Problèmes de révisions à rendre pour le 2 novembre. Problème 1. (i

Problèmes de révisions à rendre pour le 2 novembre.
Problème 1.(i) Déterminer des représentants de Cl(−132) ainsi que ses classes ambiguës.
(ii) Déterminer l’ensemble Cdes carrés de Z/11Z.
(iii) Soit nun entier. Montrer que si n≡2 mod 3, alors nn’est pas représenté par les formes
x2+ 33y2et 6x2+ 6xy + 7y2. Montrer de même que si n
11 =−1alors nn’est pas représenté
par 3x2+ 11y2.
(iv) En déduire que tout nombre premier p≡5 mod 12 tel que pmod 11 /∈Cest de la forme
2x2+ 2xy + 17y2. Vérifier ce résultat sur quelques exemples.
Problème 2.(Théorème de Rabinowitz) Soit kun entier ≥2. On se propose de démontrer
l’équivalence entre les propriétés suivantes :
(a) x2+x+kest un nombre premier pour tout entier 0≤x<k−1,
(b) x2+x+kest un nombre premier pour tout entier 0≤x < pk/3−1/2,
(c) |Cl(1 −4k)|= 1.
(i) Montrer (b) ⇒(c) (penser aux formes réduites).
(ii) Soit n∈Znon carré et représenté par la forme (1,1, k). Montrer n≥k.
(iii) Montrer que si une forme qreprésente primitivement l’entier n, et si mest un diviseur de n,
alors il existe une forme q0de même discriminant que qet qui représente primitivement l’entier
m.
(iv) En déduire (c) ⇒(a).
(v) Conclure, puis expliquer l’observation d’Euler : les 40 premières valeurs du polynôme X2+
X+ 41 sont des nombres premiers.
Problème 3.(i) Soient Aun groupe abélien et u:A→Aun morphisme de groupes. On
suppose que Apossède une Z-base finie e1, . . . , enet l’on note U= (ui,j )∈Mn(Z)la matrice
de udans cette base, définie par les égalités u(ej) = Pn
i=1 ui,j eipour 1≤j≤n. On suppose
enfin det U6= 0. Montrer que Im uest un sous-groupe de Ad’indice fini et égal à |det U|.
(ii) (Application) Soient D∈Zun discriminant <0et x∈AD− {0}. Montrer que le groupe
quotient AD/xADest fini et de cardinal égal à N(x) = xx.
Problème 4.Soient dun entier <0et A=Z[√d]. On se propose de démontrer que si l’anneau
Aest principal alors on a d=−1ou −2. Soient a, b ∈Zavec a > 0; on note Ia,b le sous-groupe
aZ+ (b+√d)Z⊂A.
(i) Montrer que Ia,b est un idéal de Asi, et seulement si, adivise b2−d.
(ii) Montrer |A/Ia,b|=a.
(iii) Montrer que si Iest un idéal principal de A, alors |A/I|est soit ≥ |d|, soit un carré.
(iv) Conclure.
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