Unité 4 – Les Fractions Les Fractions

Unité 4 – Les Fractions
Les Fractions
Une fraction est une division non effectuée entre deux nombres entiers relatifs. Elle est représentée
comme suit :



Le nombre du haut s'appelle le numérateur
Le nombre du bas s'appelle le dénominateur
Le trait ou barre de fraction signifie que l'on divise le numérateur par le dénominateur.
Exemple : 3/7 signifie que l'on divise 3 par 7 ; on prononce cette fraction « trois septièmes ».


3 est appelé numérateur parce qu'il indique un nombre de trois unités (les septièmes)
7 est appelé dénominateur parce qu'il dénomme l'unité (le septième) avec laquelle on opère.
Si on mange les 3/7 d'une tarte, le numérateur 3 indique le nombre de parts que l'on mange alors que 7
indique le nombre total de parts.
Les fractions équivalentes
Deux fractions sont équivalentes si elles représentent la même quantité ou le même rapport.
Voici trois façons de représenter la moitié d'un rectangle
1/2
2/4
3/6
Dans les trois cas, la fraction représentée est équivalente
1/2 = 2/4 = 3/6
Pour vérifier si deux fractions sont équivalentes
Méthode 1


Réduisez les deux fractions
S'il s'agit de fractions équivalentes, les deux fractions irréductibles seront identiques.
Exemple:
Méthode 2


Effectuez le produit croisé
S'il s'agit de fractions équivalentes, les deux produits seront identiques
Exemple:
Pour obtenir une fraction équivalente

Pour obtenir une fraction équivalente dont le numérateur et le dénominateur sont plus grands
que la fraction de départ, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le même
nombre entier non nul.
Exemple:

Pour obtenir une fraction équivalente dont le numérateur et le dénominateur sont plus petits
que la fraction de départ, il faut diviser le numérateur et le dénominateur par le même nombre
entier non nul (diviseur commun).
Exemple
Fraction irréductible (ou simplifiée)
Règles
Simplifier une fraction revient à diviser le numérateur et le dénominateur par un même entier
strictement positif (cet entier est donc un diviseur commun au numérateur et au dénominateur). La
fraction obtenue est irréductible si elle ne peut plus être simplifiée.
Exemples
On veut écrire plus simplement
• On remarque que 150 et 400 sont des multiples de 10. On peut donc écrire:
On dit qu'on a simplifié la fraction
par 10.
• On voit maintenant que 15 et 40 sont des multiples de 5. On a donc:
simplifié la fraction
.
. On dit qu'on a
par 5.
• Finalement, on peut écrire :
irréductible.
. Cette écriture ne peut plus être simplifiée. On dit qu'elle est
Placer des fractions sur une droite numérique
Pour placer une fraction comme
, on partage le segment unité en huit parts égales.
Chaque portion limitée par deux graduations correspond à
Il est alors facile de placer le point correspondant à
.
.
Les nombres fractionnaires
Un nombre fractionnaire est un nombre qui contient une partie sous forme entière (une ou plusieurs
unités) et une partie sous forme de fraction.
4 2/3 signifie 4 entiers et 2/3
Voici 5 pizzas. Lors d’une fête, on a mangé 4 pizzas complètes (coupées en 3 morceaux) et on a mangé 2
morceaux sur 3 de la dernière pizza.
Le nombre fractionnaire qui représente le dessin ci-dessous est: 4 2/3
Fraction impropre
Une fraction est dite impropre lorsque la valeur du numérateur est plus grande que celle du
dénominateur. Une fraction impropre peut être traduite par un nombre fractionnaire.
22/7 = 3 1/7
Du nombre fractionnaire à la fraction
Pour transformer un nombre fractionnaire en fraction :


Transformez la partie entière en fraction. Cette fraction doit avoir le même dénominateur que
la partie fractionnaire.
Additionnez les deux fractions.
Exemple:
Méthode 1
Méthode 2
De la fraction au nombre fractionnaire
Pour transformer une fraction en nombre fractionnaire :



Divisez le numérateur par le dénominateur avec reste
La partie entière de votre quotient correspond à la partie entière du nombre fractionnaire
Le reste correspond à la partie fractionnaire du nombre fractionnaire
Exemple:
Placer des fractions sur une droite numérique
Pour placer une fraction supérieure à l’unité sur un axe gradué, on commence par l’écrire comme
somme de sa partie entière et de sa partie fractionnaire.
Pour cela on effectue la division euclidienne du numérateur par le dénominateur.
Pour la fraction
, on fait la division de 13 par 5 :
Sur l’axe gradué, la fraction
Comme
sera donc placée entre les graduations 2 et 3.
on partage le segment compris entre 2 et 3 en cinq parts égales.
Il ne reste plus qu’à placer
.
Comparer deux fractions
Comparer deux fractions en les réduisant au même dénominateur.
a. Comparez 5/7 et 9/14.

Le dénominateur 14 est multiple du dénominateur 7.
b. Comparez 3/8 et 2/5.

On réduit les deux fractions 3/8 et 2/5 au dénominateur commun 5 × 8.
c. Comparez 11/18 et 7/12.

1re méthode : On réduit les deux fractions 11/18 et 7/12 au dénominateur commun 18 × 12.

2e méthode : On utilise le fait que les deux dénominateurs 18 et 12 contiennent le facteur 6.
On a 18 = 6 × 3 et 12 = 6 × 2.
o

Il est donc possible de ramener les deux fractions au dénominateur commun 6 × 3 × 2.
Ordonner des fractions
Méthode

Pour comparer des fractions, il faut qu'ils aient le même dénominateur afin de pouvoir
comparer leurs numérateurs
Exemple: Comparer les fractions ci-dessous et les classer par ordre croissant
;
;
;
En mettant toutes les fractions au même dénominateur, on trouve :
;
;
;
On peut alors ranger les fractions par ordre croissant :
Additionner & Soustraire des fractions
Additionner et soustraire deux fractions.
Pour bien comprendre et analyser le phénomène, nous allons devoir envisager deux cas de figure.

Les deux fractions ont même dénominateur.
Par exemple, additionnons les fractions
et
.
Rapportées à un gâteau rond partagé en quatre parts, la fraction
correspond à 2 parts.
représente une part et
Comme nous devons faire une addition, additionnons les parts !
Nous avons donc la situation suivante :
La bonne manière d'additionner les fractions
et
est donc :
Nous savons désormais comment additionner (et même soustraire) deux fractions ayant le même
dénominateur.
Règle 1 : additionner (ou soustraire) deux fractions ayant le même dénominateur.
Pour calculer la somme (ou la différence) de deux fractions ayant le même dénominateur :
o
o
on additionne (ou on soustrait) les deux numérateurs.
on conserve leur dénominateur commun.
Autrement écrit:
Cette règle est certes utile mais que se passe-t-il lorsque les deux fractions n'ont pas le même
dénominateur?

Les deux fractions n'ont pas le même dénominateur.
Par exemple, additionnons les fractions
et
.
A quelle fraction correspond la part totale ? Les quarts et les tiers ne s'additionnent pas
facilement même lorsqu'il s'agit de parts de gâteau ! La seule chose que nous savons faire est
d'additionner deux fractions ayant le même dénominateur.
Nous allons donc mettre les fractions
et
sur un même dénominateur.
Parmi les dénominateurs communs possibles, il y a 12, 24, 36...
Nous choisissons le plus simple d'entre eux qui est 12.
La situation vient donc évolué: au lieu d'additionner des quarts et des tiers, nous additionnerons
des douzièmes...
La bonne manière d'additionner les fractions
et
est donc :
Pour additionner (ou soustraire) deux fractions n'ayant pas le même dénominateur, il suffit de
leur trouver un dénominateur commun. D'où la règle suivante :
Règle 2 : additionner (ou soustraire) deux fractions ayant des dénominateurs différents.
Pour additionner (ou soustraire) deux fractions n'ayant pas le même dénominateur :
o
o
on les met sur un même dénominateur.
puis, on les additionne (ou on les soustrait) en utilisant la règle 1.
Nous savons désormais comment additionner ou soustraire deux fractions grâce à nos deux règles.
Effectuons l’opération.
Pour soustraire ces deux fractions, il faut au préalable leur trouver un dénominateur commun. Certains
diront que leur dénominateur commun est 48 = 8 × 6.
C'en est un mais ce n'est pas le plus simple !
Le plus simple est 24 car 24 = 8 × 3 et 24 = 6 × 4.
Nous aurions pu faire le calcul en choisissant pour dénominateur commun 48 mais ils auraient été un
peu plus compliqués...
L’addition de nombres fractionnaires
Si l’équation est composée de nombres fractionnaires, on peut résoudre l'addition de deux façons.
Premièrement, on peut effectuer l’opération sur les entiers puis sur les fractions.
2 1/3 + 3 1/3
D'abord, on s'occupe des entiers. On trouve que 2 + 3 = 5.
Ensuite, les fractions. On trouve que 1/3 + 1/3 = 2/3.
Ainsi la réponse est
5 2/3.
Il se peut aussi que les fractions ne soient pas sur le même dénominateur. Il faut alors trouver un
dénominateur commun.
4 1/4 + 2 2/5
D'abord, on s'occuper des entiers. On trouve que 4 + 2 = 6.
Ensuite les fractions. Comme elles ne sont pas sur le même dénominateur, on doit trouver un
dénominateur commun à 4 et 5 qui, ici, pourrait être 20.
1/4 + 2/5 = 5/20 + 8/20 = 13/20
Ainsi la réponse est 6 13/20.
La soustraction de nombres fractionnaires
Si l’équation est composée de nombres fractionnaires, il existe plusieurs méthodes. La plus simple reste
cependant à transformer les nombres fractionnaires en fractions et à utiliser la méthode présentée un
peu plus haut.
5 1/3 – 2 2/5 = 16/3 – 12/ 5 = 80/15 – 36/ 15 = 44/ 15 =2 14/15
La multiplication de fractions et de nombres fractionnaires
Puis en remplaçant par les fractions correspondantes du dessin, on obtient:
La multiplication de fractions
La méthode de multiplication de fractions est plutôt simple. On doit multiplier les numérateurs
ensemble et les dénominateurs ensemble. On obtient ainsi une nouvelle fraction qui correspond au
produit final.
5 × 7 = 5×7 = 35
8 11 8×11 88
1x4=1x4=4 =2
2 5 2 x 5 10 5
La multiplication de nombres fractionnaires
Dans le cas d’une multiplication avec des nombres fractionnaires, il faut d’abord transformer les
nombres fractionnaires en fractions, puis effectuer l’opération.
4½x5¼
On transforme les nombres fractionnaires en fractions et on obtient:
4½
On utilise le truc 4 x 2 + 1 = 9
9/2
5¼
On utilise le truc 5 x 4 + 1 = 21
21/4
Ainsi, on peut facilement multiplier.
9 x 21 = 9 x 21 = 189 ou 23 5/8
2 4 2x4
8
Donc, la réponse est 189/8, qui une fraction impropre. On peut cependant transformer cette fraction en
nombre fractionnaire, ce qui nous donnerait 23 5/8.
La division de fractions et de nombres fractionnaires
Diviser un nombre par une fraction revient à multiplier ce nombre par la fraction inverse du diviseur
Exemples
Combien de tuiles roses puis-je poser sur un mur bleu sachant que chaque tuile rose représente 1/12 du
mur ?
Je veux couvrir les 2/3 de mon mur avec des belles tuiles roses. Combien de tuiles roses dois-je poser
sur le mur sachant que chaque tuile rose représente 1/6 du mur ?
Je veux couvrir les 3/4 de mon mur avec des belles tuiles roses. Combien de tuiles roses dois-je poser sur
le mur sachant que chaque tuile rose représente 1/3 du mur ?
Deux fractions sont inverses si leur produit est égal à 1
Nous pouvons dire que:
111/33 est la fraction inverse de 33/111
33/111 est la fraction inverse de 111/33
5/12 est la fraction inverse de 12/5
12/5 est la fraction inverse de 5/12
1/9 est la fraction inverse de 9/1
9/1 est la fraction inverse de 1/9






La division de fractions
Afin de résoudre une division de deux fractions, il est important de se souvenir que faire une division
revient à faire une multiplication par l'inverse.
Pour faire une division, on suit les étapes suivantes
1÷1
2 3
1. On inverse la fraction de droite
1
2
3
1
2. On change le signe de division pour un signe de multiplication
1×3
2 1
3. On fait la multiplication des fractions.
1 × 3= 3
2 1 2
La division de nombres fractionnaires
Dans le cas d’une division avec des nombres fractionnaires, il faut d’abord transformer ces nombres
fractionnaires en fractions, puis effectuer l’opération comme il a été expliqué plus haut.
4 1/3 ÷ 2/5 = 13 ÷ 2 = 13 × 5 = 65 = 10 5/6
3
5
3
2
6
Les fractions et les nombres décimaux
Pour transformer une fraction en nombre décimal
Méthode 1: Trouver la fraction décimale équivalente
Méthode 2: Diviser le numérateur par le dénominateur
Pour transformer un nombre décimal en fraction
On utilise la valeur de la position du dernier chiffre pour trouver le dénominateur.
Étape 1 : On observe la position du dernier chiffre (dixième, centième, millième, etc.)
Étape 2 : On réduit ensuite la fraction.
Étape 1:
Étape 2:
Un nombre décimal fini est un nombre qui s'écrit avec une partie entière et une partie décimale finie.
Les deux parties sont séparées par une virgule qui se situe à droite des unités. La partie du nombre qui
est à gauche de la virgule s'appelle la partie entière et la partie du nombre qui est à droite de la virgule
s'appelle la partie décimale (ou fractionnaire).
Dans le nombre 15,2 : la partie entière est 15, la partie décimale finie est 2.
Voici d'autres exemples:
16,231
5,6
98,123456
0,25
Un nombre décimal périodique est un nombre dans lequel une séquence de chiffres après la virgule (la
partie décimale) se répète indéfiniment. On appelle la période cette séquence qui se répète.
Pour indiquer que la partie décimale d'un nombre est périodique, on trace un trait au-dessus de la
séquence qui se répète (la période).
Fraction
Notation décimale
développée
Notation Abrégée
(Trait)
_
1/3
0,3333…
0,3
_
1/6
0,1666…
0,16
______
1/7
0,142 857 142 857 ….
0,142 857