FONCTIONS LOGARITHMES I. LA FONCTION

FONCTIONS LOGARITHMES
I. LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
1) Définition et propriétés algébriques de la fonction ln
On sait que la fonction carré f est continue
et strictement croissante sur [ 0 ; +  [
et que f (0) = 0 et lim
x+  x ² = + .
Pour tout réel b > 0, l’équation x ² = b
admet une unique solution.
On note cette solution ……
On sait que la fonction exp est continue et strictement croissante
sur , et que lim
x –  e x = +  et lim x+  e x = + .
Ainsi, d’après le théorème 6 du chapitre « FONCTIONS » :
pour tout réel b > 0, l’équation e x = b admet une unique solution.
On note cette solution ln b .
Définition 1 On appelle logarithme népérien du réel b > 0 le réel, noté ln b, ainsi défini :
ln b a pour image b par la fonction exponentielle.
ln b est l’antécédent de b par la fonction exponentielle.
La fonction définie sur ] 0 ; + [ qui à x associe ln (x) est appelée fonction logarithme népérien.
 Il résulte de la définition que : 
 b > 0
a = ln b  b = e a .
On dit que les fonctions ln et exp sont des fonctions réciproques l’une de l’autre.
De même pour la fonction racine et la fonction carré restreinte à l’intervalle [ 0 ; +  [.
 On note très souvent ln x au lieu de ln (x) lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté.
Les parenthèses sont souvent indispensables : ln ( 1 + 2 ) = ln 3 …… et ln 1 + 2 = ( ln 1 ) + 2 = ……
Théorème 1  Pour tout réel b > 0, e ln b = b .
 Pour tout réel a, ln ( e a ) = a .
 ln 1 = 0 et ln e = 1 .
Ce sont des conséquences immédiates
de la définition 1.
Théorème 2 Pour tous réels a et b strictement positifs :
 ln ( a b ) = ln a + ln b .
 ln 1
a = – ln a .
 ln a
b = ln a – ln b .
 pour tout n  , ln ( a n ) = n ln a .
 ln a = 1
2 ln a .
ln 15 = ……
ln 1
2 = ……
ln 1,5 = ……
ln 81 = ln 3….. = …… et ln 1
8 = ln 2 .... = ......
ln  = ……
Le  énonce la relation fonctionnelle fondamentale vérifiée par la fonction ln ; elle signifie que la fonction ln
transforme les produits (de n facteurs) en sommes (de n termes).
R.A.S pour ln (a + b) ; [ln a]  [ln b] et [ln a] / [ln b] 1/4
exp(a) = b
e
a = ln b
y = exp (x)
0 1
1
x
y
a ² = b
y = x ²
0 1
1
x
y

Exercice 1 1) Exprimer à l’aide de ln 2 et ln 3 : a = ln ( 9 288 ) ; b = ln 8
27 ; c = ln 8 ln 27 ; d = ln 813 + 5 ln
3
e
2
2) Simplifier l’écriture de g = ln ( 10 + 3 ) 4 + ln ( 10 – 3 ) 4 .
2) Étude de la fonction ln
Théorème 3  La fonction ln est continue et dérivable sur ] 0 ; + [ et, pour tout x > 0 : ln ′ (x) = 1
x .
 La fonction ln est strictement croissante sur] 0 ; + [ .
La fonction ln est solution sur ] 0 ; + [ de l’équation différentielle y ′ = 1
x , ce qu’on peut noter
x
y
d
d
= 1
x .
Théorème 4 Pour tous réels a et b strictement positifs on a :
 ln a = ln b  a = b .  ln a > ln b  a > b .
 ln a < 0  0 < a < 1 .  ln a > 0  a > 1 .
Ces propriétés résultent du théorème 3
et de ln 1 = 0.
Elles sont utiles pour résoudre des
(in)équations.
Exercice 2 Résoudre dans  :
1) (E 1) : ln (x 2 – 4 x + 3) = 2 ln 3 ; 2) (E 3) : 5 – 2 ln (x + 1) = 8 ;
(E 2) : ln (x – 1) + ln (x – 3) = 2 ln 3 ; (I 3) : 5 – 2 ln (x + 1)  8 .
(I 1) : ln (x – 1) + ln (x – 3)  ln 3 . (I 4) : ln x + ln (x – 2)  2 ;
3) (E 6) : (ln x) ² + 3 ln x – 10 = 0 ; (I 6) : (ln x) ² + 3 ln x – 10  0. (Utiliser une inconnue auxiliaire)
Théorème 5
(limites usuelles)
 lim
x + ln x = +  .
 lim
x 1 ln x
x – 1 = 1 .
 lim
x + ln x
x n = 0 (n   *).
 lim
x 0  ln x = –  .
 lim
x 0 ln ( 1 + x )
x = 1 .
 lim
x 0 x n ln x = 0 (n   *).
 La croissance de la fonction ln est lente. Par exemple : ln ( 10 220 ) ……
 Interprétation graphique de  : …..
 D’après  , pour x proche de 1, on a : ln x
x – 1
1 , soit ln x x – 1.
La fonction x ⟼ …… est la meilleure approximation affine de la fonction ln au voisinage de 1.
Ce qui peut être mis en relation avec l’équation de la tangente au point d’abscisse 1 : ……
 Pour les énoncés  et  on retiendra que « en +  et en 0, toute puissance (entière positive) l’emporte sur ln x »
Tableau de variation
x
0 + 
ln’(x)
ln
signe de ln (x)
x
0 + 
ln (x)
Les fonctions ln et exp sont réciproques
l’une de l’autre donc, dans un repère
orthonormé, leurs représentations graphiques
sont symétriques par rapport à la 1ère
bissectrice (la droite d’équation y = x).
2/4
y = exp (x)
y = x
y = ln x
e0 1
1
x
y
e

Exercice 3 Soit f1 (x) = ln 2x + 3
x² + 1 ; f2 (x) = ln 6x² – 1 2x² + 1 ; f3 (x) = ln 3x² – 1 2x – 4; f4 (x) = x ln x x3 + 1 ; f5(x) = (x4 + x²) ln x .
Déterminer lim
x + f1 (x) ; lim x –  f2 (x) ; lim x + f3 (x) ; lim x 2 f3 (x) ; lim x + f4 (x) et lim x 0 f5(x) .
3) Dérivées et primitives
Théorème 6 La fonction ln est la primitive de la fonction inverse sur ] 0 ; + [ qui s’annule en 1.
Théorème 7 Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I.
La fonction ln u : x ⟼ ln [ u (x) ] est dérivable sur I et on a (ln u) ′ = u ′
u .
Théorème 8 Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I , et qui ne s’annule pas sur I.
La fonction ln | u | : x ⟼ ln | u (x)| est une primitive sur I de la fonction u ′
u .
u ′
u = u ′  1 u
Exercice 4 1) Calculer la dérivée de f1 (x) = ln (x ² + 1) ; f2 (x) = ln 2 x + 5
1 – x et f3 (x) = x ln x – x .
2) Déterminer une primitive sur I = ] 0 ; + [ de la fonction f4 définie sur I par f4 (x) = x + 1
x ² + 2 x .
En déduire la primitive sur I de f4 dont la représentation graphique passe par A ( 1 ; ln 3 ).
3) Déterminer une primitive sur I = ] 1 ; + [ de la fonction f5 définie sur I par f5 (x) = 3
x ln x .
3) Relation fonctionnelle caractéristique
Théorème 9 Soit f une fonction f dérivable sur ] 0 ; +  [ telle que :
pour tous réels a et b strictement positifs, f ( a  b ) = f ( a ) + f ( b ) . sont les fonctions
Les seules fonctions possibles sont les fonctions x ⟼ k ln x , avec k un réel.
II. NOUVELLES FONCTIONS ISSUES DE LA FONCTION ln
1) La fonction logarithme décimal log
Définition 2 La fonction logarithme décimal notée log, est la fonction définie sur ] 0 ; + [ , par log x = ln x
ln 10.
La fonction log possède les mêmes propriétés algébriques que la fonction ln.
En particulier, pour tout n   : log ( 10 n ) = ……
De plus, ln 10 étant positif, elle possède le même tableau de variation que la fonction ln.
2) Les fonctions exponentielles de base a
On a vu que ln ( a n ) = n ln a avec n entier et a un réel strictement positif. On a donc a n = e n ln a .
On convient de généraliser cette égalité avec x réel : a x = e x ln a.
Définition 2 Soit un réel a > 0. La fonction exponentielle de base a notée expa est la fonction
définie sur  par : expa ( x ) = a x = e x ln a .
La fonction exponentielle de base 1 est ……
La fonction exponentielle de base e est ……
La fonction expa possède les mêmes propriétés algébriques que la fonction exp. 3/4

Théorème 10 La fonction expa est dérivable sur  et, pour tout réel x, expa ′ (x) = ln a  expa ( x ) = ln a  a x .
1er cas : 0 < a < 1
x
–  + 
expa
1er cas : a > 1
x
–  + 
expa
3) La fonction racine n-ième
Théorème 11 Soit n un entier naturel non nul et x un réel positif.
Il existe un unique réel positif, noté
nx
, tel que
n
nx
= x et on a :
nx
= x 1/n .
Ce réel est la racine n-ième de b.
La racine n-ième possède les mêmes propriétés que les puissances.
4/4
Théorème 10 La fonction expa est dérivable sur  et, pour tout réel x, expa ′ (x) = ln a  expa ( x ) = ln a  a x .
1er cas : 0 < a < 1
x
–  + 
expa
1er cas : a > 1
x
–  + 
expa
3) La fonction racine n-ième
Théorème 11 Soit n un entier naturel non nul et x un réel positif.
Il existe un unique réel positif, noté
nx
, tel que
n
nx
= x et on a :
nx
= x 1/n .
Ce réel est la racine n-ième de b.
La racine n-ième possède les mêmes propriétés que les puissances.
4/4
a > 1
0 < a < 1
0 1
1
x
y
a > 1
0 < a < 1
0 1
1
x
y

FONCTIONS LOGARITHMES
I. LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
1) Définition et propriétés algébriques de la fonction ln
On sait que la fonction carré f est continue
et strictement croissante sur [ 0 ; +  [
et que f (0) = 0 et lim
x+  x ² = + .
Pour tout réel b > 0, l’équation x ² = b
admet une unique solution.
On note cette solution a = b
On sait que la fonction exp est continue et strictement croissante
sur , et que lim
x –  e x = +  et lim x+  e x = + .
Ainsi, d’après le théorème 6 du chapitre « FONCTIONS » :
pour tout réel b > 0, l’équation e x = b admet une unique solution.
On note cette solution ln b .
Définition 1 On appelle logarithme népérien du réel b > 0 le réel, noté ln b, ainsi défini :
ln b a pour image b par la fonction exponentielle.
ln b est l’antécédent de b par la fonction exponentielle.
La fonction définie sur ] 0 ; + [ qui à x associe ln (x) est appelée fonction logarithme népérien.
 Il résulte de la définition que : 
 b > 0
a = ln b  b = e a .
On dit que les fonctions ln et exp sont des fonctions réciproques l’une de l’autre.
De même pour la fonction racine et la fonction carré restreinte à l’intervalle [ 0 ; +  [.
 On note très souvent ln x au lieu de ln (x) lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté.
Les parenthèses sont souvent indispensables : ln ( 1 + 2 ) = ln 3 …… et ln 1 + 2 = ( ln 1 ) + 2 = ……
Théorème 1  Pour tout réel b > 0, e ln b = b .
 Pour tout réel a, ln ( e a ) = a .
 ln 1 = 0 et ln e = 1 .
Ce sont des conséquences immédiates
de la définition 1.
Théorème 2 Pour tous réels a et b strictement positifs :
 ln ( a b ) = ln a + ln b .
 ln 1
a = – ln a .
 ln a
b = ln a – ln b .
 pour tout n  , ln ( a n ) = n ln a .
 ln a = 1
2 ln a .
ln 15 = ln (3  5) = ln 3 + ln 5
ln 1
2 = – ln 2
ln 1,5 = ln 3
2 = ln 3 – ln 2
ln 81 = ln 3 4 = 4 ln 3 et ln 1
8 = ln 2 – 3 = 3 ln 2
ln  = 0.5 ln 15
Le  énonce la relation fonctionnelle fondamentale vérifiée par la fonction ln ; elle signifie que la fonction ln
transforme les produits (de n facteurs) en sommes (de n termes).
R.A.S pour ln (a + b) ; [ln a]  [ln b] et [ln a] / [ln b] 1/4
exp(a) = b
e
a = ln b
y = exp (x)
0 1
1
x
y
a ² = b
y = x ²
0 1
1
x
y