3 - Dérivation : correction

TES
AP n°3 : Corrigé
On considère dans cette feuille des fonctions dérivables sur un intervalle I et a un élément de I.
I Différentes situations qui permettent de préciser le nombre dérivé d’une fonction en un réel a
Situations 1 : La tangente est tracée on demande le nombre dérivé
T est la tangente à la courbe représentative d’une fonction f au point
A.
 Par lecture graphique f ' 3  2
y  yA 4  2

2
 Par le calcul : f '  3  B
xB  x A 4  3
Situation 2 : On connaît l’équation de la tangente
L’équation de réduite de la tangente T à la courbe représentative d’une fonction f au point d’abscisse 2 est :
2
2
y  x  5 . On a donc f '  2   .
3
3
Situation 3 : On connaît la fonction
Soit f la fonction définie sur
par f  x   x2  3x  2 .
La fonction f est dérivable sur
et, pour tout x réel, f '  x   2x  3 donc f ' 3  2  3  3  3 .
Applications
Exercice 1
f '  2  2 ; f '  0  
4 1
3

2 ;
0   1,5  1,5
La tangente à la courbe au point d’abscisse 1 a pour équation :
y  4 x  5 donc f '  1  4 . La fonction f est dérivable sur et
pour tout x réel, f '  x   2x  2 donc
f ' 3  2  3  2  6  2  4 .
Exercice 2
Lire dans chaque cas le nombre dérivé de la fonction f ,
représentée par la courbe C, en a abscisse du point A.
3 1
3 1
2
a) f '  2  
 1 ; b) f '  3 
 ;
42
03
3
c) f ' 3  0 car T est parallèle à l’axe des abscisses ;
d) f '  1 
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2   1
3
 .
1  3
4
1
Exercice 3 Vrai-Faux
La courbe C ci-contre est la représentation graphique d’une fonction
f définie et dérivable sur .
Les points A et B appartiennent à C : A  0; 4  et B  0,5;0 .
La courbe C admet pour tangente en A la droite T et pour tangente
en D une droite parallèle à l’axe des abscisses.
Pour chacune des affirmations ci-dessous, indiquer si elle est vraie
ou fausse et justifier vitre réponse.
1. f  0  0,5 FAUX
Le point de C d’abscisse 0 a pour ordonnée 4 .
2. L’équation f  x   2 admet une unique solution dans l’intervalle 5;8 . VRAI
Sur la courbe C il y a deux points d’ordonnée 2 l’un d’abscisse 1 et l’autre d’abscisse 7.
3. Deux nombres de 0;10 ont pour image 3 VRAI
Il y a deux points de C d’ordonnée 3.
4. Le nombre dérivé de f en 0 est 9. VRAI
Le coefficient de la tangente T à C au point d’abscisse 0 a pour coefficient directeur 9.
5. f '  2,5  4 FAUX
La tangente à C au point d’abscisse 2,5 est parallèle à l’axe des abscisses donc f '  2,5  0 .
6. La tangente  à C au point d’abscisse 5 a pour équation : y  x  2 . FAUX
Sur l’intervalle 2,5;10 la fonction f est strictement décroissante donc pour tout x de 2,5;10 , f '  x   0 .
Le coefficient de  est négatif donc il ne peut pas être égal à 1.
II Autour de la formule donnant l’équation réduite d’une tangente à la courbe d’une fonction f au
point d’abscisse a
Compléter la formule et le graphique ci-dessus en utilisant les mots : abscisse, coefficient directeur et
ordonnée.
f '  a  est le coefficient directeur de la tangente à C au point A.
a est l’abscisse de A et f  a  est l’ordonnée de A.
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2
Application
Exercice 4
Dans un repère C est la courbe représentative d’une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
Dans chacun des cas, déterminer une équation de la tangente à C au point d’abscisse a.
a) f  x   3x2  5x  1 a  1
T a pour équation : y  f ' 1 x 1  f 1
La fonction f est dérivable sur
et pour tout x réel, f '  x   6x  5 . Donc f ' 1  6  5  1 .
f 1  3  5  1  1 .
T a pour équation : y   x 1 1 soit T : y  x  2 .
b) f  x    x2  x3
a0
T a pour équation : y  f '  0 x  0  f  0
La fonction f est dérivable sur
et pour tout x réel, f '  x   2x  3x2 . Donc f '  0  0 .
f  0  0 .
T a pour équation : y  0 .
5
d) f  x   3 
a  3
x4
T a pour équation : y  f '  3  x   3   f  3

1 
5

La fonction f est dérivable sur 4;  et pour tout x de 4;  , f '  x   5   
.
2
  x  4    x  4 2


5
5
Donc f '  3 
 2  5.
2
 3  4  1
5
 3  5  2 .
3  4
T a pour équation : y  5  x   3   2 soit y  5  x  3  2 , y  5x  15  2 .
f  3  3 
T : y  5x  13 .
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