sujet

G23L
J. 5048
concours
CONCOURS ENSAM - ESTP - ENSAIS - ECRIN - ARCHIMEDE
Epreuve de Mathématiques
B
durée 4 heures
L'usage de calculatrices est interdit
Exercice 1
R désigne l'ensemble des nombres réels et n est un entier naturel non nul.
Dans tout l'exercice,
(a,) est une suite d'Cléments non nuls de R. On lui associe la suite
( p, ) définie par : p, = n ak . Lorsque ( p, converge, on note p sa limite.
Lorsque
(p,) diverge vers + CO (respectivement vers - CO), on dit que (p,) admet + CO
(respectivement vers - CO) pour limite.
n
k=l
Première partie
1 O Donner un exemple de suite (a,), telle que (p,) converge vers p = O .
2" Prouver que, si (p,) converge versp différent de O, alors (a,) converge vers 1.
3" On suppose dans cette question qu'il existe un entier naturel no tel que :
a, > O , pour n > no .
n
On pose, pour n supérieur à no, q, = nak .
k=no +1
a) Pour n supérieur à no , exprimer q, en fonction de p, et de p,, .
b) Montrer que, si la série xln(a,) converge, alors la suite (p,) converge et quep
c) On suppose que la suite des sommes partielles de la série
xln(a,) diverge vers
+ CO ou - CO. Préciser dans chacun de ces deux cas la limite de la suite (p,) .
est non nul.
Dans ce qui suit, on définit
u, par : a, = 1 + u, .
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4" On suppose dans cette question que, pour tout n, on a : un 2 O.
Démontrer que la suite (p,) converge vers p > O si et seulement si la série Cu, converge.
5" On suppose dans cette question que la série Cu, converge.
a) Montrer que, si la série
nul.
b) Montrer que, si la série
Xun2 diverge, alors la suite (p,) converge et p = O.
u: converge, alors la suite (p,) converge et p est non
6" Prouver que, si la série Cu, est absolument convergente, alors la suite (p,) converge et
p est non nul.
Deuxième Dartie
Les quatre questions qui suivent sont indépendantes l'une de l'autre. On pourra les traiter en
utilisant les résultats établis dans la première partie,
à condition de s'y référer de manière très
précise.
1 O Etudier la convergence et déterminer la limite de (p,) dans les deux cas suivants :
1
n
a) a,=l+-.
b) a, = 1 + (-l),- Un)
&*
-12 h
e dt=-.
2
2" On rappelle que
2" -t2
On pose : a, = JO e dt . La suite (p,) est-elle convergente ?
3" Soit (un) une suite de nombres réels vérifiant : 1 + un + O pour n 2 1 . On pose :
1 1
Pn Pn-1
a) Pour n > 1, exprimer v, en fonction de - et de - .
b) On suppose dans cette question que la série Xun2 converge.
il Etablir que la convergence de la série
Cu, implique la convergence de la
série
Cv, .
ii) La convergence de la série
Zv, implique-t-elle la convergence de la
série
Cu, ? Justifier.
c) Déterminer une suite
(u,) telle que la série C un converge et la série
v,
diverge.

4” Soit a un réel strictement positif, et a, = 1 + sin où c est un nombre réel tel que pour
tout
n , un soit non nul.
a) Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur
a et c pour que (p,)
converge vers O.
b) On suppose que : a = 1.
Etudier la convergence de la série zp,, .
[ On pourra utiliser la convergence vers un réel noté y de la suite (t,) où
1 1
2 Il
t, =1+-+ ...... +--ln(n) 3.
Exercice 2
R désigne l’ensemble des nombres réels et n est un entier naturel, n 2 2.
On introduit les notations suivantes :
M,(R) est l’ensemble des matrices carrées d’ordre n à coefficients réels, A4?,>l(R) est
l’ensemble des matrices
à n lignes, une colonne et à coefficients réels.
GL,(R) est l’ensemble des matrices inversibles de M,(R),
O,(R) est l’ensemble des matrices orthogonales de M,(R),
S,(R) est l’ensemble des matrices symétriques de M,(R), Si(R) est l’ensemble des
matrices deS,(R) dont toute valeur propre est positive ou nulle, S;’(R) est l’ensemble des
matrices de
S, (R) dont toute valeur propre est strictement positive,
TS,(R) est l’ensemble des matrices triangulaires supérieures de M,(R), TS,:+(R) est
l’ensemble des matrices de
TS, (R) dont les coefficients diagonaux sont strictement positifs.
On rappelle que TS,(R) est stable pour la multiplication des matrices et que si une matrice de
TS,(R) est inversible, son inverse appartient
à TSn(R) .
Pour toute matrice M on note *A4 la transposée de A4 et det( M) le déterminant de A4 lorsque
A4 est une matrice carrée.
E et F étant deux R-espaces vectoriels de dimensions finies de bases u et v respectivement et
g une application linéaire de E vers F, M,,,(g) désigne la matrice de g dans les bases u et v.
1 O Rn est muni du produit scalaire usuel noté ( 1 ) , donc si x = ( xl , x2,. . . . . ,xn) et
n
y = ( yl ,y2,. . . . . ,y,) sont des éléments de Rn on a : (x 1 y) =
b = (el ,e2,. . . . .,en) est la base canonique de Rn .
Soit A un élément de GL,(R) etf l’endomorphisme de Rn tel que : Mb,b(.f) = A .
xkyk .
k=l
a) Pour tout i élément de { 1,2,. . . . .,n }, on pose : el = f(ej) .
Prouver que b‘ = (e’, ,e>, . . . . .,eX) est une base de Rn .
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