On note Axl’ensemble des puissances kde 2 correspondant au d´eveloppement dya-
dique d’un nombre x∈[0; 1[\∆.
Par exemple, A1
3={1; 3; 5; 7; 9; · · · } car 1
3=P+∞
k=0
1
2(2k+1)+1 =P+∞
k=0
1
4k+1 .
Lorsque x∈∆, on s´epare les cas :
1. Si xest de la forme k2−navec k≡1[4], alors on note Axl’ensemble des puissances
kde 2 correspondant au d´eveloppement dyadique impropre de k+1
2n.
2. Si xest de la forme k2−navec k≡3[4], alors on note Axl’ensemble des puissances
kde 2 correspondant au d´eveloppement dyadique propre de k+1
2n.
3. Si x=1
2, alors Ax=N.
4. Si x= 0, alors Ax=∅.
Alors l’application ϕ: [0; 1[ −→ P(N) est bijective.
x7−→ Ax
On d´efinit maintenant l’application ψ: [0; 1[−→ Rde la fa¸con suivante :
– Si xest irrationnel, alors ψ(x) = ln(1
x−1).
– Si x=p
q,p, q ∈N∗avec p6= 1, alors ψ(x) = ln(q
p−1).
– Si x=1
q,q∈N∗, alors ψ(x) = ln q.
– Si x= 0, alors ψ(x) = 0.
L’application ψ: [0; 1[−→ Rest bien bijective.
En composant ϕ−1et ψ, on obtient une bijection entre P(N) et R. Or d’apr`es le th´eor`eme
de Cantor, il n’existe pas de surjection de Nvers P(N).
Donc en d´efinitive, il n’existe pas de surjection de Nvers R.
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