analyse complexe - Pierre DOLBEAULT

ANALYSE COMPLEXE

CHEZ LE MÊME ÉDITEUR
Ouvrages de la même collection (Maîtrise de mathématiques pures): voir
page 4 de couverture.
Collection Mathématiques appliquées pour la Maîtrise sous la direction de Ph.
CIARLET et J. LIONS :
INTRODUCTION A L'ANALYSE NUMÉRIQUE MATRICIELLE ET A L'OPTIMISATION,
par Ph. CIARLET. 1988, 3e tirage, 292 pages.
EXERCICES D'ANALYSE NUMÉRIQUE MATRICIELLE ET D'OPTIMISATION, avec solu-
tions, par Ph. CIARLET, B. MIARA et J. M. THOMAS. 1987, 2e édition,
192 pages.
ANALYSE NUMÉRIQUE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES, par M. CROUZEIX et
A. L. MIGNOT. 1989, 2e édition, 192 pages.
EXERCICES D'ANALYSE NUMÉRIQUE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES, par M.
CROUZEIX et A. L. MIGNOT. 1986, 192 pages.
INTRODUCTION A L'ANALYSE NUMÉRIQUE DES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES,
par P. A. RAVIART et J. M. THOMAS. 1988, 2e tirage 224 pages.
EXERCICES D'ANALYSE NUMÉRIQUE DES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES,
par P. RABIER et J. M. THOMAS. 1985, 208 pages.
ANALYSE FONCTIONNELLE. Théorie et applications, par H. BRÉZIS. 1987,
2e tirage, 248 pages.
Autres ouvrages
ANALYSE RÉELLE ET COMPLEXE, par W. RUDIN. 1987, 4e tirage, 408 pages.
MATHÉMATIQUES POUR LA LICENCE, Second cycle des Universités et écoles
d'ingénieurs. Variable complexe, calcul différentiel et tensoriel, espaces
normes et calcul intégral, analyse de Fourier, par J. P. FERRIER. 1984,
232 pages
ALGÈBRE ET GÉOMÉTRIE. PROBLÈMES DE MATHÉMATIQUES, Écrit du CAPES,
avec rappels de cours. Année 1979—1987, Concours interne 1987, par
A. LÉVY-BRUHL, P. LÉVY-BRUHL, C. PIQUET, C. SERVIEN et J. VAUTHIER.
1988, 2e édition, 224 pages.
ANALYSE. PROBLÈMES DE MATHÉMATIQUES, Ecrit du CAPES, avec rappels de
cours. Année 1980-1987, par A. LÉVY-BRUHL, P. LÉVY-BRUHL, C. PIQUET,
SERVIEN et J. VAUTHIER. 1988, 2e édition, 248 pages.

Collection Maîtrise de mathématiques pures
sous la direction de J. DIEUDONNÉ et P. MALLIAVIN
de l'Institut
P. DOLBEAULT
Professeur à l'Université
Pierre et Marie Curie
ANALYSE COMPLEXE
Ouvrage publié avec le concours du Ministère
de la Recherche et de la Technologie (DIST).
MASSON Paris Milan Barcelone Mexico 1990

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Des photocopies payantes peuvent être réalisées avec l'accord de l'éditeur. S'adresser au : Centre
Français du Copyright, 6 bis, rue Gabriel-Laumain, 75010 Paris. Tél. [phone]
© Masson, Paris, 1990
ISBN : 2-225-81425-2
ISSN : 0339-879 X
MASSON
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INTRODUCTION AU COURS D'ANALYSE
L'ANALYSE MATHÉMATIQUE donne un ensemble de règles gouvernant la manipulation des
limites et des infiniment petits : règles de changement de variables, règles d'interversion de
limites, règles de dérivation sous le signe intégrale, etc. On ne peut toutefois réduire l'Analyse
à cette gymnastique formelle sans perdre de vue ses objets principaux et le sens même de sa
démarche.
Dès le xvme siècle les séries ont été utilisées pour définir des fonctions nouvelles. Dans un
langage moderne, l'Analyse démontre des théorèmes d'existence en formulant les problèmes
dans des espaces complets convenables. Lorsqu'un résultat d'existence est précisé par un théo-
rème d'unicité, alors, et seulement alors, la notion de solution approchée a un sens ; les algo-
rithmes numériques de calcul des solutions approchées proviendront souvent de la démarche
antérieure de l'Analyste.
L'évolution des systèmes mécaniques est gouvernée par le principe du minimum d'action.
Plus généralement l'Analyse permet de définir des fonctions remarquables : celles qui réali-
sent le minimum de fonctionnelles naturelles. Les propriétés de ces fonctions extrémales pour-
ront être déduites alors des équations aux variations de la fonctionnelle associée.
Les lois élémentaires de conservation de la Physique ne permettent pas de décrire un phé-
nomène complexe. Toutefois la formulation infinitésimale de ces lois peut conduire à des
équations aux dérivées partielles. L'Analyse, en établissant l'existence globale des solutions de
ces équations, ainsi que leurs propriétés, apportera un outil pour passer de l'infinitésimal
au global.
Le calcul des probabilités sur un nombre fini n d'événements, est souvent équivalent à des
problèmes de combinatoire. Lorsque n tend vers l'infini, des lois limites simples apparaissent.
Là où l'on ne trouvait que le contingent et l'enchevêtrement d'énumérations fastidieuses, le
passage à la limite fera apparaître des fonctions régulières justiciables des méthodes de calcul
de l'Analyse.
Ces points de vue seront mis en évidence dans ce cours, destiné à des étudiants de licence
ou de maîtrise, et qui comportera quatre volumes de 100 à 200 pages chacun :
— Topologie et Analyse fonctionnelle ;
— Intégration, Probabilités, Analyse de Fourier et Analyse Spectrale ;
— Calcul différentiel ;
— Analyse complexe.
Chaque volume sera écrit de telle sorte qu'il puisse être lu de façon indépendante.
P. MALLIAVIN