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Mécanique des milieux continus
François Sidoro
To cite this version:
François Sidoro. Mécanique des milieux continus. École d’ingénieur. École Centrale de Lyon, France.
1980, pp.166. �cel-00530377v2�

Mécanique des milieux continus
F r a n ç o i s S i d o r o f f

p
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Table des matières
1Mécanique des milieux continus •••••••••••••••••• 1
1.1 Lois de conservation 1
1.1.1 Lois de la physique 1
1.1.2 Étude d’une loi de conservation 3
1.1.3 Utilisation de la loi fondamentale 6
1.2 Puissances virtuelles 7
1.2.1 Théorème des puissances virtuelles 7
1.2.2 Principe des puissances virtuelles 9
1.2.3 Théorie du premier gradient 11
1.3 Thermodynamique des milieux continus 12
1.3.1 Conservation de l’énergie 12
1.3.2 Inégalité de Clausius-Duhem 14
2Tenseur des contraintes ••••••••••••••••••••••17
2.1 Notions générales 17
2.1.1 Vecteur contrainte et tenseur des contraintes 17
2.1.2 Contraintes principales et invariants 19
2.1.3 États de contraintes particuliers 20
2.2 Représentations géométriques des contraintes 22
2.2.1 Quadriques des contraintes 22
2.2.2 Espace des contraintes principales 23
2.3 Représentation de Mohr 25
2.3.1 Tricercle de Mohr 25
2.3.2 Cercle de Mohr et pole 26
3Étude des déformations ••••••••••••••••••••••29
3.1 Grandes déformations 29
3.1.1 Description de la déformation 29
3.1.2 Le tenseur des déformations 30
3.2 Petites déformations 33
3.2.1 Hypothèse des petites perturbations 33
3.2.2 Tenseur linéarisé des déformations 34
3.2.3 Dualité contraintes–déformations 36
3.3 Compatibilite des déformations 38
3.3.1 Calcul de la rotation 38
3.3.2 Calcul du déplacement 39
i

ii TABLE DES MATIÈRES
4Lois de comportement •••••••••••••••••••••••43
4.1 Problèmes de mécanique des solides 43
4.1.1 Formulations dynamiques et quasi-statiques 43
4.1.2 Conditions aux limites 44
4.1.3 Lois de comportement 47
4.1.4 Essais classiques 49
4.2 Comportement des solides 50
4.2.1 Diversité des comportements 50
4.2.2 Modèles rhéologiques 53
5Élasticité linéaire ••••••••••••••••••••••••••57
5.1 Description du comportement élastique 57
5.1.1 Tenseur d’élasticité 57
5.1.2 Isotropie et anisotropie 59
5.1.3 Élasticité anisotrope 60
5.2 Élasticité linéaire isotrope 62
5.2.1 Coéfficients d’élasticité 62
5.2.2 Découplage déviateur et partie sphérique 64
5.3 Critère de limite d’élasticité 65
5.3.1 Forme générale du critère 65
5.3.2 Critères de Von Mises et Tresca 67
6Élasticité classique •••••••••••••••••••••••••71
6.1 Équations de l’élasticité 71
6.1.1 Problèmes reguliers 71
6.1.2 Theorème d’unicité en dynamique 73
6.1.3 Équations de Navier 74
6.1.4 Équations de Beltrami 75
6.2 Problèmes simples 76
6.2.1 Déformation d’un bloc pesant 76
6.2.2 Réservoir sphérique sous pression 78
7Problème de Saint-Venant •••••••••••••••••••••81
7.1 Traction et flexion pure 81
7.1.1 Principe de Saint-Venant 81
7.1.2 Répartition des contraintes normales 84
7.1.3 Flexion pure 85
7.2 Torsion 87
7.2.1 Section circulaire ou annulaire 87
7.2.2 Théorie générale 90
7.2.3 Calcul du déplacehent 92
7.2.4 Sections particulières 94
7.3 Flexion composée 96
7.3.1 Champ de contraintes 96
7.3.2 Calcul des efforts appliqués 99
7.3.3 Section circulaire 101
8Problèmes plans en élasticité ••••••••••••••••••• 103
8.1 Élasticité plane 103
8.1.1 Déformations planes 103
8.1.2 Contraintes planes 105
8.1.3 Utilisation de la variable complexe 106