Chapitre 1 : Emergence du chaos Objectifs du chapitre > Introduire la notion de chaos > Illustrer quelques systèmes chaotiques Fin du déterminisme en mécanique classique • Mécanique Newtonienne : système à N corps d2⌃ri mi 2 = F⌃i dt i = {1, ..., N } Tous les systèmes physiques (matériels) conduisent le physicien à étudier N corps en interaction : électrons, ions, molécules, corps célèstes, ... • Problème à deux corps : système Soleil-Terre 4 2 a3 T = GM 2 G = 6.674 10 T - déterminisme absolu S lois de Kepler - pas de surprise 11 N(m/kg)2 • Problème des trois corps (Euler, Lagrange, Jacobi, Poincaré) - Laplace et Lagrange : linéarisation des équations > recherche de points stables L5 R r L3 soleil L1 L2 terre L4 > seuls L1, L2 et L3 sont stables - stabilité céleste : Soleil-Terre-Lune L T S d2⇧ri mi 2 = dt j=i ⇧rj mi mj |⇧rj ⇧ri ⇧ri |3 i = {1, 2, 3} > problème très difficile même contraint dans un plan ! > la perturbation du problème à deux corps par le 3ème ne suffit pas. - des trajectoires régulières néanmoins : 1 3 2 3 2 1 3 1 Lagrange (1772) 2 Euler (1744) Moeckel-Moore (1993) - héritage de Poincaré : sensibilité des conditions initiales 2 horizon de Lyapunov : d = ⇥ exp 1 30 3 d système solaire : = 200 My problème numérique ! t ⇥ Chaos déterministe • Pas de définition précise ! • Ingrédients : - visites récurrentes de régions de l’espace des phases - sensibilité aux conditions initiales ẏ y y section de Poincaré horizon de prédictabilité t • Remarques additionnelles : - mécanique Hamiltonienne (théorème de KAM) - une équation différentielle n’a pas nécessairement de solution analytique. Trois types de dynamique p • Déterministe : dynamique totalement prévisible trajectoire bien définie dans l’espace des phases q p • Chaotique : dynamique imprévisible à long terme trajectoire complexe dans l’espace des phases structures visibles q non-ergodique p • Stochastique : dynamique aléatoire système couvre tout l’espace des phases pas de récurrence ergodique q Exemple 1 - des pendules qui donnent l’heure ? • Du pendule simple au pendule double simple [applet] forcé [applet] double [applet] gravité gravité dissipation forçage gravité couplage d2 = dt2 g sin R d2 = dt2 A cos(kt) g sin + R mR2 d b dt d2 1 = f1 ( 1 , ˙1 , 2 dt 2, 2) d2 2 = f2 ( 1 , ˙1 , 2 dt 2, 2) ˙ ˙ • Sections de Poincaré simple forcé Sensibilité aux conditions initiales d’un pendule ! double Exemple 2 - l’axe de rotation de Hypérion • Hypérion Hypérion - découvert par Bond&Bond et Lassel (1848) - lune non-sphérique de Saturne (multipôle gravifique) - 370 km x 280 km x 226 km - influences gravifiques de Saturne et Titan inclinaison p/r orbite ✓ d2 ✓ 2 + ! 0 sin(2✓ 2 dt mt) = 0 • Pirouettes de l’axe de rotation d’Hypérion simulation La luminosité varie avec l’orientation. Section de Poincaré [vitesse,orientation] Hypérion est le seul objet du système solaire à se distinguer par un mouvement chaotique de son axe de rotation. Exemple 3 - le pendule magnétique • Trois aimants placés sur les sommets d’un triangle équilatéral - 3 pôles d’attraction (xi , yi ) - dissipation (R) - oscillations du pendule (C) • Equations (système 2d) : 2 équations différentielles couplées ẍ + Rẋ 3 ⇤ i=1 ÿ + Rẏ 3 ⇤ i=1 xi ⌅ (xi ⌅ (xi x x)2 + (yi yi y)2 + d2 y x)2 + (yi y)2 + d2 ⇥3 + Cx = 0 ⇥3 + Cy = 0 • Sensibilité aux conditions initiales - bassins d’attraction (3) - structures invariantes d’échelle Exemple 4 - les inversions du champ magnétique • Champ magnétique terrestre : la magnétostratigraphie révèle des inversions • Effet dynamo de Bullard (1955) di potentiel : !M i = L + ri dt d! = ⌧ M i2 couple : I dt ⇥ B (2 équations différentielles couplées) i 2 ⌧ = cte ! 1 i 0.5 0 0 5 10 Time 15 20 Figure 2: Numerical integration of Bullard’s single disk system, plotted in arbitrary units. Pictured as a solid red curve is the current with time, and as a dashed blue curve is the angular velocity with time. The initial parameters are !0 = 2 and Angular Velocity 1.5 2 Current di1 ! 1 M1 i 2 = L 1 + R1 i 1 0 dt di2 IV. HIDE’S MODIFICATION! M i = L + R2 i 2 2 2 1 2 2 dt d!1 In 1995, Raymond Hide found a disturbing problem I1 with= ⌧1 M -4 1 i1 i2 dtits the Rikitake dynamo, which dramatically impacted 0 2 feasibility as a physical model[7]. In an e↵ort to d! make I2 = ⌧2 M2 i 1 i 2 dt 50 Figure 7: Numerical int arbitrary units. The so disk, and the dashed b The initial parameters damping terms were k1 chaotic reversals initial out. 4 2 Current • Modèle than the Bullard dynamo. Unfortunately, two coupled disk dynamos do not resemble the spherical geometry deofRikitake : couplage dynamos the sun, (1958) and frictional forces,deasdeux we will see in the next section, tend to decrease the chaotic behavior of the system, presenting another problem. 0 -2 -4 the system more phys in the two Rikitake t were -6 0 10 20 Time 30 40 ! M I = Exemple 5 - Perturbations d’une boussole Bk = B0 sin(!t) ~k B µ ~ ✓ =I = |µ B | d2 ✓ I 2 = µB0 sin(!t) sin(✓) dt périodique doublement de période 2 2 1 1 ✓0 ✓0 -1 -1 -2 0 2 chaotique 5 10 15 t 20 -2 0 2 1 5 10 15 t 20 5 10 15 t amortissement 1 ✓0 ✓ -1 -2 d✓ ⇠ dt 0 -1 0 5 10 15 t 20 -2 0 20