TD d`Analyse Complexe -IV- 1 Formes linéaires continues sur H(C

FIMFA, Mars 2006
Rachel Ollivier
TD d’Analyse Complexe
-IV1
Formes linéaires continues sur H(C)
Pour λ ∈ C, on note eλ l’application holomorphe eλ : z 7→ eλz .
1. Soit L une forme linéaire continue sur H(C). On définit
C −→
C
λ 7−→ < L, eλ > .
Montrer que c’est une fonction entière et calculer ses dérivées successives en 0.
2. Soit V un ouvert non vide de C. Montrer que l’espace vectoriel engendré par les applications eλ pour λ parcourant V est dense dans H(C).
2
Un théorème de H. Cartan : itération de fonctions holomorphes
Soit U un ouvert connexe borné de C, f : U → U holomorphe, et a un point fixe de f . On
pose, pour tout n ≥ 0, fn = f ◦ · · · ◦ f (n fois). L’objet de cet exercice est de montrer :
i) |f 0 (a)| ≤ 1,
ii) |f 0 (a)| = 1 si et seulement si f : U → U est bijective,
iii) Si |f 0 (a)| < 1, alors fn converge uniformément sur tout compact de U vers la
fonction constante égale à a.
1. Montrer i), puis que si f : U → U est bijective, alors |f 0 (a)| = 1.
2. Montrer que si f 0 (a) = 1, alors f est la fonction identité.
3. Soit E une partie de C. Montrer que si g n est une suite de fonctions holomorphes sur un
ouvert connexe O, à images dans E, qui converge uniformément sur tout compact de O
vers une fonction g non constante, alors g(O) ⊂ E.
4. Montrer ii).
Indication : extraire de fn une sous-suite tendant vers une fonction g telle que g 0 (a) = 1.
5. Montrer iii).
6. Le théorème reste-t-il vrai si l’on ne suppose plus U borné ?
7. Applications :
(a) Soit O l’ensemble des nombres complexes de partie réelle strictement positive. Soit
a ∈]0, 1[ et
1−a
.
f : z ∈ O → az +
z
Que dire de la suite fn ?
1
(b) Soit U l’ensemble des nombres complexes de parties réelle et imaginaire strictement
positive, et de module strictement inférieur à 1. Soit
π
f : z ∈ U → ei 2 z .
Montrer la suite fn converge vers une constante.
3
Expression des solutions d’une équation
√
On pose r = 1/ 3, D = D(0, r), U = D(0, 2r/3) et l’on choisit γ : t ∈ [0, 2π[7→ re it pour
paramétrer le cercle ∂D.
1. Soit x ∈ U . Montrer qu’il existe un unique z ∈ D et z 3 + z = x. On pose z = f (x).
2. Montrer que, pour x ∈ U ,
f (x) =
3. Montrer que pour x ∈ U ,
f (x) =
1
2iπ
X
Z
(−1)p
p≥0
4
γ
z(3z 2 + 1)
dz.
z3 + z − x
(3p)!
x2p+1 .
p!(2p + 1)!
Théorème de l’application conforme de Riemann
Soit U un ouvert non vide connexe simplement connexe de C. Nous allons montrer que
– ou bien U = C,
– ou bien il existe une bijection holomorphe entre U et le disque ouvert unité D.
Remarque : Notons que le simple fait que tout ouvert connexe simplement connexe non vide
U
C est homéomorphe à D n’est nullement évident, et ne se démontre pas de façon plus
simple. Ce qu’apporte en plus ce théorème est le fait que l’homéomorphisme peut être choisi
holomorphe de dérivée ne s’annulant pas, ce qui signifie que l’homéomorphisme conserve localement les angles orientés (cf exercice Fonctions holomorphes et angles orientés). C’est donc,
du point de vue de la classification des ouverts de C, un théorème très puissant.
1. Pourquoi les deux alternatives du théorème sont-elles incompatibles ?
2. C est-il homéomorphe à D ?
3. Préliminaires
z−a
est une bijection holomorphe
(a) Pour a ∈ D, l’application ψa définie par ψa (z) = 1−āz
du disque D telle que ψa (a) = 0. Son inverse est ψ−a . Calculer son application
dérivée.
(b) Une fonction holomorphe qui ne s’annule pas sur un ouvert simplement connexe
admet une racine carrée : si f ∈ H(U ) ne s’annule pas, il existe g ∈ H(U ) telle que
g 2 (z) = f (z) pour tout z ∈ U .
2
4. Soit U un ouvert simplement connexe U ( C et a ∈ U . Définissions
H1 = {f ∈ H(U ), |f (z)| ≤ 1, ∀z ∈ U },
H2 = {f ∈ H(U ), f (a) = 0},
H3 = {f ∈ H(U ), f est injective ou constante}.
(a) Montrer que H3 est un fermé de H(U ).
Indication : on pourra commencer par montrer que si V est un ouvert connexe
et (gn )n une suite de fonctions holomorphes sur V ne s’annulant pas, telle (g n )
converge uniformément sur tout compact vers g, alors ou bien g est la fonction
nulle, ou bien g ne s’annule pas.
(b) On pose H = H1 ∩ H2 ∩ H3 . Montrer que H n’est pas réduit à la fonction nulle.
Indication : pour w ∈ C\U , on pourra considérer la racine carrée g sur U de
r
soit
l’application z 7→ z − w. Puis, bien choisir b et r de façon à ce que z 7→ g(z)+b
bien définie et soit “presque” un élément de H.
(c) Montrer que l’application
H −→
R
0
f 7−→ |f (a)|
atteint son maximum sur H en une application notée φ. Vérifier que φ 0 (a) 6= 0.
(d) Montrer que φ est une bijection holomorphe de U dans D.
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Fonctions elliptiques
Soient a1 et a2 deux nombres complexes non nuls R-linéairement indépendants. On note Λ le
réseau Za1 ⊕ Za2 . On dit qu’une fonction méromorphe f sur C est elliptique pour le réseau Λ
si
f (z + a) = f (z), ∀z ∈ C, a ∈ Λ.
On appelle parallélogramme fondamental associé à Λ tout parallélogramme de sommets z 0 , z0 +
a1 , z0 + a2 , z0 + a1 + a2 , avec z0 ∈ C.
1. Montrer qu’une fonction entière elliptique est constante.
2. Soit f une fonction elliptique pour le réseau Λ. On la suppose non constante. Soit P un
parallélogramme fondamental tel que ∂P ne contient aucun zéro et aucun pôle de f .
R
(a) Montrer que ∂P f dz = 0.
(b) Montrer que f possède dans P autant de zéros que de pôles, comptés avec multiplicité. Montrer que ce nombre est supérieur ou égal à 2.
(c) On note Z (resp. P ) la somme des zéros (resp. pôles) de f dans P comptés avec
multiplicités. Montrer que Z − P appartient au réseau Λ. Indication : on pourra
0
intégrer z ff ...
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Calcul d’intégrale
Calculer, pour n entier tel que n ≥ 2,
I=
Z
+∞
0
3
dx
.
1 + xn