Les puissances

Les puissances 1
A) Décomposition d’un nombre en puissances positives d’un autre nombre.
Un entier naturel n est premier si n > 1 et s'il a exactement deux diviseurs positifs 1 et n.
Il y a une infinité de nombres premiers. Jusqu'à 50, ce sont :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.
Décomposer un nombre entier en produit de facteurs premiers, c'est l'écrire sous la forme d'un
produit de puissances de nombres premiers distincts.
Pour décomposer un nombre en produits de nombres premiers, il faut trouver tous les nombres
premiers qui divisent ce nombre. Pratiquement on part du plus petit (2) et on cherche les différents
diviseurs jusqu'à obtenir 1.
Exemple : décomposons 20 en nombres premiers
20 | 2 20 est pair, donc divisible par 2. Le résultat de la division est 10
10 | 2 10 est pair, donc divisible par 2. Le résultat de la division est 5
5 | 5 5 est un nombre premier.
1 La décomposition est finie car le résultat est 1.
On écrit alors : 20 = 2 x 2 x 5 = 2² x 5
Autre exemple : décomposons 462 en nombres premiers
462 | 2 462 est pair
231 | 3 231 est divisible par 3 car 2+3+1 = 6 est divisible par 3
77 | 7
11 | 11
1
On écrit : 462 = 2 x 3 x 7 x 11
B) Calculs avec des puissance
Si a est un réel non nul et n un entier naturel différent 0
Pour tout réel a ≠
≠≠
≠ 0 a
0
=1
Pour tout réel a non nul, 1
a existe et est appelé inverse de a. On le note a
-1
: a
-1
= 1
a
Remarque :
Cohérence avec ce qui a déjà été étudié : a.1
a = a.a
-1
= a
1-1
= a
0
= 1
Cette nouvelle notion nous permet d’introduire des exposants négatifs.
En effet : a
-n
= (a
n
)
-1
= 1
a
n
Les règles de calculs étudiées dans le cadre des exposants entiers positifs restent valables pour les
exposants entiers négatifs.

Les puissances 2
Si
a
et b sont des réels non nuls ; si
p
et
q
sont des entiers relatifs
a
p
a
q
=a
p
+
q
(a
p
)
q
=a
pq
a
p
a
q
=a
p−q
(ab)
p
=a
p
b
p
a
b
p
=a
p
b
p
Exemples :
2
3
.2
-5
= 2
3-5
= 2
-2
= 1
2
2
= 1
4 (3
-2
)
-1
= 3
(-2)(-1)
= 3
2
= 9
5
3
5
-2
= 5
3-(-2 )
= 5
5
= 3125 (3.2)
-2
= 3
-2
.2
-2
= 1
3
2
. 1
2
2
=1
9 . 1 4 = 1 36
C) Calculs avec des puissances de 10
Une puissance naturelle (non nulle) de 10 désigne un nombre plus grand ou égal à 10
4342144 344 21
nzérosnfacteurs
n000000000110.....10.10.1010 ==
avec n ∈ IN
*
( IN \{0})
Ces puissances sont souvent utilisées pour écrire de grands nombres.
Une puissance à exposant entier négatif (non nul) de 10 désigne un nombre compris entre 0 et 1
43421
44 344 21 nchiffres
nfacteurs
n
n01...000,0
10....10.10.10
1
10
1
10 ===
−
avec n ∈ IN
*
Ces puissances sont souvent utilisées pour écrire de petits nombres.
Exemples :
0000001,0101000000000101000000100001,010 7964 ==== −−
Noms des puissances de 10
Les scientifiques donnent des noms aux puissances de 10 usuelles
Puissances de 10 Préfixes Symboles
12
10
téra T
9
10
giga G
6
10
méga M
3
10 kilo k
2
10 hecto h
1
10 déca da
1

Les puissances 3
1
10
−
déci d
2
10
−
centi c
3
10
−
milli m
6
10
−
micro
µ
9
10
−
nano n
12
10
−
pico p
Exemples :
1 gigawatt = 1 000 000 000 watts 1 micromètre = 1 millionième de mètre
1 mégaoctet = 1 000 000 octets 1 nanoseconde = 1 milliardième de seconde
Pour les curieux : 1 gogol = 10
100
Nombre à l’origine de GOOGLE (organiser l’immense volume d’informations disponibles sur le web)
Notation scientifique d’un nombre
Un nombre en notation scientifique est un nombre écrit sous la forme d’un produit de deux
facteurs :
 le premier est un nombre décimal dont la valeur absolue est un élément de [1 ;10[.
 le deuxième facteur est une puissance de 10
Cette notation présente un double avantage :
 une écriture plus « courte » des nombres ayant un très grand nombre de chiffres
par exemple 7 345 627 631,04561 ≈ 7,34562 . 10
9
(en notation scientifique on se contente généralement d’indiquer 4 ou 5 chiffres après la
virgule)
 cette écriture donne un ordre de grandeur du nombre.
Ainsi, 7,34562 . 10
9
est de l’ordre de 7 milliards.
Exemples :
Nombre en notation scientifique Ecriture décimale
6,3458 .
7
10
6
43421
chiffres7
3458000
2,4748 .
5
10
−
0, 0000
{
ème5
2 4748
-8,612 .
4
10 -8
{
chiffres 4
6120
-5,0376 .
3
10
−
-0,00
{
ème3
5
0376
3,12345 .
2
10
3
{
chiffres2
12 ,345
Nombre Ordre de grandeur

Les puissances 4
6,3458 .
7
10
60 millions
2,4748 .
5
10
−
2 cent-millièmes
-8,612 .
4
10
-80 mille
-5,0376 .
3
10
−
-5 millièmes
3,12345 .
2
10 3 centaines
D) Racine carrée
Pour tout réel x positif :
2
1
xx =
Pour tout réel positif x :
xxxxxxxx ===×==×
+1
2
1
2
1
2
1
2
1
Toutes les propriétés rappelées ci-dessus pour les exposants entiers relatifs restent valides pour des
exposants rationnels
.
a
p
a
q
=a
p+q
(a
p
)
q
=a
pq
a
p
a
q
=a
p−q
(ab)
p
=a
p
b
p
a
b
p
=a
p
b
p
Exemples :
(7
4
)
1
2
=7
4×1
2
=7
2
3
−1
2
=1
3
1
2
=1
3 5
1
2
×3
1
2
=15
1
2
E) Etude d’un exemple concret de croissance exponentielle
Placement à intérêts composés
Une banque propose, pour un placement d’un montant de 1500 euros fait le 1
er
janvier 2011,
un taux d’intérêt composé annuel de 5 %. Cela signifie qu’à la fin de chaque année la somme
en banque augmente de 5%. On nomme C
0
le capital initial versé le 1
er
janvier 2011, C
1
le
capital disponible au bout d’un an, C
2
le capital disponible au bout de 2 ans, ……
a) Calculer C
1
, C
2
et C
3
.
b) Que représentent C
n + 1
et C
n
?
c) Etablir la relation entre C
n + 1
et C
n
.
d) Etablir la relation entre C
0
et C
n
.
e) Si on laisse pendant 10 ans le compte sans retirer d’argent alors combien aura-t-on au
bout de 10 ans ?
f) A l’aide de la calculatrice déterminer au bout de combien d’années le capital aura
doublé ?

Les puissances 5
F) Croissance linéaire – croissance exponentielle
Une population de 12 mille individus passe à 18 mille individus au bout de 1 an.
Pour étudier la suite de son évolution, il y a deux modèles possibles :
• le modèle additif
• le modèle multiplicatif.
Lorsqu’on passe d’un terme au suivant en
ajoutant toujours le même nombre, la croissance
est linéaire :
On connaît le terme initial u
0
et on calcule les
suivants par u
n+1
=u
n
+r, où r est un nombre
constant.
Lorsqu’on passe d’un terme au suivant en
multipliant toujours le même nombre, la
croissance est exponentielle.
On connaît le terme initial u
0
et on calcule les
suivants par u
n+1
=u
n.
.q, où q est un nombre
constant,
u
4
=
u
0
+
4
×
6
u
4
=
u
0
×
1,5
4
Pour une croissance linéaire, le terme général est :
u
n
=
u
0
+
n
×
r
u
n
=u
1
+(n−1) ×r
u
n
=u
p
+(n−p)×r
terme cherché =terme donné +(différence des rangs)×raison
Pour une croissance exponentielle, le terme
général est :
u
n
=
u
0
×
q
n
u
n
=u
1
×q
(n−1)
u
n
=u
p
×q
(n−p)
terme
cherché
=
terme
donné
×
raison
(différence des rangs)
La croissance est linéaire lorsque la différence de
deux termes consécutifs quelconques est
constante.
On parle aussi de « progression par différence ».
La croissance est exponentielle lorsque le
quotient de deux termes consécutifs quelconques
est constante.
On parle aussi de « progression par quotient ».
Représentation graphique : croissance linéaire
Ce sont des points alignés…
C’est une fonction de type « affine », autrement
dit une droite.
Représentation graphique : croissance
exponentielle
Ce sont des points….
C’est une fonction de type « exponentiel », nous
aurons donc une courbe.
+ 6 + 6 + 6 +6 +6 +6
u
0
u
1
u
2
u
3
u
4
u
5
×
1,5
×
1,5
×
1,5
×
1,5
×
1,5
u
0
u
1
u
2
u
3
u
4
u
5