Formule d`Euler

D´eveloppement n◦15/74 Benjamin Groux
Formule d’Euler-Mac Laurin
Mon d´eveloppement
Proposition. Il existe une unique suite (Bn)n∈Nde polynˆomes v´erifiant
(i) B0= 1,
(ii) ∀n∈N∗,B′
n=nBn−1,
(iii) ∀n∈N∗,R1
0Bn(x)dx = 0.
Ces polynˆomes sont appel´es polynˆomes de Bernoulli et les nombres bn=Bn(0) sont appel´es
nombres de Bernoulli. Ils v´erifient de plus
(iv) ∀n6= 1, Bn(1) = Bn(0),
(v) ∀n∈N,Bn(1 −X) = (−1)nBn(X),
(vi) ∀n∈N∗,b2n+1 = 0.
On construit les polynˆomes de Bernoulli par r´ecurrence.
•L’initialisation se fait en posant B0= 1.
•Pour l’h´er´edit´e, on suppose que le polynˆome Bnest construit. En notant
Bn+1 :[0,1] →R
x7→ (n+ 1) Rx
0Bn(t)dt −R1
0Ru
0(n+ 1)Bn(t)dt du ,(1)
on a alors clairement B′
n+1(x) = (n+ 1)Bn(x) pour tout x∈[0,1], et R1
0Bn+1(x)dx = 0. De
plus, Bn´etant polynomiale, Bn+1 l’est ´egalement.
On a ainsi construit par r´ecurrence une suite de polynˆomes (Bn)n∈Nv´erifiant (i), (ii) et (iii).
Une r´ecurrence imm´ediate utilisant le th´eor`eme fondamental de l’analyse permet de montrer
que cette suite de polynˆomes est unique.
Pour le point (iv), on a bien ´evidemment B0(1) = 1 = B0(0) et, d’apr`es les points (ii) et
(iii), pour tout n≥2, on a
Bn(1) −Bn(0) = Z1
0
B′
n(x)dx =nZ1
0
Bn−1(x)dx = 0 .
Ensuite, en posant Pn(X) = (−1)nBn(1 −X), il est clair que la suite de polynˆomes (Pn)n∈N
satisfait les points (i), (ii) et (iii), donc par unicit´e des polynˆomes de Bernoulli, on a Pn=Bn
pour tout n∈N, ce qui implique le point (v).
Enfin, d’apr`es les points (iv) et (v), pour tout n6= 1, on a bn=Bn(1) = (−1)nbn, ce qui
implique le point (vi).
Pour tout n∈N∗, on note f Bnla fonction 1-p´eriodique qui co¨ıncide avec Bnsur [0,1[.
Proposition (formule d’Euler-Mac Laurin). Soient m, n deux entiers tels que m < n,
soit r∈N∗et soit f∈ Cr([m, n],C). On a :
n
X
k=m
f(k) = Zn
m
f(t)dt +1
2(f(m) + f(n)) +
E(r/2)
X
p=1
b2p
(2p)! f(2p−1)(n)−f(2p−1)(m)
+(−1)r+1
r!Zn
mf
Br(t)f(r)(t)dt .
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On d´emontre la formule d’Euler-Mac Laurin par r´ecurrence ´egalement.
•Initialisation. Soient m < n deux entiers et f∈ C1([m, n],C). Grˆace `a (1), on calcule
facilement B1(X) = X−1
2. Pour tout k∈Jm, n −1K, le th´eor`eme d’int´egration par parties
appliqu´e aux fonctions de classe C1fet f B1(qu’on a prolong´ee par continuit´e en k+ 1) donne
Zk+1
k
f(t)dt =hf(t)f B1(t)ik+1
k−Zk+1
kf
B1(t)f′(t)dt
=1
2(f(k+ 1) + f(k)) −Zk+1
kf
B1(t)f′(t)dt
donc, en sommant sur k, on obtient
Zn
m
f(t)dt =1
2(f(m) + f(n)) +
n−1
X
k=m+1
f(k)−Zn
mf
B1(t)f′(t)dt .
•H´er´edit´e. On suppose que la formule est d´emontr´ee `a un rang r≥1. Soient m < n deux
entiers et f∈ Cr+1([m, n],C). Le th´eor`eme d’int´egration par parties appliqu´e aux fonctions
f(r)et ^
Br+1
r+1 , qui sont continues et de classe C1par morceaux, de d´eriv´ees respectives f(r+1)
et f Br, donne
Zn
mf
Br(t)f(r)(t)dt =1
r+ 1
]
Br+1(t)f(r)(t)n
m
−Zn
m
1
r+ 1
]
Br+1(t)f(r+1)(t)dt
=br+1
r+ 1(f(r)(n)−f(r)(m)) −Zn
m
1
r+ 1
]
Br+1(t)f(r+1)(t)dt .
En injectant cette relation dans l’hypoth`ese de r´ecurrence, en distinguant le cas o`u rest
pair du cas o`u rest impair et en utilisant le point (vi) ci-dessus, on obtient que la propri´et´e
souhait´ee est v´erifi´ee au rang r+ 1.
La formule d’Euler-Mac Laurin est donc d´emontr´ee par r´ecurrence.
Application 1. Il existe γ > 0 tel que pour tout r∈N∗, quand n→+∞, on a
n
X
k=1
1
k= ln(n) + γ+1 2n−
r
X
p=1
b2p
2p
1
n2p+O1 n2r+1 .
La fonction t7→ 1
test de classe C∞sur [1,+∞[ et pour tous p∈Net t∈[1,+∞[, on a
f(p)(t) = (−1)pp!
tp+1 . D’apr`es la formule d’Euler-Mac Laurin appliqu´ee au rang 2r+ 1, pour tous
r∈N∗et n∈N∗, on a donc
n
X
k=1
1
k=Zn
1
dt
t+1 2+1 2n−
r
X
p=1
b2p
2p1 n2p−1−Zn
1
^
B2r+1(t)
t2r+2 dt .
Comme ^ B2r+1 est born´ee sur R, la fonction t7→ ^
B2r+1(t)
t2r+2 est int´egrable sur [1,+∞[. En notant
γr=1
2+
r
X
p=1
b2p
2p−Z+∞
1
^
B2r+1(t)
t2r+2 dt ,
2

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on a donc n
X
k=1
1
k= ln(n) + γr+1 2n−
r
X
p=1
b2p
2p
1
n2p+Z+∞
n
^
B2r+1(t)
t2r+2 dt
avec Z+∞
n
^
B2r+1(t)
t2r+2 dt≤ k^
B2r+1k∞
1
(2r+ 1)n2r+1 .
On remarque enfin que pour tout r,γrest ´egale `a la limite quand n→+∞de Pn
k=1
1
k−ln(n),
donc γrest ind´ependante de r. On obtient ainsi la formule annonc´ee.
Application 2.
(i) Quand n→+∞, on a
b2n∼(−1)n+12(2n)!
(2π)2n.
(ii) Pour tous n∈N∗et x∈R, on a g B2n(x)≤ |b2n|et ^ B2n+1(x)≤n+1
2|b2n|.
Soient n∈Net p∈N∗. La formule d’Euler-Mac Laurin appliqu´ee `a la fonction x7→
e−2iπnx, qui est de classe C∞sur [0,1], s’´ecrit au rang p:
2 = Z1
0
e−2iπnx dx
|{z }
=0 si n6=0
+1 + 0 + (−1)p+1
p!Z1
0f
Bp(x)(−2iπn)pe−2iπnx dx .
Le n-i`eme coefficient de Fourier de la fonction 1-p´eriodique f Bpvaut donc −p!
(2iπn)plorsque n
est non nul. Et il vaut R1
0f
Bp(x)dx = 0 si n= 0 d’apr`es le point (iii) ci-dessus.
D’une part, f Bpest continue pour p6= 1, et d’autre part, pour tout k∈Z,f B1est continue
sur l’intervalle ]k, k + 1[ et
1
2lim
x→k−f
B1(x) + lim
x→k+f
B1(x)=1
21 2−1 2= 0 .
D’apr`es le th´eor`eme de Dirichlet, on a alors
∀k≥1,∀x∈R,g B2k(x) = (−1)k+12(2k)!
(2π)2k
+∞
X
n=1
cos(2πnx)
n2k
et
∀k∈N,∀x∈R,^ B2k+1(x) = (−1)k+12(2k+ 1)!
(2π)2k+1
+∞
X
n=1
sin(2πnx)
n2k+1 .
En notant ζ:s7→ P+∞
n=1
1
ns, on a donc d’une part
b2k=(−1)k+12(2k)!
(2π)2kζ(2k)∼(−1)k+12(2k)! (2π)2k
quand k→+∞.
D’autre part, pour tous k∈N∗et x∈R, on a |g B2k(x)| ≤ |b2k|. De plus, d’apr`es les points
(ii) et (vi) ci-dessus, on a, pour tous k∈N∗et x∈R,
B2k+1(x) = (2k+ 1) Zx
0
B2k(t)dt
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donc |^ B2k+1(x)| ≤ (2k+ 1)|x|.|b2k| ≤ k+1
2|b2k|d`es que x∈0,1 2. Cette relation est aussi
valable pour x∈1
2,1d’apr`es le point (v) ci-dessus, et donc pour tout x∈Rpar p´eriodicit´e
de ^ B2k+1.
R´ef´erences
J’ai utilis´e [Dem06, pp. 77-81], [Gou08, p. 301]. On peut aussi consulter [Gou08, p. 299],
[FGN09, p. 310].
Le¸cons correspondantes
J’utilise ce d´eveloppement pour les le¸cons 223, 224, 238. On peut ´egalement l’utiliser pour
la le¸con 230.
Remarques
– Le nombre γest appel´e constante d’Euler.
– On peut d´efinir les nombres de Bernoulli par r´ecurrence (voir [IR90, p. 229]) en posant
b0= 1 et
∀n∈N∗,
n
X
k=0 n+ 1
kbk= 0 ,
puis ensuite d´efinir les polynˆomes de Bernoulli `a l’aide de la formule
Bn(x) =
n
X
k=0 n
kbkxn−k.
– On peut ´egalement d´efinir ces quantit´es `a l’aide de d´eveloppements en s´erie enti`ere,
voir [Gou08, p. 299].
– Dans l’application 1, on utilise le fait que les fonctions f Bnsont born´ees sur R. Des
bornes explicites sont obtenues dans l’application 2 (ii).
– L’application 2 permet de montrer au passage que les ζ(2k) sont des multiples rationnels
de π2k, puisque les polynˆomes de Bernoulli sont `a coefficients rationnels (d´emonstration
par r´ecurrence).
Questions possibles
1. Calculer les premiers polynˆomes et nombres de Bernoulli.
2. Soit fune fonction de classe Crsur [m, n] dont les d´eriv´ees sont born´ees par M. Majorer
l’erreur lorsqu’on effectue la m´ethode des trap`ezes pour ´evaluer Rn
mf(x)dx.
3. ` A partir de la formule d’Euler-Mac Laurin, ´ecrire une formule de Stirling avec reste.
4. Montrer que la fonction ζadmet une limite en +∞´egale `a 1.
5. Dans l’application 2, quel est le mode de convergence de la s´erie de Fourier de f Bp?
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R´ef´erences
[Dem06] Jean-Pierre Demailly :Analyse num´erique et ´equations diff´erentielles. EDP
Sciences, 2006.
[FGN09] Serge Francinou, Herv´e Gianella et Serge Nicolas :Exercices de
math´ematiques, Oraux X-ENS, Analyse 2. Cassini, 2009.
[Gou08] Xavier Gourdon :Analyse. Ellipses, 2008.
[IR90] Kenneth F. Ireland et Michael I. Rosen :A classical introduction to modern
number theory. Springer, 1990.
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