FONCTIONS LOGARITHMES I. LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN 1) Définition et propriétés algébriques de la fonction ln y y y = exp (x) y=x² exp(a) = b a²=b e 1 1 0 0 1 a = ln b 1 x On sait que la fonction carré f est continue et strictement croissante sur [ 0 ; + [ et que f (0) = 0 et lim x ² = + . x+ Pour tout réel b > 0, l’équation x ² = b admet une unique solution. x On sait que la fonction exp est continue et strictement croissante sur , et que lim e x = + et lim e x = + . x – x+ Ainsi, d’après le théorème 6 du chapitre « FONCTIONS » : pour tout réel b > 0, l’équation e x = b admet une unique solution. On note cette solution ln b . On note cette solution …… Définition 1 On appelle logarithme népérien du réel b > 0 le réel, noté ln b, ainsi défini : ln b a pour image b par la fonction exponentielle. ln b est l’antécédent de b par la fonction exponentielle. La fonction définie sur ] 0 ; + [ qui à x associe ln (x) est appelée fonction logarithme népérien. b>0 b=ea. a = ln b Il résulte de la définition que : On dit que les fonctions ln et exp sont des fonctions réciproques l’une de l’autre. De même pour la fonction racine et la fonction carré restreinte à l’intervalle [ 0 ; + [. On note très souvent ln x au lieu de ln (x) lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté. Les parenthèses sont souvent indispensables : ln ( 1 + 2 ) = ln 3 …… Théorème 1 Pour tout réel b > 0, e ln b = b . Pour tout réel a, ln ( e ) = a . a ln 1 = 0 et et ln 1 + 2 = ( ln 1 ) + 2 = …… Ce sont des conséquences immédiates de la définition 1. ln e = 1 . Théorème 2 Pour tous réels a et b strictement positifs : ln ( a b ) = ln a + ln b . ln 15 = …… ln 1 = – ln a . a ln a = ln a – ln b . b pour tout n , ln ( a n ) = n ln a . ln 1 = …… 2 ln a = 1 ln a . 2 ln 1,5 = …… ln 81 = ln 3….. = …… ln 1 et ln = ln 2 .... = ...... 8 = …… Le énonce la relation fonctionnelle fondamentale vérifiée par la fonction ln ; elle signifie que la fonction ln transforme les produits (de n facteurs) en sommes (de n termes). R.A.S pour ln (a + b) ; [ln a] [ln b] et [ln a] / [ln b] 1/4 2 8 ln 8 Exercice 1 1) Exprimer à l’aide de ln 2 et ln 3 : a = ln ( 9 288 ) ; b = ln ; c = ; d = ln 813 + 5 ln 27 ln 27 e 4 4 2) Simplifier l’écriture de g = ln ( 10 + 3 ) + ln ( 10 – 3 ) . 2) 3 Étude de la fonction ln Théorème 3 La fonction ln est continue et dérivable sur ] 0 ; + [ et, pour tout x > 0 : ln ′ (x) = 1 . x La fonction ln est strictement croissante sur] 0 ; + [ . dy 1 La fonction ln est solution sur ] 0 ; + [ de l’équation différentielle y ′ = 1 , ce qu’on peut noter = . x dx x Théorème 4 Pour tous réels a et b strictement positifs on a : ln a = ln b a = b . ln a > ln b a > b . ln a < 0 0 < a < 1 . ln a > 0 a > 1 . Exercice 2 Résoudre dans : 1) (E 1) : ln (x 2 – 4 x + 3) = 2 ln 3 ; (E 2) : ln (x – 1) + ln (x – 3) = 2 ln 3 ; (I 1) : ln (x – 1) + ln (x – 3) ln 3 . 3) Ces propriétés résultent du théorème 3 et de ln 1 = 0. Elles sont utiles pour résoudre des (in)équations. 2) (E 3) : 5 – 2 ln (x + 1) = 8 ; (I 3) : 5 – 2 ln (x + 1) 8 . (I 4) : ln x + ln (x – 2) 2 ; (E 6) : (ln x) ² + 3 ln x – 10 = 0 ; (I 6) : (ln x) ² + 3 ln x – 10 0. (Utiliser une inconnue auxiliaire) Théorème 5 lim ln x = + . x + lim ln x = – . x 0 ln x lim =1. x 1 x – 1 lim x 0 ln x lim = 0 (n *). x + x n (limites usuelles) ln ( 1 + x ) =1. x lim x n ln x = 0 (n *). x 0 La croissance de la fonction ln est lente. Par exemple : ln ( 10 220 ) …… Interprétation graphique de : ….. D’après , pour x proche de 1, on a : ln x 1 , soit ln x x – 1. x–1 La fonction x ⟼ …… est la meilleure approximation affine de la fonction ln au voisinage de 1. Ce qui peut être mis en relation avec l’équation de la tangente au point d’abscisse 1 : …… Pour les énoncés et on retiendra que « en + et en 0, toute puissance (entière positive) l’emporte sur ln x » Tableau de variation y x ln’(x) 0 y = exp (x) + y=x ln e y = ln x signe de ln (x) 1 x 0 + ln (x) 0 1 e x Les fonctions ln et exp sont réciproques l’une de l’autre donc, dans un repère orthonormé, leurs représentations graphiques sont symétriques par rapport à la 1ère bissectrice (la droite d’équation y = x). 2/4 2x + 3 6x² – 1 3x² – 1 x ln x ; f2 (x) = ln ; f3 (x) = ln ; f4 (x) = 3 ; f5(x) = (x4 + x²) ln x . x² + 1 2x² + 1 2x – 4 x +1 Déterminer lim f1 (x) ; lim f2 (x) ; lim f3 (x) ; lim f3 (x) ; lim f4 (x) et lim f5(x) . x + x – x + x 2 x + x 0 Exercice 3 Soit f1 (x) = ln 3) Dérivées et primitives Théorème 6 La fonction ln est la primitive de la fonction inverse sur ] 0 ; + [ qui s’annule en 1. Théorème 7 Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. La fonction ln u : x ⟼ ln [ u (x) ] est dérivable sur I et on a (ln u) ′ = u ′ . u Théorème 8 Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I , et qui ne s’annule pas sur I. u′ La fonction ln | u | : x ⟼ ln | u (x)| est une primitive sur I de la fonction . u u′=u′1 u u Exercice 4 1) Calculer la dérivée de f1 (x) = ln (x ² + 1) ; f2 (x) = ln 2 x + 5 et f3 (x) = x ln x – x . 1–x x+1 2) Déterminer une primitive sur I = ] 0 ; + [ de la fonction f4 définie sur I par f4 (x) = . x²+2x En déduire la primitive sur I de f4 dont la représentation graphique passe par A ( 1 ; ln 3 ). 3) Déterminer une primitive sur I = ] 1 ; + [ de la fonction f5 définie sur I par f5 (x) = 3 . x ln x 3) Relation fonctionnelle caractéristique Théorème 9 Soit f une fonction f dérivable sur ] 0 ; + [ telle que : pour tous réels a et b strictement positifs, f ( a b ) = f ( a ) + f ( b ) . sont les fonctions Les seules fonctions possibles sont les fonctions x ⟼ k ln x , avec k un réel. II. NOUVELLES FONCTIONS ISSUES DE LA FONCTION ln 1) La fonction logarithme décimal log Définition 2 La fonction logarithme décimal notée log, est la fonction définie sur ] 0 ; + [ , par log x = ln x . ln 10 La fonction log possède les mêmes propriétés algébriques que la fonction ln. En particulier, pour tout n : log ( 10 n ) = …… De plus, ln 10 étant positif, elle possède le même tableau de variation que la fonction ln. 2) Les fonctions exponentielles de base a On a vu que ln ( a n ) = n ln a avec n entier et a un réel strictement positif. On a donc a n = e n ln a . On convient de généraliser cette égalité avec x réel : a x = e x ln a . Définition 2 Soit un réel a > 0. La fonction exponentielle de base a notée expa est la fonction définie sur par : expa ( x ) = a x = e x ln a . La fonction exponentielle de base 1 est …… La fonction exponentielle de base e est …… La fonction expa possède les mêmes propriétés algébriques que la fonction exp. 3/4 Théorème 10 La fonction expa est dérivable sur et, pour tout réel x, expa ′ (x) = ln a expa ( x ) = ln a a x . 1er cas : 0 < a < 1 x – y + 0<a<1 a>1 expa 1er cas : a > 1 x – + 1 expa 3) 0 1 x La fonction racine n-ième Théorème 11 Soit n un entier naturel non nul et x un réel positif. Il existe un unique réel positif, noté n x , tel que x n n = x et on a : n x = x 1/n . Ce réel est la racine n-ième de b. La racine n-ième possède les mêmes propriétés que les puissances. 4/4 Théorème 10 La fonction expa est dérivable sur et, pour tout réel x, expa ′ (x) = ln a expa ( x ) = ln a a x . 1er cas : 0 < a < 1 x – y + 0<a<1 a>1 expa 1er cas : a > 1 x – + 1 expa 3) 0 1 x La fonction racine n-ième Théorème 11 Soit n un entier naturel non nul et x un réel positif. Il existe un unique réel positif, noté n x , tel que x n n = x et on a : n x = x 1/n . Ce réel est la racine n-ième de b. La racine n-ième possède les mêmes propriétés que les puissances. 4/4 FONCTIONS LOGARITHMES I. LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN 1) Définition et propriétés algébriques de la fonction ln y y y = exp (x) y=x² exp(a) = b a²=b e 1 1 0 0 1 a = ln b x On sait que la fonction exp est continue et strictement croissante sur , et que lim e x = + et lim e x = + . x – x+ Ainsi, d’après le théorème 6 du chapitre « FONCTIONS » : pour tout réel b > 0, l’équation e x = b admet une unique solution. On note cette solution ln b . 1 x On sait que la fonction carré f est continue et strictement croissante sur [ 0 ; + [ et que f (0) = 0 et lim x ² = + . x+ Pour tout réel b > 0, l’équation x ² = b admet une unique solution. On note cette solution a = b Définition 1 On appelle logarithme népérien du réel b > 0 le réel, noté ln b, ainsi défini : ln b a pour image b par la fonction exponentielle. ln b est l’antécédent de b par la fonction exponentielle. La fonction définie sur ] 0 ; + [ qui à x associe ln (x) est appelée fonction logarithme népérien. Il résulte de la définition que : b>0 b=ea. a = ln b On dit que les fonctions ln et exp sont des fonctions réciproques l’une de l’autre. De même pour la fonction racine et la fonction carré restreinte à l’intervalle [ 0 ; + [. On note très souvent ln x au lieu de ln (x) lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté. Les parenthèses sont souvent indispensables : ln ( 1 + 2 ) = ln 3 …… Théorème 1 Pour tout réel b > 0, e ln b = b . Pour tout réel a, ln ( e ) = a . a ln 1 = 0 et et ln 1 + 2 = ( ln 1 ) + 2 = …… Ce sont des conséquences immédiates de la définition 1. ln e = 1 . Théorème 2 Pour tous réels a et b strictement positifs : ln ( a b ) = ln a + ln b . ln 15 = ln (3 5) = ln 3 + ln 5 ln 1 = – ln a . a ln a = ln a – ln b . b pour tout n , ln ( a n ) = n ln a . ln 1 = – ln 2 2 ln 1,5 = ln 3 = ln 3 – ln 2 2 ln a = 1 ln a . 2 ln 81 = ln 3 4 = 4 ln 3 et ln 1 = ln 2 – 3 = 3 ln 2 8 ln = 0.5 ln 15 Le énonce la relation fonctionnelle fondamentale vérifiée par la fonction ln ; elle signifie que la fonction ln transforme les produits (de n facteurs) en sommes (de n termes). R.A.S pour ln (a + b) ; [ln a] [ln b] et [ln a] / [ln b] 1/4 2 8 ln 8 Exercice 1 1) Exprimer à l’aide de ln 2 et ln 3 : a = ln ( 9 288 ) ; b = ln ; c = ; d = ln 813 + 5 ln 27 ln 27 e 4 4 2) Simplifier l’écriture de g = ln ( 10 + 3 ) + ln ( 10 – 3 ) . 2) 3 Étude de la fonction ln Théorème 3 La fonction ln est continue et dérivable sur ] 0 ; + [ et, pour tout x > 0 : ln ′ (x) = 1 . x La fonction ln est strictement croissante sur] 0 ; + [ . dy 1 La fonction ln est solution sur ] 0 ; + [ de l’équation différentielle y ′ = 1, ce qu’on peut noter = . x dx x Théorème 4 Pour tous réels a et b strictement positifs on a : ln a = ln b a = b . ln a > ln b a > b . ln a < 0 0 < a < 1 . ln a > 0 a > 1 . Exercice 2 Résoudre dans : 1) (E 1) : ln (x 2 – 4 x + 3) = 2 ln 3 ; (E 2) : ln (x – 1) + ln (x – 3) = 2 ln 3 ; (I 1) : ln (x – 1) + ln (x – 3) ln 3 . 3) Ces propriétés résultent du théorème 3 et de ln 1 = 0. Elles sont utiles pour résoudre des (in)équations. 2) (E 3) : 5 – 2 ln (x + 1) = 8 ; (I 3) : 5 – 2 ln (x + 1) 8 . (I 4) : ln x + ln (x – 2) 2 ; (E 6) : (ln x) ² + 3 ln x – 10 = 0 ; (I 6) : (ln x) ² + 3 ln x – 10 0. (Utiliser une inconnue auxiliaire) Théorème 5 lim ln x = + . x + lim ln x = – . x 0 ln x lim =1. x 1 x – 1 lim x 0 ln x lim = 0 (n *). x + x n (limites usuelles) ln ( 1 + x ) =1. x lim x n ln x = 0 (n *). x 0 La croissance de la fonction ln est lente. Par exemple : ln ( 10 220 ) 506 Interprétation graphique de : . La rg. c de la fonction ln admet l’axe (Ox) comme asymptote en + . D’après , pour x proche de 1, on a : ln x 1 , soit ln x x – 1. x–1 La fonction x ⟼ …… est la meilleure approximation affine de la fonction ln au voisinage de 1. Ce qui peut être mis en relation avec l’équation de la tangente au point d’abscisse 1 : y = x – 1 Pour les énoncés et on retiendra que « en + et en 0, toute puissance (entière positive) l’emporte sur ln x » Tableau de variation x ln’(x) 0 y y = exp (x) + 1 + y=x + ln 0 e – y = ln x signe de ln (x) x ln (x) 1 0 + 1 – 0 + 0 1 e x Les fonctions ln et exp sont réciproques l’une de l’autre donc, dans un repère orthonormé, leurs représentations graphiques sont symétriques par rapport à la 1ère bissectrice (la droite d’équation y = x) 2/4 2x + 3 6x² – 1 3x² – 1 x ln x ; f2 (x) = ln ; f3 (x) = ln ; f4 (x) = 3 ; f5(x) = (x4 + x²) ln x . x² + 1 2x² + 1 2x – 4 x +1 Déterminer lim f1 (x) ; lim f2 (x) ; lim f3 (x) ; lim f3 (x) ; lim f4 (x) et lim f5(x) . x + x – x + x 2 x + x 0 Exercice 3 Soit f1 (x) = ln 3) Dérivées et primitives Théorème 6 La fonction ln est la primitive de la fonction inverse sur ] 0 ; + [ qui s’annule en 1. Théorème 7 Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. La fonction ln u : x ⟼ ln [ u (x) ] est dérivable sur I et on a (ln u) ′ = u ′ . u Théorème 8 Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I , et qui ne s’annule pas sur I. u′ La fonction ln | u | : x ⟼ ln | u (x)| est une primitive sur I de la fonction . u u′=u′1 u u Dans le cas où u est strictement positive su I c’est une conséquence immédiate du théorème 7. Exercice 4 1) Calculer la dérivée de f1 (x) = ln (x ² + 1) ; f2 (x) = ln 2 x + 5 et f3 (x) = x ln x – x . 1–x x+1 2) Déterminer une primitive sur I = ] 0 ; + [ de la fonction f4 définie sur I par f4 (x) = . x²+2x En déduire la primitive sur I de f4 dont la représentation graphique passe par A ( 1 ; ln 3 ). 3) Déterminer une primitive sur I = ] 1 ; + [ de la fonction f5 définie sur I par f5 (x) = 3 . x ln x 4) Relation fonctionnelle caractéristique Théorème 9 Soit f une fonction f dérivable sur ] 0 ; + [ telle que : pour tous réels a et b strictement positifs, f ( a b ) = f ( a ) + f ( b ) . Les seules fonctions possibles sont les fonctions x ⟼ k ln x , avec k un réel. II. NOUVELLES FONCTIONS ISSUES DE LA FONCTION ln 1) La fonction logarithme décimal log Définition 2 La fonction logarithme décimal notée log, est la fonction définie sur ] 0 ; + [ , par log x = ln x . ln 10 La fonction log possède les mêmes propriétés algébriques que la fonction ln. En particulier, pour tout n : log ( 10 n ) = …… De plus, ln 10 étant positif, elle possède le même tableau de variation que la fonction ln. 2) Les fonctions exponentielles de base a On a vu que ln ( a n ) = n ln a avec n entier et a un réel strictement positif. On a donc a n = e n ln a . On convient de généraliser cette égalité avec x réel : a x = e x ln a . Définition 2 Soit un réel a > 0. La fonction exponentielle de base a notée expa est la fonction définie sur par : expa ( x ) = a x = e x ln a . La fonction exponentielle de base 1 est constante : exp1 (x) = e x ln 1 = e 0 = 1 . La fonction exponentielle de base e est la fonction exponentielle. La fonction expa possède les mêmes propriétés algébriques que la fonction exp. 3/4 Théorème 10 La fonction expa est dérivable sur et, pour tout réel x, expa ′ (x) = ln a expa ( x ) = ln a a x . 1er cas : 0 < a < 1 x – + y 0 1 + 0<a<1 1 expa a>1 a 0 er 1 cas : a > 1 x – 0 1 + + 1 a expa 1 0 0 3) 1 x La fonction racine n-ième Théorème 11 Soit n un entier naturel non nul et b un réel positif. Il existe un unique réel positif, noté n b , tel que b n n n = x et on a : b = b 1/n . Ce réel est la racine n-ième de b. La racine n-ième possède les mêmes propriétés que les puissances. La fonction fn. : x ⟼ x n est dérivable et strictement croissante sur [0 ; + ∞ [ donc, d’après le théorème d’unicité, tout réel b de l’intervalle image [0 ; + ∞ [ admet un unique antécédent par fn . Cet antécédent est la racine n-ième de b. x 0 b 1/n fn (x) +∞ +∞ b 0 4/4 Limite en 0 + et + de ln 0,01 10 – 70 10 – 99 10 – 999 100 10 70 1099 10999 x 0,01 10 – 70 10 – 99 10 – 999 100 10 70 1099 10999 ln x – 4,6 – 161 – 2300 4,6 161 228 2300 x ln x Limite en 0 + et + de ln – 228