Polycopié - Julian Tugaut

Probabilités approfondies
Julian Tugaut1
14 avril 2015
1. Si vous avez des remarques ou des questions, envoyez-moi un message à tu-
[email protected]nrs.fr

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Table des matières
Table des matières iii
1 Rappels : le langage des ensembles 1
1.1 Définitions............................... 1
1.1.1 Notion d’ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Ensemblevide......................... 1
1.1.3 Inclusion, Sous-ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Opération sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Intersection de deux ensembles . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2 Réunion de deux ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.3 Propriétés de distributivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.4 Complémentaire d’un sous-ensemble . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Partition d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Rappels sur la dénombrabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Classes d’ensembles 11
2.1 Premières définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Notion de tribu engendrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 π-système et λ-système........................ 17
3 Mesures 19
3.1 Définitions............................... 19
3.2 Cas de la mesure de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.1 Définition sur les ouverts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.2 Unicité............................. 20
3.3 Théorème d’existence de Carathéodory . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.4 Complétion .............................. 22
4 Variables aléatoires 23
4.1 Définitions............................... 23
4.2 Tribu générée par une collection de variables aléatoires . . . . . . 24
4.3 Fonctions de répartition, lois d’une variable aléatoire . . . . . . . 25
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iv TABLE DES MATIÈRES
5 Indépendance 29
5.1 Indépendance de familles d’évènements et de variables aléatoires . 29
5.2 Critères d’indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.2.1 En terme de fonctions de répartition . . . . . . . . . . . . 31
5.2.2 En terme de densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.3 Indépendance généralisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.4 Indépendances et évènements asymptotiques . . . . . . . . . . . . 34
5.5 Rappels sur la probabilité conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . 37
5.5.1 Notion de probabilité conditionnelle . . . . . . . . . . . . . 37
5.5.2 Définition ........................... 37
5.5.3 Théorème de Bayes (ou de la probabilité des causes) . . . 38
6 Espérance conditionnelle 41
6.1 Cassimple............................... 41
6.2 Casgénéral .............................. 43
6.3 Propriétés ............................... 44
7 Martingales 49
7.1 Filtration ............................... 49
7.2 Surmartingales et sous-martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
7.3 Processus prévisibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7.4 Tempsd’arrêt............................. 53
8 Chaînes de Markov 57
8.1 Matrice stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.2 Mesures invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Chapitre 1
Rappels : le langage des ensembles
On commence ce cours par l’étude du langage des ensembles. En effet, celui-ci
nous servira subséquemment pour représenter et pour nous représenter de façon
palpable ce à quoi correspondent les divers objets du modèle probabiliste.
1.1 Définitions
1.1.1 Notion d’ensemble
On considère la notion intuitive suivante d’un ensemble Ω(qui désignera dans
les prochains chapitres l’univers, que l’on appelle aussi l’espace fondamental) :
Définition 1.1.1. Un ensemble Ωest une collection d’objets. Il est déterminé
lorsque l’on peut dire si un objet ωlui appartient ou ne lui appartient pas.
Notation 1.1.2. Si l’objet ωappartient à l’ensemble Ω, on note : ω∈Ω.
Si l’objet ωn’appartient pas à l’ensemble Ω, on note : ω /∈Ω.
Définition 1.1.3. Un objet ωappartenant à l’ensemble Ω(ω∈Ω) est appelé un
élément de Ω.
1.1.2 Ensemble vide
Définition 1.1.4. On définit l’ensemble vide comme étant l’ensemble qui ne
contient aucun élément.
Notation 1.1.5. L’ensemble vide est noté ∅.
Remarque 1.1.6. Il ne faut pas confondre l’ensemble vide (∅) avec le zéro (0).
On a coutume de dire : “Être nul, c’est déjà exister”.
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