Centrale PC math I 1999 Titre : Nombres de Bernoulli et formule

Centrale PC math I 1999
Titre : Nombres de Bernoulli et formule sommatoire d’Euler Mac-Laurin
Attention : une faute de frappe `a la question II.B.4) – lire ex1 et non ex1...
Partie I – Nombres de Bernoulli
I.A – Suite des polynˆomes de Bernoulli
I.A.1) L’existence et l’unicit´e des polynˆomes Bns’obtient imm´ediatement par r´ecurrence : pour Bn1donn´e,
la relation B0
n=nBn1fixe Bn`a une constante pr`es dont la valeur est d´etermin´ee en ´ecrivant R1
0Bn(t)dt = 0
I.A.2) On utilise la mˆeme technique pour prouver que Bnest un polynˆome unitaire de degr´e n.
Programme Maple permettant d’´evaluer les polynˆomes B1,B2,B3(il n’y aurait que peu de choses `a
changer pour le rendre r´ecursif) :
>B[0] := 1:for n to 3 do B[n] := int(nB[n1],x)int(int(nB[n1],x),x=0..1); od;
B1:= x1
2
B2:= x2x+1
6
B3:= x33
2x2+1
2x
I.A.3) Les polynˆomes Cnerifient les relations du I.A.1) d´efinissant de mani`ere unique les polynˆomes Bn,
d’o`u l’´egalit´e.
I.B – Nombres de Bernoulli
I.B.1) Les premi`eres ´egalit´es sont ´evidentes. Pour n2 on ´ecrit :
Bn(1) Bn(0) = Z1
0
B0
n(t)dt =nZ1
0
Bn1(t)dt = 0
I.B.2) Pour p1 : B2p+1(0) = B2p+1(1) = C2p+1(1) = B2p+1(0) =B2p+1(0) = 0
Partie II – Fonction g´en´eratrice des polynˆomes de Bernoulli
II.A –
La fonction use prolonge par continuit´e en 0 en posant u(0) = 1. La fonction obtenue ne s’annule pas
sur Ret la fonction 1/u efinie pour x6= 0 par 1/u(x) = ex1
xest DSE sur Rdonc Csur R. Finalement
la fonction prolong´ee uest Csur Rcomme inverse partout efini d’une fonction Csur R.
Enfin la fonction φefinie par φ(x, t) = u(x)etx est de classe Csur R2comme produit de fonctions
de classe Csur R2.
II.B –
II.B.1) On trouve :
φ(x, t) = 1 + (t1
2)x+ (1
2t2+1
12 1
2t)x2+ (1
6t3+1
12t1
4t2)x3+o(x3)
II.B.2)
t φ(x, t) = x2etx
ex1=(x, t)
d’o`u pour n1 :
t
n
xnφ(x, t) = n
xn
t φ(x, t) = xn
xnφ(x, t) + nn1
xn1φ(x, t) (Leibniz)
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II.B.3) a0(t) = φ(0, t) = 1 et la relation pr´ec´edente donne pour n1 : a0
n=nan1.
De plus pour x6= 0 : R1
0φ(x, t)dt =xetx
ex1R1
0etxdt = 1, r´esultat encore valable pour x= 0 car φ(0, t) = 1.
La fonction (x, t)φ(x, t) ´etant Csur R×[0,1], la fonction xR1
0φ(x, t)dt est alors Csur R
avec :
xRn1dn
dxnZ1
0
φ(x, t)dt =Z1
0
n
xnφ(x, t)dt
d’o`u pour x= 0 : n1 0 = R1
0an(t)dt
On en eduit par ecurrence que la fonction anest polynˆomiale pour tout nN. Comme de plus ces
polynˆomes erifient les relations du I.A.1), on obtient l’´egalit´e : an=Bn.
II.B.4) ex1
xφ(x, t) = etx =
n
P
k=0
tk
k!xk+o(xn)
mais aussi ex1
xφ(x, t) = n
P
k=0
xk
(k+1)! +o(xn) n
P
k=0
Bk(t)
k!xk+o(xn)=
n
P
k=0
αk(t)xk+o(xn)
avec αk(t) =
k
P
h=0
1
(kh+1)!
Bh(t)
h!=1
(k+1)!
k
P
h=0
Ch
k+1Bh(t)
d’o`u, en identifiant les coefficients du DL : 0kn tk=1
k+1
k
P
h=0
Ch
k+1Bh(t) et par suite pour n1 :
Bn(t) = tn1
n+ 1
n1
X
k=0
Ck
n+1Bk(t)
II.C –
En faisant t= 0 on obtient finalement :
b0= 1 et n1bn=1
n+ 1
n1
X
k=0
Ck
n+1bk
Programme Maple permettant d’´evaluer b10 :
>b[0] := 1:for n to 10 do b[n] := 1/(n+1)sum(binomial(n+1,k)b[k],k=0..n1); od;
On trouve b10 = 5/66
Partie III – Formule d’Euler Mac-Laurin
III.A –
III.A.1) Par parties :
R0=Z1
0
f(t)B0(t)dt =Z1
0
f(t)B0
1(t)dt = [f(t)B1(t)]1
01
2Z1
0
f0(t)B0
2(t)dt
=f(0) + f(1)
21
2[f0(t)B2(t)]1
0+R1=f(0) + f(1)
21
2[f0(1) f0(0)] + R1
et pour k1 :
Rk=Z1
0
f(2k)(t)B2k(t)
(2k)! dt =1
(2k+ 1)! Z1
0
f(2k)(t)B0
2k+1(t)dt =1
(2k+ 1)! Z1
0
f(2k+1)(t)B2k+1(t)dt
=1
(2k+ 2)! Z1
0
f(2k+1)(t)B0
2k+2(t)dt =b2k+2
(2k+ 2)! [f(2k+1)(1) f(2k+1)(0)] + Rk+1
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III.A.2) On obtient alors imm´ediatement par r´ecurrence :
R0=Z1
0
f(t)dt =f(0) + f(1)
2
p
X
j=1
b2j
(2j)![f(2j1)(1) f(2j1)(0)] + Rp
III.B –
III.B.1) On ´ecrit Rb
ag(2p)(u)B2p(<ua
h>) =
n1
P
k=0 Rak+1
akg(2p)(u)B2p(<ua
h>)
et la fonction u<ua
h>´etant p´eriodique de p´eriode h:
u[ak, ak+1[<ua
h>=<uak
h>=uak
h
d’o`u le r´esultat.
III.B.2) rp,n =
n1
P
k=0
h2pRak+1
ak
g(2p)(u)B2p(uak
h)
(2p)! du et le changement de variable t=uak
hdans l’int´egrale sur
[ak, ak+1] donne :
h2pZak+1
ak
g(2p)(u)B2p(uak
h)
(2p)! du =hZ1
0
f(2p)(t)B2p(t)
(2p)! dt =hRp
o`u l’on a pos´e f(t) = g(ak+ht).
En appliquant alors la relation du III.A.2) `a chacune de ces int´egrales, on obtient le esultat cherch´e :
r0,n =Zb
a
g(t)dt =h
n1
X
k=0
g(ak) + g(ak+1)
2h
p
X
j=1
b2j
(2j)!h2j1
n1
X
k=0
[g(2j1)(ak+1)g(2j1)(ak)] + rp,n
=hhg(a) + g(b)
2+
n1
X
k=0
g(ak)i
p
X
j=1
b2j
(2j)!h2j[g(2j1)(b)g(2j1)(a)] + rp,n
Partie IV – Application
IV.A –
Ecrivons, comme cela est sugg´er´e dans l’´enonc´e, la formule d’Euler Mac-Laurin obtenue au III.B.2) pour
la fonction g:teitαsur le segment [1, n + 1]. g´etant de classe Csur R
+, on aura pour tout p1 :
Zn+1
1
g(t)dt =Sn+ei(n+1)αei
2
p
X
j=1
b2j
(2j)![g(2j1)(n+ 1) g(2j1)(1)] + rp,n
avec rp,n =Rn+1
1g(2p)(u)B2p(< u 1>)du
IV.B –
IV.B.1) Par parties : In=Rnα
1eixx1
α1dx =ieinαn1α+iei+i(1
α1) Rnα
1eixx1
α2dx
et Jn=Rnα
1eixx1
α2dx =ieinαn12α+iei+i(1
α2) Rnα
1eixx1
α3dx
avec
(1
α2) Rnα
1eixx1
α3dx
| 1
α2|Rnα
1x1
α3dx =|n12α1|(attention au signe de 1
α2 !)
par suite, dans tous les cas, Jn=o(n1α) car 1 2α < 1α. et donc In∼ −ieinαn1αlorsque
n+.
IV.B.2) On change de variable dans l’int´egrale en posant x=tαet on trouve :
Zn
1
eitαdt =1
αIn∼ − i
αeinαn1α
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IV.C –
emontrons le r´esultat par r´ecurrence.
|g(t)|= 1 et g0(t) = iαtα1g(t) =⇒ |g0(t)|=αtα1, on voit donc imm´ediatement que le r´esultat est
assur´e aux rangs j= 0 et j= 1 (on demande en fait de le d´emontrer seulement pour j1).
Si on suppose que g(k)(n) = O(nk(α1)) pour 0 kj1, on a (Leibniz) :
g(j)(t) = g0(t)(j1) =tα1g(t)(j1) =
j1
X
p=0
Cp
j1(α1)(···)(αj+p+ 1)tαj+pg(p)(t)
et on obtient : nαj+pg(p)(n) = O(n(p+1)(α1)) = O(nj(α1)) pour 0 pj1.
Donc g(j)(n) = O(nj(α1)), c’est le r´esultat au rang j.
IV.D –
IV.D.1) En utilisant la ethode pr´ec´edente, on obtient plus g´en´eralement :
jNg(j)(t) = O(tj(α1)) lorsque t+
Or
Rn+1
1g(2p)(t)B2p(< t 1>)dt
M2pRn+1
1|g(2p)(t)|dt et en choisissant ptel que 2p(α1) ≤ −2,
ce qui est toujours possible car α1<0, l’int´egrale R+
1|g(2p)(t)|dt devient convergente : la fonction
tg(2p)(t) = O(1/t2) en +est int´egrable sur [1,+[. Par suite :
Zn+1
1
g(2p)(t)B2p(< t 1>)dt
M2pZ+
1
|g(2p)(t)|dt
d’o`u le r´esultat.
IV.D.2) On reprend l’´egalit´e obtenue au IV.A pour cette valeur de p:
Sn=Zn+1
1
g(t)dt ei(n+1)αei
2+
p
X
j=1
b2j
(2j)![g(2j1)(n+ 1) g(2j1)(1)] rp,n
avec rp,n =Rn+1
1g(2p)(t)B2p(< t 1>)dt
En utilisant les esultats pr´ec´edents, on voit que dans cette somme tous les termes sont n´egligeables
devant le premier et donc :
SnZn+1
1
g(t)dt ∼ − i
αei(n+1)α(n+ 1)1α
De plus (n+ 1)1αnαet ei(n+1)α=einα(1+ 1
n)α=einαeiαnα1+o(nα1)einα, on obtient finalement :
Sn∼ − i
αeinαn1α
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