Compléments de topologie

École des Mines de Douai — FIAASMathématiques Compléments de topologie
Compléments de topologie
F. Delacroix, École des Mines de Douai, 22 septembre 2010
Ce document présente quelques notions de topologie, non essentielles pour la compré-
hension du cours de FiAAS, mais offrant un recul plus important sur certains points de
ce cours.
Il comprend également une petite série de contre-exemples classiques montrant les
limites ou la nécessité des hypothèses de quelques-uns des résultats du chapitre 1 sur les
fonctions de plusieurs variables.
Ce document pourra être complété par vos demandes, n’hésitez pas à demander des
approfondissements.
1 Diamètre
1.1 Dans un espace vectoriel normé
Soit Eun espace vectoriel normé. Étant donnée une partie Ade E, on définit le
diamètre de Acomme la quantité
Diam(A) = supnd(x, y), x, y ∈Ao∈R+∪ {∞}
avec en plus la convention que Diam(∅) = 0.
Proposition 1
Le diamètre d’un compact est fini et atteint.
Preuve. Il s’agit de prouver que l’application «distance»
d:E×E−−−→ R+
(x, y)7−−−→ d(x, y) = kx−yk
est bornée sur K×Ket atteint ses bornes. On va pour cela munir l’espace vectoriel E×E
d’une norme, montrer que l’application dest continue sur E×Eet que K×Kest un
compact de E×E.
On peut munir E×E(notamment) de l’une des trois normes suivantes, généralisations
directes des exemples fondamentaux de Rn: pour (x, y)∈E×E,
k(x, y)k1=kxk+kyk k(x, y)k2=qkxk2+kyk2k(x, y)k∞= sup{kxk,kyk}.
(exercice : vérifier que ce sont bien des normes, et qu’on retrouve la situation habituelle
de ces normes sur R2lorsque E=Rnormé par la valeur absolue). Ces trois normes
sont équivalentes (exercice, inspirez-vous de l’exercice 1 question 3 du chapitre 1) et donc
définissent la même topologie sur cet espace vectoriel, et aussi, c’est ce qui nous intéresse,
la même notion de convergence.
Pour une suite de couples ((xn, yn))n∈N(deux paires de parenthèses : une pour la
notation «couple», l’autre pour la notation «suite») de E×E, et un couple (`, m)∈E×E,
on a ainsi équivalence des assertions suivantes (démonstration laissée en exercice) :
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(1) la suite ((xn, yn))n∈Nconverge vers (`, m)∈E×E,
(2) lim
n→∞ k(xn, yn)−(`, m)k= 0 (c’est la définition de la convergence) où la notation k.k
désigne l’une quelconque des trois normes ci-dessus,
(3) les suites des composantes (xn)n∈Net (yn)n∈Nconvergent respectivement vers `et m.
Alors K×Kest compact. Pour le démontrer, fixons une suite ((xn, yn))n∈Nde K×K;
il s’agit de prouver qu’elle admet une sous-suite convergente.
Par définition, la suite (xn)n∈Nest une suite de K, donc, en vertu de la propriété de
Bolzano-Weierstrass, elle admet une sous-suite (xϕ(n))n∈Nconvergeant dans K,ϕdésignant
une application N−−−→Nstrictement croissante.
La suite (yϕ(n))n∈Nest elle aussi une suite de K, donc elle admet une sous-suite
(yψ◦ϕ(n))n∈Nqui converge dans K,ψétant encore une application N−−−→Nstrictement
croissante.
La fonction ψ◦ϕest la composée de deux fonctions strictement croissantes de N−−−→N,
c’est donc elle-même une fonction strictement croissante de N−−−→N. La suite (xψ◦ϕ(n))n∈N
est extraite de la suite (xϕ(n))n∈Nqui est convergente, elle est donc convergente.
Comme les suites (xψ◦ϕ(n))n∈Net (yψ◦ϕ(n))n∈Nsont toutes deux convergentes dans K,
la suite des couples ((xψ◦ϕ(n), yψ◦ϕ(n))n∈N, extraite de ((xn, yn))n∈Nest donc convergente
dans K×Ken vertu de la caractérisation de la convergence dans E×Eexposée plus
haut.
Ceci prouve bien que K×Kest compact.
Il reste à prouver que dest continue. Rappelons les inégalités triangulaires : pour deux
vecteurs aet b, on a
kak−kbk
6ka−bk6kak+kbk.
Pour (x, y),(x0, y0)∈E×E, on a donc les majorations suivantes :
|d(x, y)−d(x0, y0)|=kx−yk−kx0−y0k 6kx−y−x0+y0k
6k(x−x0)−(y−y0)k6kx−x0k+ky−y0k=k(x, y)−(x0, y0)k1.
Ceci montre que l’application dest 1-lipschitzienne (lorsque l’on a muni E×Ede la norme
k.k1), donc continue. En effet, la majoration précédente montre que |d(x, y)−d(x0, y0)|
tend vers 0lorsque (x0, y0)tend vers (x, y).
Finalement, l’image de K×Kpar l’application dest celle d’un compact par une
fonction continue, donc c’est un compact de R, c’est-à-dire un fermé borné : la distance
dest bornée sur K×Ket atteint ses bornes.
Ainsi, le diamètre de Kest fini et réalisé par (au moins) un couple (x, y)particulier.
Proposition 2
Le diamètre d’une boule (ouverte ou fermée, peu importe) est égal au double de son
rayon.
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Preuve. Procédons par double inégalité, en nous intéressant à une boule fermée B(a, R)
de centre aet de rayon R, que l’on notera simplement B.
Pour x, y ∈B, grâce à l’inégalité triangulaire :
kx−yk=kx−a+a−yk6kx−ak+ky−ak6R+R= 2R.
Le majorant ainsi obtenu étant indépendant de xet y, on peut passer au sup, ce qui
montre que
Diam(K)62R.
Considérons maintenant un couple de vecteurs diamétralement opposés (x, −x)dans
lequel kxk=R. Alors
kx−(−x)k=kx+xk=k2xk= 2kxk= 2R.
Ce la considération de ce couple particulier découle que le sup dont il est question, c’est-
à-dire Diam(K)vérifie Diam(K)>2R.
Finalement Diam(K)=2R.
Remarquons que la démonstration précédente fonctionne bien pour une boule fermée,
où l’on peut choisir xtel que kxk=R, mais pas pour une boule ouverte. On doit alors
modifier la seconde partie de la démonstration en considérant une suite (xn)de la boule
ouverte qui converge vers un point xtel que kxk=R. Par exemple avec xn= (R−1
n)e
où eest un vecteur de norme 1.
1.2 Dans un espace métrique
Un espace vectoriel normé est un cas particulier d’espace métrique (qui est lui-même
un cas particulier d’espace topologique), c’est-à-dire un ensemble dans lequel existe une
notion de distance.
Définition 1
On appelle espace métrique tout ensemble Etel qu’il existe une application
d:E×E−−−→ R+
appelée distance (ou : métrique) telle que
(1) dvérifie l’axiome de séparation :
∀x, y ∈E, (d(x, y) = 0) ⇐⇒ (x=y)
(2) dsoit symétrique :
∀x, y ∈E, d(x, y) = d(y, x)
(3) dvérifie l’inégalité triangulaire :
∀x, y, z ∈E, d(x, z)6d(x, y) + d(y, z).
Beaucoup des notions présentées dans le chapitre 1 à propos des espaces vectoriels
normés sont en fait des propriétés métriques (boules, partie bornée. . .) ou topologiques
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(ouvert, fermé, compact, connexe. . .). Il est toutefois important de remarquer qu’un espace
métrique n’est pas forcément un espace vectoriel (pas forcément «plat» 1)
Exemple 2 (La distance SNCF )
Dans un ouvert de R2, on fixe un point appelé PARIS. On définit alors la distance
entre deux points Aet Bcomme étant
d(A, B) = 
δ(A, B)si A,Bet P ARIS sont alignés
δ(A, P ARIS) + δ(P ARIS, B)sinon.
où δdésigne la distance euclidienne habituelle (toute ressemblance avec des personnages
existants serait purement fortuite).
Avec cet exemple, pour obtenir une idée intuitive à peu près conforme à la réalité, on
pourrait être amené à supposer que l’ouvert dans lequel on travaille (qui pourrait avoir par
exemple la forme d’un pays donné), est étoilé par rapport à PARIS. Mathématiquement,
ce n’est toutefois pas nécessaire. Cet exemple consiste donc à dire qu’un voyageur se
rendant de AàBira directement si A,Bet PARIS sont alignés, et devra d’abord passer
par PARIS dans le cas contraire. La distance de AàBest alors définie comme étant la
longueur du parcours de notre infortuné voyageur.
Exemple 3 (Distance discrète)
Soit Eun ensemble quelconque non vide. On définit la distance discrète sur Een
disant que
d(x, y) = 
0si x=y
1si x6=y.
Ce dernier exemple est intéressant car complètement contre-intuitif et pourtant très
cohérent : tous les points distincts de Esont séparés par la même distance 1. On peut
s’en faire une idée dans R2si Ene contient que trois points (les placer de telle sorte qu’ils
forment un triangle équilatéral de côté 1), ou dans R3si Card E= 4 (utiliser un tétraèdre)
mais ce modèle géométrique est vite limité.
Le diamètre d’un compact dans un espace métrique est toujours fini est atteint (la
démonstration de la proposition 1 s’adapte très bien). En revanche, le diamètre d’une
boule n’est pas toujours ce qu’on croit. Seule la première partie de la démonstration de
la proposition 2 s’adapte bien (c’est l’objet de la proposition suivante). La seconde partie
de cette démonstration repose sur la colinéarité de xet −x, et ceci n’a plus de sens dans
un espace métrique général.
Proposition 3
Dans un espace métrique, le diamètre d’une boule est inférieur ou égal au double de
son rayon.
Exemple 4
Soit Eun ensemble muni de la distance discrète. Alors, pour tout a∈Eet tout r∈R
1. Rappelons à ce sujet que la Terre n’est pas plate, et que ces notions de distance ont tout de même
un sens concret.
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tel que r < 1, la boule fermée B(a, r)est réduite au point a, et son diamètre est donc
nul !
L’expansion de l’Univers, conséquence directe de la théorie de la relativité générale
d’Albert Einstein, consiste en la modélisation de la variation de la métrique (c’est-à-dire
la distance) dans l’Univers au cours du temps. Ce ne sont pas les galaxies qui se déplacent,
mais la métrique (manifestation de l’espace-temps lui-même) qui «gonfle». Du coup, la
vitesse de l’expansion n’est pas limitée par la vitesse de la lumière !
2 Équivalence des normes
2.1 Généralités
Toutes les questions topologiques dans un espace vectoriel normé, au premier rang
desquelles la continuité des applications, dépendent du choix d’une norme. Il est donc
légitime de se demander dans quelle mesure le choix d’une norme est important pour ces
questions.
Paradoxalement, la réponse à cette question topologique est de nature algébrique : la
dimension de l’espace vectoriel.
Définition 5
Deux normes k.k1et k.k2sur un K-espace vectoriel Esont dites équivalentes s’il existe
deux constantes αet βstrictement positives telles que
∀x∈E, αkxk16kxk26βkxk1.
Bien entendu, c’est une relation d’équivalence sur l’ensemble des normes possibles sur
E. Graphiquement, l’équivalence de deux normes signifie que les boules concentriques
peuvent être «imbriquées» : à centre afixé, la boule ouverte Bk.k2(a, r)contient la boule
Bk.k1(a, αr)et est contenue dans la boule Bk.k1(a, βr). Ce phénomène est illustré à la
figure 1 dans le cas des normes k.k2et k.k∞de R2, qui vérifient la relation (exercice) :
∀(x, y)∈R2,k(x, y)k∞6k(x, y)k26√2k(x, y)k∞.
a
Boule de centre a et rayon r pour la norme ∞
Boule de centre a et rayon r pour la norme 2
Boule de centre a et rayon r√2 pour la norme ∞
_
Figure 1 – Équivalence de k.k2et k.k∞dans R2
L’intérêt de cette notion réside dans la proposition 4 suivante, qui dit en substance
que des normes sont équivalentes si et seulement si elles donnent les mêmes ouverts, ou
encore la même notion de continuité.
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