COMPACITE
Il résulte immédiatement de cette propriété qu’un compact est nécessairement fermé ; un ensemble dont
l’adhérence est compacte est dit relativement compact ; il possède une propriété d’énoncé analogue, sans que
l’on puisse affirmer que la limite de la suite extraite appartient à l’ensemble.
En métrique, la propriété de Borel-Lebesgue admet un corollaire, connu sous le nom de propriété de l’-
recouvrement, ou précompacité : K est précompact si pour tout positif, il existe un recouvrement fini de K par
des boules de rayon . On peut montrer que la propriété de Bolzano- Weierstrass implique celle de l’-
recouvrement, et qu’un ensemble précompact complet est compact, ou encore qu’un ensemble précompact
dans espace métrique complet est relativement compact.
est uniformément continue sur K signifie :
s’appelle le module d’uniforme continuité de
,
il ne dépend que de et non des points .En particulier, si
l‘application
vérifie : (
lipschitzienne
)
, alors
est a fortiori
uniformément continue ; mais la réciproque est fausse (appliquer le thm de Heine à la fonction sur [0,1]).
Noter que la distance est toujours contractante (lipschitzienne, de constante de Lipschitz égale à
), donc uniformément continue. Il en va de même de l’application .
Lorsque compact, cette distance est atteinte :
ESPACES VECTORIELS NORMES
Un tel espace appartient de plus à la catégorie des espaces vectoriels topologiques : l’addition des vecteurs, la
multiplication d’un vecteur par un scalaire sont des applications continues (resp. de dans et de
dans ). De plus, la distance est invariante par translation.
Dans un de dimension finie, la boule unité est compacte, avec comme corollaire le fait que toutes les
normes sont équivalentes :
) )
) et définissent a fortiori la même topologie (noter la
nuance entre « distances topologiquement équivalentes et « distances équivalentes). Dans un de
dimension infinie, la boule unité n’est jamais compacte (théorème de Riesz).
En topologie métrique, un compact K se définit par la propriété de Bolzano
suite de points de K admet une suite extraite convergente dans K.
En topologie générale, on préfère pren
dre comme définition d’un compact la propriété de
Borel –Lebesgue : de tout recouvrement de K par une famille d’ouverts, on peut extraire un
sous-recouvrement fini.
Un espace vectoriel E muni d’une norme
-
-
-
(inégalité triangulaire)
est un espace métrique pour la distance
(E s’identifie à un espace affine).
continue sur un compact K admet plusieurs propriétés à connaître
- L’image de K par est un compact de l’espace d’arrivée (en particulier, pour une application à
valeurs numériques, c’est un fermé borné : est bornée et atteint ses bornes)
-
est uniformément continue sur K (théorème de Heine)
-
est bijective, alors son application réciproque est continue.