cosx 1 (x) 0

TS. Évaluation 3 - Correction ♣
EX1 : ( 2 points ) Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes définies sur .
1. f(x)=p3x2+2x+1
f=pU avec U(x)=3x2+2x+1
f0=U0
2pUavec U0(x)=6x+2=2(3x+1)
f0(x)=−
2(3x+1)
2p3x2+2x+1⇐⇒ f0(x)=3x+1
p3x2+2x+1
fonction dérivée
pUU0
2pU
2. f(x)=¡3x2+6x−5¢5
f=U5avec U(x)=3x2+6x−5
f0=5.U4×U0avec U0(x)=6x+6=6(x+1)
f0(x)=5ס3x2+6x−5¢4×6(x+1)
f0(x)=30(x+1)¡3x2+6x−5¢4
fonction dérivée
Unn.Un−1×U0
3. f(x)=1
¡3x2+1¢2
f=1
Vavec V(x)=¡3x2+1¢2
f0=−V0
V2avec V0(x)=2¡3x2+1¢×(6x) , et V2(x)=³¡3x2+1¢2´2=¡3x2+1¢4
f0(x)=−12x
¡3x2+1¢
¡3x2+1¢4⇐⇒ f0(x)=−12x
¡3x2+1¢3
fonction dérivée
1
V−V0 V2
U22.U ×U0
EX2 : ( 5 points ) Famille de fonctions
On considère pour k réel, la fonction fkdéfinie sur l’intervalle I=[0 ; 2π]par fk(x)=x+ksinx.
On a représenté ci-dessous dans un repère orthonormé ³O,−→ ı,−→ ´du plan, la courbe C1et une autre courbe Cmpour une
certaine valeur entière de m ainsi que sa tangente en 0.
1. a. Quelle conjecture peut-on faire graphiquement
sur le sens de variation de la fonction f1?
Je conjecture que la fonction f1est croissante
sur I =[0 ; 2π]
b. Justifier cette conjecture par le calcul.
f1(x)=x+sinxest dérivable sur I =[0 ; 2π] et
f0
1(x)=1+cosx
Or pour tout réel x:−16cos x61
donc 1+cosx>0⇐⇒ f0
1(x)>0
donc f1est croissante sur I =[0 ; 2π]
2. Justifier que toutes les courbes Ckpassent par le point
Oet par deux autres points fixes (indépendant de k)
dont on donnera les coordonnées.
y
−π
−π
2
π
2
π
3π
2
2π
0π
2π3π 22πx
A
B
C1
Cm
•fk(0) =0+k.sin0 =0 donc O(0 ; 0) ∈Ck
•fk(π)=π+k.sinπ=πdonc A(π;π)∈Ck
•fk(2π)=2π+k.sin2π=2πdonc B(2π; 2π)∈Ck

3. a. Calculer f 0
m(0).
f0
m(x)=1+mcosxdonc f0 m(0) =1+mcos0 =1+m
b. À l’aide du graphique, en déduire la valeur de m.
Graphiquement, le coefficient directeur de la tangente à Cmen 0 vaut −1
donc f0
m(0) =−1⇐⇒ 1+m=−1⇐⇒ m=−2
c. Déterminer les valeurs exactes en lesquelles fmatteint son minimum et son maximum.
f0
m(x)=f0
(−2)(x)=1−2cosxet 1−2cosx>0⇐⇒ cosx61
2
D’où le tableau des variations de f(−2) :
x
f0
(−2)(x)
f(−2)(x)
0π
35π
32π
−1−0+0−
00
π
3−p3
π
3−p3
5π
3+p3
5π
3+p3
2π2π
~
O
π
3
5π
3
1
2
f³π
3´=π 3−2.p3 2=π
3−p3 et fµ5π
3¶=5π 3−2.−p3 2=5π
3+p3
d. Justifier que la courbe C(−2) est située au dessus de sa tangente en 0sur l’intervalle I=[0 ; 2π].
Pour étudier la position relative de C−2et de sa tangente en 0 d’équation y= −x, je cherche le signe de
d(x)=f(−2)(x)−(−x)=x−2sinx+x=2x−2sinx
d0(x)=2−2cos xdonc d0(x)>0 sur I =[0 ; 2π] car pour tout réel x,−16cosx61
Par suite la fonction dest croissante sur I =[0 ; 2π] et comme d(0) =0 on a d(x)>d(0) ⇐⇒ d(x)>0
f(−2)(x)>x:la courbe C(−2) est située au dessus de sa tangente en 0 sur l’intervalle I =[0 ; 2π].
EX3 : ( 3 points ) QCM -Les questions faisant apparaître le symbole ♣peuvent présenter une ou plusieurs bonnes
réponses. Les autres ont une unique bonne réponse. Des points négatifs pourront être affectés à de mauvaises réponses.
Questions Réponses
1. Soit fla fonction définie sur par f(x)=cos(cosx)
alors, pour tout x;f0(x) est égal à : −sin(cosx)×(−sinx)
−sinx×sin(cosx)
r
3sinx×sin(cosx)
2sin x×cos x
2. fest une fonction telle que f(1) =3 et f0(1) =−1,
alors la tangente à la courbe représentative de fau point d’abscisse 1
a pour équation : y=f0(1)×(x−1)+f(1) =−(x−1)+3=−x+4
y=−x+5
r
3y=−x+4
y=3x−4
y=−x+3
3. ♣Soit fune fonction dérivable en a; alors le nombre dérivé de fen aest :
f(a+h)−f(a)
hr
3lim
x→0
f(a+x)−f(a)
xr
3lim
x→a
f(x)−f(a)
x−alim
x→0
f(x)−f(a)
x
4. La courbe représentative de fdéfinie sur par f(x)=x
x2+2
n’admet pas de tangente parallèle à la droite d’équation y=−1
4x.
L’équation f0x)=−1
4n’admet pas de solution dans .
Faux
r
3Vrai
5. La limite en 0 de la fonction fdéfinie sur par
f(x)=cosx−1
xest : lim
x→0
cosx−cos0
x−0=cos0(0) =−sin(0) =0
r
30
+∞
1
6. fest une fonction dérivable sur telle que pour tout xde :
f(x)−f(−x)=2xalors, pour tout réel xon a :
f0(x)−f0(−x)×(−1) =2
r
3f0(x)+f0(−x)=2
f0(x)−f0(−x)=2
f0(x)+f0(x)=2