Chapitre 1.2b – La dynamique du mouvement harmonique simple

Chapitre 1.2b –
La dynamique du mouvement
harmonique simple : le pendule simple
Le pendule simple
Le pendule simple est constitué d’une masse m attachée à une corde tendue de longueur L et de masse
négligeable fixé à un point donné :

Relation entre le
système d’axe x et θ :
x  L
L
m
xm 
0
 La masse se déplace sur une trajectoire circulaire de rayon L (longueur de la corde).
 On utilise l’axe x pour mesurer la position de la masse sur l’arc de cercle défini par un angle
d’ouverture θ.
 La position x  0 est mesurée lorsque l’arc de cercle correspond à un angle d’ouverture de 0 .
 La relation entre le système d’axe x et θ est x  L .
Le pendule simple dans un champ gravitationnel
Lorsque le pendule est uniquement soumis à la présence d’un champ gravitationnelle, nous obtenons le
schéma des forces suivant :
r ' m 

g

L

T

aC
m
0

aT
xm 

maT

T

maC

g


mg


mg
Puisque la corde doit toujours être tendue durant le mouvement, le pendule doit effectuer un
mouvement dans un plan vertical.


Appliquons la 2ième loi de Newton (  F  ma ), aux systèmes d’axe x et r’:
En x :
 mg sin    ma x
En r’ :
T  mg cos   ma r '
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 1
Le mouvement selon r’ a déjà été étudié dans le cours de mécanique1. Avec la définition de
l’accélération centripète ( aC  v 2 / r ), nous pouvons conclure que :
T  mg cos   m
v2
r
où
a r '  aC 
v2
r
Il n’y a pas d’équation du mouvement selon r’, car la corde doit toujours être tendue. Ainsi, il n’y a pas
de mouvement radial. Par contre, la tension dans la corde n’est pas constante et dépend de l’équation
suivante :
v2
T  m  mg cos 
r
(Tension dans la corde)
Le mouvement selon x n’a pas été encore étudié. Développons l’équation obtenue à partir de la 2ième loi
de Newton pour ainsi obtenir l’équation du mouvement :
 mg sin    ma x

 g sin    a x
(Isoler a x et simplifier m)

x
 g sin    a x
L
(Arc de cercle x  L , remplacer  
x
)
L
Remarque : À partir de cette relation, il est très difficile de déduire les équations du mouvement.
Développement de la fonction sinus
La série de Taylor est un outil mathématique permettant de transformer n’importe quelle fonction
continue et dérivable en une addition de plusieurs polynômes. La série doit être construite autour
d’une valeur numérique précise a. L’addition des premiers termes de la série de Taylor donne une
bonne approximation de la fonction f(x) seulement si la valeur de x est près de la valeur a. Si l’on
prend une valeur x trop grande, il faut additionner beaucoup de termes de la série pour avoir une
approximation valable. Si a  0 , la série porte le nom de série de Maclaurin :

f x   
n 0
f n  a 
 x  a n
n!
Voici quelques exemples :
(Autour de a  0 )
e
x
(Autour de a  0 )
cos x 
(Autour de a  0 )
sin  x 
1

xn
x2 x3
e 
 1 x 

 ...
2
6
n 0 n !
x
n

 1 2 n
x2 x4
x6
cos x   


 ...
x  1
2 24 720
n  0 2 n !

 1n x 2 n1  x  x 3  x 5  x 7  ...
sin  x   
6 120 5040
n  0 2n  1!

Rappel de mécanique : Physique XXI Volume A, chapitre 2.6
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 2
Examinons davantage la fonction sinus. Si x  1 ( x  0 ), on peut utiliser le développement en série de
Taylor et affirmer que : (développement avec a  0 )
sin  x   x 
x3 x5
x7


 ...
6 120 5040
En prenant seulement le premier terme de la série, nous approximons la fonction sinus lorsque x  1
de la façon suivante. Cette équation est l’approximation de la fonction sinus pour des petits angles
mesurés en radian : (x est en radian)
sin  x   x
(Approximation de sin  x  lorsque x  1 )
Le pendule simple à petite oscillation
À partir de l’approximation de la fonction sinus pour des petits angles, nous pouvons simplifier le
problème précédent et le résoudre pour des petits déplacements x par rapport à la longueur de la corde
L:
 g sin    a x




(Série de Taylor, sin     )
 g   ax
x
 g   ax
L
g
 x  ax
L
(Arc de cercle x  L , remplacer  
x
)
L
(Manipulation)
 0 x  a x
(Remplacer  0  g / L )
2
2
Nous retrouvons la relation d’accélération établie pour le mouvement harmonique simple avec une
fréquence angulaire naturelle  0 :
0 
où
g
L
 0 : Fréquence angulaire naturelle de l’oscillation du pendule (rad/s).
g : Champ gravitationnel (N/kg ou m/s2).
L : Longueur de la corde (m).
Ainsi, nous pouvons conclure que la masse du pendule effectue un mouvement sinusoïdale de la
forme suivante lorsque A / L  1 : (   1 rad ,   57,3 )
xt   A sin0 t   
où
où
0  g / L
xt  : Position de la masse selon l’axe x, x  0 (   0 ) est à l’équilibre (m).
A : Amplitude du mouvement (m).
 0 : Fréquence angulaire naturelle de l’oscillation du pendule (rad/s).
 : Constante de phase (rad).
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 3
Situation 4 : Un pendule pour compter les secondes. On désire déterminer la longueur
de la corde d’un pendule pour que la période naturelle d’oscillation (près de la surface de
la Terre) soit de 1 s. (On suppose que l’amplitude d’oscillation est petite.)
À partir de la relation entre la fréquence angulaire naturelle du pendule et sa période naturelle
d’oscillation, nous pouvons évaluer la longueur de la corde requise :
0 
2
T0

g 2

L T0

g 4 2

L T0 2

gT
L  02
4
(Fréquence angulaire naturelle du pendule)
(Mettre au carré)
2

2

9,81
L

L  0,248 m
4 2
(Isoler L)
(Remplacer les valeurs numériques)
Les oscillations de grande amplitude
Pour satisfaire l’équation du mouvement du pendule à petite oscillation, il faut que l’angle d’élévation
maximale  max soit beaucoup plus petit que 1 radian ( 57,3 ).
Voici un tableau démontrant l’inexactitude de la fréquence angulaire  0  g / L lorsque l’amplitude
du mouvement est trop importante. Ce tableau est exprimé en fonction de la période de l’oscillation
T  2 /  0 . On a utilisé un pendule de longueur L  0,248 m sur la planète Terre ( g  9,8 N/kg ) :
 max
T s 
5
10
15
20
30
45
60
1,0005
1,002
1,004
1,008
1,02
1,04
1,07
Ainsi, l’approximation du mouvement du pendule à petite oscillation verra valide pour des
mouvements ne dépassant pas un angle d’élévation de 15 .
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 4
Situation A : La tension à un moment donné. Un pendule de 2 kg et de 4 m de longueur effectue des
oscillations avec une amplitude maximale de 10o. Lorsque le pendule fait un angle de 0o avec la
verticale, on initialise un chronomètre à t  0 . On désire évaluer la tension dans la corde à
3,5 secondes.
L’équation du mouvement aura la forme suivante :
x  A sin  t   
À partir de l’amplitude maximale exprimée en degré, nous pouvons obtenir l’amplitude A de l’équation
du mouvement :
2 

x max  L max

x max  410 

360 


x max  0,698 m

A  0,698 m
Puisque   0 à t  0 , nous avons également x  0 à t  0 . Ainsi, notre constante de phase  sera :
0  A sin  0   
x  A sin t   


0  A sin  

  0,  
(   0  vers les  ,     vers les  )

  0 rad
(Prenons   0 , information non précisée)
Voici une représentation graphique de l’arcsinus et de ses solutions :
vx  0
y
vx  0
0
0
π
x
Nous pouvons évaluer la fréquence angulaire naturelle du pendule :
0 
g
L
9,8
4

0 

 0  1,565 rad/s
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 5
Nous avons l’équation de la position suivante :
x  0,698 sin 1,565t 
Avec la dérivée, nous pouvons évaluer l’équation de la vitesse :
vx 
dx
dt
d0,698 sin 1,565t 
dt

vx 

v x  0,6981,565 cos1,565t 
(Évaluer la dérivée)

v x  1,092 cos1,565t 
(Simplifier)
(Remplacer x )
Nous pouvons évaluer la vitesse tangentielle du pendule à 3,5 s :
v x t  3,5  1,092 cos1,5653,5

v x t  3,5  0,756 m/s
Évaluons la position du pendule à 3,5 s :
xt  3,5  0,698 sin 1,5653,5
xt  3,5  0,503 m

Nous pouvons obtenir l’angle d’élévation à 3,5 s :
x  L

 0,503  4

  0,126 rad
(   7,205 )
Évaluons la tension dans la corde à 3,5 s :
F
r'
 ma r '

T  mg cos   maC

T  mg cos   m

v
T  m x  mg cos 
L
(Isoler T et remplacer r  L , v  v x )

v 2

T  m x  g cos 
 L

(Factoriser m)


 0,7562
T  2
 9,8 cos 0,126

 4
(Remplacer valeurs numériques, en radian)

T  2 0,143  9,723
(Calculs)

T  19,73 N
(Tension dans la corde)
v2
r
(Tension et force gravitationnelle)
(Accélération centripète, aC  v 2 / r )
2
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 6
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 7
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 8