L’ensemble R n’est pas d´ enombrable. 1. Th´

L’ensemble Rn’est pas
d´enombrable.
1. Th´eor`eme de Cantor
´
Enonc´e Soit Eun ensemble.
Il n’existe pas de surjection de Evers P(E).
Preuve
Soit Eun ensemble.
Soit f:E→P(E).
Supposons que fest surjective. On consid`ere l’ensemble :
D={x∈E:x6∈ f(x)}
D∈P(E) donc il existe y∈Etel que f(y) = D.
Si y∈Dalors y6∈ f(y). Or f(y) = Ddonc y6∈ Dce qui est absurde.
De mˆeme, si y6∈ D, alors y6∈ f(y). Or d’apr`es la d´efinition de Dcela veut dire y∈D
ce qui est absurde.
Donc fne peut pas ˆetre surjective, c’est pourquoi il n’existe pas de surjection d’un
ensemble Evers P(E).
2. Rn’est pas d´enombrable : preuve
On admet que tout r´eel xde [0; 1[ admet un d´eveloppement dyadique :
x=
+∞
X
k=0
ak
2k+1 ak∈ {0; 1}
On note ∆ l’ensemble des nombres r´eels dans [0; 1[ de la forme k2−navec k, n ∈N.
Les nombres de ∆ admettent chacun deux d´eveloppements dyadiques (un fini, et un
infini) : par exemple 3
8=1 4+1 8=1 4+P+∞
k=3
1
2k+1 . Le d´eveloppement fini est appel´e
d´eveloppement propre et le d´eveloppement infini est appel´e d´eveloppement impropre.
1

On note Axl’ensemble des puissances kde 2 correspondant au d´eveloppement dya-
dique d’un nombre x∈[0; 1[\∆.
Par exemple, A1
3={1; 3; 5; 7; 9; · · · } car 1
3=P+∞
k=0
1
2(2k+1)+1 =P+∞
k=0
1
4k+1 .
Lorsque x∈∆, on s´epare les cas :
1. Si xest de la forme k2−navec k≡1[4], alors on note Axl’ensemble des puissances
kde 2 correspondant au d´eveloppement dyadique impropre de k+1
2n.
2. Si xest de la forme k2−navec k≡3[4], alors on note Axl’ensemble des puissances
kde 2 correspondant au d´eveloppement dyadique propre de k+1
2n.
3. Si x=1
2, alors Ax=N.
4. Si x= 0, alors Ax=∅.
Alors l’application ϕ: [0; 1[ −→ P(N) est bijective.
x7−→ Ax
On d´efinit maintenant l’application ψ: [0; 1[−→ Rde la fa¸con suivante :
– Si xest irrationnel, alors ψ(x) = ln(1
x−1).
– Si x=p
q,p, q ∈N∗avec p6= 1, alors ψ(x) = ln(q p−1).
– Si x=1
q,q∈N∗, alors ψ(x) = ln q.
– Si x= 0, alors ψ(x) = 0.
L’application ψ: [0; 1[−→ Rest bien bijective.
En composant ϕ−1et ψ, on obtient une bijection entre P(N) et R. Or d’apr`es le th´eor`eme
de Cantor, il n’existe pas de surjection de Nvers P(N).
Donc en d´efinitive, il n’existe pas de surjection de Nvers R.
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