Polycopié de cours ici. - LAMFA - Université de Picardie Jules Verne

UNIVERSITÉ DE PICARDIE JULES VERNE
Faculté des Sciences
Année universitaire 2011−2012
MASTER — Mention Physique
Mécanique des Milieux Continus
S. DUMONT
Université de Picardie Jules Verne, Faculté des Sciences,
33, rue Saint-Leu, 80039 Amiens Cedex 1, France
Table des matières
1
2
3
4
5
Description du mouvement d’un milieu continu
5
1.1
Description de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2
Description d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3
Rapport entre les deux points de vue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.4
Etude de la déformation
8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lois de conservation
11
2.1
11
Conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Conservation de la quantité de mouvement
15
3.1
Efforts extérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.2
Efforts intérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.3
Conservation de la quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.4
Tenseur des contraintes de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.5
Equations d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3.6
Cercles de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
Conservation de la quantité d’énergie
25
4.1
Conservation de l’énergie (premier principe de la thermodynamique) . . .
25
4.2
Deuxième principe de la thermodynamique –
Inégalité de Clausius-Duhem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
Elasticité linéaire
29
5.1
Définition d’un milieu élastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
5.2
Equations linéarisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
5.3
Conséquences d’une énergie de déformation . . . . . . . . . . . . . . . .
35
5.4
Isotropie, loi de Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
5.5
Equations de Navier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
5.6
Equations de compatibilité et de Beltrami . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
1
2
6
7
TABLE DES MATIÈRES
Généralités sur les fluides
41
6.1
6.2
Loi de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Statique des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
42
6.3
Dynamique des fluides, équation de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . .
44
Le principe des puissances virtuelles en mécanique
7.1 Analyse pour un système de points matériels . . . . . . . . . . . . . . . .
47
47
7.2
Application de la méthode des puissances virtuelles en MMC . . . . . . .
50
7.3
7.4
Formulation faible des équations de la dynamique . . . . . . . . . . . . .
Théorème de l’énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
52
Bibliographie
53
Chapitre 1
Description du mouvement d’un milieu
continu
1.1
Description de Lagrange
La configuration du milieu continu Ωt est décrite à l’instant t à partir de sa configuration
d’origine Ω0 à l’instant t = 0. En d’autres termes :
→
− →
−
→
−
x (t) = φ ( X , t).
→
− →
−
φ ( X , t)
→
−
e3
M0
Mt
→
−
x (t)
→
−
X
Ω0
Ωt
t=0
t
O
→
−
e1
Définition 1. On appellera :
– variables de Lagrange : (X1 , X2 , X3 , t).
– inconnues de Lagrange : φi (X, t), i = 1, 2, 3.
3
→
−
e2
4
1 – Description du mouvement d’un milieu continu
→
−
Loi physique 1. La fonction φ est bijective (impénétrabilité de la matière). Le jacobien
→
−
de φ doit donc être non nul. Dans la pratique, on le prendra strictement positif.
Notations : On notera :
∂φi
(matrice jacobienne).
– Fij =
∂Xj
– J = det(F ) (jacobien).
→
−
→
− →
−
−
∂φ →
– vitesse :
V ( X , t) =
( X , t).
∂t
→
−
→
− →
−
−
∂2 φ →
– accélération :
Γ ( X , t) =
(
X , t).
∂t 2
→
−
→
− →
−
→
−
Propriété : La fonction φ vérifie : φ ( X , t = 0) = X .
Mouvement particulier : mouvement de solide rigide. Au cours du mouvement, la distance
→
−
entre deux points du solide est conservée, donc φ est une isométrie. On peut donc écrire :
→
− →
−
→
− →
−
φ ( X , t) = R(t) X + C (t)
→
−
où R est une matrice de rotation (t RR = Id) et C est un vecteur de translation.
1.2
Description d’Euler
Le mouvement est décrit par la donnée de la vitesse d’une particule qui passe par un
−
−
−
point →
x fixe à l’instant t, notée →
v (→
x , t) (penser à un capteur de vitesse placé en un
→
−
point x fixe).
−
Attention : →
x est une variable d’espace qui désigne un point de l’espace mais pas une
particule.
Définition 2. On appellera
– variables d’Euler : (x1 , x2 , x3 , t).
−
– inconnues d’Euler : v (→
x , t), i = 1, 2, 3.
i
Lignes de courant : On appelle lignes de courant, à l’instant t fixé, une courbe qui en
tout point est tangent à la vitesse en ce point.
1.3 – Rapport entre les deux points de vue
5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
Figure 1.1 – Champs de vitesses avec lignes de courant (pointillé) et trajectoire (ligne
continue)
1.3
Rapport entre les deux points de vue
1.3.1
Vitesses
On a :
→
− →
−
→
− →
−
→
−
v ( φ ( X , t), t) = V ( X , t)
→
− →
−
→
−
−
−
v (→
x , t) = V ( φ −1 (→
x , t), t)
(1.1)
(Passage Lagrange −→ Euler).
1.3.2
Trajectoires
On a également :
(
−
→ −
∂φ →
∂t ( X , t)
→
− →
−
φ ( X , 0)
→
− →
−
−
=→
v ( φ ( X , t), t)
→
−
=X
(1.2)
(Passage Euler −→ Lagrange).
→
− →
−
−
(on fera souvent l’abus de notation : →
x (t) = φ ( X , t)). La résolution de ce système différentiel permet donc de reconstituer les trajectoires à partir d’une description
euliérienne.
1.3.3
Mouvements particuliers :
1. Mouvement de solide rigide.
−
−
Cours de licence : le champ des vitesses est un torseur, ce qui s’écrit : →
v (→
x , t) =
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
ω (t) ∧ x + c (t). Le vecteur ω représente la rotation, et le vecteur c est la
translation.
6
1 – Description du mouvement d’un milieu continu
2. Mouvement stationnaire
−
La vitesse en un point →
x est indépendante du temps (en coordonnées eulérienne),
par contre la vitesse lagrangienne d’une particule dépend du temps.
Exemple : rotation à vitesse constante d’une particule
−
−
−
−
−
−
−
autour d’un axe : →
v (→
x , t) = →
ω ∧→
x +→
c où →
w et →
c
x
sont indépendants du temps.
Remarque : Dans un mouvement permanent, les trajectoires et les lignes de courant sont
confondues.
1.3.4
Accélération – Dérivée particulaire
L’accélération est la dérivée de la vitesse d’une particule, donc
→
−
−
γ (→
x , t) =
=
− →
−
d →
dt v ( x (t), t)
− →
−
→
− →
−
→
− →
−
∂ →
∂t v ( x , t) + ∇ v ( x , t) v ( x , t)
=
− →
−
∂ →
∂t v ( x , t)
→
− − 2
+ 12 ∇(k→
vk )
→
−
−
x (t) représente la particule passant par →
x à l’instant t.
→
− →
−
→
− →
−
−
Remarque : On a →
γ ( φ ( X , t), t) = Γ ( X , t).
1.4
Etude de la déformation
On étudie ici comment a évolué, au premier ordre, un voisinage d’un point M0 .
1.4 – Etude de la déformation
Ω0
7
Ωt
→
− →
−
φ ( X , t)
−
h→
v
→
−
hV
−
→
hW
→
−
e3
→
− −
→
φ (X1 , t)
−
h→
w
→
− →
−
φ ( X , t)
−
→
X1 →
−
X−
→
X2
→
− −
→
φ (X2 , t)
→
−
e2
→
−
e1
On définit :
→
−
→
−
→
−
X1 = X + hV
→
−
→
−
−
→
X 2 = X + hW
→
− −
→
−
−
−
où h est petit. On s’intéresse aux vecteurs →
v et →
w définis par : h→
v = Φ (X1 , t) −
→
− →
−
→
− −
→
→
− →
−
−
Φ ( X , t) et h→
w = Φ (X2 , t) − Φ ( X , t). Le but de ce paragraphe est d’étudier le lien entre
→
−
−
→
→
−
−
v,→
w et V et W , au premier ordre en h.
→
−
−
→
−
−
Remarque : Le vecteur h V (resp. hW ) est parfois noté d →
x (resp. d →
y ).
On a, au premier ordre :
→
− →
−
→
−
→
− →
−
→
−
φ ( X + h V ) ' φ ( X ) + hF V
⇔
→
−
→
−
v 'FV
→
−
−
→
→
− →
−
−
→
→
− →
−
−
→
où F = ∇φ( X ). De même, pour un autre vecteur W , on a φ ( X + hW ) ' φ ( X ) + hF W
−
→
−
donc →
w ' FW.
→
− −
→
Comment évolue le produit scalaire V · W ? (ceci va nous permettre d’obtenir des informations sur l’évolution des angles et des longueurs lors d’une transformation).
→
− −
→
V · W devient :
−
→
−
→
→
−
−
→
→
−
−
v ·→
w = (F W ) · (F W ) =t V t F F W
→
− −
→
≡t V C W
→
− −
→
→
− −
→
≡ V · W + 2 V eW
8
1 – Description du mouvement d’un milieu continu
Définition 3.
– C =t F F est le tenseur des dilatations de Cauchy-Green ;
– e = 12 (C − Id) est le tenseur des déformations de Green-Lagrange.
→
−
Propriétés 1. Si φ décrit un mouvement de solide rigide, alors F est une matrice orthogonale, donc C = Id et e = 0.
1.4.1
Transformation des longueurs
On étudie :
→
−
• λ( V ) =
→
−
V ;
•
−
→ −
→ −
→ −
→
| φ (X1 )− φ ( X )|
−
→ −
→
|X1 − X |
→
−
→
−
δ( V ) = λ( V ) − 1 =
=
−
→ −
→ −
→ −
→ −
→
| φ ( X +h V )− φ ( X )|
−
→ −
→ −
→
| X +h V − X |
−
→
→
|−
v |−| V |
−
→
|V |
=
→
|−
v|
−
→
|V |
=
−
→
|F V |
−
→
|V |
: dilatation dans la direction
→
−
: allongement unitaire dans la direction V .
→
−
−
→
−
→
− →
−
−
−
v |2 = →
v ·→
v = | V |2 λ2 ( V ) 't V C V
• On a |→
√
→
−
C VV
−
ei ) = Cii .
donc λ2 ( V ) = Viji Vii j , donc en particulier λ(→
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
• On a λ( V ) = 1 + δ( V ) donc λ2 ( V ) = (1 + δ( V ))2 ' 1 + 2δ( V ) si δ( V ) est petit.
→
→ −
→
−
t−
CV
On en déduit 1 + 2δ( V ) ' V−
→2 ,
|V |
−
→
−
→
→
→ −
→
−
t−
1 t V (−Id+C) V
eV
= V−
d’où δ( V ) ' 2
−
→2
→2 .
|V |
1.4.2
|V |
Transformation des angles
On a :
→
− →
−
→
− −
→
→
− −
→
→
− −
→
→
−
−
−
−
v ·→
w = |→
v ||→
w |cos(θ) = | φ (h V )| | φ (hW )| cos(θ)/h2 =t V C W , où θ( V , W ) =
−
−
angle entre →
v et →
w.
donc cos(θ) =
→ −
→
t−
V CW
→ −
→
t−
V CW
−
→ −
→
−
→
−
→ .
| V | |W | λ( V ) λ(W )
→
−
→
−
cos θ( e1 , e2 ) = √C11C12√C22 .
→
→
|−
v | |−
w|
donc, par exemple,
=
On a donc interprété tous les coefficients du tenseur C.
Chapitre 2
Lois de conservation
2.1
Conservation de la masse
Répartition des masses :
−
• Pour un milieu continu, on donne une densité massique ρ(→
x , t) (masse par unité de
volume).
• Soit Ωt un système matériel, une partie Pt ⊂ Ωt de ce système, alors la masse de
Pt est :
Z
−
ρ(→
x , t) dx
M(Pt ) =
Pt
Remarques : • On se limitera à des parties Pt ⊂ Ωt suffisamment régulières (au moins
mesurables).
• l’indice "t" signifie que les domaines suivent les particules, et sont donc mobiles.
Loi physique 2. Pour toute partie Pt ⊂ Ω suivie dans son mouvement, on a :
M(Pt ) = Cte(t)
d
M(Pt ) = 0 (Euler), ou M(Pt ) = M(P0 ) pour tout t > 0
dt
Cette loi s’écrit aussi :
(Lagrange).
2.1.1
(2.1)
Point de vue de Lagrange
Z
−
ρ(→
x , t) dx =
Dans ce cas, on a
Pt
→
−
ρ0 ( X ) dX où ρ0 est la densité massique à
Z
P0
l’instant t = 0.
→
− →
−
−
En faisant le changement de variable →
x = φ ( X , t), on obtient
Z
Z
→
− →
−
→
−
ρ( φ ( X , t), t)J dX =
ρ0 ( X ) dX
P0
P0
9
10
2 – Lois de conservation
donc
Z
(ρJ − ρ0 ) dX = 0
(2.2)
P0
pour toute partie P0 suffisamment régulière de Ω0 .
2.1.2
Point de vue d’Euler
Dans ce cas, la loi de conservation de la matière s’écrit
Z
d
d
−
M(Pt ) =
ρ(→
x (t), t) dx = 0.
dt
dt Pt
On en déduit :
Z
(
∂ρ
+ div (ρv )) dx = 0
∂t
(
dρ
+ ρdiv (v )) dx = 0
dt
Pt
ou encore
Z
Pt
(2.3)
ceci pour toute partie Pt de Ωt .
Démonstration
Z
Z
→
− →
−
d
d
→
−
ρ( x (t), t) dx =
ρ( φ ( X , t), t)J dX
dt Pt
Zdt P0 h
i
→
− →
−
d
ρ( φ ( X , t), t)J dX
=
ZP0 dt h
i
→
− →
−
→
− →
−
d
d h i
=
ρ( φ ( X , t), t) J + ρ( φ ( X , t), t)
J dX
dt
ZP0 dt
dρ
=
(
+ ρdiv (v )) dx
Pt dt
car on a
d
dt J
−
= J div →
v (voir feuille 1, exercice 5).
Résultats mathématiques : Soit D un ensemble de parties de Ω denses dans Ω, on a le
résultat :
Si ϕ est une application intégrable de Ω dans IR et si
ensemble ω ∈ D alors ϕ(x) = 0 pour presque tout x ∈ Ω.
R
ω
ϕ(x)dx = 0 pour tout sous
Remarque : D n’est pas nécessairement un ensemble de parties denses dans Ω. On pourrait
prendre une famille de voisinages intégrables de chaque point de Ω, inclus dans Ω.
En conclusion, on a donc :
Point de vue de Lagrange :
ρJ = ρ0
(2.4)
(loi de conservation de la masse).
2.1 – Conservation de la masse
Point de vue d’Euler :
dρ
−
+ ρdiv (→
v)=0
dt
→
−
ou encore ∂ρ
∂t + div (ρ v ) = 0
11
(2.5)
(équation de continuité).
−
Cas des milieux incompressibles : Ces milieux vérifient div →
v = 0 on a donc
dρ
dt
= 0, ce
qui signifie que la densité massique est constante par particule. Mais on n’a pas que ρ est
constante dans tout l’espace !
−
Cas des milieux homogènes : Ils vérifient ρ = Cte(→
x , t).
Propriétés 2 (importante). Soit c une fonction de Ω × (0, ∞) dans IR, suffisamment
régulière, alors on a la propriété :
Z
Z
d −
d
→
−
→
−
−
ρ( x , t)c( x , t)dx =
ρ(→
x , t) c(→
x , t)dx
dt Ωt
dt
Ωt
Démonstration :
Z
Z
d
d
→
−
→
−
ρ( x (t), t) c( x (t), t)dx =
ρCJ dX
dt Ωt
dt ZΩ0
d
=
ρ0 C dX
dt
Z Ω0
∂C
dX
=
ρ0
ZΩ0 ∂t
∂C
=
ρ J dX
ZΩ0 ∂t
dc
=
ρ
dx
Ωt dt
(2.6)
Euler → Lagr ange
Conser v ation masse
Dér iv ation
Conser v ati on masse
Lagr ange → Euler
On peut faire aussi une démonstration à l’aide de l’équation de continuité (voir exercice).
Chapitre 3
Conservation de la quantité de
mouvement
Dans ce chapitre, nous travaillerons en coordonnées eulériennes uniquement.
3.1
Efforts extérieurs
Les efforts extérieurs à un corps Ω sont les efforts exercés par le complémentaire de Ω
sur Ω.
On supposera qu’ils sont décrits par :
→
− −
−
– une densité volumique de force →
x ∈ Ω 7−→ f (→
x , t)
exemple : pesanteur, champ magnétique, . . .
→
− −
−
– une densité surfacique de force →
x ∈ ∂Ω 7−→ F (→
x , t)
exemple : effort du mur sur le cylindre.
Ω
Sous ces hypothèses, les milieux continus ne sont pas succeptibles d’encaisser des
efforts concentrés (linéiques, ponctuels, . . . ).
→
− →
−
On définit le torseur associé
Z à (f , F) : Z
→
−
→
−
→
−
– de résultante : R =
f (x)dx +
F (x)ds
Ω
∂Ω
Z
Z
→
−
−−→
→
−
– de moment en O : MO =
x ∧ f (x)dx +
Ω
∂Ω
13
→
−
→
−
x ∧ F (x)ds
14
3 – Conservation de la quantité de mouvement
Rappel : Si Ω est en équilibre, le torseur associé aux efforts extérieurs est nul, la réciproque
étant fausse :
B
F
−F
A
3.2
C
Efforts intérieurs
Soit P une partie de Ω. Les efforts intérieurs sont l’ensemble des actions de Ω \ P sur
P.
Hypothèse 1 (de Cauchy). L’action de Ω \ P sur P peut être représentée au point M par
→
−
−
une densité surfacique de force T (M, t, →
n ) sur la surface ∂P. Cette densité ne dépend
−
que du temps t, du point M ∈ ∂P et de la normale →
n en M à ∂P.
Exemples intuitifs
1. Action de ∂P sur P :
Si on coupe le fil et qu’on veut garder le même état
que précédemment, on doit mettre une force locale
(placer par exemple une masse égale à l’ancienne
masse plus masse du fil coupé), donc le fil qu’on a
coupé n’exerce pas de force à distance.
→
−
2. T dépend de P.
P
x
P
P
P
→
− −
→
− −
Dans ce cas, on n’a pas T (→
x ) = T̃ (→
x ).
−
Si ∂P et ∂ P̃ ont même plan tangent en →
x et sont
→
− −
→
− →
−
du même côté de ce plan, alors T ( x ) = T̃ (→
x ).
x
En fait, c’est aussi dire que les influences sont locales et du premier ordre. Localement, dans le premier cas P =
6 P̃, alors que dans le deuxième on a P = P̃.
Conséquences :
→
−
−
– comme T ne dépend que du plan tangent à P en →
x , et du côté duquel P se trouve,
on peut prendre le vecteur normal extérieur.
→
−
−
– Sachant que k→
n k = 1, le vecteur contraintes T dépend de 5 variables d’espace et
de 1 variable de temps.
3.3 – Conservation de la quantité de mouvement
3.3
15
Conservation de la quantité de mouvement
Hypothèse 2. Il existe une chronologie (dite Galiléenne) et un repère (dit Galiléen), tels
que, pour cette chronologie et dans ce repère, pour tout système matériel, la dérivée par
rapport au temps du torseur des quantités de mouvement est égal au torseur des forces
extérieures appliquées à ce système.
Equations correspondantes On écrira ici P pour Pt .
– Quantité de mouvement
Z
→
−
−
– Résultante : R =
ρ→
v dx
P
Z
−−→
→
−
−
– Moment en O : MO =
x ∧ ρ→
v dx
P
– Efforts extérieurs à PZ
Z
→
−
→
−
→
−
– Résultante : R =
f dx +
T ds
P
∂P
Z
Z
→
−
−−→
→
−
x ∧ f dx +
– Moment en O : MO =
P
→
−
→
−
x ∧ T ds
∂P
On a donc, pour toute partie P incluse dans Ω, suffisamment régulière :
d
dt
d
dt
Z
P
Z
−
ρ→
v dx =
P
Z
P
→
−
−
x ∧ ρ→
v dx =
Z
P
→
−
f dx +
→
−
T ds
Z
(3.1)
∂P
→
−
→
−
x ∧ f dx +
Z
→
−
→
−
x ∧ T ds
(3.2)
∂P
Remarque : A l’aide de l’équation de continuité (2.6), on a aussi que
Z
Z
d
→
−
−
ρ v dx =
ρ→
γ dx
dt P
P
Z
Z
d
→
−
→
−
→
−
−
x ∧ ρ v dx =
x ∧ ρ→
γ dx
dt P
P
3.4
Tenseur des contraintes de Cauchy
L’objectif de ce paragraphe est de démontrer le théorème suivant (Cauchy, 1822) :
→
− −
−
−
Théorème 1. Le vecteur contrainte T (→
x , t, →
n ) dépend linéairement de →
n , c’est à dire
→
−
qu’il existe un tenseur σ( x , t) symétrique tel que :
→
− →
−
−
−
T (−
x , t, →
n ) = σ(→
x , t) →
n
(3.3)
16
3 – Conservation de la quantité de mouvement
Définition 4. Le tenseur σ défini dans le théorème précédent est le tenseur des contraintes
de Cauchy.
Afin de démontrer le théorème, on va utiliser le lemme suivant :
Lemme 1. On a
→
− →
→
− −
−
−
T (−
x , t, →
n ) = − T (→
x , t, −→
n)
(3.4)
Démonstration
P2 P
n
000000000000
111111111111
π
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
A
x
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
P1
P = P1 ∪ P2
A=P ∩Π
0
On écrit la relation (3.1) du paragraphe précédent sur des parties P, P1 et P2 de Ω :
d
dt
Z
−
ρ→
v dx =
Z
P
d
dt
Z
d
dt
Z
→
−
f dx +
P
−
ρ→
v dx =
P1
Z
P2
Z
P2
(3.5)
∂P
→
−
f dx +
P1
−
ρ→
v dx =
→
−
T ds
Z
Z
→
−
T ds
(3.6)
→
−
T ds
(3.7)
∂P1
→
−
f dx +
Z
∂P2
et en faisant (3.5)−(3.6)−(3.7), il vient
Z
→
− →
→
− −
−
−
T (−
x , t, →
n ) + T (→
x , t, −→
n )ds = 0
A
→
− −
→
− −
−
−
−
et ceci pour tout A, voisinage d’un point →
x0 de Ω, donc T (→
x , t, →
n ) = − T (→
x , t, −→
n)
(connu aussi sous le nom de théorème de l’action et de la réaction).
A l’aide de cette relation et de l’argument du tétraèdre où on essaye de calculer
→
− →
→
− −
→
− −
→
− −
−
−
−
−
−
T ( x , t, →
n ) et fonction de T (→
x , t, →
e1 ), T (→
x , t, →
e2 ) et T (→
x , t, →
e3 ), à l’aide de l’équa→
− →
→
− −
→
−
→
−
→
−
→
−
−
−
−
tion (3.5) on montre que si n = α e1 + β e2 + γ e3 , alors T ( x , t, →
n ) = α T (→
x , t, →
e1 ) +
→
− →
→
− →
−
→
−
−
→
−
β T ( x , t, e2 ) + γ T ( x , t, e3 ).
3.5 – Equations d’équilibre
17
→
−
e3
→
−
−
−
−
n = α→
e1 + β →
e2 + γ →
e3
γ
→
−
e2
β
α
→
−
e1
→
−
−
d’où la linéarité de T par rapport à →
n (voir par exemple [1], page 45). Donc il existe
→
−
σ( x , t) (tenseur des contraintes de Cauchy) tel que
→
− →
−
−
−
T (−
x , t, →
n ) = σ(→
x , t))→
n.
(3.8)
On montrera la symétrie du tenseur σ dans le paragraphe suivant.
3.5
Equations d’équilibre
Maintenant que l’on a la relation (3.3), on peut remplacer cette expression dans (3.5),
ce qui donne :
Z
Z
Z
→
−
d
→
−
−
ρ v dx −
σ→
n ds
f dx =
dt P
P
∂P
ou encore, grâce à la formule de Stokes et à l’équation de continuité :
Z Z
→
−
→
−
ρ γ − f dx =
div σ dx
P
P
pour toute partie P de Ω suffisamment régulière. On obtient ainsi le théorème suivant :
Théorème 2. Dans toute évolution régulière, dans un référentiel Galiléen :
→
−
−
ρ→
γ = div σ + f
−
∀t > 0, ∀→
x ∈ Ωt
(3.9)
→
−
→
−
−
Par définition du vecteur T , on a sur le bord de Ω : σ →
n = F si une force extérieure
→
−
F est appliquée en ce point sur le bord ∂Ω.
Si l’on note ΓF = ∂ΩF la partie du bord de Ω où est appliquée une force extérieure, on
a alors les équations de la dynamique
(
→
−
−
ρ→
γ = div σ + f
→
−
−
σ→
n = F
−
∀t > 0, ∀→
x ∈ Ωt
sur ΓF
(3.10)
18
3 – Conservation de la quantité de mouvement
Définition 5. Soit un milieu continu qui occupe une région Ω et est soumis à une densité
→
−
→
−
de forces volumiques f dans Ω et une densité surfacique de forces F sur une partie ΓF
de sa frontière ∂Ω. On dira qu’un champ de contraintes est statiquement admissible s’il
vérifie les équations d’équilibre :
(
→
−
→
−
div σ + f = 0 dans Ω
→
−
−
σ→
n = F
sur ΓF
(3.11)
On désignera par Σad l’ensemble des champs de contraintes statiquement admissibles.
Remarque : Le tenseur des contraintes σ est symétrique.
Preuve : La symétrie de σ provient de l’equation (3.2). En effet, en utilisant l’équation
sur les moments :
Z
→
−
→
−
−
x ∧ (ρ→
γ − f ) dx =
P
Z
→
−
→
−
x ∧ T ds.
∂P
→
−
−
On peut écrire en composantes (en utilisant T = σ →
n) :
Z
Z
εijk xj (ργk − fk ) dx =
εijk xj σk` n` ds
Z∂P
=
εijk (xj σk` ),` dx
ZP
εijk (δj` σk` + xj σk`,` ) dx.
=
P
P
On en déduit :
Z
P
Z
εijk xj (ργk − σk`,` − fk ) dx =
|
{z
}
εijk σkj dx.
P
=0(dy namique)
Comme le premier membre est nul (équations de la dynamique (3.9)), il en est de même
pour le second, ce qui donne la symétrie du tenseur σ.
3.6
3.6.1
Cercles de Mohr
Construction
Objectif : En un point fixé, on suppose connu l’état des contraintes σ. On connait donc les
contraintes principales σ1 , σ2 et σ3 . On les range dans l’ordre décroissant : σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 .
−
−
−
On a également les directions principales de contraintes →
e1 , →
e2 et →
e3 .
Problème : Connaissant la contrainte normale Tn ∈ IR et la contrainte tangentielle τ ∈ IR+ ,
−
trouver →
n ∈ IR3 tel que
→
− →
−
T (−
n)·→
n = Tn
(3.12)
→
− →
−
−
|T ( n ) − T →
n|=τ
n
3.6 – Cercles de Mohr
19
−
−
−
On fait l’analyse dans la base (→
e1 , →
e2 , →
e3 ). Faisons le bilan des équations :
→
−
→
−
– Comme n est unitaire (k n k = 1), on a
n12 + n22 + n32 = 1
(3.13)
σ1 n12 + σ2 n22 + σ3 n32 = Tn
(3.14)
→
− −
−
– Comme T (→
n ) = σ→
n , on a
– et de même pour la partie tangentielle
→
−
| T (n)|2 = σ12 n12 + σ22 n22 + σ32 n32 = Tn2 + τ 2 .
(3.15)
Astuce pour la résolution : soit a, b et c quelconques, alors
c×(3.13)+b×(3.14)+a×(3.15)=n12 f (σ1 ) + n22 f (σ2 ) + n32 f (σ3 ) = aτ 2 +f (Tn ),
où f (x) = ax 2 + bx + c, alors la relation est vraie pour tout polynôme de degré 2.
– Si on prend f (x) = (x − σ2 )(x − σ3 ), alors f (σ2 ) = f (σ3 ) = 0. On en déduit alors
n12 =
τ 2 + f (Tn )
τ 2 + (Tn − σ2 )(Tn − σ3 )
=
f (σ1 )
(σ − σ ) (σ − σ )
| 1 {z 2} | 1 {z 3}
≥0
≥0
– et de même pour n2 (en prenant f (x) = (x − σ1 )(x − σ3 )) :
n22 =
τ 2 + (Tn − σ3 )(Tn − σ1 )
(σ2 − σ3 ) (σ2 − σ1 )
| {z } | {z }
≥0
≤0
– et pour n3 (en prenant f (x) = (x − σ1 )(x − σ2 )) :
n32 =
τ 2 + (Tn − σ2 )(Tn − σ1 )
(σ3 − σ1 ) (σ3 − σ2 )
| {z } | {z }
≤0
≤0
Question : a-t-on une solution pour toute valeur de τ et Tn ?
On doit avoir n12 ≥ 0, n22 ≥ 0 et n32 ≥ 0. Ceci entraine, sachant que les valeurs propres
sont rangées dans l’ordre croissant :
τ 2 + (Tn − σ2 )(Tn − σ3 ) ≥ 0
τ 2 + (Tn − σ3 )(Tn − σ1 ) ≤ 0
τ 2 + (Tn − σ2 )(Tn − σ1 ) ≥ 0
(3.16)
20
3 – Conservation de la quantité de mouvement
τ
Ensemble des contraintes (Tn , τ ) admissibles
σ1
σ2
σ1
Tn
Figure 3.1 – Cercles de Mohr
Remarque : τ 2 + (Tn − σ2 )(Tn − σ3 ) = 0 est l’équation du cercle de centre
rayon
σ2 −σ3
2 .
σ2 +σ3
2
et de
On a alors les cercles de Mohr de la figure 3.1.
−
−
−
Remarque : Si (Tn , τ ) sont sur le cercle σ2 σ3 alors n1 = 0 et →
n est dans le plan (→
e2 , →
e3 ).
Cas singuliers :
– Si σ2 = σ3 < σ1 , alors la contrainte ne peut être que sur le cercle (voir figure 3.2).
τ
Ensemble des contraintes (Tn , τ ) admissibles
σ3 = σ2
Tn
σ1
Figure 3.2 – Contraintes principales dans le cas de 2 contraintes égales
– Si σ1 = σ2 = σ3 , alors les cercles de Mohr sont réduits en un point.
3.6.2
Cas d’un problème plan
Dans ce cas la contrainte s’écrit σ =
→
− →
−
dans une base ( k1 , k2 ).
σ11 σ12
σ12 σ22
!
−
,→
n =
On a alors
→
− →
−
T (−
n ) = σ→
n =
σ11 cos θ + σ12 sin θ
σ12 cos θ + σ22 sin θ
cos θ
sin θ
!
.
!
→
−
, t =
− sin θ
cos θ
!
,
3.6 – Cercles de Mohr
21
→
−
−
Donc, dans le repère (→
n , t ), on a
(
Tn = σ11 cos2 θ + 2σ12 sin θ cos θ + σ22 sin2 θ
τ = −σ11 sin θ cos θ + σ22 sin θ cos θ + σ12 (cos2 θ − sin2 θ)
Soit, après un réarrangement :
(
22
22
+ σ11 −σ
cos(2θ) + σ12 sin(2θ)
Tn = σ11 +σ
2
2
σ11 −σ22
τ = − 2 sin(2θ) + σ12 cos(2θ)
22
Donc, lorsque θ varie, (Tn , τ ) décrit le cercle de Mohr de centre ( σ11 +σ
, 0) de rayon
2
σ11 −σ22 2
2
2
R =
+ σ12 .
2
Ce cercle passe par les points (σ11 , σ12 ) (avec θ = 0), et (σ22 , −σ12 ) (avec θ =
π
2 ),
voir figure 3.3.
τ
σ12
θ=0
2θ
σ22
σ1
σ2
σ11
Tn
−σ12
θ=
π
2
Figure 3.3 – Calcul graphique des contraintes principales en dimension 2
Remarque : Ce calcul permet également de trouver la base des vecteurs propres, qui sont
issues de la base courante par une rotation d’angle 2θ . Dans le cas de la figure 3.2, on peut
observer que le cisaillement est maximum pour θ = π4 , puisque 2θ = π2 .
Exemple : Si on considère le tenseur des contraintes
!
5 3
σ=
3 −1
alors la base des vecteurs propres est issue de la base canonique par une rotation d’angle
√
θ = π8 et les valeurs propres sont 2 ± 6.
Chapitre 4
Conservation de la quantité d’énergie
4.1
Conservation de l’énergie (premier principe de la thermodynamique)
4.1.1
Enoncé
Hypothèse 3. Pour tout système matériel, il existe une fonction énergie interne spécifique
(i.e. par unité de masse) telle que la variation par rapport au temps de l’énergie totale
(interne+cinétique) soit égale à la puissance des forces extérieures appliquées au système
plus les apports de chaleur par unité de temps.
4.1.2
Mise en équations
Soit :
w :
ρθ:
→
−
q :
l’énergie interne spécifique
l’apport volumique de chaleur par unité de temps
le vecteur flux de chaleur
Z
→
−
−
q ·→
n ds, alors Q̇ est le taux de chaleur
ρθ dx −
Remarque : Si on appelle Q̇ =
reçu par la partie P du milieu.
Z
P
∂P
On a :
d
dt
Z
Z
Z
Z
v2
→
− →
→
− →
−
−
→
−
−
ρ
f · v dx +
F · v ds +
ρθ dx −
q ·→
n ds
+ w dx =
2
P
P
∂P
P
∂P
Z
Sachant que d’après 2.6 :
d
dt
on a :
Z
Z
ρc dx =
P
ρ
P
dc
dx
dt
Z h Z
i
− →
→
− →
dw →
→
−
→
−
−
→
−
− f · v − ρθ + div q dx =
F ·−
v ds
ρ v · γ +
dt
P
∂P
23
24
4 – Conservation de la quantité d’énergie
D’autre part, le théorème de la divergence entraine que :
Z
Z
→
− →
−
−
−
F · v ds =
σ→
n ·→
v ds
Z∂P
∂P
=
σij nj vi ds
Z∂P
=
σij vi ,j dx
ZP
−−−→ →
=
v + σ : ∇v dx
div σ · −
P
on obtient
Z
P
→
−
v ·
→
−
dw
−
−
−
ρ→
γ − f − div σ + ρ
− ρθ + div →
q − σ : ∇→
v dx = 0
|
{z
}
dt
=0 (éq. dynamique)
ce qui entraine que
Z h
i
dw
−
−
ρ
− ρθ + div →
q − σ : ∇→
v dx = 0
dt
P
Comme ceci est vrai pour toute partie P de θ, on a (en composante) :
ρ
dw
−
−
= σij Dij (→
v ) + ρθ − div →
q
dt
dans θ
(4.1)
−
où D(→
v ) est la partie symétrique du gradient des vitesses.
Cette équation est appelée équation de l’énergie.
4.1.3
Application : équation de la chaleur
−
Considérons un milieu continu au repos, c’est à dire tel que →
v = 0, on a alors :
ρ(x, t) = ρ0 (x)
;
−
D(→
v)=0
donc l’équation de l’énergie s’écrit :
ρ0
dw
−
= ρ0 θ − div →
q
dt
dans θ0 .
Postulons alors les deux lois physiques suivantes (vérifiées dans un grand nombre de
cas) :
Loi physique 3. L’énergie est proportionnelle à la température :
w = CT
(4.2)
4.2 – Deuxième principe de la thermodynamique –
Inégalité de Clausius-Duhem
25
−
Loi physique 4. Le vecteur flux de chaleur →
q est proportionnel au vecteur gradient de
température et dirigé en sens opposé (loi de Fourier)
qi = −K
∂T
∂xi
(4.3)
K est le coefficient de diffusion de la chaleur. On pourrait prendre une matrice dans le cas
−
de milieux anisotropes. Si le milieu est homogène, K ne dépend pas de →
x.
On obtient alors :
∂T
= ρ0 θ + K∆T
(4.4)
∂t
ce qui peut s’écrire, après une division par ρ0 C et changement d’échelle de longueur :
ρ0 C
∂T
− ∆T = g
∂t
(g =
θ
)
C
(4.5)
c’est l’équation de la chaleur.
Remarque : On a obtenu cette équation à l’aide de :
1. Une loi de conservation qui traduit un principe fondamental valable pour tout milieu :
gaz, solide ou liquide ;
2. Deux lois approchées expérimentales, valables dans une certaine fourchette de températures et contenant des coefficients pouvant varier énormément d’un milieu à l’autre :
c’est la loi de comportement.
Ce sera toujours comme cela en mécanique.
4.2
Deuxième principe de la thermodynamique –
Inégalité de Clausius-Duhem
4.2.1
Enoncé
Loi physique 5. Il existe une fonction scalaire, l’entropie spécifique s, telle que pour tout
système matériel P, le taux de production d’entropie est supérieur ou égal au taux de
chaleur reçu divisée par la température.
4.2.2
Mise en équation
L’énoncé précédent peut s’écrire :
Z
Z
Z →
−
−
d
θ
q ·→
n
ρs dx ≥
ρ dx −
ds
dt P
T
P T
∂P
(4.6)
26
4 – Conservation de la quantité d’énergie
En passant la dérivée sous le signe intégrale, on obtient :
Z Z →
−
−
θ
ds
q ·→
n
ρ
−
dx ≥ −
ds
dt
T
T
P
∂P
ce qui s’écrit, grâce au théorème de la divergence :
Z →
−
ds
θ
q
ρ
−
+ div
dx ≥ 0.
dt
T
T
P
Grâce à l’argument habituel, on en déduit qu’en chaque point de θ, on a l’inégalité :
ρ
→
−
ds
θ
q
≥ ρ − div
dt
T
T
Enfin, en utilisant l’équation de l’énergie 4.1, on obtient l’inégalité de Clausius-Duhem :
−−→
ds
dw ∇T
→
−
ρ T
−
≥0
+σ :D− q ·
dt
dt
T
4.2.3
(4.7)
Application
Supposons que l’énergie interne e ne dépend que de F et de s et que le milieu est au
repos. On a alors :
dw
∂w ∂s
=
ds
∂s ∂t
On a alors :
−−→
ds
∂w ∂s ∇T
→
−
−
+σ :D− q ·
≥0
ρ T
dt
∂s ∂t
T
−
→
→
− −
∇T
Cette inégalité doit être vraie pour tout ds
dt . On a donc que − q · T ≥ 0, ce qui interdit
−−→
−
que →
q et∇T fassent un angle aigu. La chaleur ne peut donc se déplacer par diffusion que
d’un point à haute température vers un point à basse température.
Vocabulaire : Le terme de gauche de l’inégalité de Clausius-Duhem (4.7), noté D est
appelé dissipation totale, on le décompose en D = D1 + D2 , où
dw
D1 = ρ T ds
−
+ σ : D est la dissipation intrinsèque,
dt
dt
−
−
→
−
D = −→
q · ∇T est la dissipation thermique.
2
T
et on considère que l’on a D1 ≥ 0 (inégalité de Planck, qui dit que la chaleur va du chaud
vers le froid) et D2 ≥ 0.
Enfin, la quantité ψ = w − T s est appelée énergie libre spécifique.
Chapitre 5
Elasticité linéaire
5.1
Définition d’un milieu élastique
Définition 6. On dira qu’un matériau est élastique s’il existe un état de référence sans
contrainte et si, après déformation, le tenseur des contraintes ne dépend que du tenseur
des déformations calculé à partir de cet état de référence.
On dira qu’il est linéaire si on a effectué une linéarisation de la loi précédente.
Exemples de matériaux ne vérifiant pas cette définition :
1. Béton armé (précontraint) ; matériaux incompressibles, c’est à dire vérifiant une
−
contrainte du type : div →
v = 0.
2. Plasticité : la contrainte dépend de la façon dont a été effectué le chargement (en
particulier de sa vitesse).
Remarque : Le tenseur des contraintes de Cauchy σ est du second ordre par rapport
au système de coordonnées (x, y , z) attaché au milieu physique à l’instant t sur Ωt . Le
tenseur des déformations de Green-Lagrange e =
1
2 (C
− Id) est un tenseur du second
ordre par rapport aux coordonnées de Lagrange (X, Y, Z) sur Ω0 .
Comme on peut choisir ces deux systèmes de coordonnées indépendamment, il n’est pas
possible que σ soit une fonction déterminé à partir de e puisque cette fonction dépendra
des systèmes de coordonnées choisis.
On doit donc, soit définir un tenseur de déformations sur Ωt , soit définir un tenseur
des contraintes sur Ω0 , dans le système de coordonnées de Lagrange, c’est ce que nous
allons faire.
L’autre solution est équivalente, mais plus complexe à mettre en oeuvre puisque Ωt est
une inconnue.
27
28
5 – Elasticité linéaire
5.1.1
Tenseurs de Piola-Kirchhoff
Soit Ωt un milieu continu, et Pt une partie quelconque de Ωt . La loi fondamentale de
la dynamique s’écrit (voir 3.9) :
d
dt
Z
Z
Z
ρ(t)vi dx =
fi dx +
Pt
σij nj dst
Pt
∂Pt
−
On veut écrire cette équation sur P0 . On fait donc le changement de variable →
x (t) =
→
− →
−
φ ( X , t). On a vu que (voir exercice 6, feuille 1) que :
→
−
−
n dst =t G →
n0 J ds0
(5.1)
−1
en notant G = F
, ce qui s’écrit en composantes :
nj dst = Gαj n0α J ds0 = Gαj n0α
ρ0
ds0
ρ
à l’aide de la loi de conservation de la masse (car ρJ = ρ0 , donc J =
d
dt
Z
Z
ρ0 Vi dX =
P0
P0
ρ0
fi dX +
ρ
Z
σij Gαj n0α
∂P0
ρ0
ρ ).
On a donc :
ρ0
ds0 .
ρ
(5.2)
La densité de force {σij nj } sur ∂Pt devient une densité {σij Gαj n0α } sur ∂P0 , ce qui
nous amène à introduire le nouveau tenseur :
Tiα =
ρ0
σij Gαj
ρ
T =
ρ0 t
σ G
ρ
ou encore
(5.3)
Il est connu sous le nom de premier tenseur des contraintes de Piola-Kirchhoff (ou
tenseur de Boussinesq, 1842-1929). Il ne s’exprime pas totalement dans le repère initial
(de référence) mais est (( à cheval )). Cependant, en définissant le tenseur :
Σαβ =
ρ0
Gαi Gβj σij
ρ
ou encore
Σ=
ρ0
Gσ t G
ρ
⇔
Σ = GT
⇔
T = F Σ.
(5.4)
ce tenseur, appelé second tenseur de Piola-Kirchhoff, est totalement défini dans le repère de Lagrange. De plus, il est symétrique.
5.2 – Equations linéarisées
5.1.2
29
Equations du mouvement en variables de Lagrange
On peut donc écrire l’équation de la dynamique (3.9) dans le repère de Lagrange, on
obtient alors :
Z ρ0
P0
∂Vi
∂
ρ0 −
Tiα − fi dX = 0
∂t
∂Xα
ρ
pour toute partie P0 suffisamment régulière, incluse dans Ω.
Il en résulte que :
∂Vi
∂
ρ0
ρ0
=
Tiα + fi
dans Ω0 .
∂t
∂Xα
ρ
ce qui s’écrit, en variables de Lagrange :
ρ0
∂Vi
∂
ρ0
=
(Σβα Fiβ ) + fi
∂t
∂Xα
ρ
dans Ω0 .
(5.5)
(5.6)
et un milieu élastique vérifie la propriété suivante
Propriétés 3. Un milieu est élastique si il existe une fonction g telle que la loi de comportement s’écrive
Σ = g(e)
(5.7)
où g vérifie g(0) = 0 (pas de pré-contrainte).
5.2
5.2.1
Equations linéarisées
Tenseur des déformations linéarisés
−−−→
−
On introduit le vecteur déplacement →
u = M0 M, qui aura vocation à être petit dans ce
paragraphe.
−
Pour exprimer →
u par ses composantes, on utilisera le même repère pour Ω0 et Ωt .
On a donc :
→
−
ui = xi − Xi = φi ( X , t) − Xi
On a alors
Fij =
∂xi
∂ui
= δij +
.
∂Xj
∂Xj
De même, le tenseur des dilatations C =t F F s’écrit :
Cpq = Fip Fiq = δpq +
∂up
∂uq
∂ui ∂ui
+
+
∂Xq ∂Xp ∂Xp ∂Xq
−
(second ordre en →
u ) et le tenseur des dilatations s’écrit (e = 21 (C − Id)) :
epq =
1 ∂up
∂uq 1 ∂ui ∂ui
+
+
.
2 ∂Xq ∂Xp
2 ∂Xp ∂Xq
30
5 – Elasticité linéaire
→
− →
−
φ ( X , t)
→
−
e3
M0
→
−
→
−
u ( X , t)
Mt
→
−
x (t)
→
−
X
Ω0
Ωt
t=0
t
→
−
e2
O
→
−
e1
Figure 5.1 – Vecteur déplacement
−
(également du second ordre en →
u ).
On définit
1 ∂up ∂uq εpq =
+
(5.8)
2 Xq
Xp
−
−
la partie linéaire de e par rapport à →
u , le reste étant quadratique par rapport à →
u.
ε est le tenseur des déformations linéarisé.
∂u i Si << 1 (petits déplacements), alors le tenseur epq est "proche" de εpq . Cette
∂Xp
approximation est connue sous le nom de hypothèse des petites perturbations (H.P.P.).
Le contraire n’est pas vrai. C’est à dire que si e est proche de 0, ε n’est pas nécessairement petit. En effet, considérons un déplacement rigide, on a :
e=0
;
→
− −
→
−
x = Q(t) X + →
c (t)
où Q est orthogonale, donc :
t
1
ε=
Q + Q − 1 6= 0
2
Ce cadre là est le domaine des grands déplacements et petites déformations (théorie
Elastica).
Dans la suite de ce chapitre, on va faire les hypothèses H.P.P. et linéariser par rapport
à ∇u.
5.2 – Equations linéarisées
5.2.2
31
Linéarisation de la loi de comportement
D’après le paragraphe précédent, on a : e = ε(u) + O(|∇u|2 ). La loi de comportement
s’écrit :
−
Σ = g ε(→
u ) + O(|∇u|2 )
∂g
−
= g(0) +
(0)εαβ (→
u ) + O(|∇u|2 )
∂eαβ
c’est à dire qu’il existe un tenseur d’ordre 4, notée a tel que :
−
Σij = aijαβ εαβ (→
u)
∂gij
(0).
∂eαβ
C’est la loi de comportement de l’élasticité linéarisée. Les coefficients aijαβ sont les
en ne conservant que les termes linéaires et en posant aijαβ =
coefficients d’élasticité.
Du fait de la symétrie des tenseurs Σ et ε, ces coefficients satisfont les relations :
aijαβ = ajiαβ = aijβα .
5.2.3
Linéarisation des équations du mouvement
Vitesse–accélération : on a Vi =
Lagrange).
En coordonnées d’Euler : γi =
∂ui
∂t (X, t)
dvi
dt
=
∂vi
∂t
donc Γi =
∂vi
vj =
+ ∂x
j
dVi
dt
∂vi
∂t
=
∂ 2 ui
∂t 2 (X, t)
(en coordonnées de
+0(|∇u|2 ) (en fait plutôt 0(|u∇u|)
mais on considère que |u| est aussi petit).
L’accélération s’écrit donc de la même façon en coordonnées de Lagrange et d’Euler
après linéarisation.
Pour le terme
∂
∂Xα (Fiβ Σβα ),
on a
Fiβ = δiβ +
∂ui
Xβ
donc
Σβα Fiβ = Σiα + Σβα
∂ui
= aijαβ εαβ (u) + 0(|∇u|2 )
∂Xβ
Donc, après linéarisation, les équations du mouvement s’écrivent donc :
ρ0
−
avec Σiβ = aiβγδ εγδ (→
u ).
∂ 2 ui
∂
ρ0
=
Σiα + fi
2
∂t
Xα
ρ
dans Ω0 .
(5.9)
32
5 – Elasticité linéaire
→
−
Les inconnues du problème sont les composantes ui = ui ( X , t) du champ de déplace-
ments dans Ω0 ainsi que les composantes du tenseur des contraintes en tous les points de
Ω0 .
Remarques
– On a vu que, au premier ordre Fiα = δiα +
−
det(F ) ' 1 + div (→
u ) donc :
Z
Z
dx '
V (ω(t)) =
ω(t)
– Comme
ρ0
ρ
Z
On en déduit qu’au premier ordre
−
1+div (→
u ) dX = V0 +
det F dX '
ω(0)
∂ui
∂Xα .
ω(0)
Z
−
div (→
u )dX
ω(0)
= det(F ), on a :
T =
t
ρ0
σG ' σ
ρ
et Σ = GT ' σ (en effet, au premier ordre G = 1 − ∇u, et σ = 0(|∇u|) puisque
e = 0(|∇u|) et g(0) = 0).
−
– De même, si une quantité f s’exprime en description eulérienne par f (→
x , t) et en
→
−
−
description lagrangienne par F ( X , t), et si f et ses dérivées sont en 0(→
u , ∇u),
→
− →
→
−
→
−
−
comme f ( X + u ( X , t), t) = F ( X , t), on a
∂F
∂f
∂xk
∂f
∂f ∂uk
(X, t) =
(x, t)
=
+
∂Xi
∂xk
∂Xi
∂xi
∂xk ∂Xi
donc, dans l’approximation linéaire :
∂F
∂f
=
Xi
xi
donc les descriptions eulériennes et lagrangiennes y sont équivalentes.
5.2.4
Linéarisation des conditions aux limites
Nous avons, sur ∂Ω(t) (ou sur une partie de cette frontière) :
σij nj = Fi
et on a nj dS =
ρ0
ρ Gαj n0α dS0 .
i = 1, 2, 3,
On en déduit donc que :
nj dS = n0j dS0
et
→
−
−
n =→
n0
;
dS = dS0 .
Donc, d’après les propriétés du tenseur des contraintes, on a, indifféremment sur Ω(t)
ou Ω(0) :
σij n0j = Fi
i = 1, 2, 3.
5.3 – Conséquences d’une énergie de déformation
5.2.5
33
Récapitulation
En notant
1. Ω désigne Ω0 ou Ωt ;
2. σ désigne indifféremment l’un des trois tenseurs des contraintes ;
−
3. →
x désigne le point courant sur Ω ;
−
4. →
u est le champ des déplacements des points de Ω ;
−
5. →
n désigne la normale extérieure au bord ∂Ω.
Les équations du mouvement, dans le cadre de l’élasticité linéarisée H.P.P., s’écrivent :

∂σ
∂ 2 ui

ρ
= ∂xijj + fi
dans Ω
0 ∂t 2



 σ
→
−
= aijkl εkl ( u )
ij
(5.10)
→
−
∂ul
1 ∂uk

(
+
)
ε
(
u
)
=

kl
2
u
u

l
k

 σ n
=F
sur ∂Ω
ij j
i
−
Le coefficients d’élasticité aijkl peuvent dépendre du point →
x ∈ Ω. Si ce n’est pas le
cas, on parlera de matériau homogène.
5.3
Conséquences d’une énergie de déformation
En l’absence d’effets thermiques, l’énergie interne spécifique w vérifie, après linéarisation :
ρ0
∂
∂w
= σij εij
∂t
∂t
et si w ne dépend que de la déformation ε, on obtient :
(ρ0
∂w
∂εij
− σij )
= 0.
∂εij
∂t
Comme ceci est vrai pour tout t −→ ε(t) (histoire de la déformation), on a :
σij = ρ0
∂w
∂εij
d’où, en tenant compte de la loi de comportement :
ρ0
∂w
= aijkl εkl
∂εij
et en dérivant cette relation par rapport à εkl , on trouve :
aijkl =
∂ 2w
∂εij εkl
(5.11)
34
5 – Elasticité linéaire
ce qui entraine, en particulier que :
aijkl = aklij .
En intégrant, on obtient également, que :
w=
1
aijkl εij εkl .
2ρ0
Conséquence : Le tenseur d’ordre 4 (donc 34 = 81 coefficients) ne contient que 21
coefficients indépendants.
5.4
Isotropie, loi de Hooke
−
Définition 7. Si en tout point →
x ∈ Ω, le milieu étudié a les mêmes propriétés dans toutes
les directions, on dit qu’il est isotrope.
Conséquence : Si la déformation ε correspond à la contrainte σ par la relation σij = aijkl εkl ,
0
t
alors, pour toute matrice orthogonale Q, la déformation ε = QεQ correspondra à la
t
0
contrainte σ = QσQ par la même relation.
Définissons la fonction
w (ε) =
1
1
σij εij = aijkl εij εkl
2
2
(énergie élastique), alors
σ=
∂w
∂ε
ne doit dépendre que des invariants de ε :
2
εI = tr ace(ε) (linéaire), εII = tr ace(ε ) (quadratique), εIII = det(ε) (cubique).
Ensuite la relation entre σ et ε doit être linéaire, donc
1
2
w (ε) =
λ(tr ace(ε))2 + 2µtr ace(ε )
2
où λ et µ sont deux coefficients scalaires.
Conséquence : En utilisant l’égalité σ =
∂e
,
∂ε
on obtient :
σij = λε`` δij + 2µεij .
(5.12)
Définition 8. Cette égalité est connue sous le nom de loi de Hooke. Les réels λ et µ sont
les coefficients de Lamé. Le tenseur a ne dépend alors que de 2 coefficients indépendants.
Les coefficients λ et µ sont exprimés en Newton/m2 (resp. Newton/mm2 ), ce qui
correspond également à des Pascal (resp. GPa).
5.5 – Equations de Navier
35
µ est parfois noté G, et est aussi appelé module de cisaillement ou module de glissement
de Coulomb.
Interprétation physique de µ :
F`
F/A
=
∆x/`
A∆x
et on remarque que µ doit être positif pour être physiquement acceptable.
µ=
∆x
→
−
F
A (Aire)
`
Autre interprétation de µ
Si on considère un essai de glissement simple (voir figure ci-dessous), alors on a




0 γ2 0
0 τ 0




et
ε =  γ2 0 0 
σ= τ 0 0 
0 0 0
0 0 0


u1 = γx2


−
avec τ = µγ, et →
u =  u2 = 0 .
u3 = 0
τ
γ
τ
5.5
Equations de Navier
Lorsque le matériau élastique est homogène, isotrope, on peut exprimer σij en fonction
de εij et reporter cela dans les équations d’équilibre. On obtient ainsi les équations suivantes
où la seule inconnue est le champ de déplacements :
(λ + µ)
∂
−
(div →
u ) + µ∆ui + fi = 0
∂xi
pour i = 1, 2, 3.
(5.13)
36
5 – Elasticité linéaire
Ceci s’écrit sous forme matricielle :
−−−→
→
−
→
−
−
−
(λ + µ)grad (div →
u ) + µ∆→
u + f = 0.
(5.14)
−
On peut aussi faire apparaitre le rotationnel de →
u par la relation :
−−−→
−−→−−→→
−
→
−
→
−
rot rot u = grad (div u ) − ∆ u , ce qui fournit les équations de Navier de l’élasticité :
−−−→
−
→
−
−−→−−→− →
−
(λ + 2µ)grad (div →
u ) − µrot rot →
u + f = 0.
(5.15)
Preuve : Exercice.
5.6
Equations de compatibilité et de Beltrami
La question que l’on se pose ici est la suivante :
Quelles conditions doivent satisfaire les composantes du tenseur des déformations
(resp. contraintes) pour qu’il existe un champ de déplacements qui y corresponde.
5.6.1
Equations de compatibilité
−
−
i
Quelle condition doit satisfaire ε pour qu’il existe →
u tel que εij (→
u ) = 12 ( ∂u
∂xj +
∂uj
∂xi ).
Théorème 3. La condition nécéssaire et suffisante est que les fonction εij satisfassent les
équations dites de compatibilités :
ipq jr s
∂ 2 εpr
=0
∂xq ∂xs
i, j = 1, 2, 3.
(5.16)
Ce théorème est basé sur le résultat suivant (admis) :
Théorème 4. Soit le système de 3 équations :
∂φ
= Ei ,
∂xi
i = 1, 2, 3
où φ est la fonction inconnue. La condition nécessaire et suffisante pour que ce système
possède une solution est que les fonctions Ei vérifient :
ijk
∂Ej
=0
∂xk
i = 1, 2, 3
(l’idée provient du fait que les dérivées partielles doivent pouvoir permuter, c’est à dire :
∂Ej
∂ 2φ
∂ 2φ
∂Ek
=
=
=
).
∂xk
∂xk ∂xj
∂xj ∂xk
∂xj
5.6 – Equations de compatibilité et de Beltrami
5.6.2
37
Equations de Beltrami
On regarde maintenant ce qui se passe pour le tenseur des contraintes. Si on inverse
la loi de comportement
σ = λ(tr ε)Id + 2µε
On obtient :
ε=
1+ν
ν
σ − (tr σ)Id
E
E
(5.17)
(à montrer en exercice), où
– ν=
λ
2(λ+µ)
est le coefficient de Poisson (sans unité : rapport de pressions) ;
– E = µ 3λ+2µ
λ+µ est le module de Young (unité de pression : Pa ou GPa).
En plongeant l’égalité (5.17) dans les équations de compatibilités (5.16), en utilisant
−
les équations d’équilibre, on obtient que pour qu’il existe un déplacement →
u solution, σ
doit vérifier (en notant Σ = tr ace(σ)) :
∆σij +
1
∂ 2Σ
∂fj
∂fi
ν ∂f`
+
+
+
δij = 0
1 + ν ∂xi ∂xj
∂xi
∂xj
1 − ν ∂x`
(5.18)
(6 équations). Ces équations sont les équations de Beltrami.
Propriétés 4. Pour qu’un champ de contraintes puisse être solution d’un problème d’élasticité, il doit être statiquement admissible et satisfaire les 6 équations de Beltrami.
Interprétation physique de ν
contraction transversale unitaire
ν=
=
allongement axial unitaire
`−`0
`0
L−L0
L0
On a −1 ≤ ν ≤ 0.5. Mais généralement, pour un matériau classique 0 ≤ ν ≤ 0.5. Si
−1 ≤ ν ≤ 0 alors le matériau s’allonge en gonflant, c’est le cas par exemple de certaines
mousses.
L
→
−
F
`0
`
L0
Chapitre 6
Généralités sur les fluides
6.1
Loi de comportement
Définition 9. On dit qu’un milieu continu est un fluide si
– le tenseur des contraintes est une fonction du tenseur des vitesses des déformations ;
– il est isotrope.
Il résulte du premier point qu’il existe une application f telle que :
σ = f (D)
(6.1)
où σ est le tenseur les contraintes, et D est le tenseur linéarisé des vitesses de déformations,
donné par
Dij =
1 ∂vi
∂vj ∂
=
ε
+
2 ∂xj
∂xi
∂t
où les vi = vi (x, t) sont les composantes du vecteur vitesse eulérien.
L’isotropie signifie que les propriétés d’un fluide sont les mêmes dans toutes les directions. En d’autres termes, si on fait un changement de repère orthogonal défini par la
matrice de rotation Q alors la fonction f est invariante, c’est à dire que
0
0
σ = f (D )
0
t
où σ = QσQ , et de même pour D.
On admettra le théorème suivant (qui provient du théorème de Cayley-Hamilton : une
P
matrice est racine de son polynôme caractéristique −An + k Ik (A)Ak = 0 ; ainsi que du
théorème de représentation de Rivlin-Ericksen).
Théorème 5. Si f est une fonction isotrope de E 3 dans E 3 , elle se met sous la forme :
2
f (D) = f0 Id + f1 D + f2 D
(6.2)
où les fα sont des fonctions à valeurs scalaires des invariants principaux I1 , I2 et I3 de D.
39
40
6 – Généralités sur les fluides
Rappels : Les invariants principaux I1 , I2 , I3 d’une matrice A 3 × 3 sont les coefficients du
polynôme caractéristique de A :
det(A − λId) = −λ3 + I1 λ2 + I2 λ + I3
I1 = tr ace(A)
I2 = 12 (tr ace(A)2 − tr ace(A2 ))
I3 = det(A) = 16 (tr ace(A)3 − 3tr ace(A)tr ace(A2 ) + 2tr ace(A3 ))
En conséquence, la loi de comportement d’un fluide s’écrit :
σ = −f0 Id + f1 D + f2 D
2
(6.3)
Définition 10. On dit qu’un fluide est newtonien si la relation de comportement précédente
est affine par rapport aux composantes de D.
Ceci a pour conséquence que la loi de comportement d’un fluide newtonien est de la
forme :
σ = −pId + λtr ace(D)Id + 2µD
(6.4)
où p, λ, µ sont des scalaires indépendants de D.
– µ est appelé coefficient de viscosité,
– λ est le coefficient de viscosité volumique,
– p est la pression thermodynamique.
Lorsque le fluide est compressible, la pression p est reliée aux autres variables thermodynamiques par une relation du type p = g(ρ, T ) (appelé loi d’état) à l’aide de l’équation
de l’énergie, et en remarquant que :
2
σ : D = −p tr ace(D) + λtr ace(D)2 + µtr ace(D )
−
Si le fluide est incompressible, alors tr ace(D) = div (→
v ) = 0, et la pression est une
→
−
fonction scalaire de x et de t, indépendante à la fois de D et de ρ et T .
6.2
Statique des fluides
Dans un fluide au repos, puisque D = 0, le tenseur des contraintes est sphérique
σ = −pId.
6.2.1
Equation d’équilibre d’un fluide au repos
Théorème 6. Dans un fluide au repos soumis à des forces f dérivant d’un potentiel U, on
a:
p + U = constante
(6.5)
6.2 – Statique des fluides
41
Preuve : Dans ce cas, les équations d’équilibre se réduisent à :
∂
σij,j + fi = 0 = − (p + U)
xi
ce qui démontre le théorème.
Conséquence : Si un fluide au repos possède une surface libre en contact avec une atmosphère à une pression constante pA , on a le long de la surface libre :
U + pA = constante
d’où
U = constante.
Exemples :
1. Si les seules forces sont les forces de pesanteur, alors U = ρ0 gz où l’axe Oz est
vertical ascendant, et ρ0 la densité constante du fluide. A l’équilibre, la surface libre
est donc néssairement dans un plan horizontal z = constante.
2. Si le fluide, supposé homogène, est sur un support tournant, on aura des forces de
pesanteur et des forces centrifuges, d’où :
U = ρ0 gz − ρ0 ω 2
r2
,
2
la surface libre est alors le paraboloïde de révolution d’équation :
z=
6.2.2
ω2 2
r + constante
2g
Théorème d’Archimède
On a le célébrissime théorème suivant, énoncé ici uniquement dans le cas d’un fluide
homogène :
Théorème 7. Un corps Ω plongé complètement ou partiellement dans un liquide au repos
subit de la part de ce dernier une poussée verticale vers le haut égale au poids du liquide
déplacé et appliqué au centre de gravité géométrique de la partie immergée.
Preuve : On suppose que la surface du liquide est définie par le plan z = 0, et on considère
Ω1 = Ω ∩{z < 0} la partie immergée du corps Ω. On note également ∂1 Ω = ∂Ω ∩{z < 0}
la partie de la frontière de Ω qui est immergée, et ∂Ω1 la frontière de la partie immergée.
La pression dans le liquide est de la forme p = −ρ0 gz. La résultante des efforts exercée
par le fluide sur le corps s’écrit :
Z
R=
∂1 Ω
−
ρ0 gz →
n ds =
Z
∂Ω1
−
ρ0 gz →
n ds,
42
6 – Généralités sur les fluides
Ω
→
−
e3
→
−
e2
→
−
e
G
1
Ω1
puisqueZz = 0 sur la Zsurface libre.
−−−→
−
Or
f→
n ds =
grad f dx, on en déduit que :
∂Ω
Ω
Z
R = ρ0 g
−−−→
grad z dx = ρ0 g
Ω
Z
−
−
dx →
ez = ρ0 gmes(Ω1 ) →
ez .
Ω
De même,
−−→ −
ρ0 gz OM ∧ →
n ds
Z
M0 =
∂1 Ω
donc :
Z
M0 =
−−→ −
−→
ρ0 gz OM ∧ →
n ds = OG ∧ R +
∂Ω1
Z
−−→ −
ρ0 gz GM ∧ →
n ds.
∂Ω1
Z
où G est le centre de gravité de la partie immergée Ω1 , défini par
−−→
GMdx = 0. De
Ω1
plus
Z
→
−
−
v ∧→
n ds =
∂Ω
dente est nulle.
6.3
6.3.1
Z
−−→→
rot −
v dx. On en déduit que l’intégrale qui reste dans l’égalité précé-
Ω
Dynamique des fluides, équation de Navier-Stokes
Equation de Navier-Stokes
Si on considère l’écoulement d’un fluide visqueux incompressible, l’incompressibilité
entraine
−
div (→
v)=0
d’où l’on déduit, en utilisant l’équation de continuité
dρ
=0
dt
(6.6)
6.3 – Dynamique des fluides, équation de Navier-Stokes
43
ce qui implique que la densité reste constante pour une particule au cours de son
mouvement. Il en résulte que si la densité est constante à un instant donné dans tout le
fluide, elle le demeure à tous les instants. Nous supposerons ceci dans toute la suite en
faisant l’hypothèse d’un fluide homogène, d’où
ρ = ρ0 .
La loi de comportement d’un fluide newtonien, compte tenu de l’incompressibilité,
s’écrit alors :
σ = −pId + 2µD
(6.7)
En reportant cette expression du tenseur des contraintes dans les équations du mouvement, il vient, en tenant compte de l’incompressibilité (6.6) :
ρ0 γi +
∂p
= µ∆vi + fi
xi
i = 1, 2, 3.
(6.8)
ou encore, en écrivant l’accélération en fonction de la vitesse :
∂v
∂vi ∂p
ρ0
+
vj +
= 2µ∆vi + fi
∂t
xj
xi
(6.9)
L’ensemble des relations (6.6) et (6.9) constitue les équations de Navier-Stokes.
6.3.2
Nombre de Reynolds
On considère un écoulement autour d’un profil de diamètre moyen L, et une vitesse du
→
−
fluide tendant vers la constante V à l’infini.
→
−
e2
Fluide
→
−
V
P
L
→
−
e1
→
−
e3
−
Alors la vitesse →
v en tout point du fluide est solution du

∂vi
∂p
∂vi


+
v
+
= µ∆vi + fi
ρ

0
j

∂t
∂xj
∂xi



−
div →
v =0
→
−


v =0


→
−

−
−

 lim →
v (→
x , t) = V = (V, 0, 0)
|x|→+∞
problème :
dans Ω
dans Ω
sur ∂Ω
(6.10)
44
6 – Généralités sur les fluides
Normalisation : en faisant les normalisations suivantes :
xi = Lx̄i , vi = V v̄i , t = T t¯, p = P p̄,
avec T =
L
V
(6.11)
et P = ρ0 V 2 , alors on a
 ∂ v̄i
∂ v̄i
∂ p̄
1 ¯


+
v
¯
+
=
∆v̄i

j

∂ t¯ ∂ x¯j
∂ x̄i
Re


 ¯ →
−
div v̄ = 0
→
−


v̄ = 0



→
− →
−

 lim v̄ ( x̄ , t) = (1, 0, 0)
dans Ω̄
dans Ω̄
(6.12)
sur ∂ Ω̄
|x̄|→+∞
où Re =
ρ0 LV
est le Nombre de Neynolds (sans unité).
µ
¯ i est important,
– Si Re est petit, alors soit V est petit, soit µ est grand. Alors R1e ∆v̄
∂ v̄i
et v̄i est petit, donc on néglige
v¯j . La vitesse v̄i satisfait à l’équation
∂ x¯j
∂ v̄i
∂ p̄
1 ¯
+
=
∆v̄i
∂ t¯ ∂ x̄i
Re
(6.13)
(équation de Stokes, linéaire).
– Si Re est grand (µ est alors souvent petit), et la vitesse est importante devant la
1 ¯
diffusion
∆v̄i et vitesse v̄i satisfait à l’équation
Re
∂ v̄i
∂ p̄
∂ v̄i
+
v¯j +
=0
∂ t¯ ∂ x¯j
∂ x̄i
(6.14)
(équation d’Euler, non linéaire).
Remarque :
– Proche du profil, la viscosité n’est pas négligeable et donc on n’utilise pas les équations d’Euler, mais plutôt celle de Stokes.
– Loin du profil, même si la viscosité est grande, elle pourra être négligée, et on utilise
dans ce cas les équations d’Euler.
Cette remarque permet de ne pas utiliser les équations de Navier-Stokes dans tout l’espace parce qu’elle sont non linéaires et difficiles à résoudre, mais seulement des équations
non linéaires près du profil, et linéaire loin de ce profil.
Chapitre 7
Le principe des puissances virtuelles en
mécanique
L’approche des puissances virtuelles pour la modélisation des efforts
L’idée de ce chapitre est la suivante : lorsque l’on veut connaitre le poids d’une valise,
on ne regarde pas une flèche au centre de gravité. On fait plutôt de petits mouvements
verticaux —pas horizontaux— pour évaluer ce poids (on fait "travailler le poids"). On va
mettre cette idée sous forme mathématique.
7.1
7.1.1
Analyse pour un système de points matériels
Problèmatique et représentation des efforts
L’étude d’un système de points matériels amène à considérer deux catégories d’efforts :
– Extérieurs : exercés par le monde extérieur sur le système étudié ;
– Intérieur : exercés par les éléments du système les uns sur les autres.
On désignera par S un système de n points matériels dans sa configuration Ωt à l’instant
t. On introduit pour chaque point matériel noté (j) :
→
−
– La force Fj exercée par l’extérieur de S sur l’élément (j) de S, situé en Mj ;
−
→
– Les forces Fij exercées par chaque élément (i ) de S (i 6= j) sur l’élément (j) de S.
Les lois de la mécanique s’expriment alors pour S par :
– PFD : ∀(j) ∈ S :
X −
→
−
→
−
Fj +
Fij = mj →
γj
(7.1)
(i)∈S,i6=j
– Loi des actions mutuelles :
( −
→ −
→
Fij + Fji = 0,
−−−→ −
→
Mi Mj ∧ Fij = 0.
45
(7.2)
46
7 – Le principe des puissances virtuelles en mécanique
On a de même, pour tout sous-système matériel S 0 inclu dans S :
→
−
→
− P
−
→
−
→
→
− P
−
γj , avec Fj0 = Fj + (i)6∈S 0 Fij .
∀(j) ∈ S 0 : Fj0 + (i)∈S 0 ,i6=j Fij = mj →
7.1.2
Dualisation et puissances virtuelles
−
→
−
→
On considère n vecteurs arbitraires V1∗ , ...,Vn∗ , en chacun des points M1 , ..., Mn . Alors
l’équation 7.1 est équivalente à :
X→
→ X →
−
→
→ X X −
→ −
− −
Fij · Vj ∗ =
mj −
γj · Vj ∗
Fj · V j ∗ +
(j)∈S
(j)∈S (i)∈S,i6=j
(j)∈S
−
→
−
→
∀V1∗ , ...,Vn∗ ∈ IR3 . soit encore, en introduisant les formes linéaires :
P
−
→
−
→
→
− −
→
– Pe∗ (V1∗ , ..., Vn∗ ) = (j)∈S Fj · Vj ∗ ,
P
P
−
→
−
→
−
→ −
→
– Pi∗ (V1∗ , ..., Vn∗ ) = (j)∈S (i)∈S,i6=j Fij · Vj ∗
P
−
→
−
→
−
→
−
γj · Vj ∗
– A∗ (V1∗ , ..., Vn∗ ) = (j)∈S mj →
On a
−
→
−
→
Pe∗ + Pi∗ = A∗
∀V1∗ , ..., Vn∗ ∈ IR3
(7.3)
−
→ −
→
−
→
La loi des actions mutuelles 7.2 est équivalente à : ∀(i ), (j) ∈ S, ∀ω0∗ ∈ IR3 , ∀Vi ∗ , Vj ∗
tel que :
alors :
En effet, on a :
donc
−
→ −
→ −
→ −−−→
Vi ∗ − Vj ∗ = ω0∗ ∧ Mj Mi
(7.4)
→ −
→
−
→ −
→ −
Fij · Vi ∗ + Fji · Vj ∗ = 0
(7.5)
−
→ −−−→
→ −
→ −
→ −
→ −
Fij + Fji · Vi ∗ + Fij · ω0∗ ∧ Mi Mj = 0
( −
→ −
→
Fij + Fji = 0,
−−−→ −
→
Mi Mj ∧ Fij = 0.
(produit mixte, en faisant une permutation circulaire...)
Remarque : l’ensemble des mouvements vérifiant (7.4) sont les mouvements virtuels rigidifiants (toutes les isométries qui conservent l’orientation), car c’est équivalent à :
∀(j) ∈ S
−
→ −
→ −
→ −−→
Vj ∗ = V0∗ + ω0∗ ∧ 0Mj
−
→
−
→
où V0∗ et ω0∗ sont des vecteurs quelconques de IR3 .
On a donc le principe suivant, qui s’écrit facilement à partir de l’étude sur 2 points
matériels ci-dessus : “La puissance des efforts intérieurs est nulle pour tout mouvement
virtuel rigidifiant".
Les efforts intérieurs sont donc les efforts que doit produire le système pour conserver
son intégrité (rigidité).
7.1 – Analyse pour un système de points matériels
47
On a également, pour tout sous-système S 0 de S :
Pe0∗ + Pi0∗ = A0∗
et
Pi0∗ = 0
−
→
−
→
∀V1∗ , ..., Vm∗ ∈ IR3
−
→
−
→
∀V1∗ , ..., Vm∗ rigidifiant.
Remarque : Pour les systèmes constitués de solides rigides articulés (treillis), c’est une
méthode beaucoup plus efficace que l’utilisation des énoncés 7.1 et 7.2. Cela permet entre
autre d’étudier séparément chaque liaison entre les solides.
Remarque : Grâce au théorème de représentation de Riesz, on aurait pu présenter directement le concept de force comme une forme linéaire continue agissant sur le champ des
vitesses.
7.1.3
Description de la méthode des puissances virtuelles
A partir de ce qu’on vient de décrire, on peut donner une procédure générale pour
mettre en oeuvre la méthode des puissances virtuelles :
1. Définition du système et des sous systèmes S et S 0 ;
−
→
2. Définition de l’espace vectoriel des mouvements virtuels V ∗ (m.v.) que l’on va considérer. Cet espace doit contenir les mouvements rigidiants (m.v.r.) pour le système
et les sous-systèmes, ainsi que les mouvements réels du systèmes ;
3. Définition de la forme linéaire continue A∗ (resp. A0∗ ) des quantités d’accélération
du système (resp. sous-système) ;
4. Définition de la forme linéaire continue Pe∗ (resp. Pe0∗ ) des efforts extérieurs au système (resp. sous-système) ;
5. Définition de la forme linéaire continue Pi∗ (resp. Pi0∗ ) des efforts intérieurs à ce
système (resp. sous-système).
6. On écrit le principe des puissances virtuelles
∀S 0 ⊂ S
−
→
−
→
−
→
−
→
∀V ∗ m.v .
Pe0∗ (V ∗ ) + Pi0∗ (V ∗ ) = A0∗ (V ∗ )
−
→
−
→
∀V ∗ m.v .r. pour S 0
Pi0∗ (V ∗ ) = 0.
7. On en tire les conséquences :
– cohérence du choix de l’écriture des formes Pi0 , Pe0 , Pi , Pe ;
– Représentation des efforts ;
– Equation de la dynamique pour S et tout sous-système S 0 .
48
7 – Le principe des puissances virtuelles en mécanique
7.2
Application de la méthode des puissances virtuelles
en MMC
7.2.1
Description des systèmes et sous-systèmes
Partie Ωt , et sous parties Pt ⊂ Ωt suffisamment régulières.
7.2.2
Mouvements virtuels
−
→
−
→
−
V ∗ = {V ∗ (x), →
x ∈ Ωt −→ V ∗ (x), régularité}
−
→
−
→
−
→ −
−
→ −
→ −
→
V ∗ est un mouvement virtuel rigidifiant si V ∗ (x) = V0∗ + ω0∗ ∧ →
x , pour tout V0∗ , ω0∗ ∈ IR3 .
7.2.3
Puissance des quantités d’accélération
On pose :
−
→
A (V ∗ ) =
∗
Z
−
→
−
ρ(t)→
γ (x, t) · V ∗ (x)dx
Ωt
et de même pour A0∗ sur toute sous-partie Pt ⊂ Ωt .
7.2.4
Puissance virtuelle des efforts extérieurs
−
→
Pe∗ (V ∗ )
Z
=
−
→
→
−
f (x) · V ∗ (x)dx +
−
→
→
− →
−
T (−
n ,→
x ) · V ∗ (x)ds
Z
Ωt
∂Ωt
−
−
où →
n désigne la normale extérieure à ∂Ωt en →
x.
7.2.5
Puissance virtuelle des efforts intérieurs
On fait l’hypothèse que les efforts intérieurs sont représentables à l’aide d’une densité
−
→
−
→
volumique pi∗ (V ∗ ), fonction linéaire des valeurs locales du champs V ∗ et de ses dérivées
spaciales (théorie du premier gradient) :
∀Pt ⊂ Ωt
−
→
Pi∗ (V ∗ )
Z
=
−
→
pi∗ (V ∗ )dx
Pt
−
→
On pourrait prendre pi∗ (V ∗ ) de la forme :
−
→
−
→
→
−
pi∗ (V ∗ ) = A (x) · V ∗ (x)
7.2 – Application de la méthode des puissances virtuelles en MMC
49
→
−
qui conduirait à présenter les efforts intérieurs par un champ vectoriel A . Mais alors ce
champ serait identiquement nul, car pour tout mouvement virtuel rigidifiant, on a :
Z
−
→ −
→ −
−
→ −
→
→
−
A (x) · V0∗ + ω0∗ ∧ →
x dx = 0
∀Pt , V0∗ , ω0∗ .
Pt
→
−
donc A (x) = 0 presque partout dans Ωt .
−
→
On va donc prendre une expression linéaire en grad V ∗ , de la forme :
−
→
−
→
pi∗ (V ∗ ) = −t(x) : grad V ∗ (x),
où t désigne un tenseur du deuxième ordre.
On définit
−
→∗
−
→∗t −
→
– D (x) = grad V +grad V
partie symétrique du gradient de V ∗ (déformation) ;
∗
−
→
−
→
−
→
– Ω (x) = 21 grad V ∗ − grad V ∗t partie antisymétrique du gradient de V ∗ (rotation).
∗
∗
−
→
On a alors que pi (V ∗ ) = −α(x) : Ω (x) − σ : D (x) où α (resp. σ) désigne la partie
symétrique (resp. antisymétrique) de t.
∗
1
2
De plus, on a :
∀Pt ⊂ Ωt ,
−
→
∀V ∗ m.v .r. pour S 0
−
→
pi (V ∗ ) = 0.
∗
∗
∗
−
Or pour tout m.v.r. on a que D = 0 et que Ω est constant et quelconque (Ω →
v =
−
→∗ →
−
ω0 ∧ v ) puisque :


0
−ω3∗ ω2∗
−
→ 

grad V ∗ =  ω3∗
0
−ω1∗ 
ω1∗
−ω2∗
0
donc nécessairement α est nul et t est symétrique. Donc :
∗
−
→
−
→
pi∗ (V ∗ ) = −σ : grad V ∗ = −σ : D .
Les efforts intérieurs sont donc représentés par un champ de tenseurs du second ordre
symétrique.
7.2.6
Application du P.P.V.– Equations de la dynamique
−
→
On peut maintenant écrire que, pour toute sous-partie Pt ⊂ Ωt , pour tout m.v. V ∗ , on
a:
Z
Pt
−
→
→
−
f (x) · V ∗ dx +
Z
∂Pt
−
→
→
−
−
T (x, →
n ) · V ∗ ds −
Z
∗
Z
σ : D dx =
Pt
−
→
−
ρ(x)→
γ (x) · V ∗ dx.
Pt
∗
∗
−
→
−→ −
→
−
→
or on a que : −σ : D = −σ : grad V ∗ peut aussi s’écrire : −σ : D = div σ· V ∗ −div (σ V ∗ ).
50
7 – Le principe des puissances virtuelles en mécanique
On peut alors écrire, à l’aide du théorème de la divergence :
Z h
Z h
i −
i −
→∗
→
→
−
→
−
→
−
−
−
n · V ∗ ds = 0
div σ + f (x) − ρ(x) γ (x) · V dx +
T (x, →
n ) − σ→
Pt
Ce qui entraine
∂Pt
→
−
−
div σ + f (x) = ρ(x)→
γ (x)
−
∀Pt ⊂ Ωt , ∀→
x ∈ ∂Pt ,
7.3
−
∀→
x ∈ Ωt
→
−
−
−
T (x, →
n ) = σ→
n.
Formulation faible des équations de la dynamique
On peut remarquer, que dans le paragraphe précédent, on a obtenu la formulation
variationnelle suivante :
Z
Z h
Z
i −
∗
→∗
→
−
→
−
f (x)−ρ(x) γ (x) · V dx +
σ(x) : D (x) dx =
Ωt
−
→
→
−
−
T (x, →
n )· V ∗ ds = 0 (7.6)
∂ΩtF
Ωt
−
→
−
→
pour tout champ V ∗ continu, différentiable, vérifiant V ∗ (x) = u0 (x) sur le bord ∂ΩtD .
Remarque : Dans le cas de la statique, on préfèrera multiplier par un champ de déplacement virtuel, et on aura ainsi la méthode des travaux virtuels.
7.4
Théorème de l’énergie cinétique
On définit l’énergie cinétique K par
1
K=
2
Z
ρ(x)v 2 (x) dx
(7.7)
Ωt
−
→
−
alors, en prenant V ∗ (x) = →
v (x), on obtient l’égalité (théorème de l’énergie cinétique) :
dK
−
−
= Pi (→
v ) + Pe (→
v)
dt
Preuve : Elle est évidente puisque, d’après la loi de la conservation de la masse :
Z
Z
−
dK
d→
v
→
−
−
=
ρv ·
dx =
ρ→
v · γ dx.
dt
dt
Ωt
Ωt
(7.8)
Bibliographie
[1] Mécanique des milieux continus, G. Duvaut, Masson (et exercices...).
[2] Mécanique des milieux continus, J. Salençon, Ellipses.
[3] Introduction à la mécanique des milieux continus, P. Germain, P. Muller, ens. de la
physique, Masson.
[4] Mécanique des milieux continus, concepts de base, J. Coirier, Dunod.
[5] Elasticité tridimentionnelle, P. G. Ciarlet, ens. de la physique, Masson.
[6] Modélisation et résolution d’équations de la mécanique des milieux continus, M. Pogu,
G. Tournemine, Ellipses, 1992.
[7] Mechanics of continua, A. C. Eringen, Wiley, 2010.
[8] Principles of continuum mechanics, J. N. Reddy, Cambridge University Press, 2010.
[9] Elements of continuum mechanics and thermodynamics, J. L. Wegner, J. B. Haddow,
Cambridge University Press, 2009.
[10] Introduction to continuum mechanics, S. Nair, Cambridge University Press, 2009.
[11] Non linear Modeling and Analysis of Solids and Structures, S. Krenk, Cambridge
University Press, 2009.
51