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TOPOLOGIE GENERALE
ESPACES METRIQUES, ESPACES VECTORIELS NORMES
On appelle topologie sur l’ensemble E tout ensemble de parties de E vérifiant les
axiomes suivants :
., !!)-- à est stable par union finie ou infinie ; est stable par intersection finie
-
Une partie de E appartenant à s’appelle un ouvert, le complémentaire d’un ouvert s’appelle un fermé. Le
plus souvent, la topologie est définie grâce à une base d’ouverts B , qui est elle-même stable par intersection
finie, ou qui possède la propriété suivante : l’intersection de deux ouverts de base contient un ouvert de base
autour de chacun de ses points. Les ouverts se définissent alors comme des unions d’ouverts de base. On dit
aussi qu’un ouvert Ω est une partie de E qui est voisinage de chacun de ses points, dans le sens suivant : pour
tout point de Ω, il existe un ouvert de base contenant et inclus dans Ω. Plus généralement, on appelle
voisinage de tout ouvert contenant .
ESPACES METRIQUES
On appelle espace métrique un ensemble E muni d’une distance , qui est une
application de " dans # vérifiant :
-
, $ 0 % $
, $ $, , $ , & ' , $ ( $, & , $, & )é+,)é )+,)-
On vérifie facilement que les boules ouvertes , , forment une base d’ouverts
pour définir une topologie sur E ; les ouverts de cette topologie sont caractérisés par :
Ω 12- % Ω, 0 , 3 Ω
Exercice : donner un énoncé dual pour définir les fermés. Montrer la caractérisation suivante :
4 5-6é % 1- 7)- 812-+-- - !1)7 - 4 6- !1 ,)6)- !1) - 4
(autrement dit : un fermé est un ensemble stable par passage à la limite).
COMPLETUDE
L’espace métrique , est dit complet ssi toute suite de Cauchy est convergente ; une suite ( est de Cauchy ssi elle vérifie : 0, , , ! ENSEMBLE DENSE
Un sous-ensemble D de E est dit dense dans E ssi tout voisinage d’un point de E contient au moins un
point de D, et donc une infinité de points de D ; en topologie métrique cela revient à dire que tout
point de E est limite d’une suite de points de D.
COMPACITE
En topologie métrique, un compact K se définit par la propriété de Bolzano-Weierstrass : toute
suite de points de K admet une suite extraite convergente dans K.
Il résulte immédiatement de cette propriété qu’un compact est nécessairement fermé ; un ensemble dont
l’adhérence est compacte est dit relativement compact ; il possède une propriété d’énoncé analogue, sans que
l’on puisse affirmer que la limite de la suite extraite appartient à l’ensemble.
En topologie générale, on préfère prendre comme définition d’un compact la propriété de
Borel –Lebesgue : de tout recouvrement de K par une famille d’ouverts, on peut extraire un
sous-recouvrement fini.
En métrique, la propriété de Borel-Lebesgue admet un corollaire, connu sous le nom de propriété de l’recouvrement, ou précompacité : K est précompact si pour tout positif, il existe un recouvrement fini de K par
des boules de rayon . On peut montrer que la propriété de Bolzano- Weierstrass implique celle de l’recouvrement, et qu’un ensemble précompact complet est compact, ou encore qu’un ensemble précompact
dans espace métrique complet est relativement compact.
Une application 5 continue sur un compact K admet plusieurs propriétés à connaître :
-
L’image de K par 5 est un compact de l’espace d’arrivée (en particulier, pour une application à
valeurs numériques, c’est un fermé borné : 5 est bornée et atteint ses bornes)
5 est uniformément continue sur K (théorème de Heine)
7) 5 est bijective, alors son application réciproque est continue.
5 est uniformément continue sur K signifie : 0 9 0 , $ :, , $ 9 ; <5, 5$ 9
s’appelle le module d’uniforme continuité de 5, il ne dépend que de et non des points , $.En particulier, si
l‘application 5 vérifie : , $ :, <5, 5$ ' = " , $ (5 lipschitzienne) , alors 5 est a fortiori
uniformément continue ; mais la réciproque est fausse (appliquer le thm de Heine à la fonction √ sur [0,1]).
Noter que la distance ? , est toujours contractante (lipschitzienne, de constante de Lipschitz égale à
= 1), donc uniformément continue. Il en va de même de l’application ? , A inf , , A.
Lorsque A : compact, cette distance est atteinte : , : min, , : , F2-8 F :
ESPACES VECTORIELS NORMES
Un espace vectoriel E muni d’une norme LJ ? M
LJM, application de E dans # vérifiant :
-
LJ
M
LJM 0 % LJ
0
LJ , G #, MG LJM |G|M
LJM
M
LJ (2JM ' M
LJM ( M2JM (inégalité triangulaire)
est un espace métrique pour la distance J, $J MJ O$JM (E s’identifie à un espace affine).
Un tel espace appartient de plus à la catégorie des espaces vectoriels topologiques : l’addition des vecteurs, la
multiplication d’un vecteur par un scalaire sont des applications continues (resp. de " dans et de # " dans ). De plus, la distance est invariante par translation.
Dans un -2 de dimension finie, la boule unité est compacte, avec comme corollaire le fait que toutes les
normes sont équivalentes : GHI J)' HJ) ' K HI J) et définissent a fortiori la même topologie (noter la
nuance entre « distances topologiquement équivalentes et « distances équivalentes). Dans un -2 de
dimension infinie, la boule unité n’est jamais compacte (théorème de Riesz).