Compléments sur la dérivation – Fonctions sinus et cosinus

TS
Chapitre 4
Compléments sur la dérivation – Fonctions sinus et cosinus
I. Dérivation
A faire : revoir notions vues en 1°S, p 384-385 du livre
1) Activité ( à traiter sur feuille annexe )
Soient la fonction définie sur par
représentative ( ci-contre ). est un réel quelconque,
d’abscisses et
où est un réel non nul.
1) Soit
et
et
le coefficient directeur de la droite
sa courbe
sont les points de
. Démontrer que
.
2) a) Démontrer que
b) En déduire que admet une tangente au point
coefficient directeur en fonction de
et déterminer son
3) a) Déterminer les fonctions et telles que
b) Calculer
et
.
c) En déduire l’écriture de
à l’aide des résultats précédents.
2) a) Dérivée de
Proposition : Soit
une fonction définie et dérivable sur un intervalle telle que, pour tout
la fonction
est dérivable sur et :
Exercice 1 : Déterminer la fonction dérivée de
1)
définie sur
2)
définie sur
;
dans chacun des cas suivants, en précisant pourquoi
est dérivable.
par
par
b) Dérivée de
Proposition : Soient
une fonction définie et dérivable sur un intervalle et
pour tout
. Alors la fonction
un entier non nul. Si
on suppose en outre que
est dérivable et :
Démo : à traiter sur feuille annexe
Exercice 2 : Déterminer la fonction dérivée de dans chacun des cas suivants, en précisant pourquoi
1)
définie sur par
.
2)
définie sur
c)
est dérivable.
par
Dérivée de
Proposition : Soient
une fonction définie et dérivable sur un intervalle ,
pour tout
on a
pour tout
on a :
. Alors la fonction
et
définie sur
deux réels, et un intervalle tel que,
par
est dérivable sur et,
Travail en autonomie : savoir-faire 1,2,3 p 79
1
TS
Chapitre 4
II. Les fonctions sinus et cosinus
A faire : Revoir les notions vues en 1°S, p 387 du livre .
1) Définition des fonctions cosinus et sinus
A chaque réel correspond un point sur le cercle trigonométrique ( figure ci-contre). Le réel
est défini comme l’abscisse du point , le réel
comme son ordonnée.
Définitions :


La fonction qui à tout réel
La fonction qui à tout réel
associe le réel
associe le réel
est appelée fonction cosinus.
est appelée fonction sinus.
2) Propriétés des fonctions cosinus et sinus
a) Dérivabilité et dérivée
Proposition : Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur
et pour tout
Conséquence immédiate : Les fonctions sinus et cosinus sont continues sur
Corollaire : Soient
et
et
deux réels. Soient
sont dérivables sur
et
les fonctions définies sur
et pour tout
Démo : On applique le I 2c) avec
pour .
on a
.
par
et
.
:
Ainsi
donc
On procède de manière analogue pour .
Exemples :
Soient
Alors
et
et
les fonctions définies sur
sont dérivables sur
par
et
.
et pour tout
et
Travail en autonomie : Savoir Faire 4 p 81
b) Tableau de variation sur
et courbe représentative.
 Pour tout
.
Or,
étant l’ordonnée du point M, d’abscisse on a
Donc
et ainsi la fonction cos est ……………………….
d’où le tableau de variations, et la courbe :
.
sur
2
TS
Chapitre 4

Pour tout
. Or
Ainsi la fonction sin est ………………………. sur ………
d’où le tableau de variations et la courbe :
c)
Parité, imparité
sur ……
… et
et ………………………
sur ………...
sur ……….
Soit un réel et le point correspondant sur le cercle trigonométrique. A l’opposé de l’angle ,
l’angle
, correspond le point
symétrique du point par rapport à l’axe des abscisses.
étant l’abscisse du point
.
que
De même
que
et
étant l’abscisse du point
étant l’ordonnée du point
Propriétés : Pour tout
on a
Pour tout
on a
et sin
on en déduit
étant l’ordonnée du point
, la fonction
on en déduit
est dite paire.
, la fonction
est dite impaire.
d) Périodicité
Soit
un réel et
le point correspondant sur le cercle trigonométrique. Le point correspondant à l’angle
est aussi le point.
On en déduit la propriété suivante :
Propriété :
Pour tout
, on a
.
Les fonctions sont périodiques de période
.
Remarque : Rajouter
à un angle revient à effectuer un tour dans le sens positif sur le cercle trigonométrique. Retirer
effectuer un tour dans le sens négatif. Le point correspondant est donc le même.
On déduit ainsi également
et
de tours dans un sens ou dans l’autre, matérialisé par l’entier relatif
Pour tout
et
revient à
. Plus généralement on peut effectuer un nombre entier
dans la formule suivante :
on a
e) Conséquences de la parité ou l’imparité et de la périodicité

Conséquence de la parité de la fonction cos
Soient
, et
les points de la courbe de cos d’abscisses respectives
La fonction cos étant paire, on a
d’où :
Le point
est donc le symétrique de
et
. On a donc
et
.
par rapport à l’axe des ordonnées.
3
TS
Chapitre 4
Ainsi on a montré que la courbe de la fonction cos est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Ceci permet de déduire la courbe
de cos sur
, la connaissant sur
, ainsi que ses variations.

Conséquence de l’imparité de la fonction sin
Soient
et
les points de la courbe de sin d’abscisses respectives
La fonction sin étant impaire, on a
d’où :
Le point
est donc le symétrique de
et
. On a donc
et
.
par rapport à l’origine du repère.
Ainsi on a montré que la courbe de la fonction sin est symétrique par rapport à l’origine du repère. Ceci permet de déduire la courbe
de sin sur
, la connaissant sur
, ainsi que ses variations.

Soient
On a donc
Le point
Conséquence de la périodicité pour les fonctions cos et sin
et
les points de la courbe de cos d’abscisses respectives
et
est l’image du point
et
.
. Grâce à la périodicité de cos on déduit :
par la translation de vecteur
, étant le vecteur unité des abscisses :
.
Le même raisonnement s’applique à la fonction sin ce qui donne la courbe :
4
TS
Chapitre 4
Ainsi les courbes de cos et sin sur
se déduisent de celles sur
par translation de vecteur
.
Plus généralement on déduit les courbes de cos et sin sur les intervalles de la forme
par translation de vecteur
.
f)
entier relatif, à partir de
Deux limites particulières
et
Proposition :
Une première preuve : on a admis la dérivabilité de cos et sin sur . Donc elles sont toutes deux dérivables en 0. Donc :
et
Une autre preuve de
( qui en est vraiment une car la précédente repose sur une propriété admise ).
Activité 3 p 77 ( à traiter sur feuille annexe )
III. Etude de fonctions trigonométriques .
Exercice 1
La fonction
Ob erver a
est définie sur
par
urbe ur ’é ra de a a u atr e et fa re de
2. a. Prouver que, pour tout réel
je ture
et étud er
dans un repère
ur a par té et a pér d
et tout entier relatif
b. Prouver que, pour tout réel
3. Déterminer
, sa courbe est
Qu’e dédu t-on pour
Qu’e dédu t-on pour
g e ur ’ terva e
de
urbe
rre p
?
?
.
4. En utilisant la propriété déduite de la question 2. b., dresser le tableau de variation de
Tra er a p rt
té de .
da t à ’ terva e
ur ’ terva e
, puis expliquer comment obtenir la courbe
sur
compléter le tracé de courbe sur
Exercice 2 Etude d’une fonction de type
La fonction
est définie sur
Etudier le sens de variation de
par
, sa courbe est
et calculer les coordonnées des points
et
dans un repère
de la courbe
.
correspondants aux extrema de .
Travail en autonomie : Savoir-Faire : 7,8 p 83
5