Loi de réciprocité quadratique (bis)

D´eveloppement n◦23/74 Benjamin Groux
Loi de r´eciprocit´e quadratique (bis)
Mon d´eveloppement
On rappelle deux propri´et´es du symbole de Legendre. Pour tous x, y ∈Zet tout nombre
premier impair p, on a :
(i)
xy
p=x py p,
(ii)
x
p≡x(p−1)/2[p].
Th´eor`eme. Soient pet qdeux nombres premiers impairs distincts. On a
p
q= (−1)(p−1)(q−1)/4q p.
Pour tout entier impair n, on note
Vn(X) =
(n−1)/2
Y
k=1 X−2 cos 2kπ
n
et
Kn(X) =
(n−1)/2
Y
k=1 X+ 4 sin2kπ
n=Vn(X+ 2) .
Lemme. Ces polynˆomes ont les propri´et´es suivantes.
(a) Knest unitaire de degr´e n−1
2.
(b) On a
X(n−1)/2Vn(X+X−1) =
n−1
X
k=0
Xk.
(c) On a Kn(0) = n.
(d) Si pest premier impair, alors Kp(Y) = Y(p−1)/2dans Fp[Y], o`u Y=X−2 + X−1.
(e) Si pest premier impair, alors Kpest `a coefficients dans Z.
Le point (a) est ´evident. Ensuite, on a
X(n−1)/2Vn(X+X−1) =
(n−1)/2
Y
k=1 X2−2 cos 2kπ
nX+ 1
=
(n−1)/2
Y
k=1 X−e2ikπ/nX−e−2ikπ/n
=Xn−1
X−1
ce qui permet d’obtenir (b). Puisque Kn(0) = Vn(2), le point (c) en d´ecoule en appliquant
cette relation en 1.
1

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Enfin, soit pun nombre premier impair. En utilisant (b) et le morphisme de Frobenius, on
a, dans Fp[X],
X(p−1)/2Vp(X+X−1) = Xp−1
X−1= (X−1)p−1
donc
Kp(X−2 + X−1) = Vp(X+X−1) = X−1(X−1)2(p−1)/2= (X−2 + X−1)(p−1)/2
d’o`u, en posant Y=X−2 + X−1,Kp(Y) = Y(p−1)/2dans Fp[Y]. Le point (d) est donc
d´emontr´e et le point (e) en est une cons´equence directe.
On va maintenant d´emontrer la loi de r´eciprocit´e quadratique `a l’aide de la loi de
r´eciprocit´e des r´esultants. Soient pet qdeux nombres premiers impairs distincts. D’apr`es
(e), le r´esultant Res(Kp(Y), Kq(Y)) est un entier, et il est non nul car Kpet Kqsont scind´es
sans racine commune, donc premiers entre eux. On va montrer que ce r´esultant vaut −1 ou
1, puis qu’il est ´egal `a q
pmodulo p.
D’une part, on suppose que le r´esultant Res(Kp(Y), Kq(Y)) ne vaut ni −1, ni 1. Il existe
alors un nombre premier rqui le divise, donc Kp(Y) et Kq(Y) ne sont pas premiers dans
Fr[Y]. Dans une extension de Fr,Kp(Y) et Kq(Y) ont donc une racine commune y, donc,
dans une extension de Fr(une extension de la pr´ec´edente), l’´equation x−2 + x−1=yadmet
une solution xqui n’est pas ´egale `a 1. D’apr`es (b),
(X−1)X(p−1)/2Kp(X−2 + X−1) = Xp−1
et
(X−1)X(q−1)/2Kq(X−2 + X−1) = Xq−1
donc xest `a la fois racine de Xp−1 et de Xq−1. Ceci contredit le fait que x6= 1.
On a ainsi montr´e par l’absurde que Res(Kp(Y), Kq(Y)) vaut −1 ou 1.
D’autre part, dans Fp, on a
Res(Kp(Y), Kq(Y)) = Res(Y(p−1)/2, Kq(Y)) (d’apr`es (e))
= (Res(Y, Kq(Y)))(p−1)/2(multiplicativit´e du r´esultant)
= (Kq(0))(p−1)/2
=q(p−1)/2(d’apr`es (c))
=q
p(d’apr`es (ii)).
Finalement, on a montr´e que Res(Kp(Y), Kq(Y)) vaut −1 ou 1 et qu’il est congru `a q
p
modulo p.p´etant impair, on en d´eduit que
Res(Kp(Y), Kq(Y)) = q
p.
D’apr`es la loi de r´eciprocit´e pour les r´esultants, on en conclut que
q
p= (−1)p−1
2
q−1
2Res(Kq(Y), Kp(Y)) = (−1)(p−1)(q−1)/4p
q
2

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R´ef´erences
J’ai utilis´e [Hin08, p. 70], [M´er06, p. 389].
Le¸cons correspondantes
J’utilise ce d´eveloppement pour la le¸con 146. On peut ´egalement l’utiliser pour les le¸cons
109, 110, 112.
Remarques
– Le polynˆome Vpest not´e Φ+
pdans [Hin08], c’est le p-i`eme polynˆome cyclotomique r´eel.
– On peut montrer diff´eremment que Res(Kp(Y), Kq(Y)) vaut −1 ou 1, voir [Hin08, p.
70].
– Il existe d’autres preuves de la loi de r´eciprocit´e quadratique, dont l’une constitue
d’ailleurs un autre de mes d´eveloppements. Voir par exemple [Hin08, p. 14], [Ser77, p.
16], [Hin08, p. 26], [Ser77, p.18].
– Grˆace `a la loi de r´eciprocit´e quadratique et aux autres propri´et´es du symbole de Le-
gendre, on peut calculer n’importe quel symbole de Legendre.
Questions possibles
1. Citer une application de la loi de r´eciprocit´e quadratique.
2. Citer une application des symboles de Legendre.
3. A-t-on Kp(X) = X(p−1)/2dans Fp[X] ?
4. D´emontrer la loi de r´eciprocit´e des r´esultants.
5. Montrer que pour tout ppremier impair,
−1
p= (−1)p−1
2.
6. Montrer que pour tout ppremier impair,
2
p= (−1)p2
−1
8.
7. Calculer 29
43 .
R´ef´erences
[Hin08] Marc Hindry :Arithm´etique. Calvage & Mounet, 2008.
[M´er06] Jean-Yves M´ erindol :Nombres et alg`ebre. EDP Sciences, 2006.
[Ser77] Jean-Pierre Serre :Cours d’arithm´etique. Presses Universitaires de France, 1977.
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