TD d`Analyse Complexe 1 Existence de zéros 2

FIMFA, Février 2006
Rachel Ollivier
TD d’Analyse Complexe
II- Théorie de Cauchy, principe du maximum, théorème de l’application ouverte.
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Existence de zéros
Soit f holomorphe au voisinage du disque fermé D̄(0, 1), c’est-à-dire que f est holomorphe sur
un ouvert U contenant D̄(0, 1).
On suppose que f (0) = 1 et |f | > 1 sur le cercle de centre 0 et de rayon 1. Montrer que f
possède un zéro dans D(0, 1).
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“Division” d’une suite de fonctions holomorphes par z 7→ z − a
Soit (gn ) une suite de fonctions holomorphes sur un ouvert U de C. On fixe a ∈ U , et on pose,
pour n ∈ N et z ∈ U , fn (z) = (z −a)gn (z). Montrer que si la suite (fn ) converge uniformément
vers 0 sur U , alors la suite (gn ) converge uniformément vers 0 sur U .
La conclusion est-elle maintenue si au lieu de supposer les fonctions g n holomorphes, on les
suppose continues ?
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Fonctions entières
1. Que dire d’une fonction entière f telle qu’il existe un polynôme réel P de degré d tel
que pour tout z ∈ C on a |f (z)| ≤ P (|z|) ?
2. En déduire les théorèmes de Liouville et celui de d’Alembert-Gauss.
3. Montrer que toute fonction holomorphe f de C vers C telle que lim |f (z)| = ∞ est un
z→∞
polynôme.
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Lemme de Schwarz
Soit f holomorphe sur le disque ouvert D(0, 1) telle que f (0) = 0 et pour tout z, |f (z)| ≤ 1.
Montrer que pour tout z ∈ D(0, 1)
|f (z)| ≤ |z|,
et que si l’on a |f (a)| = |a| en un point a non nul de D(0, 1), alors il existe un nombre complexe
λ de module 1 tel que pour tout z, f (z) = λz.
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Groupe des automorphismes du disque unité
Soit U un ouvert de C. On définit Γ(U ) le groupe des bijections holomorphes de réciproques
holomorphes de U dans U . On appelle de telles bijections des automorphismes de U . On note,
pour U ouvert, ιU l’application identité de U dans U .
Soit D le disque ouvert unité.
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1. Soit f holomorphe sur l’ouvert D telle que f (0) = 0. Montrer que f ∈ Γ(D) si et
seulement s’il existe λ complexe de module 1 tel que f = λι D .
2. Montrer que pour tout a ∈ D, l’application ϕ a définie par
ϕa (z) =
a−z
1 − āz
est un élément de Γ(D) d’inverse ϕa .
a b
∈ GL2 (C), l’homographie associée
Remarque : De façon plus générale, pour A =
c d
az+b
ψA : z → cz+d
est une bijection holomorphe de C\{− dc } vers C\{ ac }, de réciproque
ψA−1 . En fait on a, pour A, B ∈ GL2 (C), ψA ◦ ψB = ψAB ... Nous reviendrons sur ces
homographies en travaillant sur les bijections holomorphes de la sphère de Riemann.
3. Décrire Γ(D).
4. Soit U un ouvert connexe borné de C, et f : Ū → C continue, holomorphe sur U , telle
que |f | = 1 sur la frontière de U . Montrer que f (U ) est un singleton ou bien D.
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Fonctions harmoniques
1. Principe du maximum pour les fonctions harmoniques.
(a) Montrer qu’une fonction harmonique réelle non constante sur un ouvert connexe
n’admet pas d’extrémum local.
(b) Considérons maintenant un ouvert connexe borné non vide U . Pourquoi la frontière
de U est-elle non vide ? Soient h1 , h2 des fonctions réelles continues sur l’adhérence
de U qui, restreintes à U , sont harmoniques. On suppose qu’elles coïncident sur la
frontière de U . Montrer qu’elles sont égales.
2. R-Analycité des fonctions harmoniques. Soit U un ouvert de C et u : U → C une
fonction. On dit que u est R-analytique sur U si pour tout point (x 0 , y0 ) ∈ U , on peut
trouver un voisinage V de (x0 , y0 ) et une famille de nombres complexes (c p,q )p,q∈N tels
que pour tout (x, y) ∈ V on puisse écrire
X
u(x, y) =
cp,q (x − x0 )p (y − y0 )q ,
p,q∈N
où la série double converge uniformément sur tous les compacts de V .
(a) Montrer qu’une fonction harmonique est R-analytique sur son domaine de définition. (indication : se servir de la question 5.1.(b) du TD précédent pour montrer
d’abord qu’une fonction harmonique
au voisinage de 0 s’écrit localement comme
P
P
la somme de deux séries
an z n et
bn z̄ n qui convergent normalement sur tout
compact de ce voisinage.)
(b) Soit h une fonction harmonique définie sur l’ouvert U contenant le segment [a, b].
On suppose que h s’annule une infinité de fois sur [a, b]. Après avoir montré que
l’on peut se ramener à un segment [a, b] ⊂ R, montrer que la fonction h est identiquement nulle sur [a, b].
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3. Caractérisation des demi-plans.
A) Soit U un demi-plan complexe. Montrer que la fonction z 7→ d(z, ∂U ) est harmonique
sur U .
B) Soit U un ouvert connexe non vide strict de C.
On suppose que la fonction ρ : z 7→ d(z, ∂U ) définie sur C est harmonique sur U . Nous
allons montrer que U est un demi-plan.
(a) Montrer que l’on peut se ramener au cas où U contient un point x 0 ∈ R, x0 > 0,
tel que ρ(x0 ) = x0 et que le disque ouvert D de centre x0 et de rayon x0 est alors
contenu dans U .
(b)
i. Montrer que ρ(x) = x pour tout x appartenant à l’intervalle ]0, x 0 ].
ii. Montrer que ρ(x) = x pour tout x appartenant à l’intervalle ]0, 2x 0 [.
iii. Montrer que 2x0 appartient à U , que ρ(2x0 ) = 2x0 et 2D ⊂ U .
(c) On note H le demi-plan H = {<z > 0}.
i. Montrer que H est la réunion des {2 n D}n∈N et qu’il est contenu U .
ii. Montrer que z 7→ ρ(z) − <(z) est positive sur H. En déduire qu’elle y est nulle.
iii. Montrer que ρ(∂H) = 0. L’ouvert U rencontre-t-il ∂H ? Conclure.
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