Compléments sur la dérivation – Fonctions sinus et cosinus

TS Chapitre 4
1
Compléments sur la dérivation – Fonctions sinus et cosinus
I. Dérivation
A faire : revoir notions vues en 1°S, p 384-385 du livre
1) Activité ( à traiter sur feuille annexe )
Soient  la fonction définie sur  par  et  sa courbe
représentative ( ci-contre ).  est un réel quelconque,  et  sont les points de 
d’abscisses  et  où  est un réel non nul.
1) Soit  le coefficient directeur de la droite . Démontrer que
.
2) a) Démontrer que 
b) En déduire que  admet une tangente au point  et déterminer son
coefficient directeur en fonction de 
3) a) Déterminer les fonctions  et  telles que   
b) Calculer  et .
c) En déduire l’écriture de  à l’aide des résultats précédents.
2) a) Dérivée de 
Proposition : Soit  une fonction définie et dérivable sur un intervalle  telle que, pour tout      ;
la fonction  est dérivable sur  et : 
Exercice 1 : Déterminer la fonction dérivée de  dans chacun des cas suivants, en précisant pourquoi  est dérivable.
1)  définie sur  par 
2)  définie sur  par  
b) Dérivée de 
Proposition : Soient  une fonction définie et dérivable sur un intervalle  et  un entier non nul. Si    on suppose en outre que
pour tout     . Alors la fonction  est dérivable et :
Démo : à traiter sur feuille annexe
Exercice 2 : Déterminer la fonction dérivée de  dans chacun des cas suivants, en précisant pourquoi  est dérivable.
1)  définie sur  par .
2)  définie sur  par 
c) Dérivée de 
Proposition : Soient  une fonction définie et dérivable sur un intervalle , et  deux réels, et  un intervalle tel que,
pour tout    on a   . Alors la fonction  définie sur  par   est dérivable sur  et,
pour tout    on a : 
Travail en autonomie : savoir-faire 1,2,3 p 79

TS Chapitre 4
2
II. Les fonctions sinus et cosinus
A faire : Revoir les notions vues en 1°S, p 387 du livre .
1) Définition des fonctions cosinus et sinus
A chaque réel  correspond un point  sur le cercle trigonométrique ( figure ci-contre). Le réel
 est défini comme l’abscisse du point , le réel  comme son ordonnée.
Définitions :
 La fonction qui à tout réel  associe le réel  est appelée fonction cosinus.
 La fonction qui à tout réel  associe le réel  est appelée fonction sinus.
2) Propriétés des fonctions cosinus et sinus
a) Dérivabilité et dérivée
Proposition : Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur  et pour tout    on a
Conséquence immédiate : Les fonctions sinus et cosinus sont continues sur .
Corollaire : Soient et  deux réels. Soient  et  les fonctions définies sur  par   et .
 et  sont dérivables sur  et pour tout    :
Démo : On applique le I 2c) avec  pour . Ainsi  donc   
On procède de manière analogue pour .
Exemples :
Soient  et  les fonctions définies sur  par   
 et   .
Alors  et  sont dérivables sur  et pour tout     et 
Travail en autonomie : Savoir Faire 4 p 81
b) Tableau de variation sur  et courbe représentative.
 Pour tout    .
Or,  étant l’ordonnée du point M, d’abscisse on a  .
Donc  et ainsi la fonction cos est ………………………. sur 
 d’où le tableau de variations, et la courbe :

TS Chapitre 4
3
 Pour tout   . Or   sur …… … et  sur ………...
Ainsi la fonction sin est ………………………. sur ……… et ……………………… sur ……….
d’où le tableau de variations et la courbe :
c) Parité, imparité
Soit  un réel et  le point correspondant sur le cercle trigonométrique. A l’opposé de l’angle ,
l’angle , correspond le point  symétrique du point  par rapport à l’axe des abscisses.
 étant l’abscisse du point  et  étant l’abscisse du point  on en déduit
que .
De même  étant l’ordonnée du point  et sin étant l’ordonnée du point  on en déduit
que  
Propriétés : Pour tout    on a   , la fonction  est dite paire.
Pour tout    on a  , la fonction  est dite impaire.
d) Périodicité
Soit  un réel et  le point correspondant sur le cercle trigonométrique. Le point correspondant à l’angle  est aussi le point.
On en déduit la propriété suivante :
Propriété : Pour tout   , on a  .
Les fonctions sont périodiques de période .
Remarque : Rajouter  à un angle revient à effectuer un tour dans le sens positif sur le cercle trigonométrique. Retirer  revient à
effectuer un tour dans le sens négatif. Le point correspondant est donc le même.
On déduit ainsi également   et . Plus généralement on peut effectuer un nombre entier
de tours dans un sens ou dans l’autre, matérialisé par l’entier relatif  dans la formule suivante :
Pour tout    et    on a  
e) Conséquences de la parité ou l’imparité et de la périodicité
 Conséquence de la parité de la fonction cos
Soient  ,  et  les points de la courbe de cos d’abscisses respectives  et  . On a donc  et .
La fonction cos étant paire, on a    d’où :
Le point  est donc le symétrique de  par rapport à l’axe des ordonnées.

TS Chapitre 4
4
Ainsi on a montré que la courbe de la fonction cos est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Ceci permet de déduire la courbe
de cos sur  , la connaissant sur , ainsi que ses variations.
 Conséquence de l’imparité de la fonction sin
Soient     et  les points de la courbe de sin d’abscisses respectives  et  . On a donc  et .
La fonction sin étant impaire, on a   d’où :
Le point  est donc le symétrique de  par rapport à l’origine du repère.
Ainsi on a montré que la courbe de la fonction sin est symétrique par rapport à l’origine du repère. Ceci permet de déduire la courbe
de sin sur  , la connaissant sur , ainsi que ses variations.
 Conséquence de la périodicité pour les fonctions cos et sin
Soient     et  les points de la courbe de cos d’abscisses respectives  et .
On a donc  et . Grâce à la périodicité de cos on déduit :
Le point  est l’image du point  par la translation de vecteur ,  étant le vecteur unité des abscisses : 
.
Le même raisonnement s’applique à la fonction sin ce qui donne la courbe :

TS Chapitre 4
5
Ainsi les courbes de cos et sin sur  se déduisent de celles sur  par translation de vecteur .
Plus généralement on déduit les courbes de cos et sin sur les intervalles de la forme   entier relatif, à partir de
 par translation de vecteur .
f) Deux limites particulières
Proposition : 
 et 
Une première preuve : on a admis la dérivabilité de cos et sin sur . Donc elles sont toutes deux dérivables en 0. Donc :
et 
Une autre preuve de 
 ( qui en est vraiment une car la précédente repose sur une propriété admise ).
Activité 3 p 77 ( à traiter sur feuille annexe )
III. Etude de fonctions trigonométriques .
Exercice 1 La fonction  est définie sur par  , sa courbe est  dans un repère 
.
2. a. Prouver que, pour tout réel  et tout entier relatif    -on pour  ?
b. Prouver que, pour tout réel    -on pour  ?
3. Déterminer   
.
4. En utilisant la propriété déduite de la question 2. b., dresser le tableau de variation de  
, puis expliquer comment obtenir la courbe  sur 
compléter le tracé de courbe sur 
Exercice 2 Etude d’une fonction de type   󰇨
La fonction  est définie sur  par  
, sa courbe est  dans un repère .
Etudier le sens de variation de  et calculer les coordonnées des points  et  de la courbe correspondants aux extrema de .
Travail en autonomie : Savoir-Faire : 7,8 p 83