TD d`Analyse Complexe 1 Existence de zéros 2

FIMFA, Février 2006
Rachel Ollivier
TD d’Analyse Complexe
II- Théorie de Cauchy, principe du maximum, théorème de l’application ouverte.
1 Existence de zéros
Soit fholomorphe au voisinage du disque fermé ¯ D(0,1), c’est-à-dire que fest holomorphe sur
un ouvert Ucontenant ¯ D(0,1).
On suppose que f(0) = 1 et |f|>1sur le cercle de centre 0et de rayon 1. Montrer que f
possède un zéro dans D(0,1).
2 “Division” d’une suite de fonctions holomorphes par z7→ z−a
Soit (gn)une suite de fonctions holomorphes sur un ouvert Ude C. On fixe a∈U, et on pose,
pour n∈Net z∈U,fn(z) = (z−a)gn(z). Montrer que si la suite (fn)converge uniformément
vers 0sur U, alors la suite (gn)converge uniformément vers 0sur U.
La conclusion est-elle maintenue si au lieu de supposer les fonctions gnholomorphes, on les
suppose continues ?
3 Fonctions entières
1. Que dire d’une fonction entière ftelle qu’il existe un polynôme réel Pde degré dtel
que pour tout z∈Con a |f(z)| ≤ P(|z|)?
2. En déduire les théorèmes de Liouville et celui de d’Alembert-Gauss.
3. Montrer que toute fonction holomorphe fde Cvers Ctelle que lim
z→∞ |f(z)|=∞est un
polynôme.
4 Lemme de Schwarz
Soit fholomorphe sur le disque ouvert D(0,1) telle que f(0) = 0 et pour tout z,|f(z)| ≤ 1.
Montrer que pour tout z∈D(0,1)
|f(z)| ≤ |z|,
et que si l’on a |f(a)|=|a|en un point anon nul de D(0,1), alors il existe un nombre complexe
λde module 1tel que pour tout z,f(z) = λz.
5 Groupe des automorphismes du disque unité
Soit Uun ouvert de C. On définit Γ(U)le groupe des bijections holomorphes de réciproques
holomorphes de Udans U. On appelle de telles bijections des automorphismes de U. On note,
pour Uouvert, ιUl’application identité de Udans U.
Soit Dle disque ouvert unité.
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1. Soit fholomorphe sur l’ouvert Dtelle que f(0) = 0. Montrer que f∈Γ(D)si et
seulement s’il existe λcomplexe de module 1tel que f=λιD.
2. Montrer que pour tout a∈D, l’application ϕadéfinie par
ϕa(z) = a−z
1−¯az
est un élément de Γ(D)d’inverse ϕa.
Remarque : De façon plus générale, pour A=a b
c d∈GL2(C),l’homographie associée
ψA:z→az+b
cz+dest une bijection holomorphe de C\{− d c}vers C\{a c}, de réciproque
ψA−1. En fait on a, pour A, B ∈GL2(C),ψA◦ψB=ψAB ... Nous reviendrons sur ces
homographies en travaillant sur les bijections holomorphes de la sphère de Riemann.
3. Décrire Γ(D).
4. Soit Uun ouvert connexe borné de C, et f:¯ U→Ccontinue, holomorphe sur U, telle
que |f|= 1 sur la frontière de U. Montrer que f(U)est un singleton ou bien D.
6 Fonctions harmoniques
1. Principe du maximum pour les fonctions harmoniques.
(a) Montrer qu’une fonction harmonique réelle non constante sur un ouvert connexe
n’admet pas d’extrémum local.
(b) Considérons maintenant un ouvert connexe borné non vide U. Pourquoi la frontière
de Uest-elle non vide ? Soient h1, h2des fonctions réelles continues sur l’adhérence
de Uqui, restreintes à U, sont harmoniques. On suppose qu’elles coïncident sur la
frontière de U. Montrer qu’elles sont égales.
2. R-Analycité des fonctions harmoniques. Soit Uun ouvert de Cet u:U→Cune
fonction. On dit que uest R-analytique sur Usi pour tout point (x0, y0)∈U, on peut
trouver un voisinage Vde (x0, y0)et une famille de nombres complexes (cp,q)p,q∈Ntels
que pour tout (x, y)∈Von puisse écrire
u(x, y) = X
p,q∈N
cp,q(x−x0)p(y−y0)q,
où la série double converge uniformément sur tous les compacts de V.
(a) Montrer qu’une fonction harmonique est R-analytique sur son domaine de défini-
tion. (indication : se servir de la question 5.1.(b) du TD précédent pour montrer
d’abord qu’une fonction harmonique au voisinage de 0s’écrit localement comme
la somme de deux séries Panznet Pbn¯znqui convergent normalement sur tout
compact de ce voisinage.)
(b) Soit hune fonction harmonique définie sur l’ouvert Ucontenant le segment [a, b].
On suppose que hs’annule une infinité de fois sur [a, b]. Après avoir montré que
l’on peut se ramener à un segment [a, b]⊂R, montrer que la fonction hest identi-
quement nulle sur [a, b].
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3. Caractérisation des demi-plans.
A) Soit Uun demi-plan complexe. Montrer que la fonction z7→ d(z, ∂U )est harmonique
sur U.
B) Soit Uun ouvert connexe non vide strict de C.
On suppose que la fonction ρ:z7→ d(z, ∂U )définie sur Cest harmonique sur U. Nous
allons montrer que Uest un demi-plan.
(a) Montrer que l’on peut se ramener au cas où Ucontient un point x0∈R,x0>0,
tel que ρ(x0) = x0et que le disque ouvert Dde centre x0et de rayon x0est alors
contenu dans U.
(b) i. Montrer que ρ(x) = xpour tout xappartenant à l’intervalle ]0, x0].
ii. Montrer que ρ(x) = xpour tout xappartenant à l’intervalle ]0,2x0[.
iii. Montrer que 2x0appartient à U, que ρ(2x0) = 2x0et 2D⊂U.
(c) On note Hle demi-plan H={<z > 0}.
i. Montrer que Hest la réunion des {2nD}n∈Net qu’il est contenu U.
ii. Montrer que z7→ ρ(z)− <(z)est positive sur H. En déduire qu’elle y est nulle.
iii. Montrer que ρ(∂H) = 0. L’ouvert Urencontre-t-il ∂H ? Conclure.
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