Chapitre 3 : Probabilités conditionnelles

Chapitre 3 : Probabilités conditionnelles - Indépendance
L2 Eco-Gestion, option AEM
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Chapitre 3 : Probabilités conditionnelles - Indépendance
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Motivation de ce chapitre
Jeu du bonneteau orienté : trois gobelets se trouvent devant vous. L’un
d’entre eux et uniquement un contient un palet. Vous devez retrouver le
palet. Vous choisissez l’un des gobelets au hasard. Le meneur de jeu vous
indique alors parmi les deux autres restants l’un des deux ne contenant pas
le palet. Et vous demande si vous souhaitez conserver le choix de votre
gobelet ou changer pour le troisième gobelet ?
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Chapitre 3 : Probabilités conditionnelles - Indépendance
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Plan
1
Exemple introductif
2
Définition d’une probabilité conditionnelle
3
Conséquences
Formule des probabilités composées
Formule des probabilités totales
Théorème de Bayes
4
Indépendance
Indépendance entre deux évènements
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Plan
1
Exemple introductif
2
Définition d’une probabilité conditionnelle
3
Conséquences
Formule des probabilités composées
Formule des probabilités totales
Théorème de Bayes
4
Indépendance
Indépendance entre deux évènements
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Exemple introductif
Exemple
On jette 3 fois une pièce de monnaie équilibrée.
On considère les évènements :
A = "obtenir face au 1er jet" ;
B = "obtenir deux faces lors des trois jets.”
Quelle est la probabilité d’obtenir 2 faces sachant que le 1er jet a eu face
pour résultat ?
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Plan
1
Exemple introductif
2
Définition d’une probabilité conditionnelle
3
Conséquences
Formule des probabilités composées
Formule des probabilités totales
Théorème de Bayes
4
Indépendance
Indépendance entre deux évènements
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Probabilité conditionnelle
Définition
Définition
Soit (Ω, P(Ω), P) un espace probabilisé et B un évènement tel que
P(B) > 0. On appelle probabilité conditionnelle d’un évènement A sachant
que B est réalisé, le nombre défini par
P(A | B) =
P(A ∩ B)
.
P(B)
Propriété
la fonction A 7→ P(A | B) ainsi définie est une probabilité.
(comment s’en convaincre ?)
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Probabilité conditionnelle
Propriété
Si A et B sont des évènements de probabilités non nulles, on a :
P(A ∩ B) = P(B | A) × P(A) = P(A | B) × P(B)
Application
Un tiers d’une population est vaccinée contre une maladie.On sait que 10%
des personnes vaccinées développent quand même la maladie.
On choisit une personne au hasard. Quelle est la probabilité pour que
celle-ci soit malade et vaccinée ?
Propriété d’inclusion
Soient deux évènements A, B tels que P(B) > 0 et A ⊂ B, alors
P(A | B) =
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P(A)
P(B)
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Plan
1
Exemple introductif
2
Définition d’une probabilité conditionnelle
3
Conséquences
Formule des probabilités composées
Formule des probabilités totales
Théorème de Bayes
4
Indépendance
Indépendance entre deux évènements
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Probabilités composées
Formule des probabilités composées pour 3 évènements
Soient A, B et C des évènements tels que A et A ∩ C soient de probabilités
non nulles. On a :
P(A ∩ B ∩ C ) = P(A) × P(B | A) × P(C | A ∩ B)
Application
On considère une urne contenant 10 boules : 5 rouges, 3 noires et 2
blanches. On tire au hasard et sans remise. Quelle est la probabilité
d’obtenir successivement une rouge, une noire puis une blanche (évènement
RNB) ?
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Probabilités composées
On peut généraliser cette formule à l’intersection de n évènements :
Formule des probabilités composées
Soient A1 ,..., An des évènements tels que P(A1 ∩ ... ∩ An−1 )>0. On a :
P(A1 ∩ ... ∩ An ) =P(A1 ) × P(A2 | A1 )P(A3 | A1 ∩ A2 )×
× · · · × P(An | A1 ∩ · · · ∩ An−1 )
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Formule des probabilités totales
Formule des probabilités totales (cas particulier)
Soient A et B deux évènements, avec 0 < P(B) < 1. On a :
P(A) = P(A | B) × P(B) + P(A | B) × P(B)
Généralisation
Supposons que l’on ait une partition de Ω en n évènements B1 , B2 ,...,Bn
de probabilités non nulles. Alors :
n
P(A) =
∑ P(A | Bi )P(Bi ) = P(A | B1 )P(B1 ) + ... + P(A | Bn )P(Bn )
i=1
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Formule des probabilités totales
Application
Un étudiant AEM a une probabilité de 3/4 d’être présent à la prochaine
séance si celle-ci est un cours magistral, et une probabilité de 9/10 si
celle-ci est une séance de travaux dirigés. Sachant que son emploi du temps
est constitué aux deux tiers de cours magistraux, quelle est la probabilité
qu’il soit présent à la prochaine séance ?
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Théorème de Bayes
Motivation : calculer la probabilité de B sachant A à partir de celle de
A sachant B.
Cas particulier du théorème de Bayes
Soient A et B deux évènements de probabilités non nulles, avec B de
probabilité non nulle . On a :
P(B | A) =
P(A | B)P(B)
P(A | B)P(B)
=
P(A)
P(A | B)P(B) + P(A | B)P(B)
Généralisation
Supposons que l’on ait une partition de Ω en n évènements B1 , B2 ,...,Bn
de probabilités non nulles. Alors :
P(Bi | A) =
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P(A | Bi )P(Bi )
P(A | Bi )P(Bi )
= n
P(A)
∑i=1 P(A | Bi )P(Bi )
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Théorème de Bayes
Application
On constate que notre étudiant AEM est en cours. Avec les mêmes
données que précédemment, quelle est la probabilité que ce cours soit un
cours magistral ?
Paradoxe des prisonniers
Trois prisonniers sont dans une cellule. Deux vont être condamnés et l’un
va être gracié. Un des prisonniers demande au gardien de lui désigner qui,
parmi ses deux camarades, sera condamné. Le gardien désigne un des deux
prisonniers. Le prisonnier lui dit alors :
Merci ! Avant j’avais une chance sur trois d’être gracié, mais
maintenant j’en ai une sur deux !
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Conséquences
Formule des probabilités composées
Formule des probabilités totales
Théorème de Bayes
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Indépendance
Indépendance entre deux évènements
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Indépendance entre deux évènements.
Définition
Soient A et B deux évènements de probabilités non nulles.
On dit que A et B sont indépendants si et seulement si :
P(A | B) = P(A)
ou
P(B | A) = P(B)
Exemple
1
On tire sans remise deux cartes d’un jeu de 32 cartes. Les évènements
A=”obtenir un roi au premier tirage” et B=”obtenir un roi au second
tirage” ne sont pas indépendants.
2
Si l’on effectue ces deux tirages avec remise, alors A et B deviennent
indépendants.
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Indépendance entre deux évènements.
Attention
Ne pas confondre incompatible et indépendant.
Caractérisation de deux évènements indépendants
Deux évènements A, B ∈ P(Ω) sont indépendants si et seulement si :
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
Application à l’exemple précédent
...
Généralisation
Les évènements A1 . . . , An ∈ P(Ω) sont mutuellement indépendants si
P(A1 ∩ · · · ∩ An ) = P(A1 ) × · · · × P(An ).
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