Volume n° MATHS STMG

Volume n°
MATHS STMG
Géraud Sarrebourse de la Guillonnière
12 novembre 2014
Table des matières
1 Variable statistique
1.1 Série statistique à deux variables
1.2 Nuage de points . . . . . . . . . .
1.3 Point moyen . . . . . . . . . . . .
1.4 Nuage de points avec un tableur
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3
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2 Ajustement affine
2.1 Méthode graphique au jugé .
2.2 Méthode de Mayer . . . . . .
2.3 Méthode des moindres carrés
2.4 Estimation et prévision . . .
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3 Conditionnement
3.1 Probabilité . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Expérience aléatoire . . . . . .
3.1.2 Évènement . . . . . . . . . . .
3.1.3 Opérations sur les évènements
3.1.4 Probabilités . . . . . . . . . . .
3.2 Probabilités conditionnelles . . . . . .
3.2.1 Définition . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Utilisation d’un arbre . . . . .
3.2.3 Évènements indépendants . . .
3.3 Probabilités totales . . . . . . . . . . .
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18
18
19
19
4 Dérivation
4.1 Dérivées d’une fonction polynôme de degré 2 ou 3 . . . . .
4.1.1 Polynôme de degré 2 ou 3 . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Tableau des fonctions dérivées de monômes . . . .
4.1.3 Dérivées de fonctions de la forme u + v . . . . . .
4.1.4 Dérivées des fonctions de la forme ku . . . . . . .
4.1.5 Dérivées de fonctions de la forme uv . . . . . . . .
4.2 Dérivées d’une fonction rationnelle . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Définition d’une fonction rationnelle . . . . . . . .
4.2.2 Dérivées de fonctions de la forme uv . . . . . . . . .
4.3 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Equation de la tangente à une courbe en un point
4.3.2 Sens de variation d’une fonction et extremum . . .
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5 Échantillonnage-Estimation
5.1 Population et échantillon . . . . . . . . .
5.2 Echantillonnage : intervalle de fluctuation
5.3 Prise de décision . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Estimation : intervalle de confiance . . . .
5.5 Taille minimale d’un échantillon . . . . . .
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d’évolution
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6 Indice-Taux moyen
6.1 Pourcentage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Coefficient multiplicateur . . . . . . . . . . . . .
6.3 Taux d’évolution . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2 Relation entre coefficient multiplicateur et
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taux
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6.4
Indice
6.4.1
6.4.2
6.4.3
simple de base 100 .
Définition . . . . . .
Relation entre indice
Relation entre indice
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8 Taux d’évolution globale
8.1 Coefficient multiplicteur global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Taux d’évolution global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Taux d’évolution moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
40
41
43
9 Loi
9.1
9.2
9.3
9.4
7 Racines
7.1 Racine n-ième
7.2 Racine n-ième
7.3 Racine n-ième
7.4 Propriétés . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
et coefficient multiplicateur
et taux d’évolution . . . . .
d’un nombre positif
avec la calculatrice .
avec un tableur . . .
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10 Suites numériques
10.1 Suites numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.2 Suite explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.3 Suite récurrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Suite avec un tableur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3 Suite remarquable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4 Suite arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4.1 Suite géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5 Somme des termes consécutifs d’une suite . . . . . . . . .
10.5.1 Nombre de termes d’une suite . . . . . . . . . . . .
10.5.2 Somme des termes d’une suite . . . . . . . . . . .
10.5.3 Somme des termes d’une suite avec un tableur . .
10.6 Comparaison des suites arithmétiques et géométriques . .
10.6.1 Intérêts simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.6.2 Intérêts composés . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.6.3 Comparaison de deux suites géométriques . . . . .
10.6.4 Comparaison suites arithmétiques et géométriques
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53
54
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55
55
55
56
56
56
57
59
normale
Loi normale . . . . . . .
Utilisation d’une table .
Avec la calculatrice . . .
Intervalle de fluctuation
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Chapitre
1
Variable statistique
Supposons que nous ayons à relever le prix de l’essence E10 (super+10% d’éthanol) des stations services de France.
La population est l’ensemble des stations services du pays. Dans notre cas nous pourrions avoir un échantillon de 20 stations.
Le caractère ou variable statistique étudié est alors le prix de l’E10 en euros. Le résultat de la mesure (le prix) est un nombre
réel. Dit autrement le caractère étudié est quantitatif (c’est-à-dire mesure une quantité). Si nous avions relevé la couleur de
la pompe à essence nous aurions parlé de caractère (la couleur) qualitatif.
Le caractère étudié est noté x ou X et les valeurs prises par ce caractère lors des mesures sont notées xi . lorsque l’on écrit
bout à bout dans un tableau les valeurs xi on obtient une série (suite de nombres xi ) statistique à une variable.
Nous allons dans ce chapitre travailler avec deux séries statistiques résumées dans un tableau, que l’on représentera graphiquement par un nuage de points. La fiche suivante (Ajustement affine) nous permettre de mettre en valeur un lien, une
corrélation entre ces deux variables statistiques.
1.1
Série statistique à deux variables
Définition 1.
On appelle série statistique à deux variables ou série statistique double une série statistique où 2 caractères
quantitatifs (notés x et y) sont étudiés en même temps (simultanément).
Si une population contient n individus, on note xi et yi pour 1 ≤ i ≤ n les valeurs prises par les 2 caractères
quantitatifs x et y, ce que l’on résume dans un tableau :
Remarque : Si l’un des caractères quantitatifs étudiés est une mesure du temps (secondes, heure, année...) on dira que la
série statistique à 2 variables est une série chronologique.
Exemple 1.1.1 Soit le tableau qui donne la part en % consacré au logement dans le budget d’un foyer.
Il y a un caractère statistique (noté x) qui mesure les années. Il s’agit d’un caractère quantitatif. L’autre caractère (noté y)
mesure quand à lui la part en %. A nouveau il s’agit d’un caractère quantitatif. Le tableau précédent est une série statistique
à 2 variables ou série statistique double. Comme x mesure du temps, ce tableau est aussi une série chronologique.
3
CHAPITRE 1. VARIABLE STATISTIQUE
1.2
Nuage de points
Définition 2.
Un repère orthogonal (O,~i, ~j) est un repère où les 2 axes se coupent à angle droit et où l’unité de l’abscisse et
de l’ordonnée ne sont pas de même mesure.
Remarque : Dans le cas où la mesure de l’unité est identique pour les deux axes on parlera de repère orthonormal ou
repère orthonormé.
Définition 3.
On se place dans un repère orthogonal bien choisi. L’ensemble des points Mi de coordonnées (xi , yi ) notés
Mi (xi , yi ) pour 1 ≤ i ≤ n forme dans ce repère un nuage de points associé à la série statistique à 2 variables.
Exemple 1.2.1 Avec la série statistique :
Les points du nuage ont pour coordonnées M1 (1978; 4, 4) M2 (1984; 5, 2) M3 (1992; 4, 3) M4 (1994; 3, 2) M5 (2000; 3, 3) et M6 (2004; 2, 8)
1cm → 2 ans sur (Ox)
Nous obtiendrons dans un repère orthogonal (Axe des abscisses à partir de 1978) avec l’échelle
le
1cm → 0, 5% sur (Oy)
nuage de points suivant :
BAC : Dans de nombreux cas afin de donner un nuage de points plus lisible, l’intersection de l’abscisse et de l’ordonnée n’est
pas forcement le point d’origine du repère.
1.3
Point moyen
Définition 4.
Le point moyen d’un nuage de points est le point G de coordonnées (x̄, ȳ) où
x̄ =
x1 + ... + xn
y1 + ... + yn
(moyenne des valeurs xi ) et ȳ =
(moyenne des valeurs yi )
n
n
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CHAPITRE 1. VARIABLE STATISTIQUE
n
Remarque : Par esprit de raccourci on écrit x̄ =
et
n
X
xi se lit somme de i = 1 à i = n des xi .
x1 + ... + xn
1X
=
xi . Le symbole Σ est la lettre majuscule grecque sigma
n
n i=1
i=1
Exemple 1.3.1 Dans la série statistique à 2 variables de l’exemple 2 :
On aura x̄ =
1978 + 1984 + 1992 + 1994 + 2000 + 2004
4, 4 + 5, 2 + 4, 3 + 3, 2 + 3, 3 + 2, 8
= 1992 et ȳ =
' 3, 87
6
6
Remarque : x̄ et ȳ se notent parfois xG et yG .
1.4
Nuage de points avec un tableur
-On écrit dans la ligne 1 les valeurs xi et dans la ligne 2 les valeurs yi
-Sélectionner de A1 à F2 (c’est-à-dire les deux lignes)
-Dans le menu insertion on sélectionne Nuage puis le dessin nuage de point (cercle rouge).
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Chapitre
2
Ajustement affine
Ce chapitre s’inscrit à la suite du chapitre "Statistique à 2 variables".
Lorsque le nuage de points associé au couple de variables statistiques (x, y) [Noté parfois aussi (X, Y )] semble s’organiser
autour d’une droite, nous chercherons comment approcher le mieux possible ce nuage, à quelques erreurs près, par une
fonction affine de la forme y = ax + b
Ce type d’ajustement se retrouve surtout en statistique.
• Dans le cas d’une série statistique à 2 variables, l’ajustement affine permet de créer un lien entre la variable x et y, c’està-dire de définir une certaine corrélation entre x et y. Dit autrement on se demandera si la variable quantitative x a une
influence sur la variable quantitative y.
• Cette approximation, cet ajustement affine, nous permettra aussi de procéder à des estimations (interpolation entre 2
valeurs) et à des prévisions (extrapolation sur un futur proche).
Nous verrons tout d’abord une méthode graphique dite "au jugé"’ c’est-à-dire "à l’oeil" avec une règle transparente pour
tracer cette droite d’ajustement. Puis nous verrons une méthode plus scientifique dite "méthode des moindres carrés".
Le premier texte paru faisant mention de cette méthode est dû à Adrien-Marie Legendre dans un article sur "Les nouvelles
méthodes pour la détermination des orbites des comètes" publié en 1805.
Lorsque l’ajustement affine n’est pas approprié, il existera d’autres méthodes comme l’ajustement logarithmique ou exponentiel.
6
CHAPITRE 2. AJUSTEMENT AFFINE
2.1
Méthode graphique au jugé
Soit un nuage de points associé à une série statistique double. Il se peut très bien que les points ainsi représentés soient "à
peu près" alignés.
Si l’on arrive a tracer un droite "au plus près" des points du nuage passant par le point moyen G(x̄, ȳ) alors on dira que l’on
a tracer une droite d’ajustement (y = ax + b) "au jugé" du nuage de point.
On parle également de droite de régression de y en x.
• Cette méthode "au jugé" est une méthode graphique subjective c’est-à-dire qui dépend de la vision de chacun. Dit autrement dans une classe TSTMG chacun aura une droite différente. Cette méthode est une première approche tout en restant
assez imprécise.
• L’ajustement affine "au jugé" devient plus difficile encore lorsque le nuage de point est très étendu.
• Dans certains cas, on remarque qu’un ajustement affine ne convient pas mais que le nuage de points peut être approché
par un autre type de courbes :
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CHAPITRE 2. AJUSTEMENT AFFINE
Exemple 2.1.1 Une entreprise réalise une étude sur l’influence du prix de vente sur le nombre d’ordinateurs vendus au
cours de l’année. La série statistique à 2 variables est :
300 + 350 + 400 + 450 + 500 + 600
On a x̄ =
' 433, 33 et
6
210 + 190 + 160 + 152 + 124 + 102
ȳ =
' 156, 33 c’est-à-dire G(433, 156)
6
Ensuite on trace "au jugé" la droite de régression de y en x ou droite d’ajustement passant par le point G(x̄, ȳ).
2.2
Méthode de Mayer
On sépare le nuage de points en 2 sous nuages de points et on calcule les coordonnées du point moyen pour chaque sous
nuage G1 (x¯1 , y¯1 ) et G2 (x¯2 , y¯2 ). La droite de MAYER est la droite passant par ces deux points.
Proposition 5.
La droite de MAYER passe par le point moyen G(x̄, ȳ) du nuage de points.
Exemple 2.2.1 Une entreprise réalise une étude sur l’influence du prix de vente sur le nombre d’ordinateurs vendus au
cours de l’année.
On définit 2 sous nuages de points constitués des points M1 , M2 , M3 et M4 , M5 , M6 .
210 + 190 + 160
300 + 350 + 400
= 350 et y¯1 =
' 187
3
3
450 + 500 + 600
152 + 124 + 102
De même x¯2 =
' 517 et y¯2 =
= 126 d’où G1 (350, 187) et G2 (517, 126)
3
3
Le point moyen G1 (x¯1 , y¯1 ) est tel que x¯1 =
Puis on trace la droite de régression y en x ou droite d’ajustement de cette série en passant par les point G1 et G2 .
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CHAPITRE 2. AJUSTEMENT AFFINE
2.3
Méthode des moindres carrés
a) APPROCHE : Être au plus près des points signifie que la distance Pi Mi est la plus petite. Afin d’éviter des distances
algébriques (c’est-à-dire avec un signe) négatifs on travaillera sur des distances aux carrées. "Au plus près" consiste donc à
minimiser les carrés des écarts Pi Mi2 entre les points du nuage Mi et les points de la droite d’ajustement Pi .
Notons enfin que si P1 M12 , P2 M22 ,...,Pn Mn2 sont minimales alors la somme P1 M12 + P2 M22 + ... + Pn Mn2 sera aussi minimale.
b) METHODE : La méthode des moindres carrés consiste à déterminer la droite d’ajustement qui rend minimale la somme
P1 M12 + P2 M22 + ... + Pn Mn2
Proposition 6.
La droite d’ajustement par la méthode des moindres carrés passe par le point moyen G(x̄, ȳ) du nuage de points.
Remarque : P1 M12 + P2 M22 + ... + Pn Mn2 s’écrit en mathématiques
n
X
Pi Mi2 où Σ est la lettre grecque sigma et se lit la
i=1
somme de i = 1 à i = n des
Pi Mi2 .
On cherchera donc à minimiser
n
X
Pi Mi2 =
i=1
n
X
(yi − (axi + b))2
i=1
c) CALCUL DE LA DROITE D’AJUSTEMENT :
Proposition 7.
Soit une série statistique à 2 variables x et y. L’équation de la droite d’ajustement (y = ax + b) de cette série
avec la méthode des moindres carrés est donnée par :
a=
cov(x, y)
et b = ȳ − ax̄
σx2
x1 y1 + ... + xn yn
− x̄ȳ
n
r
p
x21 + ... + x2n
x2 + ... + x2n
et σx = V ar(x) =
− x̄2 ou σx2 = V ar(x) = 1
− x̄2
n
n
Avec cov(x, y) =
Parfois cov(x, y) est notée σxy et s’appelle la covariance. σx (si lit sigma x) est l’écart type de la première série,
c’est-à-dire la racine carrée de la variance.
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CHAPITRE 2. AJUSTEMENT AFFINE
Exemple 2.3.1 Une entreprise réalise une étude sur l’influence du prix de vente sur le nombre d’ordinateurs vendus au
cours de l’année.
On a déjà calculé x̄ ' 433, 33 et ȳ ' 156, 33.
On calcule la covariance :
300 × 210 + 350 × 190 + 400 × 160 + 450 × 152 + 500 × 124 + 600 × 102
− 433, 33 × 156, 33 ' −3559, 15
6
3002 + 3502 + 4002 + 4502 + 5002 + 6002
On calcule ensuite σx2 = V ar(x). On a σx2 = V ar(x) =
− 433, 332 ' 9725, 11
6
−3559, 15
cov(x, y)
=
Ainsi a =
' −0, 37
2
σx
9725, 11
cov(x, y) =
Enfin on calcule b = ȳ − ax̄ c’est-à-dire b = 156, 33 − (−0, 37) × 433, 33 = 156, 33 + 0, 37 × 433, 33 ' 316
En conclusion l’équation de la droite d’ajustement (droite de régression de y en x) de la série statistique double est :
y = −0, 37x + 316
ATTENTION : Évitez de faire des arrondis trop importants dès le début de la méthode des moindres carrés.
En effet si vous aviez fait :
300 × 210 + 350 × 190 + 400 × 160 + 450 × 152 + 500 × 124 + 600 × 102
−433×156 vous auriez trouvé cov(x, y) '
6
−3364, 67 au lieu de cov(x, y) ' −3559, 15.
cov(x, y) =
Vos arrondis peuvent encore plus se propager par la suite (à cause des carrés) et peuvent finir par s’éloigner de plus en plus
de la vraie valeur.
Remarque : Une autre formule est possible pour calculer a qui est a =
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(x1 − x̄)(y1 − ȳ) + ... + (xn − x̄)(yn − ȳ)
(x1 − x̄)2 + ... + (xn − x̄)2
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CHAPITRE 2. AJUSTEMENT AFFINE
d) UTILISATION DU TABLEUR :
-Entrer les données de la série somme suit
-Puis dans B4 taper =DROITEREG(B2 :G2 ;B1 :G1)
-Enfin dans B5 taper =ORDONNEE.ORIGINE(B2 :G2 ;B1 :G1)
Remarque : Pour obtenir cov(x, y) = σxy il faut la formule =COVARIANCE.PEARSON(B1 :G1) et pour l’écart type σx on
écrira =ECARTYPE.PEARSON(B1 :G1)
d) UTILISATION DE LA CALCULATRICE :
L’usage de la calculatrice outre les valeurs de a et b vous donnera également la valeur r qu’on appelle coefficient de corrélation.
Ce coefficient r indique si les point Mi (xi , yi ) sont suffisamment proches de l’alignement pour pouvoir assimiler le nuage de
points à une droite. Si r = 1 ou r = −1 alors les points du nuage sont déjà parfaitement alignés.
On retiendra qu’en pratique on doit avec 0, 9 ≤ r ≤ 1 ou −1 ≤ r ≤ −0, 9 pour pouvoir dire que l’ajustement affine est de
bonne qualité.
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CHAPITRE 2. AJUSTEMENT AFFINE
2.4
Estimation et prévision
INTERPOLATION : Nous prendrons toujours la série statistique :
Dont la droite de régression de y en x est y = −0, 37x + 316. Supposons que le prix soit 325 e (valeur entre 300 et 350) alors
on peut interpoler (c’est-à-dire estimer) le nombre d’ordinateurs vendus en écrivant y = −0, 37×325+316 ' 196 ordinateurs.
Remarque : Un calcul d’interpolation doit être entre 2 valeurs.
EXTRAPOLATION : Avec notre série précédente dont la droite de régression de y en x est y = −0, 37x + 316 nous pouvons
chercher maintenant à extrapoler (c’est-à-dire à prévoir) le nombre d’ordinateurs vendus si x avait été 700 e.
Nous aurons donc y = −0, 37 × 700 + 316 = 57 ordinateurs.
Remarque : Une valeur d’extrapolation doit être en dehors de la 1ère série (ici plus grand que 600 ou plus petit que 300.
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Chapitre
3
Conditionnement
3.1
Probabilité
3.1.1
Expérience aléatoire
Définition 8.
• On appelle expérience aléatoire une expérience dont on ne connait pas à priori les résultats (issues).
• L’ensemble des issues possibles se nomme l’univers et sera noté Ω (lettre majuscule grecque omega).
• Le nombre d’élément de Ω se nomme le cardinal de Ω que l’on note Card (Ω).
Exemple 3.1.1 On va lancer un dé à 6 faces. Comme l’on ne peut pas savoir l’issue obtenue avant de faire l’expérience, il
s’agit d’une expérience aléatoire.
L’ensemble des issues possibles est Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, qui se lit "Omega est l’ensemble contenant les éléments 1, 2, 3, 4, 5, 6".
L’univers Ω contient 6 éléments c’est-à-dire que Card (Ω) = 6.
Remarque : Dès qu’il y a la présence d’accolade {} alors il s’agit d’un ensemble.
3.1.2
Évènement
Définition 9.
On appelle un évènement un sous ensemble de l’ensemble Ω.
Exemple 3.1.2 Si Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} alors A = {1, 2} est un sous ensemble de Ω.
A est donc l’évènement :"Obtenir le chiffre 1 ou 2".
B = {2, 4, 6} est l’évènement (c’est-à-dire un sous ensemble de Ω) qui signifie "on a obtenu un nombre pair".
L’évènement C : "Obtenir un nombre impair" correspond au sous ensemble de Ω, C = {1, 3, 5}
13
CHAPITRE 3. CONDITIONNEMENT
Remarque :
• On peut dire que Ω est un sous ensemble de lui même donc Ω est aussi un évènement que l’on dira certain.
• Un ensemble qui ne contient aucun élément se nomme ensemble vide et sera noté ∅ (par exemple A = ∅). L’ensemble vide
est un évènement dit évènement impossible.
Définition 10.
Un évènement (sous ensemble) qui ne contient qu’un élément est dit évènement élémentaire.
En mathématiques, dans le cadre général, un ensemble contenant un élément est aussi dit un singleton.
Exemple 3.1.3 Soit un lancé de dé à 6 faces.
A = {2} est l’évènement "Obtenir la face 2". C’est un évènement élémentaire.
B = {2, 3} n’est pas un évènement élémentaire car il contient deux éléments. C’est juste un évènement.
L’évènement C : "Obtenir le 7" est un évènement impossible donc C = ∅
Par contre D = {3} ou E = {6} sont des évènements élémentaires.
Définition 11.
On appelle évènement contraire de l’évènement A dans Ω, l’évènement noté A ou CΩ A qui contient les éléments
de Ω qui ne sont pas dans A.
Exemple 3.1.4 Si Ω = {1, 2, .., 9, 10} avec A = {1, 2, 3} alors l’évènement contraire de A dans Ω est A = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Si Ω = {1, 2, 3} et A = {1, 3} alors A = {2}.
Enfin si Ω = {1, 2, 3} alors on aura Ω = ∅
On retiendra que parler d’un complémentaire sans préciser dans quoi, n’a pas de sens.
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CHAPITRE 3. CONDITIONNEMENT
3.1.3
Opérations sur les évènements
Définition 12.
Soient A et B deux évènements de Ω.
• A ∩ B est l’évènement (sous ensemble) de Ω constitué des éléments de A ET des éléments de B. On parle de
l’intersection de deux évènements et se lit "A inter B".
• A ∪ B est l’évènement (sous ensemble) de Ω constitué des éléments de A OU des éléments de B. On parle
d’union de deux évènements et se lit "A union B".
• A ⊆ B se lit "A inclut ou égal à B" et signifie que les éléments de A sont aussi DANS B
Exemple 3.1.5 Soient Ω = {a, b, c, d, e} et A = {a, b, c}.
Si B = {b, c, d, e} alors A ∩ B = {b, c}. Si maintenant C = {d} alors A ∩ C = ∅.
Nous aurons également A ∪ B = {a, b, c, d, e} = Ω et A ∪ C = {a, b, c, d}. De sorte que A ∪ B = {e}.
Soit Ω = {a, b, c, d} avec A = {a, b} et B = {c, d}.
Alors A = {c, d} et B = {a, b}. Pour finir A ∪ B = ∅ et A ∩ B = {a, b, c, d} = Ω.
ATTENTION : A ∪ B 6= A ∪ B et A ∩ B 6= A ∩ B. Part contre A ∪ B = A ∩ B et A ∩ B = A ∪ B
Définition 13.
Lors d’une expérience aléatoire, deux évènements A et B sont dits incompatibles s’ils n’ont aucun élément en
commun (A ∩ B = ∅)
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CHAPITRE 3. CONDITIONNEMENT
Exemple 3.1.6 Soit Ω = {a, b, c, d} avec A = {a, b} et B = {c, d}.
Alors A ∩ B = ∅. Ces deux évènements sont incompatibles : il n’y a pas d’élément commun à A et à B. En mathématiques,
dans un cadre général, on parle alors d’ensembles disjoints.
3.1.4
Probabilités
Définition 14.
Une loi de probabilité ou simplement une probabilité associée à une expérience aléatoire est une application qui
à tout élément ωi ∈ Ω (éventualités de Ω) associe un nombre réel positif, noté p(ωi ) = pi et qui vérifie :
• 0 ≤ p(ωi ) ≤ 1
• p(ω1 ) + ... + p(ωn ) = 1
Si de plus p(ω1 ) = ... = p(ωn ) =
1
on dira que la loi de probabilité est équiprobable.
n
Exemple 3.1.7 Soit l’application (c’est-à-dire une relation entre 2 ensembles) suivante :
Cette application est notée en probabilité p ou parfois P. Dans le cas où les 2 ensembles sont constitués de nombres réels (R)
l’application serait notée f (chapitre fonction). Enfin, si l’ensemble de départ était N et celui d’arrivée R, l’application serait
notée u (chapitre suite) etc.
Pour en revenir à notre exemple, on a p(ω1 ) = p1 = 0, 2 donc 0 ≤ p1 ≤ 1
De même p(ω2 ) = p2 = 0, 4 donc 0 ≤ p2 ≤ 1. On a aussi 0 ≤ p3 ≤ 1 et 0 ≤ p4 ≤ 1
On remarque que p(ω1 ) + p(ω2 ) + p(ω3 ) + p(ω4 ) = p1 + p2 + p3 + p4 = 0, 2 + 0, 4 + 0, 2 + 0, 2 = 1
Ainsi p est une application qui est une loi de probabilité. Par contre comme p1 6= p2 nous ne sommes pas dans une situation
d’équiprobabilité. Souvent on résume le schéma précédent avec des "patates" par un tableau. Dans notre cas nous aurons :
ωi
p(ωi ) = pi
ω1
0, 2
ω2
0, 4
ω3
0, 2
ω4
0, 2
BAC : En général on reconnait une situation équiprobable lorsque dans l’énoncé on peut lire "dé non pipé, carte non biseautée,
dé équilibré..."
Proposition 15.
La probabilité d’un évènement A est la somme des probabilités des issues qui le composent c’est-à-dire
si A = {ω1 , ω2 , ω3 ..., ωn } alors p({A}) = p(ω1 ) + p(ω2 ) + p(ω3 ) + ... + p(ωn )
Remarque : p({A}) qui est la probabilité d’avoir l’évènement A s’abrège souvent p(A).
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CHAPITRE 3. CONDITIONNEMENT
Proposition 16.
Dans le cas d’une situation équiprobable on a p(A) =
nombre de cas f avorables
Card (A)
=
nombre de cas possibles
Card (Ω)
Exemple 3.1.8 On lance un dé parfaitement équilibré. On a Ω = {1, 2, ..., 5, 6} (ensemble des éventualités).
Soit A :"Obtenir un nombre pair" donc A = {2, 4, 6}. De là Card (A) = 3 et Card (Ω) = 6. Comme nous sommes dans une
3
1
situation équiprobable, nous aurons p(A) = = .
6
2
Supposons maintenant que le dé soit pipé et que nous ayons la loi de probabilité suivante :
ωi
p(ωi ) = pi
1
0, 1
2
0, 3
3
0, 1
4
0, 2
5
0, 1
6
0, 2
nombre de cas f avorables
mais on écrit
nombre de cas possibles
Alors on n’applique surtout pas la propriété p(A) =
p(A) = p({2}) + p({4}) + p({6}) = 0, 3 + 0, 2 + 0, 2 = 0, 7
Proposition 17.
• p(A) = 1 − p(A)
• p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B)
Exemple 3.1.9 Dans un magasin, sur 200 clients, 120 achètent un chapeau. De plus sur ces 120 personnes, 24 achètent
aussi des lunettes de soleil. Enfin parmi les 80 clients qui n’achètent pas de chapeau, 40 achètent une paire de lunette.
On note A :"Le client achète un chapeau" et B :"Le client achète une paire de lunette".
120
= 0, 6 d’où p(A) = 1 − 0, 6 = 0, 4.
200
40
= 0, 2 de là on a p(A ∪ B) = p(A ∩ B) = 0, 2 donc
Calculons p(A ∪ B). On a p(A ∩ B) =
200
Calculons p(A). On a p(A) =
p(A ∪ B) = 1 − p(A ∪ B) = 1 − 0, 2 = 0, 8
Calculons p(B). On a p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B) c’est-à-dire p(B) = p(A ∪ B) − p(A) + p(A ∩ B)
or p(A ∩ B) =
3.2
24
= 0, 12 d’où p(B) = 0, 8 − 0, 6 + 0, 12 = 0, 32
200
Probabilités conditionnelles
Supposons une urne contenant 5 boules rouges et 3 boules vertes. On suppose qu’elles sont de forme identique (équiproba5
3
bilité). Si R : "Tirer une boule rouge" et V : "Tirer une boule verte"’, on aura au premier tirage P (R) = et P (V ) = .
8
8
On refait l’expérience mais sans remettre la boule précédemment tirée (sans remise).
• Soit on avait tiré au premier tirage une boule rouge, donc au deuxième tirage, il reste 4 rouges et 3 vertes. La probabilité
4
d’avoir l’évènement R sachant que l’évènement R est réalisé vaut donc P (R) = . La probabilité d’avoir l’évènement V
7
3
sachant que l’évènement R est réalisé vaut donc P (V ) =
7
• Soit on avait une boule verte lors du premier tirage (sans remise) de sorte qu’il restera 5 rouges et 2 vertes. La proba5
bilité d’avoir l’évènement R sachant que l’évènement V est réalisé vaut donc P (R) = . De même la probabilité d’avoir
7
2
l’évènement V sachant que l’évènement V est réalisé sera P (R) =
7
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CHAPITRE 3. CONDITIONNEMENT
Cette situation, sans remise, nous montre que la probabilité au deuxième tirage dépend du résultat du premier tirage. Dit
autrement le résultat du deuxième tirage est conditionné au résultat du premier tirage.
3.2.1
Définition
Proposition 18.
Soient A et B deux évènements tels que p(A) 6= 0. La probabilité de l’évènement B, sachant que A est réalisé se
p(A ∩ B)
note pA (B) et l’on aura pA (B) =
ou encore p(A ∩ B) = p(A)pA (B)
p(A)
Exemple 3.2.1 Les élèves d’une classe sont répartis comme suit :
Calculons pF (D). On a pF (D) =
p(F ∩ D)
12
1
18
1
or p(F ∩ D) =
= . De plus p(F ) =
=
p(F )
36
3
36
2
De là, sachant que l’élève est une fille, la probabilité d’être demi-pensionnaire vaut pF (D) =
On aura de même pG (D) =
3.2.2
p(F ∩ D)
1/3
2
=
=
p(F )
1/2
3
G∩D
10/36
5
=
=
p(G)
18/36
9
Utilisation d’un arbre
Proposition 19.
1. La somme des probabilités sur les branches issues d’un même noeud vaut 1.
2. La probabilité de l’évènement sur un chemin est le produit des probabilités portées sur ses branches.
BAC : Ne pas confondre branches et chemins.
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CHAPITRE 3. CONDITIONNEMENT
Exemple 3.2.2 Avec la situation de l’exemple précédent, nous obtenons l’arbre de probabilité :
Grâce à l’arbre probabiliste nous pouvons aussi dire que pG (E) =
4
1
ou encore pF (E) = .
9
3
5
.
9
1 4
4
2
Calculons p(G ∩ E) (en vert). On a p(G ∩ E) = p(G) × pG (E) = × =
=
2 9
18
9
On retrouve le résultat pG (D) =
3.2.3
Évènements indépendants
Définition 20.
Deux évènements A et B sont indépendants si la réalisation de A (ou B) ne dépend pas de la réalisation de B
(ou A). Dit autrement deux évènements sont indépendants si pB (A) = p(A).
Proposition 21.
Deux évènements A et B sont indépendants si et seulement si p(A ∩ B) = p(A) × p(B).
BAC : Ne pas confondre deux évènements incompatibles (A ∩ B = ∅) et deux évènements indépendants (p(A ∩ B) =
p(A) × p(B)).
3.3
Probabilités totales
Voici la formule des probabilités totales dans le cas n = 2 (2 évènements).
Proposition 22.
Soient A et B deux évènements avec p(A) 6= 0 alors :
• B = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B)
• p(B) = p(A ∩ B) + p(A ∩ B) ou encore p(B) = p(A)pA (B) + p(A)pA (B) (en bleu)
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CHAPITRE 3. CONDITIONNEMENT
Exemple 3.3.1 Avec l’arbre de probabilité suivant, calculons p(D) (en rouge)
D’après la propriété on aura p(D) =
p(D) =
1 2 1 5
11
× + × =
Résultat que l’on peut retrouver par le tableau :
2 3 2 9
18
12 + 10
22
11
=
=
36
36
18
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Chapitre
4
Dérivation
Une entreprise de fabrication d’ordinateur portable estime que le coût total de production (salaire, matière première,
charges...) pour q ordinateurs est donné en euros par la fonction C(q) = 4q 2 − 2q + 10.
Ainsi, si l’entreprise produit 100 ordinateurs dans le mois, le coût total de fabrication en euros sera :
C(100) = 4 × 1002 − 2 × 100 + 10 =39810 e
Si le prix de vente de chaque ordinateur est 400 e, le bénéfice ainsi réalisé sera B = 100 × 400 − 39810 =190 e
Le but du chapitre DERIVATION sera d’étudier le sens de variation (croissant ou décroissant) de la fonction coût de production en fonction de q mais aussi de claculer pour quelle production q aura-t’on un coût de production minimal (c’est-à-dire
un bénéfice maximal). La puissance de ce chapitre sera d’étudier la fonction coût de production sans avoir besoin de la dessiner.
BAC : Dans ce type d’exercice, soulignez tout de suite sur votre sujet à quoi correspond la lettre q (voitures, ordinateurs,...)
et l’unité de C(q) (euro, millier de tonne,...).
Remarque : Parfois q est noté x, ce qui donnera comme coût de production en euros en fonction de la quantité x d’ordinateur
produit C(x) = 4x2 − 2x + 10. On aurait pu utiliser la lettre t ou w etc. c’est donc une histoire de choix, en mathématiques
on dit que la variable (ici x ou q) est muette.
Dérivées d’une fonction polynôme de degré 2 ou 3
4.1
4.1.1
Polynôme de degré 2 ou 3
Définition 23.
On appelle un polynôme du second degré ou un polynôme de degré 2 une fonction du type :
f (x) = ax2 + bx + c avec a 6= 0 et b, c deux réels quelconques.
Si a 6= 0 et que b 6= 0 et c 6= 0 on parlera aussi de trinôme du second degré.
Remarque : L’expression second degré signifie que le plus grand exposant sur x est 2. L’expression trinôme exprime le fait
qu’il y a 3 termes de la forme mxn (appelés monômes) dans la fonction.
Exemple 4.1.1 f (x) = 2x2 + 3x − 1 est un polynôme du second degré (a = 2, b = 3 et c = −1). C’est aussi un trinôme du
second degré, c’est-à-dire qu’on ajoute le monôme 2x2 , le monôme 3x et enfin le monôme −1 = −1 × 1 = −1x0 .
On rappelle que par convention x0 = 1.
g(x) = 3x2 est un polynôme de degré 2, ici a = 3, b = 0 et c = 0. C’est aussi un monôme.
Par contre h(x) = 2x2 +
√
x n’est pas un polynôme de degré 2 (présence de la fonction racine carrée).
Définition 24.
On appelle un polynôme du troisième degré ou polynôme de degré 3 une fonction du type :
f (x) = ax3 + bx2 + cx + d + c avec a 6= 0 et b, c, d trois réels quelconques.
21
CHAPITRE 4. DÉRIVATION
Exemple 4.1.2 f (x) = 3x3 + 2x + 1 est un polynôme de degré 3. Par contre g(x) = x2 + 1 n’est pas un polynôme de degré
3 (mais de degré 2).
√
1
h(x) = 3 + x n’est pas un polynôme.
x
4.1.2
Tableau des fonctions dérivées de monômes
Nom du polynôme
Fonction dérivée
f (x) = a = ax0
Polynôme de degré 0 : fonction constante
f 0 (x) = 0
f (x) = ax
Polynôme de degré 1 : fonction linéaire
f 0 (x) = a
f (x) = ax2
Polynôme de degré 2
f 0 (x) = 2ax
f (x) = ax3
Polynôme de degré 3
f 0 (x) = 3ax2
Remarque : Afin d’alléger l’écriture au lieu de dire "La fonction dérivée de la fonction f " on pourra dire "La dérivée de f "
sans perdre de vue que f 0 (x) est bien une fonction.
BAC : Retenir la formule plus générale : si n ∈ N alors si f (x) = axn on aura f 0 (x) = naxn−1 .
√
1
Pour complément, pour x ≥ 0 si f (x) = x alors pour x > 0 on aura f 0 (x) = √
2 x
Exemple 4.1.3 Soit f (x) = 2 alors f 0 (x) = 0.
L’on retiendra que la fonction dérivée d’une fonction constante (polynôme de degré 0) est la fonction nulle.
Si maintenant f (x) = 7x on aura f 0 (x) = 7.
Avec f (x) = 3x2 on obtiendra f 0 (x) = 2 × 3x2−1 = 6x1 = 6x.
Dans le cas d’un monôme de degré 3 comme f (x) = 10x3 nous obtiendrons f 0 (x) = 3 × 10x2 = 30x2 .
Enfin avec f (x) = 6x5 alors f 0 (x) = 5 × 6x4 = 30x4
4.1.3
Dérivées de fonctions de la forme u + v
Comment calculer la fonction dérivée de f (x) = x2 − x connaissant la fonction dérivée de x2 et celle de −x ?
Proposition 25.
La dérivée d’une somme de fonction est la somme des dérivées. Dit autrement si f (x) = u(x) + v(x) alors
f 0 (x) = [u(x) + v(x)]0 = u0 (x) + v 0 (x) ce que l’on agrège en disant (u + v)0 = u0 + v 0
Exemple 4.1.4 Soit f (x) = x2 + 3x. On pose u(x) = x2 et v(x) = 3x. On a alors u0 (x) = 2x et v 0 (x) = 3. f s’écrit sous la
forme u + v donc f 0 (x) = [u(x) + v(x)]0 = u0 (x) + v 0 (x) = 2x + 3 c’est-à-dire f 0 (x) = 2x + 3.
Si maintenant f (x) = |{z}
x3 + |{z}
2x2 + |{z}
x + |{z}
1 alors f 0 (x) = u0 (x) + v 0 (x) + w0 (x) + h0 (x) c’est-à-dire
u(x)
0
v(x)
2
w(x)
h(x)
2
f (x) = 3x + 4x + 1 + 0 = 3x + 4x + 1.
Pour finir si f (x) = 5x4 + 3x − 2 alors f 0 (x) = 20x3 + 3
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CHAPITRE 4. DÉRIVATION
4.1.4
Dérivées des fonctions de la forme ku
Comment calculer la fonction dérivée de f (x) = 2(3x2 + 4x − 2) connaissant la dérivée de u(x) = 3x2 + 4x − 2 ?
Proposition 26.
Si f (x) = ku(x) avec k un réel quelconque alors f 0 (x) = ku0 (x) que l’on abrège par (ku)0 = ku0
Exemple 4.1.5 Si f (x) = 2(3x2 + 4x − 2) on pose k = 2 et u(x) = 3x2 + 4x − 2 donc u0 (x) = 6x + 4.
De là f 0 (x) = (ku(x))0 = ku0 (x) = 2(6x + 4) = 12x + 8.
Si f (x) = π(6x3 + 2x2 + x − 8) alors f 0 (x) = π(18x2 + 4x + 1) = 18πx2 + 4πx + π
Remarque : Le lycéen peut également écrire si f (x) = 2(3x2 + 4x − 2) = 6x2 + 8x − 4 d’où f 0 (x) = 12x + 8. On retiendra que
faire la formule (ku)0 = ku0 est plus simple (coefficients moins difficiles dans u(x) que dans le développement de ku). En fait
√
1
5
l’intérêt réside plus pour des fonctions autres que polynomiales, par exemple si f (x) = 5 x alors f 0 (x) = 5 × √ = √
2 x
2 x
4.1.5
Dérivées de fonctions de la forme uv
Comment calculer la fonction dérivée de f (x) = (2x2 + 3x + 1)(2x − 1) connaissant la dérivée de u(x) = 2x2 + 3x + 1 et
v(x) = 2x − 1 ?
Proposition 27.
Si f (x) = u(x)v(x) alors f 0 (x) = [u(x)v(x)]0 = u0 (x)v(x) + u(x)v 0 (x) que l’on abrège par (uv)0 = u0 v + uv 0
Attention : La dérivée d’un produit n’est pas le produit des dérivées.
Exemple 4.1.6 Calculons la fonction dérivée (c’est-à-dire la dérivée) de la fonction f (x) = (2x2 + 3x + 1)(2x − 1)
On pose u(x) = 2x2 + 3x + 1 et v(x) = 2x − 1. f s’écrit sous la forme uv, on a alors u0 (x) = 4x + 3 et v 0 (x) = 2
De là f 0 (x) = [u(x)v(x)]0 = u0 (x)v(x) + u(x)v 0 (x) = (4x + 3)(2x − 1) + (2x2 + 3x + 1) × 2 = 8x2 − 4x + 6x − 3 + 4x2 + 6x + 2 =
12x2 + 8x − 1
Soit f (x) = (2x + 1)(5x + 2). On pose u(x) = 2x + 1 et v(x) = 5x + 2 alors u0 (x) = 2 et v 0 (x) = 5. f s’écrit sous la forme
uv. Ainsi f 0 (x) = u0 (x)v(x) + u(x)v 0 (x) = 2(5x + 2) + (2x + 1) × 5 = 10x + 4 + 10x + 5 = 20x + 9
Enfin si g(x) = |{z}
x3 (x2 + 1) on aura g 0 (x) = 3x2 (x2 + 1) + x3 (2x) = 3x4 + 3x2 + 2x4 = 5x4 + 3x2
| {z }
u(x)
4.2
v(x)
Dérivées d’une fonction rationnelle
4.2.1
Définition d’une fonction rationnelle
Définition 28.
On appelle une fonction rationnelle le quotient de deux polynômes.
2x2 + 3x + 1
2x6 + 3x5 − 1
Exemple 4.2.1 f (x) =
est une fonction rationnelle. g(x) = 3
est aussi une fonction rationnelle.
2
x −1
x + 2x + 1
√
√
x
par contre g(x) =
n’est pas une fonction rationnelle parce que x n’est pas un polynôme.
x+1
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CHAPITRE 4. DÉRIVATION
x2 + x − 3
x2 + x − 3
=
1
1x0
qui est bien un quotient de 2 polynômes (l’un de degré 2 au numérateur et l’autre de degré 0 au dénominateur). On retiendra
donc qu’un polynôme est aussi une fonction rationnelle alors qu’en général une fonction rationnelle n’est pas forcement un
polynôme.
Remarque : On sait que 1 = 1x0 (polynôme de degré 0) donc on peut écrire f (x) = x2 + x − 3 =
4.2.2
Dérivées de fonctions de la forme
u
v
Connaissant la fonction dérivée de f et g comment calculer la dérivée de
f
?
g
Proposition 29.
Si u(x) et v(x) sont dérivables sur I, c’est-à-dire que u0 (x) et v 0 (x) existent sur I avec v(x) 6= 0 sur I et si
u(x)
f (x) =
alors :
v(x)
0
u 0
u(x)
u0 (x)v(x) − u(x)v 0 (x)
u0 v − uv 0
que
l’on
abrège
f 0 (x) =
=
=
2
v(x)
u(x)
v
v2
6x + 2
on pose u(x) = 6x + 2 et v(x) = x + 1. De là u0 (x) = 6 et v 0 (x) = 1. De plus f s’écrit
x+1
6(x + 1) − (6x + 2) × 1
6x + 6 − (6x + 2)
6x + 6 − 6x − 2
4
u
u0 v − uv 0
=
=
=
=
sous la forme
d’où f 0 (x) =
v
v2
(x + 1)2
(x + 1)2
(x + 1)2
(x + 1)2
Remarque : La dérivée d’une fonction rationnelle est encore une fonction rationnelle.
Exemple 4.2.2 Soit f (x) =
u
2x
on pose u(x) = 2x et v(x) = x2 + 1. De plus f s’écrit sous la forme
alors u0 (x) = 2 et
+1
v
2(x2 + 1) − 2x(2x)
2x2 + 2 − 4x2
−2x2 + 2
v 0 (x) = 2x d’où f 0 (x) =
=
=
(x2 + 1)2
(x2 + 1)2
(x2 + 1)2
Pour dériver f (x) =
x2
Proposition 30.
Si f (x) =
1
1
1
v 0 (x)
alors f 0 (x) = − 2 et plus généralement si f (x) =
alors f 0 (x) = − 2
x
x
v(x)
v (x)
Il suffit de prendre dans le 1er cas u(x) = 1 et v(x) = x et d’appliquer le propriété 4.
4.3
4.3.1
Application
Equation de la tangente à une courbe en un point
Soit la fonction f (x) = x3 + 2x − 1. On cherche l’équation de la droite (y = mx + p) qui est tangente à Cf au point A(1, 2).
Dit autrement on cherche une droite ∆ (fonction affine) qui approxime Cf au voisinage de a = 1
On rappelle que m se nomme le coefficient directeur et que p est l’ordonnée à l’origine.
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CHAPITRE 4. DÉRIVATION
Proposition 31.
Soit A(a, f (a)) c’est-à-dire une point A de Cf d’abscisse a et d’ordonnée f (a)
1. si f est dérivable en a (cela signifie que f 0 (a) existera) alors le coefficient directeur de la tangente en a est
m = f 0 (a)
2. si f est dérivable en a (cela signifie que f 0 (a) existera) alors l’équation complète de la tangente en a à Cf
sera ∆ : y = f 0 (a)(x − a) + f (a)
Exemple 4.3.1 Soit f (x) = x2 + 3x + 1. On cherche l’équation de la tangente au point A d’abscisse a = 2.
On calcule f 0 ce qui donne f 0 (x) = 2x + 3, puis on cherche f 0 (a) = f 0 (2) = 2 × 2 + 3 = 7. Donc le coefficient directeur de la
tangente en a = 2 existe est vaudra m = 7.
L’équation complète de la tangente à Cf en a = 2 est ∆ : y = f 0 (a)(x − a) + f (a) = f 0 (2)(x − 2) + f (2)
Comme f (a) = f (2) = 22 + 3 × 2 + 1 = 11 nous aurons en conclusion ∆ : y = 7(x − 2) + 11 = 7x − 14 + 8 = |{z}
7 x −6
|{z}
m
4.3.2
p
Sens de variation d’une fonction et extremum
La fonction dérivée d’une fonction f va nous permettre aussi d’étudier le sens de variation de la fonction f (croissante ou
décroissante) sur un certain intervalle I mais aussi de déterminer s’il la courbe représentative de f admet un maximal et/ou
un minimal (ce que l’on regroupe dans le terme d’extremum).
Proposition 32.
Étudier le sens de variation de f revient à étudier le signe de f 0 . Dit autrement :
1. Si f 0 (x) ≥ 0 sur I alors f est croissante sur I
2. Si f 0 (x) ≤ 0 sur I alors f est décroissante sur I
3. Si f 0 (x) = 0 sur I alors f est constante sur I
Exemple 4.3.2 Soit f (x) = x2 + x + 1. On aura f 0 (x) = 2x + 1.
Étudier le sens de variation de f revient à étudier le signe de f 0 . Or f 0 est une fonction affine.
En 1ere nous avons vu que le signe (c’est-à-dire quand est-ce que c’est positif ou négatif ) d’une fonction affine y = mx + p
est du signe de m à droite de la valeur qui annule mx + p.
1
On résout donc 2x + 1 = 0 ce qui équivaut à 2x = −1 ou encore x = − . On dresse le tableau de signe de f 0 (x) = 2x + 1
2
puis on en déduit le sens de variation en utilisant la proposition.
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CHAPITRE 4. DÉRIVATION
1
1
On conclut en écrivant que f est décroissante sur ] − ∞, − ] et croissante sur [− , +∞[
2
2
1
3
1
Le minimum de f sur R est atteint en x = − et vaut f (− ) =
2
2
4
Exemple 4.3.3 Si maintenant f (x) = x3 + 2x2 − x + 1. On aura f 0 (x) = |{z}
3 x2 + |{z}
4 x −1 .
|{z}
a
0
b
c
0
Étudier le sens de variation de f revient à étudier le signe de f . Or f est polynôme du second degré dont on a vu en 1ere
qu’il fallait calculer ∆ (discriminant) pour en trouver les racines (c’est-à-dire les valeurs de x tels que x3 + 2x2 − x + 1 = 0
On a ∆ = b2 − 4ac = 42 − 4 × 3 × (−1) = 28. Comme ∆ ≥ 0 il y a 2 racines réelles distinctes qui sont :
√
√
√
√
√
−b + ∆
−4 + 28
−4 + 2 7
2(−2 + 7)
−2 + 7
x1 =
=
=
=
=
2a
2×3
2×3
2×3
3
√
√
−b − ∆
−2 − 7
x2 =
=
2a
3
Lorsque ∆ ≥ 0 le signe du trinôme f 0 (x) = 3x2 + 4x − 1 est du signe de a à l’extérieur des racines (ici a = 3 > 0). On
obtient alors la tableau de variation
Exemple 4.3.4 (Type BAC) Le coût de production de x tonne d’un produit (0 ≤ x ≤ 10) est donné en milliers d’euros par
la fonction C(x) = 0, 25x2 − 2x + 5. On se pose la question suivante : Combien faut-il produire de produit pour que le coût
soit minimal ?
On a donc C 0 (x) = 0, 5x − 2 (fonction affine de la forme y = mx + p avec m = 0, 5 > 0), puis on résoud 0, 5x − 2 = 0
c’est-à-dire x = 4 d’où le tableau de variation de C sur [0, 10]
On en conclut que pour une production de 4 tonnes, on obtiendra un coût minimal de 1 × 1000 =1000 e
BAC : Bien qu’en pratique on peut trouver par exemple x = 3, 952, et sauf coup tordu inquiétez-vous....
Vocabulaire : En économie C(x) se nomme le coût total alors que C 0 (x) s’appelle le coût marginal.
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Chapitre
5
Échantillonnage-Estimation
Nous allons dans cette fiche nous intéresser à deux situations pratiques :
• Connaissant la proportion p dans la population d’un certain caractère (par exemple les personnes en surpoids), peut-on
sur 1000 personnes dire que la proportion de personnes en surpoids est encore p ou à peu près p, voire carrément différent ?
• Connaissant la proportion f dans une partie de la population (par exemple les personnes en surpoids sur un groupe de
1000 individus), peut-on dire que la proportion de personnes en surpoids dans la population est aussi f ou alors à peu près
f?
L’échantillonnage, la prise de décision et l’estimation se rencontrent beaucoup en économie comme les sondages, les études
de marché ou dans le domaine médical avec le test de validité d’un médicament.
5.1
Population et échantillon
Définition 33.
• On appelle population l’ensemble des individus, des objets... que l’on veut étudier.
• On appelle un échantillon une partie, un sous ensemble de la population
Remarque : En général la taille (nombre d’éléments) de la population (individus, objets...) est noté N alors que la taille
(nombre d’éléments) de l’échantillon sera noté n.
27
CHAPITRE 5. ÉCHANTILLONNAGE-ESTIMATION
Exemple 5.1.1 On étudie les notes du bac STMG obtenues durant l’année 2013. Le caractère étudié ici est les notes. La
population est l’ensemble des notes STMG de 2013 sur l’ensemble du territoire (par exemple N = 12000 élèves). L’ensemble
des notes du Lycée Pascal Blaise forme un échantillon (par exemple n = 68 élèves). L’ensemble des notes du Lycée Albert
Einstein forme un autre échantillon de taille n = 80 élèves.
Définition 34.
• On note p la proportion du caractère étudié dans la population de taille N .
• On note f la fréquence observée du caractère étudié dans l’échantillon de taille n.
Exemple 5.1.2 Si dans l’exemple précédent, on étudie le caractère "obtenir" son bac en 2013 dans la filière STMG, nous
pourrions avoir par exemple p = 0, 86 (86%) et sur le Lycée Blaise Pascal f = 0, 90 (90%).
5.2
Echantillonnage : intervalle de fluctuation
On suppose que l’on connait la proportion p dans une population donnée. Par exemple que la proportion de personnes à
Lyon (population) mesurant plus de 1, 90m est p = 0, 2 (20%). On choisit à la bibliothèque un échantillon de taille n = 100.
On observe alors la fréquence (qui est aussi une proportion) de mesurer plus de 1, 90m. On obtient f = 0, 1 (10%).
Si maintenant nous prenons un autre échantillon de taille n = 100 (indépendant du précédent) sur un autre lieu dans Lyon,
nous obtiendrons cette fois-ci f = 0, 15 (15%)
Nous répétons ainsi l’expérience de façon indépendante sur 100 échantillons de même taille n = 100 (numérotés de 1 à 100),
nous obtenons le résultat suivant :
Définition 35.
Comme on réalise plusieurs échantillons de même taille nous obtenons de surcoît des fréquences qui varient.
C’est ce que l’on appelle la fluctuation d’échantillonnage.
Au moins 95% des fréquences, à quelques exceptions près, sont dans la bande orange. cette bande s’appelle
l’intervalle I de fluctuation au seuil (de) 95%.
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CHAPITRE 5. ÉCHANTILLONNAGE-ESTIMATION
Proposition 36.
On suppose p connu. On suppose que n ≥ 25 et np ≥ 5 ainsi que n(1 − p) ≥ 5.
Quand on prélève un échantillon de taille n dans une population de taille N qui contient une proportion p du
caractère étudié, alors la fréquence f du caractère dans l’échantillon à au moins 95% de chance d’appartenir à
l’intervalle :
r
r
p(1 − p)
p(1 − p)
• I = [p − 1, 96
; p + 1, 96
]
n
n
1
1
• Si 0, 2 ≤ p ≤ 0, 8, l’intervalle précédent peut être approché par une formule plus simple : I = [p − √ ; p + √ ]
n
n
Remarque : Certains ouvrages utilisent la condition n ≥ 30 au lieu de n ≥ 25. La propriété signifie que la fréquence observée
dans un échantillon de taille n à au moins 95% de chance d’être dans l’intervalle I. Ce qui signifie également qu’on a au plus
5% de chance lors d’une mesure de f sur un échantillon de ne pas être dans I.
Exemple 5.2.1 On suppose que p = 0, 2. Nous prenons un échantillon de taille n = 100 et de fréquence f .
1
1
1
1
Comme n ≥ 25 et 0, 2 ≤ p ≤ 0, 8 nous aurons l’intervalle approché : I = [p − √ ; p + √ ] = [0, 2 − √
; 0, 2 + √
]=
n
n
100
100
[0, 2 − 0, 1; 0, 2 + 0, 1] = [0, 1; 0, 3] c’est-à-dire I = [10%; 30%]
En d’autres termes, dans notre échantillon de fréquence f , nous aurons au moins 95% de chance pour que f ∈ I c’est-à-dire
que f appartienne à l’intervalle (approché) de fluctuation au seuil de 95%.
Si l’on veut calculer l’intervalle de fluctuation au seuil de 95% de façon plus exact nous aurions, puisque
n ≥ 25, np = 100 × 0, 2 = 20 ≥ 5 et n(1 − p) = 100(1 − 0, 2) = 100 × 0, 8 = 80 ≥ 5 :
r
r
r
r
p(1 − p)
p(1 − p)
0, 2(1 − 0, 2)
0, 2(1 − 0, 2)
I = [p − 1, 96
; p + 1, 96
] c’est-à-dire I = [0, 2 − 1, 96
; 0, 2 + 1, 96
] =
n
n
100
100
[0, 12; 0, 27] ou encore I = [12%; 27%]
Remarque : Si l’on étudie des échantillons de taille de plus en plus grande, par exemple 100 échantillons de taille 1000, puis
100 échantillons de taille n = 5000 etc. on constate que l’amplitude des fluctuations (bandes oranges) diminuent.
Exemple 5.2.2 Les naissances de filles dans la population, au cours d’une année, a pour probabilité p = 0, 512. On prélève
maintenant un échantillon représentatif de 100 enfants. Calculons l’intervalle de fluctuation donnant la fréquence probable
au seuil de 95%.
On a n ≥ 25 et 0, 2 ≤ p ≤ 0, 8. De plus np = 100 × 0, 512 = 5, 12 ≥ 5 et n(1 − p) = 100(1 − 0, 512) = 48, 8 ≥ 5.
Ainsi l’intervalle approché de fluctuation au seuil 95% est : I = [0, 512 − √
1
1
; 0, 512 + √
] = [0, 412; 0, 612]
100
100
Dit autrement on a au moins 95% de chance d’avoir dans notre échantillon une probabilité d’avoir une fille entre 42% et
61%
5.3
Prise de décision
Si la proportion de personnes à Lyon (population) mesurant plus de 1, 90m est p = 0, 2 et que l’on choisit de prendre un
échantillon de taille n = 100 dans l’école primaire du Vème arrondissement, nous obtiendrons f = 0, 02 (2%).
Ce point est en dehors de la bande orange, c’est-à-dire de l’intervalle de fluctuation au seuil de 95%. Dans ce cas on rejette
cet échantillon car peu représentatif.
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CHAPITRE 5. ÉCHANTILLONNAGE-ESTIMATION
Définition 37.
Connaissant l’intervalle de fluctuation d’un caractère dans un échantillon de taille n, on peut valider ou rejeter
cet échantillon :
-Si f de l’échantillon est dans l’intervalle de fluctuation (f ∈ I) on valide l’échantillon au seuil 95%.
-Si f de l’échantillon n’est pas dans l’intervalle de fluctuation (f ∈
/ I) on rejette l’échantillon au seuil 95%.
Remarque : On utilise aussi le vocabulaire : on rejette/accepte l’hypothèse que l’échantillon provient/ne provient pas de la
population au seuil de 95%.
Les mots provient/ne provient pas sont à prendre en général au sens où l’échantillon est/n’est pas représentatif.
C’est avec ce type de décision que l’on détermine l’efficacité des médicaments ou alors de leurs effets secondaires.
Exemple 5.3.1 Lors d’un examen national, dans une classe de 30 élèves de 1ère S, on dénombre 8 notes en dessous de
8
10/20. Ce qui donne f =
' 0, 267.
30
On sait qu’au niveau national (c’est-à-dire la population) l’ensemble des 1ère S ont une proportion totale de note inférieure
à 10 égale à 19, 5%. On se demande si on peut faire l’hypothèse que le classe est représentative de la population.
Vérifions les hypothèses : On a n = 30 ≥ 25. De plus np = 30×0, 195 = 5, 85 ≥ 5 et enfin n(1−p) = 30(1−0, 195) = 24, 15 ≥ 5
On calcule l’intervalle de fluctuation au seuil de 95% :
r
r
r
r
p(1 − p)
p(1 − p)
0, 195(1 − 0, 195)
0, 195(1 − 0, 195)
; p + 1, 96
] = [0, 195 − 1, 96
; 0, 195 + 1, 96
] =
I = [p − 1, 96
n
n
30
30
[0, 05; 0, 33]
Or f ∈ I donc on accepte l’hypothèse que l’échantillon est représentatif (au risque de faire un erreur de 5%).
Notons que l’amplitude de I est importante, cela provient du fait que la taille de l’échantillon n = 30 est petite par rapport à
la population.
5.4
Estimation : intervalle de confiance
Il est souvent très difficile voire impossible de connaitre exactement la proportion p dans une population (coût, temps...).
Par exemple, connaitre la proportion des yeux marrons en France. Cette proportion p du caractère étudié, même si nous
pouvons la calculer, existe et sera souvent appelée proportion théorique.
On cherche à estimer la proportion théorique p dans la population connaissant la fréquence f dans l’échantillon. Ce principe
est couramment utilisé dans les sondages.
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CHAPITRE 5. ÉCHANTILLONNAGE-ESTIMATION
Proposition 38.
On ne connait pas p. On suppose n ≥ 25 et np ≥ 5 ainsi que n(1 − p) ≥ 5.
Quand un échantillon de taille n contient une proportion (fréquence) f du caractère étudié, alors la proportion
p théorique du caractère dans la population à au moins 95% de chance d’appartenir à l’intervalle :
r
r
f (1 − f )
f (1 − f )
• I = [f − 1, 96
; f + 1, 96
]
n
n
1
1
• Si 0, 2 ≤ p ≤ 0, 8, l’intervalle précédent peut être approché par une formule plus simple : I = [f − √ ; f + √ ]
n
n
Remarque : L’estimation doit dans la mesure du possible se faire avec un échantillon représentatif. En effet, étudier le
caractère "mesurer plus de 1, 90m" avec un échantillon dans une école primaire n’est pas pertinent.
Définition 39.
L’intervalle I s’appelle l’intervalle de confiance au seuil (de) 95%.
Exemple 5.4.1 Soit un sondage effectué auprès de 948 personnes (c’est un échantillon de taille n = 948). Le résultat obtenu
est 52% de personnes voteraient pour Mr Durand au 1er tour de l’élection. On aura donc :
r
r
0, 52(1 − 0, 52)
0, 52(1 − 0, 52)
; 0, 52 + 1, 96
]
I = [0, 52 − 1, 96
948
948
c’est-à-dire I = [0, 49; 0, 55] ou en terme de pourcentage [49%; 55%].
Ainsi il y a au moins 95% de chance pour que l’intervalle [49%; 55%] contienne le pourcentage de personne prête à voter pour
Mr Durand au niveau national (la population).
L’erreur courante consiste à dire 52% de la population va voter pour lui ce qui n’est pas la même chose que la phrase
précédente.
Exemple 5.4.2 On considère la population française. On étudie sur l’ensemble de la population les personnes âgées de plus
de 60 ans hyperglycémiques. On prend un échantillon représentatif de 170 personnes de plus de 60 ans. Après examen 46
personnes sont hyperglycémiques.
46
' 0, 27. D’où comme 0, 2 ≤ f ≤ 0, 8 on peut trouver l’intervalle de confiance approché :
170
1
1
1
1
I = [f − √ ; f + √ ] = [0, 27 − √
; 0, 27 + √
] = [0, 19; 0, 34] c’est-à-dire [19%; 34%]
n
n
170
170
On a n ≥ 25 et f =
En conclusion la proportion théorique d’hyperglycémiques dans la population a au moins 95% de chance de se trouver dans
l’intervalle [19%; 34%].
5.5
Taille minimale d’un échantillon
Pour terminer cette fiche nous allons à travers un exemple, déterminer la taille minimale d’un échantillon.
Exemple 5.5.1 Le nombre de français en âge de voter en 2013 était 43 millions d’habitants sur un total de 60 millions.
Quelle doit être la taille d’un échantillon d’électeurs pour avoir un intervalle de fluctuation de 95% (c’est-à-dire avec une
erreur inférieure ou égale à 5%).
1
1
1
Puisque I = [p − √ ; p + √ ] on doit avoir un écart à p inférieur ou égal à 5%, comme l’écart à p est √ nous aurons
n
n
n
1
1
1
2
donc √ ≤ 0, 05 c’est-à-dire ≤ 0, 05 ou encore
≤ n.
n
0, 052
n
1
donne n ≥ 400, dit autrement nous devons prendre un échantillon d’au moins 400 personnes.
Ainsi n ≥
0, 052
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Chapitre
6
Indice-Taux moyen
Le but de ce chapitre sera d’introduire la notion de coefficient multiplicateur, d’indice simple de base 100 et enfin du taux
d’évolution moyen.
• Le coefficient multiplicateur nous donnera un moyen rapide et efficace pour ajouter ou retrancher un pourcentage d’une
quantité.
• Les indices sont de nos jours présents dans de nombreux domaines comme les mathématiques financières (assurances,
banques, CAC40...), l’économie (indice des prix, indice de production...) mais aussi dans le marketing ou les statistiques.
Dans ce cours nous parlerons d’indice simple, mais peut-être entendrez-vous parler du NASDAQ sur les médias. Il s’agit
d’un indice (pas simple) dit composite. Voici par exemple le genre de graphique que voit un trader sur le Forex.
Ce genre de graphique (donc avec des indices) permet de comparer des quantités entre elles, mais également de connaitre
l’évolution d’un phénomène (inflation, hausse des prix...) par rapport à une période antérieure ou alors de prédire la valeur
du phénomène dans le futur.
• Enfin nous nous intéresserons au taux d’évolution moyen qui nous permettra de quantifier l’évolution d’une grandeur (en
général en %).
6.1
Pourcentage
Définition 40.
Prendre t% d’une valeur c’est la multiplier par
Exemple 6.1.1 5% de 15kg donne 15 ×
t
100
5
= 0, 75kg
100
ATTENTION : De nombreux domaines de l’économie (commerce, banque, assurance...) jouent sur de nombreuses erreurs
collectivement entretenues pour attirer le client.
En effet, l’on peut voir dans la vie courante "solde −25%". Il n’est pas précisé s’il s’agit d’une baisse sur le prix TTC ou HT.
Dans le secteur bancaire, il peut être proposé des emprunts à 3%. Mais s’agit-il de 3% sur la capital, ou sur le capital
remboursé cumulé, voire pire de 3% le 1er mois puis pour les mois suivants un pourcentage variable.
32
CHAPITRE 6. INDICE-TAUX MOYEN
6.2
Coefficient multiplicateur
Définition 41.
Soit une situation (achat, vente...) où l’on passe d’une valeur initiale vi à une valeur finale vf .
On définit le coefficient multiplicateur k (noté aussi C) de vi à vf par :
C=k=
vf
vf
ou encore le nombre k tel que vf = k × vi voire le nombre k tel vi =
vi
k
Dit autrement on passe de vi à vf en multipliant par k.
Exemple 6.2.1 On achète lundi un CD à 10 e (vi = 10), le mercredi le CD coûte alors 15 e (vf = 15)
Le coefficient multiplicateur est alors k =
vf
15
=
= 1, 5
vi
10
Remarque : vi et vf doivent être dans la même unité (kg, euros...). Par contre le coefficient multiplicateur est sans unité et
se note parfois aussi CM .
Exemple 6.2.2 Un livre coûtant 10 e augmente de 2%. Quel est alors son nouveau prix ?
2
2
Le prix initial est donc vi = 10 et l’on cherche vf . On a vf = vi +
vi = (1 +
)vi donc le coefficient multiplicateur sera
100
100
2
c’est-à-dire k = 1, 02.
k =1+
100
De sorte que vf = kvi = 1, 02 × 10 =10,20 e
Remarque : Si k > 1 cela indique une augmentation, une hausse...alors que si k < 1 cela indiquera une baisse, une réduction...
6.3
Taux d’évolution
6.3.1
Définition
Supposons que l’on achète une table à 75 e et que l’on constate un mois plus tard qu’elle coûte 110 e. On pourrait se poser
la question : De combien de % le prix de la table a-t’il augmenté ?
Définition 42.
Le taux d’évolution ou variation relative lorsque l’on passe de vi à vf est donné par
t=
vf − vi
V aleur f inale − V aleur initiale
=
vi
V aleur initiale
Le taux d’évolution exprimé en pourcentage est alors t(%) =
vf − vi
× 100
vi
Exemple 6.3.1 Une voiture passe de 10000 e (vi ) à 15000 e (vf ).
vf − vi
15000 − 10000
=
= 0, 5 c’est-à-dire t(%) = 0, 5 × 100 = 50%.
vi
10000
Ainsi le prix a augmenté de 50%.
Le taux d’évolution est alors t =
Remarque : Si t > 0 cela indique une augmentation, une hausse...alors que si t < 0 cela indiquera une baisse, une réduction...
Remarque : On rappelle qu’en classe de 1ère nous avons vu que V aleur f inale−V aleur initiale s’appelle la variation absolue.
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CHAPITRE 6. INDICE-TAUX MOYEN
6.3.2
Relation entre coefficient multiplicateur et taux d’évolution
Proposition 43.
Si k est le coefficient multiplicateur de vi à vf et si t est le taux d’évolution de vi à vf alors
t = k − 1 ou k = 1 + t
Exemple 6.3.2 Un article coûte 62,50 e (vi ) et subit une baisse de 20%. Calculons le prix de cet article.
On a vf = kvi or k = 1 + t donc vf = (1 + t)vi
De plus vi =62,50 e et t = −
20
20
d’où vf = (1 −
) × 62, 5 = 0, 8 × 62, 5 =50 e
100
100
BAC : On écrira "une baisse de 20%" et non "une baisse de −20%". En effet le signe − indique déjà une baisse et donc cela
ferait une répétition.
Indice simple de base 100
6.4
6.4.1
Définition
Si une calculatrice passe de 19 e (vi ) à 26 e (vf ), on peut se poser la question suivante : Si la calculatrice avait coûté 100 e
quel serait alors le prix après augmentation.
Définition 44.
On appelle indice simple de base 100 de vf par rapport à vi ou simplement indice de vf par rapport à vi le
nombre I tel que l’on est la situation de proportionnalité suivante :
C’est-à-dire vi × I = 100 × vf ou I =
100vf
vf
= 100
vi
vi
Remarque : L’indice simple en base 100 s’appelle ausi indice d’évolution.
Exemple 6.4.1 Le prix d’un vélo passe de 150 e (vi ) à 230 e (vf ). Quel serait son prix après augmentation s’il valait
initialement 100 e ?
100 × 230
100vf
=
=153,33 e
On a I =
vi
150
BAC : Le résultat serait en tout logique 153, 333333... mais l’on prendra garde d’arrondir au centimes près afin de donner un
résultat conforme à la pratique.
• Si vi et vf sont des prix d’un même article on parlera d’indice des prix.
• Si vi et vf sont des quantités consommées d’un même article on parlera d’indice de consommation.
• Si vi et vf sont des quantités fabriquées d’un même article on parlera d’indice de production.
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CHAPITRE 6. INDICE-TAUX MOYEN
6.4.2
Relation entre indice et coefficient multiplicateur
Proposition 45.
Si k est le coefficient multiplicateur de vi à vf et si I est l’indice de vf par rapport à vi alors
I = 100k ou encore k =
I
100
Exemple 6.4.2 Le chiffre d’affaire d’une entreprise passe de 65500 e (vi ) en 2010 à 72050 e (vf ) en 2013.
72050
L’indice d’évolution c’est-à-dire l’indice simple de base 100 est I = 100k = 100
= 110. Ce qui signifie que si l’entreprise
65500
avait un chiffre d’affaire de 100 e en 2010 alors il serait passé à 110 e en 2013.
Le taux d’évolution est :
1ère méthode : t =
vf − vi
72050 − 65500
=
= 0, 1
vi
65500
C’est-à-dire que le chiffre d’affaire à augmenté de t(%) = 0, 1 ∗ 100 = 10% en 3 ans.
2ème méthode : On a t = k − 1 c’est-à-dire t = 1, 1 − 1 = 0, 1 ou t(%) = 10%
BAC : En général si la question est "Calculer le coefficient multiplicateur" ou "Calculer le taux d’évolution" alors il faut surement utiliser la définition du cours. Par contre si on a la question "En déduire le coefficient multiplicateur" ou "En déduire
le taux d’évolution" il faudra probablement utiliser le résultat d’une propriété du cours.
6.4.3
Relation entre indice et taux d’évolution
Proposition 46.
Si t est le taux d’évolution de vi à vf et si I est l’indice de base 100 de vf par rapport à vi alors
I = 100(1 + t) ou encore t =
I − 100
100
Exemple 6.4.3 Le chiffre d’affaire d’une entreprise en 2013 baisse de 15% par rapport à 2010.
Calculons le taux d’évolution du chiffre d’affaire entre 2010 et 2013.
On aura d’après la définition t =
vf − vi
= −0, 15 (signe - puisqu’il s’agit d’une baisse)
vi
Déduisons-en l’indice I.
D’après la propriété précédente on aura
I = 100(1 + t) donc I = 100(1 + (−0, 15)) = 100 × 0, 85 = 85.
Dit autrement si le chiffre d’affaire en 2010 avait été de 100 e, il sera alors de 85 e en 2013.
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CHAPITRE 6. INDICE-TAUX MOYEN
BAC : Voici un schéma récapitulatif afin de bien retenir les différentes relations entre I, t et k = C
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Chapitre
7
Racines
Une équation numérique est une expression mathématique avec une égalité et des inconnues (x, y...)
Par exemple on peut chercher à trouver tous les réels (nombres) tels que x + 3 = 7.
La seule solution de cette équation est x = 4
Par contre x + 3 ≥ 7 n’est pas une équation, parce qu’il n’y a pas d’égalité. Il s’agit en fait d’une inégalité et on parlera donc
d’inéquation.
Un autre exemple est donné par la recherche des x et des y réels tels que x + y = 1.
1
1
x = 0 et y = 1 ou x = et y = voire x = 1000 et y = −999 etc. vérifient l’équation. Ce type d’équation admet en fait une
2
2
infinité de solution x et y.
Pour terminer ce liminaire (c’est-à-dire l’introduction) nous prendrons l’exemple d’équation numérique x2 = 4 où l’inconnue
est x
Dire "résoudre x2 = 4" n’est pas correcte.
Résoudre une équation c’est trouver toutes les solutions sur un intervalle donné.
Ainsi résoudre x2 = 4 sur [0, +∞[ aura pour unique solution x = 2. Par contre l’équation x2 = 4 sur [10, +∞[ n’aura pas de
solution sur cet intervalle. L’équation x2 = 4 aura pour solution sur l’ensemble des réels (noté R) x = 2 ou x = −2.
Le but de ce chapitre sera de résoudre l’équation numérique sur [0, +∞[ suivante :
xn = a avec a un nombre réel positif (a ∈ R+ ) et n un entier naturel non nul (n ∈ N∗ )
Remarque : La présence de l’ étoile * signifie que c’est un ensemble privé de l’élément 0.
POST-BAC : Pour ceux et celles qui prolongerons leurs études dans l’enseignement supérieur, il peut exister dans certains
problèmes l’équation x2 = −1 qui n’a pas de solution dans les nombres réels (R). Pour vaincre cette impossibilité on a créé
un ensemble plus vaste, plus riche que R qu’on appelle l’ensemble des complexes (C) où l’équation x2 = −1 aura une solution
(imaginaire) noté i et qui vérifiera donc i2 = −1.
7.1
Racine n-ième d’un nombre positif
Définition 47.
Soit a un nombre réel positif (a ∈ R+ ) et n un entier naturel non nul (n ∈ N∗ )
La solution de l’équation xn = 0 sur [0, +∞[ si elle existe s’appellera la racine n-ième de a.
Exemple 7.1.1 Soit a = 16 et n = 2. On cherche donc les x sur l’intervalle [0, +∞[ tels que x2 = 16. La seule solution
dans [0, +∞[ est x = 4. En effet 4 × 4 = 16
Ainsi x = 4 est la racine 2-ième de 16 que l’on abrège en disant que x = 4 est la racine carré de 16.
Exemple 7.1.2 Résolvons dans [0, +∞[ l’équation x3 = 8. La solution positive est x = 2. En effet 2 × 2 × 2 = 8. Dit
autrement x = 2 est la racine 3-ième de 8 qu’on abrège en disant que x = 2 est la racine cubique de 8.
37
CHAPITRE 7. RACINES
Proposition 48.
L’équation xn = a pour a ≥ 0 et n un entier naturel non nul admet une unique solution dans l’intervalle [0, +∞[.
Exemple 7.1.3 L’équation x12 = 6 d’après la propriété admet une seule solution sur [0, +∞[ . Même si à ce stade nous ne
connaissons pas cette solution nous sommes déjà sûr qu’elle existe dans [0, +∞[.
Remarque : Ce type de propriété est très importante en mathématique pour gagner du temps. Imaginez-vous rechercher
pendant une journée la solution d’une équation qui en fait n’en a pas. Ce type de propriété est un théorème d’existence d’une
solution de l’équation xn = a sur [0, +∞[. Il se démontre !
Dit autrement cette propriété vous assure l’existence d’une solution au problème sans pouvoir vous dire ce qu’elle vaut.
Proposition 49.
La solution unique de l’équation xn = a sur [0, +∞[ vaut x = a1/n
Exemple 7.1.4 L’équation x2 = 5 a pour solution sur [0, +∞[ le réel unique x =
La solution x =
√
√
5 (en effet
√
5×
√
5 = 5)
5 vaut donc d’après la propriété x = 51/2
L’équation x3 = 27 a pour solution dans [0, +∞[ l’unique réel x = 3 (3×3×3 = 27) c’est-à-dire d’après la propriété l’équation
x3 = 27 a pour solution x = 271/3 = 3
L’équation x6 = 8 a pour unique solution dans [0, +∞[ le réel x = 81/6
7.2
Racine n-ième avec la calculatrice
Cherchons l’unique solution de l’équation x3 = 5 sur [0, +∞[. Cette solution vaut donc x = 51/3 d’après la propriété précédente.
Avec la calculatrice :
ATTENTION : Ne pas oublier les parenthèses.
5 ∧ 1/3 signifie d’après la priorité des opérations
51
ce qui n’est pas la même chose que 5(1/3) = 51/3
3
En conclusion l’équation x3 = 5 a pour unique solution dans [0, +∞[ le nombre x = 51/3 ' 1, 71
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CHAPITRE 7. RACINES
7.3
Racine n-ième avec un tableur
Cherchons la solution unique de l’équation x10 = 8 dans [0, +∞[ à l’aide d’un tableur.
-On écrit dans A1 "a" et dans B1 "n" puis dans C1 "Solution de l’équation x ∧ n = a"
-On rentre dans A2 la valeur 8 puis dans B2 le nombre 10
-On rentre la formule dans C2 suivante =A2∧(1/B2)
-On obtient le résultat x = 81/10 ' 1, 23
7.4
Propriétés
Proposition 50.
Soient a ≥ 0 et n ∈ N∗ alors :
• a1/n
• (an )
n
1/n
=a
=a
Exemple 7.4.1 L’équation x5 = 7 admet l’unique solution x = 71/5 . Donc ici a = 7 et n = 5 d’où (71/5 )5 = 7 et (75 )1/5 = 5
Exemple 7.4.2 A l’aide de la calculatrice on a 210 = 1024 donc 10241/10 = (210 )1/10 = 2
De même on vérifie avec la calculatrice que 2431/5 = 3. On en déduit donc que 35 = (2431/5 )5 = 243
√
Remarque : Si n = 2 nous aurons donc d’après la propriété (a1/2 )2 = a c’est-à-dire ( a)2 = a avec a un réel positif.
De même nous aurons d’après la propriété (a2 )1/2 = a c’est-à-dire
√
a2 = a avec a un réel positif.
√
p
√
IL EST FAUX d’écrire " a2 = a pour a quelconque". En effet si a = −4 alors cela donnera (−4)2 = 16 = −4 alors que
le résultat est 4. On retiendra :
"Si a ≥ 0 alors
√
a2 = a"
"Si a est quelconque alors
√
a2 = |a|"
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Chapitre
8
Taux d’évolution globale
Ce nouveau chapitre s’incrit dans la suite logique des chapitres indice simple en base 100, taux moyen et racine n-ième de a ≥ 0.
8.1
Coefficient multiplicteur global
On considère deux évolutions successives de y0 à y1 puis de y1 à y2 . On connait le coefficient multiplicateur de y0 à y1 (noté
C1 ) et le coefficient multiplicateur de y1 à y2 (noté C2 ).
On se demande alors : quel peut être le coefficient multiplicateur pour passer de y0 à y2 (noté Cglobal ) ?
Proposition 51.
Si une quantité subit une évolution de coefficient multiplicateur C1 puis une évolution de coefficient multiplicateur C2 alors le coefficient multiplicateur global est donné par :
Cglobal = C1 × C2
Exemple 8.1.1 Une valeur passe de 10 (y0 ) à 25 (y1 ) puis de 25 (y1 ) à 35 (y2 ).
Cherchons le coefficient multiplicateur global de y0 à y2 .
On a C1 =
y2
y1
25
35
= 2, 5 et C2 =
= 1, 4.
=
=
y0
10
y1
25
Ainsi le coefficient multiplicateur global sera Cglobal = C1 × C2 c’est-à-dire Cglobal = 2, 5 × 1, 4 = 3, 5
Dit autrement on passe de y0 à y2 en multipliant par 3, 5.
Remarquons que l’on retrouve le résultat par Cglobal =
35
y2
=
= 3, 5
y0
10
Nous allons généraliser la propriété après n évolutions.
Proposition 52.
Soit n un nombre entier naturel non nul (n ∈ N∗ ).
Soit y0 , y1 , ..., yn des réels strictement positifs (yi ∈ R+∗ )
Soit C1 , ..., Cn les coefficients multiplicateurs qui permettent de passer de yi à yi+1
Le coefficient multiplicateur global qui permet de passer de la valeur y0 à la valeur yn est donné par
Cglobal = C1 × ... × Cn
40
CHAPITRE 8. TAUX D’ÉVOLUTION GLOBALE
ATTENTION : Le coefficient multiplicateur global n’est pas la somme des coefficients multiplicateurs c’est-à-dire Cglobal 6=
C1 + ... + C2
Remarque : Dans le cas où C1 = C2 = ... = Cn = C nous obtiendrons la formule Cglobal = C × C × ... × C = C n
|
{z
}
n f acteurs
Exemple 8.1.2 Si le coefficient multiplicateur d’une valeur est 1, 2 chaque mois alors le coefficient multiplicateur global au
bout d’un an sera Cglobal = C n c’est-à-dire Cglobal = 1, 212 ' 8, 91
Dit autrement il suffira de multiplier la valeur initiale (en janvier) par 8, 91 pour obtenir la valeur finale (en décembre). Si
l’article coûte 100 e en janvier et son prix chaque mois est multiplié par le coefficient multiplicateur 1, 2 alors il coûtera en
décembre 100 ∗ 8, 91 =891 e
8.2
Taux d’évolution global
Exemple 8.2.1 Un produit de 100 e subit une hausse de 10% puis de 30%. Son taux d’évolution global est-il de 40% ?
Le produit subit une augmentation de 10% donc son prix sera 110 e.
Puis il subit une hausse de 30% de 110 e donc il coûtera au final 110 +
30
× 110 =143 e
100
On calcule une augmentation de 40% sur 100 e, ce qui donne 140 e
On conclut donc, puisque 143 6= 140 que les % en général ne s’ajoute pas.
ATTENTION : Dans de nombreux domaines de l’économie (banque, assurance...) ce genre d’erreur sert souvent à manipuler
le client !
Supposons un prêt à la consommation de 1000 e au taux d’intérêts de 21% sur 12 mois. Le client trouvant le taux élevé, le
banquier propose alors d’appliquer le taux de 21/12 = 1, 75% par mois.
Le client ressort de sa banque soulagé....
Le 1er mois le remboursement est donc de
1000
1, 75
=83,33 e plus les intérêts 1000 ×
=17,5 e
12
100
Le 2ième mois, le client rembourse toujours la part fixe c’est-à-dire 83,33 e mais 1, 75% de la valeur totale remboursée le
1, 75
=17,8 e
mois précédent (dit autrement il paye des intérêts sur les intérêts). Ainsi il va devoir payer les intérêts 1017, 5 ×
100
1, 75
Au mois suivant il devra rembourser la part 83,33 e et (1017, 5 + 17, 8) ×
= 18,11 e d’intérêts etc.
100
De sorte qu’au mois de décembre notre client aura remboursé le prêt de 1000 e plus 231,08 e d’intérêts. Alors que s’il avait
21
=210 e d’intérêts.
appliqué le taux de 21% il aurai dû rembourser 1000
100
En conclusion il y avait deux pièges : 1, 75% sur quoi ? et enfin les pourcentages ne s’ajoutent pas.
La propriété suivante va nous permettre de trouver dans l’exemple précédent le taux d’évolution à appliquer à 100 e pour
trouver le prix final 143 e.
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CHAPITRE 8. TAUX D’ÉVOLUTION GLOBALE
Proposition 53.
Si une valeur subit deux évolutions de taux t1 puis t2 alors le taux d’évolution global tglobal sera
tglobal = (1 + t1 )(1 + t2 ) − 1 ou encore tglobal = C1 C2 − 1
Exemple 8.2.2 Une population augmente de 10% puis diminue de 20%. Cherchons le taux d’évolution global en %.
On a t1 = 10% =
10
20
= 0, 1 et t2 = −20% = −
= −0, 2
100
100
De là tglobal = (1 + t1 )(1 + t2 ) − 1 = (1 + 0, 1)(1 − 0, 2) − 1 = 1, 1 × 0, 8 − 1 = −0, 12
En conclusion la population a subit finalement une baisse de 12%.
Nous allons maintenant généraliser la propriété précédente avec n évolutions.
Proposition 54.
Soit n un nombre entier naturel non nul (n ∈ N∗ ).
Si une valeur (y0 ) subit n évolution de taux t1 , t2 , ..., tn alors le taux d’évolution global tglobal sera
tglobal = (1 + t1 )(1 + t2 ) × ... × (1 + tn ) − 1 ou encore tglobal = C1 × C2 × ... × Cn − 1
Exemple 8.2.3 La population d’une ville augmente de 2, 3% en un an, puis diminue de 3, 4% l’année suivante et enfin
augmente à nouveau de 2, 6% la dernière année. Cherchons le taux d’évolution global en %.
Ici n = 3 (il y a 3 évolutions de la population) et l’on a t1 = 2, 3%, t2 = −3, 4% et enfin t3 = 2, 6%
Donc tglobal = (1 +
2, 3
3, 4
2, 6
)(1 −
)(1 +
) − 1 ' 0, 014
100
100
100
En conclusion le taux d’évolution global de la population de cette ville sur les 3 années est de 1, 4%.
Remarque : Comme C1 = 1 + t1 , C2 = 1 + t2 ,...,Cn = 1 + tn nous aurons donc tglobal = C1 × C2 × ... × Cn − 1 c’est-à-dire
tglobal = Cglobal − 1 ou Cglobal = tglobal + 1
ATTENTION : Le taux d’évolution global tglobal n’est pas la somme des taux d’évolution c’est-à-dire
tglobal 6= t1 + ... + t2
Remarque : Dans le cas où t1 = t2 = ... = tn = t la formule de la propriété précédente deviendra
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CHAPITRE 8. TAUX D’ÉVOLUTION GLOBALE
tglobal = (1 + t)(1 + t) × ... × (1 + t) −1 = (1 + t)n − 1
|
{z
}
n f acteurs
Exemple 8.2.4 Tous les mois un produit augmente de 2% (du prix du mois précédent !). Au bout d’un an de combien aurat’il augmenté ?
On a t1 = t2 = ... = t12 = 2% = 0, 02 et n = 12 d’où tglobal = (1 + 0, 02)12 − 1 ' 0, 27
Dit autrement le produit a augmenté de 27% sur un an.
8.3
Taux d’évolution moyen
Le chiffre d’affaire (abrégé souvent C.A) d’une entreprise a augmenté de 15% en 2 ans. Le but va être de trouver le taux
d’évolution annuel moyen (noté tmoyen ou tM ) du C.A de cette entreprise.
Dit autrement on connait cette fois-ci tglobal et l’on va chercher les t1 , t2 avec t1 = t2 = tmoyen .
Proposition 55.
Soit y0 , y1 et y2 trois nombres réels strictement positifs (il y a donc 2 évolutions)
Soit tglobal le taux d’évolution global de y0 à y2 alors le taux d’évolution moyen tmoyen des 2 évolutions de y0 à
y2 est donné par les relations suivantes :
(1 + tmoyen )2 = 1 + tglobal ou (1 + tmoyen )2 = Cglobal
et tmoyen = (1 + tglobal )1/2 − 1 ou tmoyen = (Cglobal )1/2 − 1
Remarque : 1 + tmoyen s’appelle le coefficient multiplicateur moyen et se note Cmoyen ainsi
1 + tmoyen = Cmoyen ou tmoyen = Cmoyen − 1
Exemple 8.3.1 Le C.A d’une entreprise a augmenté de 15% en 2 ans. Cherchons le taux d’évolution moyen tmoyen .
Nous avons donc tmoyen = (1 + tglobal )1/2 − 1 c’est-à-dire tmoyen = (1 + 0, 15)1/2 − 1 =
√
1, 15 − 1 ' 0, 07
En conclusion le taux d’évolution annuel moyen du chiffre d’affaire est de 7%. Dit autrement le C.A de cette entreprise a
augmenté en moyenne de 7% par an sur 2 ans.
La généralisation de la propriété précédente est :
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CHAPITRE 8. TAUX D’ÉVOLUTION GLOBALE
Proposition 56.
Soit n un nombre entier naturel non nul (n ∈ N∗ ).
Soit y0 , y1 , ..., yn des réels strictement positifs (yi ∈ R+∗ ) et tglobal le taux d’évolution global de y0 à yn alors
le taux d’évolution moyen tmoyen des n évolutions de y0 à yn est :
(1 + tmoyen )n = 1 + tglobal ou (1 + tmoyen )n = Cglobal
et tmoyen = (1 + tglobal )1/n − 1 ou tmoyen = (Cglobal )1/n − 1
Exemple 8.3.2 Un étudiant a déposé 1000 e sur un compte à 3, 5% d’intérêts par an. Quel sera le montant, lors de la 1ère
année, au mois de juin ?
Calculons tout d’abord le taux d’évolution moyen mensuel.
On aura donc tglobal = 3, 5% = 0, 035. De plus n = 12 d’où tmoyen = (1 + tglobal )1/n − 1 c’est-à-dire
tmoyen = (1 + 0, 035)1/12 − 1 ' 0, 0028 ou encore tmoyen ' 0, 28%
Cherchons le coefficient multiplicateur moyen. On aura Cmoyen = 1 + tmoyen d’où Cmoyen = 1 + 0, 0028 = 1, 0028
Ainsi si l’étudiant à 1000 e en janvier, il aura en juin (6ième mois) 1000 × (1, 0028)6 '1016,62 e
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Chapitre
9
Loi normale
9.1
Loi normale
Si X est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale, d’espérance E(X) = µ = m et d’écart type σ, de paramètre n = 100
et p = 0, 3 (ce que l’on note X ∼ B(100; 0, 3) alors le diagramme représentant cette loi sera :
On voit que plus le nombre n est grand plus le diagramme s’approchera de la courbe rouge en forme de cloche.
1
Pour information cette courbe a pour équation f (x) = √ e
σ 2π
exponentielle.
−(x − µ)2
2σ 2
avec σ et µ des nombres donnés et e la fonction
Définition 57.
Cette courbe en cloche est appelée fonction densité gaussienne.
45
CHAPITRE 9. LOI NORMALE
Remarque : Dans le cas où X suit une loi binomiale la fonction densité associée (pour n assez grand) est celle de Gauss,
par contre si X suit une autre loi (Bernouilli, géométrique...), les fonctions densités aurons des expressions et des propriétés
différentes.
Pour µ = 30 et si nous faisons varier σ alors nous obtenons les courbes densités suivantes :
On remarque que plus σ est grand plus la courbe semble s’aplatir. Si maintenant on prend σ = 5 et que l’on fait varier µ, on
obtient les fonctions densités suivantes :
Proposition 58.
• La courbe densité gaussienne admet comme axe de symétrie la droite verticale x = µ.
• L’aire sous la courbe vaut A = 1
Proposition 59.
Soit X une
pvariable aléatoire suivant une loi binomiale X ∼ B(n, p) d’espérance E(X) = µ = m = np et d’écart
type σ = np(1 − p). Si n est assez grand alors on peut approcher le calcul de p(X ≤ b) en calculant l’aire de
la surface comprise entre la courbe, l’axe des abscisses et à gauche de la droite verticale x = b
On définit alors une nouvelle loi de probabilité de la variable aléatoire X que l’on appellera
loi normale de paramètre µ et σ.
Lorsqu’une variable aléatoire suit une loi normale de paramètre µ et σ on note X ∼ N (µ, σ).
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CHAPITRE 9. LOI NORMALE
Remarque : La fonction x 7−→ p(X ≤ x) est appelée fonction de répartition de la variable aléatoire X.
9.2
Utilisation d’une table
Exemple 9.2.1 Soit X une variable aléatoire qui suit une loi normale de paramètre µ = 0 et σ = 1 c’est-à-dire X ∼ N (0, 1)
On cherche p(X ≤ 1, 72. On utilise la table suivante uniquement valable pour µ = 0 et σ = 1
On cherche la valeur 1, 72 dans le tableau en remarquant que 1, 72 = 1, 7 + 0, 02. L’intersection de la ligne 1, 7 et de la colonne
0, 02 permet de déduire que p(X ≤ 1, 72) = 0, 9573
Remarque : La table est valable en générale pour des valeurs plus petite que 3, 69
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CHAPITRE 9. LOI NORMALE
9.3
Avec la calculatrice
Exemple 9.3.1 Soit X une variable aléatoire qui suit une loi normale de paramètre µ = 0 et σ = 1 c’est-à-dire X ∼ N (0, 1)
On cherche p(X ≤ 1, 72) avec la calculatrice.
On retrouve alors le résultat p(X ≤ 1, 72) = 0, 9573
Soit maintenant X ∼ N (21, 7). On cherche p(X ≤ 40). On aura alors avec la calculatrice :
d’où p(X ≤ 40) ' 0, 997
Proposition 60.
Soit X une variable aléatoire suivant une loi normale d’espérance µ et d’écart type σ.
la probabilité p(a ≤ X ≤ b) que X prenne une valeur comprise entre a et b est égale à l’aire du domaine compris
entre la courbe de Gauss, l’axe des abscisses et les droites verticales d’équation x = a et x = b
Exemple 9.3.2 Soit X une variable aléatoire qui suit une loi normale de paramètre µ = 21 et σ = 7. Calculons p(10 ≤ X ≤
30) avec la calculatrice.
De sorte que l’on obtient p(10 ≤ X ≤ 30) ' 0, 843
Proposition 61.
Soit X une variable aléatoire suivant une loi normale d’espérance µ et d’écart type σ.
• p(X ≥ µ) = 1/2 et p(X ≤ µ) = 1/2
• Pour tous les réels x on a p(X ≤ µ − x) = p(X ≥ µ + x)
• p(X ≥ a) = 1 − p(X ≤ a) et p(a ≤ X ≤ b) = p(X ≤ b) − p(X ≤ a)
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CHAPITRE 9. LOI NORMALE
Remarque : Que les inégalités soient strictes ou non n’a pas d’importance. Dit autrement p(X ≤ a) = p(X < a) ou encore
p(a ≤ X ≤ b) = p(a < X ≤ b) = p(a ≤ X < b) = p(a < X < b)
Exemple 9.3.3 Soit X une variable aléatoire qui suit une loi normale N (21, 7). Cherchons p(X ≥ 25). En utilisant la
calculatrice nous aurons :
Et nous obtenons p(X ≥ 25) ' 0, 284
9.4
Intervalle de fluctuation
Proposition 62.
Soit X une variable aléatoire suivant une loi normale d’espérance µ et d’écart type σ alors
p(µ − 2σ ≤ X ≤ µ + σ) ' 0, 95
L’intervalle [µ − 2σ; µ + 2σ] se nomme l’intervalle de fluctuation au seuil 95%
Exemple 9.4.1 Soit X ∼ N (62, 9).
L’intervalle de fluctuation est donc [62 − 2 × 9; 62 + 2 × 9] = [44, 80].
D’après la propriété nous aurons donc p(X ∈ [44, 80]) = p(44 ≤ X ≤ 80) ' 0, 95
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Chapitre
10
Suites numériques
Le mathématicien Fibonacci Léonard de Pise (1175 − 1256) étudia le problème pratique suivant concernant la croissance
d’une population de lapins :
"Combien de couples de lapins obtient-on en un an si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple et ceci à
compter du mois de mars"
Ce problème peut se poser de nos jours à un producteur qui souhaiterait élever des lapins. Combien de couples aura-t’il
dans 3 ans ? Cela lui permettra ainsi d’établir un budget prévisionnel comme le nombre de piquets ou encore la longueur de
grillage nécessaire à acheter pour parquer un élevage de lapins sur une durée de 3 ans.
Au 1er mois ainsi qu’au 2eme mois il n’y a qu’un couple alors qu’au début du 3eme il y aura 2 couples de lapins. au 4eme
mois nous aurons 3 couples, puis le mois suivant 5 etc.
Ce que l’on pourra résumer par la suite de nombres 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..
Ce chapitre permettra également de résoudre des problèmes plus contemporain :
"De 2000 à 2012 la population augmente de 3%. En 2000 il y avait 210 000 habitants. Quelle devrait être la population en
2012 de cette ville ?"
50
CHAPITRE 10. SUITES NUMÉRIQUES
10.1
Suites numériques
10.1.1
Définition
Définition 63.
Une suite numérique est une liste de nombres réels que l’on renumérote par une lettre et un indice (entier
naturel).
Exemple 10.1.1 Soit la suite 1, 2, 3, 4, ... On note le 1er nombre u0 , le 2eme u1 etc.
5 , ...
4 , |{z}
3 , |{z}
2 , |{z}
Ainsi on aura |{z}
1 , |{z}
u0
u1
u2
u3
u4
Attention : Écrire une liste de nombres signifie qu’il y a un ordre. La suite 1, 2, 3, 4, ... n’est pas la même suite que 2, 3, 4, 1, 5, ...
Définition 64.
Une suite de nombres réels se note (un ). Un nombre de cette suite se note un et s’appelle le terme de rang n ou
terme d’indice n de la suite.
On dit aussi que un (sans parenthèse) est le terme général de la suite.
Pour n = 0 alors un = u0 que l’on nomme le 1er terme ou terme initial de la suite.
Remarque : Le choix du rang pour le 1er terme est arbitraire. Dans la suite 6, 5, 3, 8, 9, ... on peut poser u1 = 6 , u2 = 5 ;
u3 = 3,... ou même u10 = 6 , u11 = 5 ,u12 = 3, ... c’est une histoire de choix.
Exemple 10.1.2 Soit la suite (vn ) telle que v0 = 1; v1 = 2; v2 = 5; v3 = 7... alors le terme d’indice 2, qui se note v2 vaudra
5. Le terme de rang 3 vaut quand à lui 7.
Si l’on veut calculer v4 dans l’exemple précédent on devine que v4 = 9 (on remarque qu’on passe d’un terme à l’autre en
ajoutant 2). Que vaut alors v2014 ? Pour répondre à cette question nous allons tout d’abord donner deux façons de définir les
termes d’une suite.
10.1.2
Suite explicite
Définition 65.
Si on arrive à écrire le terme général un en fonction de n, on dira que la suite (un ) est définie explicitement en
fonction de n. Dit autrement une suite est explicite si un = f (n).
Exemple 10.1.3 Si la suite (un ) est définie de façon explicite par la formule un = 2n pour n ≥ 0 alors :
u0=2×0=0
u1=2×1=2
u2=2×2=4
Avec la suite (vn ) définie par le terme général explicite vn = n + 1 pour n ≥ 1 on aura u1 = 2, u2 = 3, u3 = 4, ...
Remarque : L’intérêt de l’expression explicite d’une suite est de pouvoir calculer par exemple u20 facilement. En effet si
un = n2 alors u20 = 202 = 400. Une suite exprimée sous forme explicite permet de faire des calculs de termes un rapidement.
10.1.3
Suite récurrente
Si un est le terme général d’indice n alors un+1 sera le terme de la suite de rang n + 1 (c’est-à-dire le terme suivant un ). De
même un−1 sera alors le terme de la suite (un ) de rang n − 1 (c’est-à-dire le terme précédent un ).
Exemple 10.1.4 Si un = (n + 1)2 alors pour n = 5 on aura u5 = (5 + 1)2 = 62 = 36. Donc u4 sera le terme précédent et
vaudra u4 = (4 + 1)2 = 52 = 25 alors que u6 sera le terme suivant et sa valeur sera u6 = (6 + 1)2 = 72 = 49
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CHAPITRE 10. SUITES NUMÉRIQUES
Dans de nombreux cas pour calculer la valeur du termes un+1 d’une suite numérique on aura besoin du terme précédent un
ainsi que la valeur du 1er terme (u0 ou u1 ).
Définition 66.
Si on a une suite numérique (un ) dont on connait le 1er terme (en général u0 ou u1 ) et une relation qui permet
de relier un+1 au terme précédent un alors on dira que la suite (un ) est définie par récurrence.

 u =2
0
Exemple 10.1.5 Soit la suite (un ) définie par
 u
n+1 = un + 5
pour n ≥ 0
On connait u0 et un+1 est lié à un (terme précédent) par une relation mathématique (c’est-à-dire une formule) donc (un ) est
définie par récurrence.
On aura u1 = u0+1 = u0 + 5 = 2 + 5 = 7. De même u2 = u1+1 = u1 + 5 = 7 + 5 = 12
Remarque : Calculer u100 lorsque la suite (un ) est définie par récurrence nécessite le calcul de u99 . Or u99 nécessite le calcul
de u98 etc. On voit donc que pour obtenir u100 il faut faire un calcul récurrent, c’est-à-dire qui ce répète, jusqu’au terme
connu u0 ou u1 .
Le calcul de terme d’une suite définie sous forme récurrente est long. Dans certaines suites pour les définir correctement il
faut connaitre les 2 termes précédent un . Dans la suite de Fibonacci on remarque que le nombre de couples au n − ieme mois
est la somme du nombre de couples au mois n − 1 et au mois n − 2 c’est-à-dire :



u =1

 0
u1 = 1



 u =u
+u
pour n ≥ 2
n
n−1
n−2
Dans de nombreux cas, le calcul de nombreux termes étant trop long sur le papier (pour les suites explicites comme récurrentes) , on va utiliser la calculatrice ou un tableur.
10.2
Suite avec un tableur
Exemple 10.2.1 Soit la suite définie explicitement par un = n2 pour n ≥ 0.
-On écrit dans A1 le rang le plus petit de la suite : dans notre cas le plus petit indice de la suite est 0
-Puis dans B1 on écrit =(A1)2
-On sélectionne A1 et B1 et on tire vers le bas jusqu’au rang n cherché. On lit alors dans la colonne B la valeur de un
Par exemple on peut lire u7 = 49

 u =2
0
Exemple 10.2.2 Soit la suite définie par récurrence
 u
n+1 = un − 3
pour n ≥ 0
-On écrit dans A1 la valeur du plus petit rang de la suite : ici 0
-Puis dans A2 on met =A1+1 (pour dire d’augmenter le rang de 1 à chaque ligne du tableur.
-Dans B1 la valeur u0 c’est-à-dire 2
-Dans B2 écrire =B1-3 puis sélectionner A2 et b2 et tirer vers le bas
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CHAPITRE 10. SUITES NUMÉRIQUES
On obtient par exemple u14 = −40
10.3
Suite remarquable
10.4
Suite arithmétique
Définition 67.
Soit r un nombre réel et u0 le terme initial de la suite donné. Une suite est dite arithmétique de raison r si l’on
peut passer d’un terme un à l’autre un+1 en ajoutant toujours le même nombre r.

 u (valeur donnee)
0
Une suite arithmétique de raison r s’écrira sous forme récurrente
 u
= u + r pour n ≥ 0
n+1

 u =2
0
Exemple 10.4.1 La suite définie par récurrence
 u
n+1 = un + 1, 5 pour n ≥ 0
u0 = 2 et de raison r = 1, 5
n
est une suite arithmétique de 1er terme
On a u1 = u0+1 = u0 + 1, 5 = 2 + 1, 5 = 3, 5
De même le 3eme terme sera u2 = u1+1 = u1 + 1, 5 = 3, 5 + 1, 5 = 5

 v =2
0
La suite définie par récurrence
n’est pas une suite arithmétique.
 v
= (v )2 pour n ≥ 0
n+1
n
En effet v1 = (v0 )2 = 22 = 4 et v2 = (v1 )2 = 42 = 16. Or v1 − v0 = 2 alors que v2 − v1 = 16 − 4 = 12 6= 2 de sorte que l’on
ne passe pas d’un terme à l’autre en ajoutant le même nombre.
Proposition 68.
Soit (un ) une suite arithmétique de raison r. Sa forme explicite est alors un = up + (n − p)r où up est un terme
quelconque connu de la suite arithmétique.
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CHAPITRE 10. SUITES NUMÉRIQUES
Exemple 10.4.2 Soit une suite arithmétique (un ) de raison r = 2 et u3 = 5 calculons u10
On a un = up + (n − p)r donc pour n = 10 et p = 3 on obtient u10 = 5 + (10 − 3) × 2 = 5 + 7 × 2 = 19
Remarque : En particulier si l’on connait u0 on aura un = u0 + (n − 0)r = u0 + nr et dans le cas où l’on connait u1 on
obtient un = u1 + (n − 1)r

 u =3
0
Exemple 10.4.3 Soit la suite arithmétique définie par récurrence
 u
n+1 = un − 0, 5 pour n ≥ 0
Calculons u100
On a d’après la remarque un = u0 + nr donc u100 = u0 + 100r or u0 = 3 et r = −0, 5
donc u100 = 3 − 100 × (−0, 5) = 3 + 50 = 53
Exemple 10.4.4 On sait que (un ) est une suite arithmétique et que u1 = 35 et u5 = 47. Calculons la raison r puis le 1er
terme u0 de cette suite :
On sait que un = up + (n − p)r donc u5 = u1 + (5 − 1)r c’est-à-dire 47 = 35 + (5 − 1)r ou encore 47 = 35 + 4r soit r = 3
Enfin pour calculer u0 on utilise la formule un = u0 + nr donc pour n = 1 on obtient u1 = u0 + 1 × 3 = u0 + 3 or u1 = 35
donc 35 = u0 + 3 soit u0 = 32
10.4.1
Suite géométrique
Définition 69.
Soit q un réel positif et v0 le terme initial donné. On dit qu’une suite (vn ) est géométrique de raison q si l’on
peut passer d’un terme un à l’autre un+1 en multipliant par un même nombre q.

 v (valeur donnee)
0
Une suite géométrique s’écrit donc sous forme récurrente
 v
= qv
pour n ≥ 0
n+1
n
Exemple 10.4.5 Soit le schéma suivant
Il nous
 permet de dire que la suite (vn ) est une suite géométrique de raison q = 2 et de premier terme v0 = 1. On écrira
 v =1
0
donc
 v
pour n ≥ 0
n+1 = 2vn
Proposition 70.
Soit (vn ) une suite géométrique de raison q et dont on connait un terme quelconque vp alors la forme explicite
de cette suite sera vn = vp q n−p
Remarque : Si on connait vp = v0 on aura vn = v0 q n , de même si c’est v1 qui est connu on obtient vn = v1 q n−1
1
et de terme connu u2 = 5. Calculons v10
3
8
1
18
1
5
10−2
=5× 8 =5× 8 =
donc pour n = 10 et p = 2 on obtient finalement v10 = v2 q
=5×
3
3
3
6561
Exemple 10.4.6 Soit la suite géométrique (vn ) de raison q =
On a vn = vp q n−p
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CHAPITRE 10. SUITES NUMÉRIQUES
Exemple 10.4.7 On suppose que (vn ) est une suite géométrique dont on connait les termes v2 = 3 et v5 = 81. Calculons la
raison q de cette suite géométrique puis v0 .
On a vn = vp q n−p donc pour n = 5 et p = 2 (ce sont les indices des termes dont on connait la valeur), on aura v5 = v2 q 5−2
81
= 27 de sorte que q = 3 (puisque q 3 = 3 × 3 × 3 = 27)
c’est-à-dire 81 = 3q 3 ou encore q 3 =
3
Ainsi (vn ) est une suite géométrique de raison q = 3.
Pour calculer v0 on écrit v2 = v0 q 2−0 (on connait v2 et on cherche v0 ) d’où 3 = v0 × 32 c’est-à-dire 9v0 = 3 donc v0 =
10.5
3
1
=
9
3
Somme des termes consécutifs d’une suite
Dans cette partie nous revenons avec des suites dans le cadre général (pas forcement arithmétique, pas forcement géométrique)
10.5.1
Nombre de termes d’une suite
Combien y-a-t’il de termes entre u5 et u7 ?
Il y a u5 , u6 et u7 c’est-à-dire 3 termes. De façon plus générale nous aurons :
Proposition 71.
Soit (un ) une suite numérique alors le nombre de termes entre up et un (avec n ≥ p) est égal à n − p + 1
Exemple 10.5.1 Le nombre de termes en u5 et u100 vaut n − p + 1 = 100 − 5 + 1 = 96 termes.
BAC : L’erreur courante rencontrée serait de dire que le nombre de termes entre u5 et u100 est 100 − 50 = 50 termes.
10.5.2
Somme des termes d’une suite
Définition 72.
Soit (un ) une suite numérique alors la somme des k premiers termes consécutifs de (un ) du rang p au rang n
est donnée par :
Sk = up + up+1 + ... + un avec k = n − p + 1
Exemple 10.5.2 La somme des 10 premiers termes de la suite (un ) de premier terme u0 est S10 = u0 + u1 + ... + u9
(9 − 0 + 1 font bien 10 termes)
La somme des 9 premiers termes de la suite (un ) de premier terme u1 est S9 = u1 + u1 + ... + u9
(9 − 1 + 1 font bien 9 termes)
10.5.3
Somme des termes d’une suite avec un tableur
Soit la suite arithmétique de 1er terme u10 = 28 et de raison r = 13.
Calculons la somme des 5 premiers termes de u10 à u14 c’est-à-dire S5 = u10 + u11 + u12 + u13 + u14
-On écrit dans A1 le rang du terme connu : ici 10
-On écrit dans B1 la valeur de u10 : ici 28
-Dans A2 on écrit =A1+1 (pour indiquer que l’on augmentera le rang de 1 à chaque ligne).
-Enfin dans B2 on écrira =B1+ |{z}
13
raison
-Sélectionner A2 et B2 et tirer vers le bas jusqu’au rang 14 (ligne 5)
-De là dans la colonne B sous le chiffre 80 (cellule B6), taper =SOMME(B1 :B5) puis entrer.
Le résultat de la somme est alors S5 = u10 + u11 + u12 + u13 + u14 = 270
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CHAPITRE 10. SUITES NUMÉRIQUES
BAC : Il se peut (BAC 2013) qu’à l’épreuve vous ayez besoin de calculer par exemple u50 = 1 + 2 + ... + 50 sans tableur.
On vous donnera alors les formules générales :
up + un
(n − p + 1)
2
1 − q n−p+1
= up
1−q
1) La somme des termes d’une suite arithmétique de up à un de raison r est Sn−p+1 =
2) La somme des termes d’une suite géométrique de up à un de raison q est Sn−p+1
Fin de la 1ère partie...la 2ème partie sera destinée aux applications de ce chapitre (comparaison des suites arithmétiques et
géométriques)
10.6
10.6.1
Comparaison des suites arithmétiques et géométriques
Intérêts simples
Exemple 10.6.1 Un étudiant possède 530 e en 2000 sur son livret au taux d’intérêt simple de 3% annuel. "Simple" signifie
que l’on calcule les intérêts de l’année n sur le capital initial.
Quel montant aura-t’il en 2013 ?
On note un le capital obtenu au bout de la n-ième année. On aura donc u0 = 530.
Le capital au bout d’un an (u1 ) sera le capital initial (u0 ) plus 3% du capital initial (
D’où u1 = u0 +
3
3
u0 =
530 = 15, 90)
100
100
3
u0 = u0 + 15, 90
100
Le capital au bout de la 2ème année (u2 ) sera la capital de l’année précédente (u1 ) plus 3% du capital initial (15, 90)
C’est-à-dire u2 = u1 + 15, 90. De même u3 = u2 + 15, 90 etc.
On définit donc une suite arithmétique de raison r = 15, 90 et de premier terme u0 = 530.

 u = 530
0
Cette suite a pour expression récurrente
 u
= u + 15, 90 pour n ≥ 0
n+1
n
Ainsi si u0 correspond au montant en 2000 alors u13 correspondra à l’année 2013. De là la forme explicite de cette suite sera
un = u0 + nr et en 2013 on aura u13 = u0 + 13r = 530 + 13 × 15, 90 =736,70 e
10.6.2
Intérêts composés
Exemple 10.6.2 Un étudiant possède 530 e en 2000 sur son livret au taux d’intérêt composé de 3% annuel. "Composé"
signifie que l’on calcule les intérêts de l’année n sur le capital initial plus les intérêts cumulés des années précédentes.
Quel montant aura-t’il en 2013 ?
On note vn le capital obtenu au bout de la n-ième année. On aura donc v0 = 530.
De plus le capital au bout d’un an (u1 ) sera le capital initial (u0 ) plus 3% du capital initial (
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3
3
u0 =
530 = 15, 90)
100
100
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CHAPITRE 10. SUITES NUMÉRIQUES
ce que l’on résume par v1 = u0 +
3
3
v0 = v0 (1 +
) = v0 × 1, 03 = 1, 03v0
100
100
Remarque : 1, 03 s’appelle le coefficient multiplicateur et se note souvent Cm .
Le capital de la 2ème année (v2 ) sera la capital de l’année précédente (v1 ) plus 3% du capital de la 1ère année (
Ainsi v2 = v1 +
3
v1 )
100
3
3
v1 = (1 +
)v1 = Cm v1 . De même on aura v3 = Cm v2 etc.
100
100
Au final on passe d’une année
 à l’autre en multipliant par un même nombre (Cm ) donc c’est une suite géométrique dont
 v = 530
0
l’expression récurrente est
 v
n+1 = 1, 03vn pour n ≥ 0
De là si u0 correspond au montant en 2000 alors u13 correspondra à l’année 2013. Comme une suite géométrique s’écrit sous
la forme explicite vn = v0 q n on aura vn = 530(1, 03)n d’où v13 = 530(1, 03)13 ' 778,32 e
10.6.3
Comparaison de deux suites géométriques
Exemple 10.6.3 En l’an 2000, une ville A compte 25000 habitants et une ville B, 34000 habitants. Dans la ville A la population croît de 6% par an alors que dans la ville B la population croît de 3%.
Quel sera le nombre d’habitants dans les villes A et B en 2012 ?
Au bout de combien d’années la ville A comptera-t’elle plus d’habitants que la ville B ?
Tout d’abord on notera (an ) et (bn ) le nombre d’habitants en milliers d’habitants respectivement des villes A et B.
On a donc a0 = 25 et b0 = 34
De là a1 = a0 +
6
6
6
6
a0 = a0 (1 +
) = 1, 06a0 et a2 = a1 +
a1 = a1 (1 +
) = 1, 06a1 etc.
100
100
100
100
De même b1 = 1, 03b0 , b2 = 1, 03b1 etc.
Remarque : 1, 06 et 1, 03 sont les coefficients multiplicateurs pour les villes A et B respectivement.
Ainsi (an ) est une suite géométrique de raison q = 1, 06 et de premier terme a0 = 25.
(bn ) est également une suite géométrique de raison q = 1, 03 et de premier terme b0 = 34.


 a = 25
 b = 34
0
0
Ce que nous pouvons résumer par les relations de récurrence
et
 a

= 1, 06a
b
= 1, 03b
n+1
n
n
n+1
n
12
En 2012 le nombre d’habitants dans la ville A sera a12 or an = a0 q donc a12 = 25(1, 06) ' 50, 304 (on prendra soin
d’arrondir au millième près. En effet si on écrit 50, 3049 milliers d’habitants cela donnera 50304, 9 habitants, ce qui ne serait
pas réaliste).
De même b12 = 34(1, 03)12 ' 48, 475
Dit autrement en 2012 il y aura dans la ville A, 50304 habitants, alors que dans la ville B il y aura 48475 habitants. La ville
B comptera en 2012 moins d’habitants que la ville A.
Pour savoir à partir de quelle année la ville A aura plus d’habitants que la ville B nous allons utiliser le tableur.
-Dans la colonne A1 on écrit "Rang n", dans B1 "Population A" et enfin dans C1 "population B"
-On écrit dans A2 la valeur 0 (correspond à l’année 2000) puis dans A3 on rentre =A2+1
-On met dans B2 la formule =25 ∗ 1, 06∧A2 et dans C2 la formule =30 ∗ 1, 03∧A2
-On sélectionne A2-B2-B3 et on tire vers le bas
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CHAPITRE 10. SUITES NUMÉRIQUES
En comparant une à une les valeurs de an et bn on trouve n = 11, c’est-à-dire que la ville A aura plus d’habitants que la
ville B dès 2011.
Remarque : Dans le cas où le tableau serait particulièrement long à lire, nous pouvons ajouter dans D2 la formule =SI(B2>C2 ;"A>B"
Cette formule permet de tester la valeur pour laquelle le nombre d’habitants de A est plus grand que le nombre d’habitants
de B.
On sélectionne alors D2 et on tire vers le bas
En conclusion la population de la ville A dépassera celle de la ville B dès 2011.
Remarque : Il est également possible d’utiliser des méthodes graphiques via la calculatrice ou le tableur pour conclure.
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CHAPITRE 10. SUITES NUMÉRIQUES
10.6.4
Comparaison suites arithmétiques et géométriques
Exemple 10.6.4 En l’an 2000, la ville A compte 25000 habitants alors que la ville B en compte 34000. La population de la
ville A croît de 5% par an alors que dans la ville B la population croît de 2000 habitant par an.
Quel sera le nombre d’habitants dans les villes A et B en 2012 ?
Au bout de combien d’années la ville A comptera-t’elle plus d’habitants que la ville B ?
On note (an ) et (bn ) le nombre d’habitants en milliers d’habitants respectivement des villes A et B.
On a a0 = 25 et b0 = 34
De là a1 = a0 +
5
5
5
5
a0 = a0 (1 +
) = 1, 05a0 et a2 = a1 +
a1 = a1 (1 +
) = 1, 05a1 etc.
100
100
100
100
De sorte que (a
n ) est une suite géométrique de raison q = 1, 05 et de premier terme a0 = 25, ce que l’on peut écrire (relation
 a = 25
0
de récurrence)
 a
n+1 = 1, 05an
De même on a b0 = 34 et donc b1 = b0 + 2 et b2 = b1 + 2 etc.
Ainsi (bn ) 
est une suite arithmétique de raison r = 2 et de premier terme b0 = 34 ce que l’on peut résumer par l’expression
 b = 34
0
récurrente
 b
n+1 = bn + 2
De là, le nombre d’habitants dans la ville A sera a12 et en utilisant cette fois-ci l’expression explicite de cette suite nous
aurons an = a0 q n c’est-à-dire a12 = 25(1, 05)12 ' 44.896
De même la fome explicite de la suite (bn ) sera donnée par bn = b0 + nr soit b12 = 34 + 12 × 2 = 58
Dit autrement en 2012 il y aura dans la ville A, 44896 habitants, alors que dans la ville B il y aura 58000 habitants. La ville
A comptera en 2012 toujours moins d’habitants que la ville B.
Pour savoir à partir de quelle année la ville A aura plus d’habitants que la ville B nous allons utiliser le tableur.
-Dans la colonne A1 on écrit "Rang n", dans B1 "Population A" et enfin dans C1 "population B"
-On écrit dans A2 la valeur 0 (correspond à l’année 2000) puis dans A3 on rentre =A2+1
-On met dans B2 la formule =25 ∗ 1, 05∧A2 et dans C2 la formule =34+2*A2
-On sélectionne A2-B2-B3 et on tire vers le bas
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CHAPITRE 10. SUITES NUMÉRIQUES
Remarque : Dans le cas où le tableau serait particulièrement long à lire, nous pouvons ajouter dans D2 la formule =SI(B2>C2 ;"A>B"
Cette formule permet de tester la valeur pour laquelle le nombre d’habitants de A est plus grand que le nombre d’habitants de B.
En conclusion la population de la ville A dépassera celle de la ville B dès 2025.
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