Notes de cours - Institut de Mathématiques de Marseille

Aix-Marseille Universit´ e
LMAT04 - Alg` ebre Lin´ eaire
MI –L1
2012 – 2013

Sommaire
Introduction et bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1 Alg`ebre lin´eaire dans R2et R37
Vecteurs de R2et R3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Vecteurs et combinaisons lin´ eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Produit scalaire, norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Syst` emes d’´ equations lin´ eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Diff´ erentes ecritures d’un syst` eme lin´ eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Remarques sur les solutions d’un syst` eme lin´ eaire . . . . . . . . . . . . . . . 11
M´ ethode du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Ecriture vectorielle et matricielle des syst` emes lin´ eaires . . . . . . . . . . . . 12
Elimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Echecs possibles de l’´ elimination de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Th´ eorie g´ en´ erale pour les syst` emes 2×2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Un syst` eme 3×3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Calcul matriciel 20
D´ efinitions et premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Op´ erations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Alg` ebre des matrices carr´ ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Puissances d’une matrice carr´ ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Matrices inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Les matrices comme op´ erateurs lin´ eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Syst` emes lin´ eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
´
Ecriture matricielle d’un syst` eme lin´ eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Elimination par les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Echelonnement d’une matrice 3×3. Gauss et op´ erations matricielles . . . . 30
Matrices ´ el´ ementaires de Mn(K). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Matrices ´ echelonn´ ees et pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Existence de la forme ´ echelonn´ ee, algorithme d’´ echelonnement . . . . . . . . 35

Algorithme d’´ echelonnement d’un vecteur colonne . . . . . . . . . . . . . . . 38
Calcul de l’inverse d’une matrice, ´ echelonnement total . . . . . . . . . . . . . 39
Inversion d’une matrice 2 ×2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Inversion d’une matrice 3 ×3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Echelonnement total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3 Espaces Vectoriels 44
D´ efinitions et premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
R` egles de calcul dans un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Combinaisons lin´ eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Sous-Espaces Vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Les ensembles d’applications ` a valeurs dans un espace vectoriel . . . . . . . 47
Sous-espaces engendr´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Familles libres – Familles li´ ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Bases – Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Rang d’une famille de vecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Espace des colonnes – Image d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Bases et espace des colonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Noyau d’une matrice – syst` emes lin´ eaires homog` enes . . . . . . . . . . . . . 56
Dimension sur Cet dimension sur R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Sommes – Sommes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4 Applications lin´eaires 60
D´ efinitions et propri´ et´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
L’espace L(E, F ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Premi` eres propri´ et´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Applications lin´ eaires et dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Matrices d’applications lin´ eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Utilisation de la matrice d’une application lin´ eaire. . . . . . . . . . . . . . . . 66
Syst` emes lin´ eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Applications lin´ eaires remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Homoth´ eties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Projecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Sym´ etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Formes lin´ eaires et sous-espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Formes lin´ eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5 D´eterminants 77

D´ efinition et propri´ et´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Propri´ et´ es ´ el´ ementaires des d´ eterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Usages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Application ` a l’inversibilit´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
R´ esolution de syst` emes lin´ eaires et formules de Cramer . . . . . . . . . . . . 83
Quelques calculs de d´ eterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Introduction et bibliographie
Algèbre...
Le mot (( alg` ebre ))vient du terme arabe (( al-jabr )) signifiant litt´ eralement (( restauration )).
Ce terme fut pour la premi` ere fois employ´ e` a propos des math´ ematiques par le novateur Al-
Khwarizmi1, dans son livre (Livre abr´ eg´ e sur le calcul par la restauration et la comparaison)
o` u il proc` ede ` a l’´ etude syst´ ematique des ´ equations du second degr´ e et se ram` ene ` a six cas
de base, en utilisant ce qu’il nomme (( restauration )) (al-jabr). Cette restauration se traduit
essentiellement par l’ajout d’une mˆ eme quantit´ e dans les deux membres de l’´ equation afin
d’´ eliminer les termes apparaissant en soustraction. Cette id´ ee de modifier une ´ egalit´ e pour
la rendre plus simple ` a r´ esoudre est fondamentale. Il faut se rendre compte qu’` a l’´ epoque
d’Al-Khwarizmi, le seul fait de penser un probl` eme en termes d’´ egalit´ e avec une grandeur
inconnue ´ etait d´ ej` a une avanc´ ee consid´ erable.
...linéaire
Voyons maintenant ce qu’est ce qu’un ph´ enom` ene lin´ eaire. Le prix de d´ etail des marchan-
dises, par exemple : quand le marchand affiche 2 euros le prix d’un kilo de pommes, il est
implicite que xkilos de pommes co ˆ uteront 2xeuros. Le prix des pommes est donc donn´ e
par la fonction de Rdans Rd´ efinie par x7→ 2x. Le prix que vous payez est une fonction
lin´ eaire du poids. De mani` ere plus g´ en´ erale, une application lin´ eaire de Rdans Rest
une application qui s’´ ecrit sous la forme x7→ αx , o ` uα∈Rest donn´ e. Finalement, dans
R, l’alg` ebre lin´ eaire se r´ eduit plus ou moins ` a la r` egle de trois. . . Le concept de lin´ earit´ e
peut alors s’´ etendre pour d´ esigner un rapport de d´ ependance tr` es simple entre plusieurs
variables : la variable yd´epend lin´eairement des variables x1, ..., xNs’il existe des constantes
α1,...,αNtelles que y=α1x1+... +αNxN. On dit encore que ys’exprime comme
combinaison lin´ eaire de x1,...,xN. Par exemple, si vous achetez x1kilos de pommes ` a
2 euros le kilo et x2kilos de poires ` a 3 euros le kilo, le prix total yque vous payez est la
combinaison lin´ eaire y= 2x1+ 3x2.La notion de combinaison lin´ eaire sera fondamentale
dans la suite de ce cours.
1Al-Khwarizmi n´
e vers 783, originaire de Khiva dans la r´ egion du Khwarezm qui lui a donn´ e son nom, mort
vers 850 ` a Bagdad, est un math´ ematicien, g´ eographe, astrologue et astronome perse dont les ´ ecrits, r´ edig´ es
en langue arabe, ont permis l’introduction de l’alg` ebre en Europe. Il est ` a l’origine des mots algorithme (qui
n’est autre que son nom latinis´ e) et alg` ebre (issu d’une m´ ethode et du titre d’un de ces ouvrages) ou encore de
l’utilisation des chiffres arabes dont la diffusion dans le Moyen-Orient et en Europe provient d’un autre de ces
livres (qui lui-mˆ eme traite des math´ ematiques indiennes) et de l’habitude de d´ esigner l’inconnue par la lettre x
dans une ´ equation. Il a d’ailleurs particip´ e` a la traduction de nombreux manuscrits scientifiques grecs et indiens.
Son apport en math´ ematiques fut tel qu’il est ´ egalement surnomm´ e(( le p` ere de l’alg` ebre )), avec Diophante dont
il reprendra les travaux. En effet, il fut le premier ` a r´ epertorier de fac¸on syst´ ematique des m´ ethodes de r´ esolution
d’´ equations en classant celles-ci.
Introduction et bibliographie p. 5