.
On s’intéresse à l’événement A: “parmi les 4 cerfs capturés, 2 sont marqués”, alors
card(A) = 5
215 2. En effet, il y a 5 2manières de choisir 2 cerfs parmi les 5 qui sont
marqués et, pour chacun de ces choix, il a 15
2manières de choisir 2 cerfs parmi les 15
qui ne sont pas marqués.
La réponse cherchée est donc :
P(A) = 5
215 2
20
4=70
323 '0.217.
2

Exercice 4. [Statistique à deux variables] (2 points)
Soient Xet Ydeux variables. Démontrer que :
Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2 Cov(X, Y ).
Solution de l’exercice 4. Voir démonstration du point 3) Proposition 4.3 dans le cas par-
ticulier où a=b= 1.
Exercice 5. [Statistique à deux variables] (6 points)
On s’intéresse à une petite partie des données fournies par la dernière enquête PISA,
2015. Source : Synthèse des convictions, de l’engagement et de la motivation des élèves
en sciences, OCDE 2016.
La variable Xreprésente le score moyen en sciences, la variable Yreprésente le pourcen-
tage d’élèves envisageant d’exercer une profession scientifique. On restreint les données
aux 27 premiers pays du classement (sur 70 pays).
A titre informatif uniquement, le score moyen sur tous les pays (aussi ceux qui ne sont
pas considérés ici) est de 493 et le pourcentage moyen sur tous les pays est de 24.5%.
Numéro Pays Score moyen en sciences (X)Élèves envisageant d’exercer
une profession scientifique (Y)(en %)
1. Singapore 556 28.0
2. Japan 538 18.0
3. Estonia 534 24.7
4. Chinese Taipei 532 20.9
5. Finland 531 17.0
6. Macao (China) 529 20.8
7. Canada 528 33.9
8. Viet Nam 525 19.6
9. Hong Kong (China) 523 23.6
10. B-S-J-G (China) 518 16.8
11. Korea 516 19.3
12. New Zealand 513 24.8
13. Slovenia 513 30.8
14. Australia 510 29.2
15. United Kingdom 509 29.1
16. Germany 509 15.3
17. Netherlands 509 16.3
18. Switzerland 506 19.5
19. Ireland 503 27.3
20. Belgium 502 24.5
21. Denmark 502 14.8
22. Poland 501 21.0
23. Portugal 501 27.5
24. Norway 498 28.6
25. United States 496 38.0
26. Austria 495 22.3
27. France 495 21.2
3

On a calculé les quantités suivantes :
27
X
u=1
X(u) = 13 891,
27
X
u=1
Y(u) = 632.9,
27
X
u=1
X(u)2= 7 153 142,
27
X
u=1
Y(u)2= 15 740.8,
27
X
u=1
X(u)Y(u) = 325 405.
1) Calculer la moyenne arithmétique de chacune des variables Xet Y.
2) Calculer la variance et l’écart-type de chacune des variables Xet Y.
3) Calculer la covariance de Xet Y.
4) Calculer le coefficient de corrélation de Xet Y. Quelle conclusion pouvez-vous en
tirer ?
5) Donner l’équation de la droite de régression au sens des moindres carrés.
Solution de l’exercice 5.
1) Les moyennes arithmétiques sont égales à
¯x=1
27
27
X
u=1
X(u) = 13891
27 '514.48,
¯y=1
27
27
X
u=1
Y(u) = 632.9
27 '23.44.
2) Les variances sont égales à
Var(X) = 1
27
27
X
u=1
X(u)2−¯x2=7153142
27 −514.482'241.51,
Var(Y) = 1
27
27
X
u=1
Y(u)2−¯y2=15740.8
27 −23.442'33.56,
Les écarts-types sont égaux à : σX=pVar(X)'15.54,σY=pVar(Y)'5.79.
3) La covariance de Xet Yest égale à
Cov(X, Y ) = 1
27
27
X
u=1
X(u)Y(u)−¯x¯y=325405
27 −514.48 ×23.44 ' −7.37,
4

4) Le coefficient de corrélation entre Xet Yest égal à,
r(X, Y ) = Cov(X, Y )
σXσY
=−7.37
15.54 ×5.79 ' −0.08.
On peut en conclure qu’il n’y pas de corrélation linéaire manifeste entre les données.
Un ajustement linéaire peut être fait pour essayer de dégager un tendance, mais il
ne serait pas souhaitable de l’utiliser pour prévoir des comportements.
5) Équation de la droite de régression par la méthode des moindres carrés. D’après le
cours, on a :
pente =r(X, Y )σY
σX
=−0.08 5.79
15.54 ' −0.03,
ordonnée à l’origine = ¯y−pente ׯx= 23.44 + 0.03 ×514.48 '39.15.
L’équation de la droite de régression par la méthode des moindres carrés est :
y=−0.03 x+ 39.15.
5