LES FONCTIONS DE REFERENCE I. Les fonctions affines : Définition : On appelle fonction affine toute fonction définie sur IR , ou sur un intervalle de IR , par f : x ax + b avec a et b deux nombres réels. Propriétés : La représentation graphique d'une fonction affine est une droite d'équation y = ax + b. Le coefficient directeur est a et l'ordonnée à l'origine est b. Le vecteur directeur est u ( 1 ; a ). Si a > 0 la fonction est croissante . Si a = 0 la fonction est constante. La courbe représentative est une droite parallèle à l'axe des abscisses. Si a < 0 la fonction est décroissante. Tableau de variation : Si a > 0 Si a < 0 – x f(x) b a x 0 f(x) – b a 0 b b . Le point de coordonnées ( – ; 0 ) est le a a point d'intersection de la courbe représentative de f avec l'axe des abscisses. Remarques : f(x) = 0 si ax + b = 0 c'est-à dire si x = – Si x = 0 f ( 0 ) = b. Le point de coordonnées ( 0 , b ) est le point intersection de la droite représentative de la fonction f avec l'axe des ordonnées. Représentation graphique : Si a > 0 Si a = 0 Si a < 0 b b 0 0 - 0 b a - b a b Si b = 0 la fonction est dite linéaire. Sa courbe représentative est une droite passant par l'origine du repère. Exemple : Représenter dans un même repère les quatre fonction suivantes : f(x) = 10x – 2 ; g(x) = – 8x + 4 ; h(x) = 7x ; l(x) = – 3 1ère STI Ch 1 Les fonctions de référence 2010–2011 F.Tournier II. La fonction carrée : C'est la fonction définie par : f : x x² . Elle est définie sur R. Elle est paire car f( – x) = f(x) . Sa représentation graphique est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Elle passe par l'origine , c'est une parabole. La fonction f est décroissante pour x négatif et croissante pour x positif. Tableau de variation : x Courbe représentative : 0 f(x) 0 0 III. La fonction cube : C'est la fonction définie par : f : x x3 . Elle est définie sur R. Elle est impaire car f( – x) = – f(x) . Sa représentation graphique est symétrique par rapport à l'origine. Elle passe par l'origine . La fonction f est croissante pour tout x . Tableau de variation : Courbe représentative : x 0 f(x) 0 0 1ère STI Ch 1 Les fonctions de référence 2010–2011 F.Tournier 3 IV. La fonction inverse : 1 C'est la fonction définie par : f : x . x Elle n'est pas définie en 0. Son ensemble de définition est ] – ;0[ ]0;+ [. Elle est impaire car f( – x) = – f(x) . Sa représentation graphique est symétrique par rapport à l'origine . C'est une hyperbole. La fonction f est décroissante sur les deux intervalles de son domaine de définition.. Tableau de variation : x Courbe représentative : 0 f(x) La double barre dans le tableau de variation indique que la fonction n'est pas définie pour la valeur 0. 0 V. La fonction racine carrée : C'est la fonction définie par : f : x x . Elle n'est définie que pour des nombres positifs. Son ensemble de définition est [ 0 ; + [. Elle n'est ni paire ni impaire car son ensemble de définition n'est pas symétrique par rapport à 0. . Sa représentation graphique passe par l'origine . La fonction f est croissante sur son domaine de définition. Tableau de variation : x Courbe représentative : 0 f(x) 0 0 1ère STI Ch 1 Les fonctions de référence 2010–2011 F.Tournier 4 VI. Les fonctions trigonométriques : 1) La fonction cosinus : f(x) = cos(x) Son ensemble de définition est IR . Pour tout x de IR on a : – 1 cos(x) 1 Rappel sur le cercle trigonométrique : Tableau de valeurs : x en radians cos x – –1 – 2 0 – 3 1 2 – 4 2 2 – 6 3 2 0 1 6 3 2 Représentation graphique : 1ère STI Ch 1 Les fonctions de référence 2010–2011 F.Tournier 4 2 2 3 1 2 2 0 –1 5 Propriétés importantes : a) La fonction cosinus est 2 – périodique c'est–à–dire que cos(x) = cos( x + 2 ) = cos ( x – 2 Pour tout réel x on a cos(x) = cos( x + 2 k ) avec k ZZ ( entiers relatifs ). )… b) La fonction cosinus est paire . En effet pour tout réel x , cos( x ) = cos( – x ) Sa représentation graphique est donc symétrique par rapport à l'axe des abscisses. 2) La fonction sinus : f(x) = sin(x) Son ensemble de définition est IR . Pour tout x de IR on a : – 1 sin(x) 1 Tableau de valeurs : x en radians sin x – 0 – 2 –1 – 3 3 – 2 – 4 2 – 2 – 6 1 – 2 0 0 6 1 2 4 2 2 3 3 2 2 1 0 Représentation graphique : Propriétés importantes : a) La fonction sinus est 2 – périodique c'est–à–dire que sin(x) = sin( x + 2 ) = sin( x – 2 Pour tout réel x on a sin(x) = sin( x + 2 k ) avec k ZZ ( entiers relatifs ). b) La fonction sinus est impaire . En effet pour tout réel x , sin( x ) = – sin( – x ) Sa représentation graphique est donc symétrique par rapport à l'origine du repère. 1ère STI Ch 1 Les fonctions de référence 2010–2011 F.Tournier )… 6 VI. Utilisation des fonctions de référence : 1) Opérations sur les fonctions : f et g sont deux fonctions définies sur un intervalle I de IR. . est un réel quelconque. a) Somme de deux fonctions : La fonction f + g est définie sur l'intervalle I par f + g : x (f + g )(x) = f(x) + g(x) b) Produit de deux fonctions : La fonction f . g est définie sur l'intervalle I par f . g : x ( f . g )(x) = f(x) g(x) c) Produit d'une fonction par un réel : La fonction f est définie sur l'intervalle I par f : x ( f )(x) = f(x) d) Elévation au carré d'une fonction : La fonction f ² est définie sur l'intervalle I par f ² : x f ² (x) = [ f(x)] ² 2) Composition de deux fonctions : f et g sont deux fonctions définies sur IR . On appelle composée de f par g la fonction définie sur IR , notée g o f ( g "rond" f ) telle que : g o f (x) = g [ f(x)]. Exemple : f(x) = 2x – 5 et g(x) = x² sont deux fonction définies sur IR . La fonction g o f est définie sur IR par : f : x 2x – 5 = X g : X X ² = ( 2x – 5 ) ² donc g o f (x) = g [ f(x)] = g ( 2x – 5 ) = ( 2x – 5 ) ² . Attention : on peut aussi définir la fonction f o g ! g : x x² = X f : X 2X – 5 = 2x² – 5 donc f o g (x) = f [ g(x)] = f ( x² ) = 2x² – 5 . On constate donc immédiatement sur cet exemple que g o f (x) f o g (x) . 1ère STI Ch 1 Les fonctions de référence 2010–2011 F.Tournier