Centrale PC math I 1999
Titre : Nombres de Bernoulli et formule sommatoire d’Euler Mac-Laurin
Attention : une faute de frappe `a la question II.B.4) – lire ex−1 et non ex−1...
Partie I – Nombres de Bernoulli
I.A – Suite des polynˆomes de Bernoulli
I.A.1) L’existence et l’unicit´e des polynˆomes Bns’obtient imm´ediatement par r´ecurrence : pour Bn−1donn´e,
la relation B0
n=nBn−1fixe Bn`a une constante pr`es dont la valeur est d´etermin´ee en ´ecrivant R1
0Bn(t)dt = 0
I.A.2) On utilise la mˆeme technique pour prouver que Bnest un polynˆome unitaire de degr´e n.
Programme Maple permettant d’´evaluer les polynˆomes B1,B2,B3(il n’y aurait que peu de choses `a
changer pour le rendre r´ecursif) :
>B[0] := 1:for n to 3 do B[n] := int(n∗B[n−1],x)−int(int(n∗B[n−1],x),x=0..1); od;
B1:= x−1
2
B2:= x2−x+1
6
B3:= x3−3
2x2+1
2x
I.A.3) Les polynˆomes Cnv´erifient les relations du I.A.1) d´efinissant de mani`ere unique les polynˆomes Bn,
d’o`u l’´egalit´e.
I.B – Nombres de Bernoulli
I.B.1) Les premi`eres ´egalit´es sont ´evidentes. Pour n≥2 on ´ecrit :
Bn(1) −Bn(0) = Z1
0
B0
n(t)dt =nZ1
0
Bn−1(t)dt = 0
I.B.2) Pour p≥1 : B2p+1(0) = B2p+1(1) = C2p+1(1) = −B2p+1(0) =⇒B2p+1(0) = 0
Partie II – Fonction g´en´eratrice des polynˆomes de Bernoulli
II.A –
La fonction use prolonge par continuit´e en 0 en posant u(0) = 1. La fonction obtenue ne s’annule pas
sur Ret la fonction 1/u d´efinie pour x6= 0 par 1/u(x) = ex−1
xest DSE sur Rdonc C∞sur R. Finalement
la fonction prolong´ee uest C∞sur Rcomme inverse partout d´efini d’une fonction C∞sur R.
Enfin la fonction φd´efinie par φ(x, t) = u(x)etx est de classe C∞sur R2comme produit de fonctions
de classe C∞sur R2.
II.B –
II.B.1) On trouve :
φ(x, t) = 1 + (t−1
2)x+ (1
2t2+1
12 −1
2t)x2+ (1
6t3+1
12t−1
4t2)x3+o(x3)
II.B.2) ∂
∂t φ(x, t) = x2etx
ex−1=xφ(x, t)
d’o`u pour n≥1 : ∂
∂t
∂n
∂xnφ(x, t) = ∂n
∂xn
∂
∂t φ(x, t) = x∂n
∂xnφ(x, t) + n∂n−1
∂xn−1φ(x, t) (Leibniz)
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