3 - Dérivation : correction

TES AP n°3 : Corrigé
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TES AP n°3 : Corrigé
On considère dans cette feuille des fonctions dérivables sur un intervalle I et a un élément de I.
I Différentes situations qui permettent de préciser le nombre dérivé d’une fonction en un réel a
Situations 1 : La tangente est tracée on demande le nombre dérivé
T est la tangente à la courbe représentative d’une fonction f au point
A.
 Par lecture graphique
' 3 2f
 Par le calcul :
42
' 3 2
43
BA
BA
yy
fxx
Situation 2 : On connaît l’équation de la tangente
L’équation de réduite de la tangente T à la courbe représentative d’une fonction f au point d’abscisse 2 est :
25
3
yx
. On a donc
2
'2 3 f
.
Situation 3 : On connaît la fonction
Soit f la fonction définie sur par
232f x x x  
.
La fonction f est dérivable sur et, pour tout x réel,
' 2 3f x x
donc
' 3 2 3 3 3f   
.
Applications
Exercice 1
' 2 2f
;
4 1 3
' 0 2
0 1,5 1,5
f
;
La tangente à la courbe au point d’abscisse
1
a pour équation :
45yx
donc
' 1 4f
. La fonction f est dérivable sur et
pour tout x réel,
' 2 2f x x  
donc
' 3 2 3 2 6 2 4f        
.
Exercice 2
Lire dans chaque cas le nombre dérivé de la fonction f ,
représentée par la courbe C, en a abscisse du point A.
a)
31
' 2 1
42
f
; b)
3 1 2
'3 0 3 3 f
;
c)
' 3 0f
car T est parallèle à l’axe des abscisses ;
d)
21 3
'1 1 3 4 f
.

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Exercice 3 Vrai-Faux
La courbe C ci-contre est la représentation graphique d’une fonction
f définie et dérivable sur .
Les points A et B appartiennent à C :
0; 4A
et
0,5;0B
.
La courbe C admet pour tangente en A la droite T et pour tangente
en D une droite parallèle à l’axe des abscisses.
Pour chacune des affirmations ci-dessous, indiquer si elle est vraie
ou fausse et justifier vitre réponse.
1.
0 0,5f
FAUX
Le point de C d’abscisse 0 a pour ordonnée
4
.
2. L’équation
2fx
admet une unique solution dans l’intervalle
5;8
. VRAI
Sur la courbe C il y a deux points d’ordonnée 2 l’un d’abscisse 1 et l’autre d’abscisse 7.
3. Deux nombres de
0;10
ont pour image 3 VRAI
Il y a deux points de C d’ordonnée 3.
4. Le nombre dérivé de f en 0 est 9. VRAI
Le coefficient de la tangente T à C au point d’abscisse 0 a pour coefficient directeur 9.
5.
' 2,5 4f
FAUX
La tangente à C au point d’abscisse 2,5 est parallèle à l’axe des abscisses donc
' 2,5 0f
.
6. La tangente à C au point d’abscisse 5 a pour équation :
2yx
. FAUX
Sur l’intervalle
2,5;10
la fonction f est strictement décroissante donc pour tout x de
2,5;10
,
'0fx
.
Le coefficient de est négatif donc il ne peut pas être égal à 1.
II Autour de la formule donnant l’équation réduite d’une tangente à la courbe d’une fonction f au
point d’abscisse a
Compléter la formule et le graphique ci-dessus en utilisant les mots : abscisse, coefficient directeur et
ordonnée.
'fa
est le coefficient directeur de la tangente à C au point A.
a est l’abscisse de A et
fa
est l’ordonnée de A.

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Application
Exercice 4
Dans un repère C est la courbe représentative d’une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
Dans chacun des cas, déterminer une équation de la tangente à C au point d’abscisse a.
a)
2
3 5 1f x x x  
1a
T a pour équation :
' 1 1 1y f x f  
La fonction f est dérivable sur et pour tout x réel,
' 6 5f x x
. Donc
' 1 6 5 1f  
.
1 3 5 1 1f    
.
T a pour équation :
11yx  
soit T :
2yx
.
b)
23
f x x x  
0a
T a pour équation :
' 0 0 0y f x f  
La fonction f est dérivable sur et pour tout x réel,
2
' 2 3f x x x  
. Donc
' 0 0f
.
00f
.
T a pour équation :
0y
.
d)
5
34 fx x
3a
T a pour équation :
' 3 3 3y f x f     
La fonction f est dérivable sur
4; 
et pour tout x de
4; 
,
22
15
'5 44 fx xx
.
Donc
22
55
' 3 5
1
34
f   
.
5
3 3 3 5 2
34
f      
.
T a pour équation :
5 3 2yx   
soit
5 3 2yx  
,
5 15 2yx  
.
T :
5 13yx
.