TD d`Analyse Complexe -IV- 1 Formes linéaires continues sur H(C

FIMFA, Mars 2006
Rachel Ollivier
TD d’Analyse Complexe
-IV-
1 Formes linéaires continues sur H(C)
Pour λ∈C, on note eλl’application holomorphe eλ:z7→ eλz .
1. Soit Lune forme linéaire continue sur H(C). On définit
C−→ C
λ7−→ < L, eλ> .
Montrer que c’est une fonction entière et calculer ses dérivées successives en 0.
2. Soit Vun ouvert non vide de C. Montrer que l’espace vectoriel engendré par les appli-
cations eλpour λparcourant Vest dense dans H(C).
2 Un théorème de H. Cartan : itération de fonctions holo-
morphes
Soit Uun ouvert connexe borné de C,f:U→Uholomorphe, et aun point fixe de f. On
pose, pour tout n≥0,fn=f◦ ··· ◦ f(nfois). L’objet de cet exercice est de montrer :
i) |f0(a)| ≤ 1,
ii) |f0(a)|= 1 si et seulement si f:U→Uest bijective,
iii) Si |f0(a)|<1, alors fnconverge uniformément sur tout compact de Uvers la
fonction constante égale à a.
1. Montrer i), puis que si f:U→Uest bijective, alors |f0(a)|= 1.
2. Montrer que si f0(a) = 1, alors fest la fonction identité.
3. Soit Eune partie de C. Montrer que si gnest une suite de fonctions holomorphes sur un
ouvert connexe O, à images dans E, qui converge uniformément sur tout compact de O
vers une fonction gnon constante, alors g(O)⊂E.
4. Montrer ii).
Indication : extraire de fnune sous-suite tendant vers une fonction gtelle que g0(a) = 1.
5. Montrer iii).
6. Le théorème reste-t-il vrai si l’on ne suppose plus Uborné ?
7. Applications :
(a) Soit Ol’ensemble des nombres complexes de partie réelle strictement positive. Soit
a∈]0,1[ et
f:z∈O→az +1−a
z.
Que dire de la suite fn?
1

(b) Soit Ul’ensemble des nombres complexes de parties réelle et imaginaire strictement
positive, et de module strictement inférieur à 1. Soit
f:z∈U→eiπ
2z.
Montrer la suite fnconverge vers une constante.
3 Expression des solutions d’une équation
On pose r= 1/√3,D=D(0, r),U=D(0,2r/3) et l’on choisit γ:t∈[0,2π[7→ reit pour
paramétrer le cercle ∂D.
1. Soit x∈U. Montrer qu’il existe un unique z∈Det z3+z=x. On pose z=f(x).
2. Montrer que, pour x∈U,
f(x) = 1
2iπ Zγ
z(3z2+ 1)
z3+z−xdz.
3. Montrer que pour x∈U,
f(x) = X
p≥0
(−1)p(3p)!
p!(2p+ 1)! x2p+1.
4 Théorème de l’application conforme de Riemann
Soit Uun ouvert non vide connexe simplement connexe de C. Nous allons montrer que
– ou bien U=C,
– ou bien il existe une bijection holomorphe entre Uet le disque ouvert unité D.
Remarque : Notons que le simple fait que tout ouvert connexe simplement connexe non vide
U C est homéomorphe à Dn’est nullement évident, et ne se démontre pas de façon plus
simple. Ce qu’apporte en plus ce théorème est le fait que l’homéomorphisme peut être choisi
holomorphe de dérivée ne s’annulant pas, ce qui signifie que l’homéomorphisme conserve loca-
lement les angles orientés (cf exercice Fonctions holomorphes et angles orientés). C’est donc,
du point de vue de la classification des ouverts de C, un théorème très puissant.
1. Pourquoi les deux alternatives du théorème sont-elles incompatibles ?
2. Cest-il homéomorphe à D?
3. Préliminaires
(a) Pour a∈D, l’application ψadéfinie par ψa(z) = z−a
1−¯az est une bijection holomorphe
du disque Dtelle que ψa(a) = 0. Son inverse est ψ−a. Calculer son application
dérivée.
(b) Une fonction holomorphe qui ne s’annule pas sur un ouvert simplement connexe
admet une racine carrée : si f∈ H(U)ne s’annule pas, il existe g∈ H(U)telle que
g2(z) = f(z)pour tout z∈U.
2

4. Soit Uun ouvert simplement connexe U( C et a∈U. Définissions
H1={f∈ H(U),|f(z)| ≤ 1,∀z∈U},
H2={f∈ H(U), f(a) = 0},
H3={f∈ H(U), f est injective ou constante}.
(a) Montrer que H3est un fermé de H(U).
Indication : on pourra commencer par montrer que si Vest un ouvert connexe
et (gn)nune suite de fonctions holomorphes sur Vne s’annulant pas, telle (gn)
converge uniformément sur tout compact vers g, alors ou bien gest la fonction
nulle, ou bien gne s’annule pas.
(b) On pose H=H1∩H2∩H3. Montrer que Hn’est pas réduit à la fonction nulle.
Indication : pour w∈C\U, on pourra considérer la racine carrée gsur Ude
l’application z7→ z−w. Puis, bien choisir bet rde façon à ce que z7→ r
g(z)+bsoit
bien définie et soit “presque” un élément de H.
(c) Montrer que l’application
H−→ R
f7−→ |f0(a)|
atteint son maximum sur Hen une application notée φ. Vérifier que φ0(a)6= 0.
(d) Montrer que φest une bijection holomorphe de Udans D.
5 Fonctions elliptiques
Soient a1et a2deux nombres complexes non nuls R-linéairement indépendants. On note Λle
réseau Za1⊕Za2. On dit qu’une fonction méromorphe fsur Cest elliptique pour le réseau Λ
si
f(z+a) = f(z),∀z∈C, a ∈Λ.
On appelle parallélogramme fondamental associé à Λtout parallélogramme de sommets z0, z0+
a1,z0+a2,z0+a1+a2, avec z0∈C.
1. Montrer qu’une fonction entière elliptique est constante.
2. Soit fune fonction elliptique pour le réseau Λ. On la suppose non constante. Soit Pun
parallélogramme fondamental tel que ∂Pne contient aucun zéro et aucun pôle de f.
(a) Montrer que R∂P fdz= 0.
(b) Montrer que fpossède dans Pautant de zéros que de pôles, comptés avec multi-
plicité. Montrer que ce nombre est supérieur ou égal à 2.
(c) On note Z(resp. P) la somme des zéros (resp. pôles) de fdans Pcomptés avec
multiplicités. Montrer que Z−Pappartient au réseau Λ.Indication : on pourra
intégrer zf0
f...
6 Calcul d’intégrale
Calculer, pour nentier tel que n≥2,
I=Z+∞
0
dx
1 + xn.
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