Espaces topologiques

Chapitre 1
Espaces topologiques
La topologie est présente dans toutes les branches de l’analyse moderne et est
indispensable à tous ceux qui veulent pratiquer les mathématiques au delà du ni-
veau de la licence. D’une manière plus générale, elle fait partie des enseignements
qui fixent un saut au niveau de l’abstraction par rapport aux enseignements de la
deuxième année. Elle permet ainsi d’acquérir par la pratique, une méthode de rai-
sonnement puissant. Partant d’un nombre limité d’axiomes elle s’attache à définir
les notions usuelles et moins usuelles d’ouverts, de fermés, de continuité, d’ho-
méomorphismes, d’espaces compacts...
1.1 Espaces topologiques
Une topologie sur un ensemble Xest la donnée d’un ensemble Tde parties de
Xvérifiant les propriétés suivantes appelées axiome des ouverts.
(O1) ∅, X ∈ T
(O2) Si U, V ∈ T alors U∩V∈ T .
(O3) Si (Ui)i∈Iest une famille de parties de Xappartenant à Talors ∪i∈IUi∈ T .
L’ensemble Xmuni de la topologie T, est appelé espace topologique et parfois
noté (X, τ). Les parties de Xqui appartiennent à Tsont appelées parties ouvertes
ou ouverts de X.
Définition 1. Soit Aun sous-ensemble d’un espace topologique (X, T). On dit
que Aest un fermé ou partie fermée de Xsi le complémentaire de Adans Xest
ouvert, c’est à dire si l’on a, Ac∈ T .
Construction d’une topologie à partir des axiomes des fermés
La famille Fdes fermés d’un espace topologique (X, F)vérifie les propriétés
suivantes, appelées axiomes des fermés.
1

2CHAPITRE 1. ESPACES TOPOLOGIQUES
(F1) ∅, X ∈ F
(F2) Si A, B ∈ F alors U∪V∈ F.
(F3) Si (Ai)i∈Iest une famille de parties de Xappartenant à Falors ∩i∈IUi∈ F.
Réciproquement, on peut définir une topologie à partir des ensembles fermés.
C’est à dire qu’étant donné un ensemble de parties de Xvérifiant les axiomes
F1, F 2, F 3, l’ensemble des complémentaires de cet ensemble définit une topolo-
gie.
Exemples
1. L’ensemble Td=P(X)formé par l’ensemble des parties de Xdéfinit une
topologie appelée la topologie discrète. Un espace muni de la topologie dis-
crète est appelé un espace discret. L’ensemble Tg={∅, X}définit une to-
pologie appelée la topologie grossière.
2. Soit Xun ensemble, alors Tcf =∅ ∪ {U⊂X;Ucest fini}définit une
topologie sur Xappelée la topologie cofinie. Si l’ensemble Xest fini la
topologie cofinie est la topologie discrète. Si l’ensemble Xest infini deux
ouverts quelconques de la topologie cofinie ont une intersection non vide.
Définition 2. Soient (X, T)un espace topologique et B ⊂ T . On dit que Best
une base d’ouverts de Xou base de la topologie Tsi tout ouvert non vide de X
est réunion d’ouverts appartenant à B.
En général, il n’y a pas unicité de la base d’ouverts.
Proposition 1. Soient (X, T)un espace topologique et B ⊂ T . Les propriétés
suivantes sont équivalentes.
1. Best une base d’ouverts de X.
2. Pour tout U∈ T et tout x∈U, il existe B∈ B tel que x∈B∈⊂ U.
Démonstration. Montrons d’abord l’implication 1⇒2. Si Best une base d’ou-
verts, alors tout ouvert Upeut s’écrire sous la forme U=∪i∈JBi. Donc quelque
soit x∈U, il existe i∈Jtel que x∈Bi⊂U. Montrons maintenant la réciproque
2⇒1. Soit Uun ouvert. Alors pour tout x∈U, il existe un ouvert Bx∈ B tel que
x∈Bx⊂U. On a alors, U=∪x∈Ux⊂ ∪x∈Bx⊂U.
Par un raisonnement analogue, on voit donc que Uest ouvert si et seulement si
tout élément de Uest inclus dans un élément de la base d’ouverts, lui même inclus
dans U.
U∈ T ⇔ ∀x∈U, ∃B∈ B tel que x∈B⊂U
Construction d’une topologie à partir des axiomes des bases d’ouverts
Si Best une base d’ouverts, alors on a les propriétés suivantes :

1.1. ESPACES TOPOLOGIQUES 3
(B1) ∀x∈X,∃B∈ B tel que x∈B⊂X.
(B2) ∀B1, B2∈ B,∃B∈ B tel que x∈B⊂B1∩B2.
En effet, la propriété (B1) résulte du fait que Xest ouvert. propriété (B1) résulte
du fait que l’intersection des deux ouverts B1et B2est ouvert. Réciproquement, si
Xest un ensemble et si Best un sous-ensemble vérifiant les propriétés 1et 2alors
il existe une unique topologie Tsur Xpour laquelle Best une base d’ouverts. Il
suffit de prendre,
T={∅} ∪ {U⊂X;tel que Usoit réunion d’ensemble appartenant à B}
Autrement dit, un sous-ensemble Ude Xest un ouvert de Tsi et seulement si pour
tout x∈ T , il existe B∈ B tel que x∈B⊂U.
Exemples
1. Topologie de l’ordre. Soit (X, ≤)un ensemble totalement ordonné. Soit B
l’ensemble des parties de Xformé par les intervalles ouverts, les demi-droite
ouvertes et X. Alors Bvérifie les axiomes (B1) et (B2). L’unique topologie
sur Xpour laquelle Best une base est appelée la topologie de l’ordre.
2. La droite réelle. L’ensemble Rest totalement ordonné. Alors Bvérifie les
propriétés 1et 2ci-dessus. La topologie de l’ordre sur Rest appelée la to-
pologie usuelle de R(ou euclidienne). On peut remarquer que les intervalles
ouvrts forment également une base d’ouverts de la topologie usuelle.
3. La droite réelle achevée. Soit ¯ R={R∪+∞ ∪ −∞}. L’ensemble ¯ Rest
totalement ordonné. LA topogie de l’ordre sur ¯ Rappelée la topologie usuelle
de ¯ R.
Définition 3. Soit (X, T)un espace topologique et x∈X. On dit qu’une partie
Vde Xest un voisinage de xs’il existe un ouvert Ude Ttel que x∈U⊂V.
Plus généralement, soit Aune partie de X, on appelle voisinage de Atoute partie
Vde Xtelle qu’il existe un ouvert Uvérifiant A⊂U⊂V.
Exemple 1. Par exemple, dans Rmuni de la topologie usuelle et x∈R,]x−2, x+
1] est un voisinage de x.
Proposition 2. Pour qu’une partie d’un espace topologique soit un ouvert, il faut
et il suffit qu’il soit voisinage de chacun de ses points.
Démonstration. Si Oest un ouvert c’est un voisinage de chacun de ses points ;
Réciproquement, si Oest voisinage de chacun de ses points, alors, pour chaque
x∈O, il existe un ouvert Oxtel que x∈Ox⊂O. On a donc
O=∪x∈O{x}⊂∪x∈OOx⊂O.
Ce qui montre que Oest ouvert.

4CHAPITRE 1. ESPACES TOPOLOGIQUES
Construction d’une topologie à partir des axiomes des voisinages
Soit X, Tun espace topologique. On note V(x)la famille des voisinages de x. Les
familles V(x)de parties de X,x∈Xvérifient les propriétés suivantes appelées
axiomes des voisinages.
(V1) Pour tout x∈X,V(x)6=∅et pour tout v∈ V(x), on a x∈V.
(V2) Toute partie de Xqui contient un élément de V(x)appartient à V(x).
(V3) L’intersection de deux éléments de V(x)est élément de V(x).
(V4) Pour tout x∈Xet tout V∈ V(x), il existe W∈ V(x)tel que pour tout
y∈W, on ait V∈V(y).
Réciproquement, soit Xun ensemble quelconque, supposons donnée pour tout
x∈Xune famille V(x)de parties de Xvérifiant les propriétés 1) 2) 3) et 4),
alors il existe, une unique topologie sur Xtelle que pour tout x∈V(x),V(x)soit
la famille des voisinages de x. Il suffit de prendre :
T={∅} ∪ {U⊂X;U∈ V(x)∀x∈U}
On vérifie en effet que les hypothèses (V1),(V2), et (V3) assurent que Tainsi
définie est une topologie. Le point délicat est de vérifier que l’ensemble V(x)est
une famille de voisinages pour la topologie T. On donne ici la preuve :
Démonstration. Soit x∈Xet V∈ V(x). On veut montrer qu’il existe U∈ T tel
que x∈U⊂V. Soit :
U={a∈X;V∈ V(a)}
D’après (V1),x∈U⊂A. Par ailleurs d’après (V4), pour tout a/inU, il existe
Wa∈ V(a)tel que Vsoit un voisinage de tout élément de Wa. On en déduit que
U=∪a∈UWaest un voisinage de chacun de ses points. Donc U∈ T .
Définition 4. Soient (X, T)un espace topologique et x∈X. On appelle base de
voisinages de xtoute famille B(x)de voisinages de xtelle que pour tout voisinage
Vde x, il existe W∈ B(x)tel que W⊂V.
Notez que si B(x)est une base de voisinages de xalors on a,
V(x) = {V⊂X;il existeW∈ B(x)avec W⊂V
Exemple
Si Rest muni de la topologie usuelle et x∈R, l’ensemble des intervalles de la
forme ]x−1
n, x +1 n[constitue une base de voisinages du point xformée d’en-
sembles ouverts.

1.1. ESPACES TOPOLOGIQUES 5
Proposition 3. Soit (X, T)un espace topologique et B ⊂ T . Les propriétés sui-
vantes sont équivalentes.
1. Best une base d’ouverts de X.
2. Pour tout x∈X, la famille {U∈ B;x∈U}est une base de voisinages de
x.
Démonstration. Montrons d’abord l’implication 1⇒2. On suppose que Best une
base d’ouverts de X. Soit x∈X, et Vun voisinage de x. Alors Vcontient un
ouvert Oqui contient x. On peut alors écrire Ocomme l’union d’éléments de B. Il
existe une famille Bi, i ∈I, d’éléments de Btelle que
O=∪i∈IBi.
Mais alors, il existe i∈Itel que x∈Bi. Donc,
x∈Bi⊂O⊂V.
Donc pour tout x∈X, la famille {U∈ B;x∈U}est une base de voisinages de
x. Montrons maintenant l’implication 2⇒1. Supposons que pour tout x∈X, la
famille {U∈ B;x∈U}soit une base de voisinages de x. Soit Oun ouvert de
X. Alors, O est un voisinage de chacun de ses points, et donc pour tout x∈O, il
existe Bx∈ B tel que x∈Bx⊂O. Alors,
O=∪x∈O{x} ⊂ ∪x∈O{Bx} ⊂ O.
Ce qui prouve que Best une base d’ouverts de O.
Construction d’une topologie à partir des axiomes de bases de voisinages
Soit (X, T)un espace topologique et pour tout x∈X, soit B(x)une base de
voisinages de xformée d’ensemble ouverts. Alors les familles B(x)de parties de
X,x∈Xvérifient les propriétés suivantes appelées axiomes de Hausdorff.
(H1) Pour tout x∈X,B(x)6=∅, et pour tout U∈ B(x), on a x∈U.
(H2) Pour tout x∈X, et pour tout U1, U2∈ B(x), il existe U3∈ B(c)tel que
U3⊂U1∩U2.
(H3) Pour tout U∈ B(x)et pour tout y∈Uil existe W∈ B(y)tel que W⊂U.
Réciproquement, soit Xun ensemble quelconque et supposons donnée pour tout
x∈X, une famille B(x)de parties de Xvérifiant les propriétés 1,2et 3, alors il
existe une unique topolologie Tde Xtelle que pour tout x∈X,B(x)soit une
base de voisinages de xformée d’ensemble ouverts. En effet, soit B=∪x∈XB(x).
Alors Bvérifie les axiomes de construction d’une topologie à partir d’une base