Schéma de Bernoulli

Schéma de Bernoulli
I) Epreuve de Bernoulli
Définition : une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire où l'on s'intéresse à la réalisation d'un certain
événement S (appelé succès) ou à sa non-réalisation S (appelé échec). La probabilité p de l’événement succès S est le
paramètre de l’expérience.
Exemple 1: Une urne contient sept boules rouges, quatre jaunes et trois vertes. Le joueur tire une boule. Il gagne s'il tire
une verte.
Appelons S l'événement "tirer une boule verte".
3
3 11
p (S ) =
p (S) = 1 − = .
On a:
14
14 14
II) Schéma de Bernoulli
1) Définition : Si on répète n fois une épreuve de Bernoulli de paramètre p, les épreuves étant indépendantes les unes des
autres, on dit que l’on a réalisé un schéma de Bernoulli de paramètres n et p.
Remarque : la condition « les épreuves étant indépendantes les unes des autres » assure que le paramètre p ne change lors
des répétitions ; dans les énoncés, c’est ce type de phrase « répétées de façon indépendante » qui introduit souvent un
schéma de Bernoulli.
Exemple 2: On répète 3 fois l’expérience de l’exemple 1 en remettant à chaque fois la boule tirée dans l’urne avant le
3
tirage suivant : on décrit ainsi un schéma de Bernoulli de paramètres n = 3 et p =
.
14
On pourrait poser les questions : ¬ quelle est la probabilité de gagner exactement 2 fois ?
Á quelle est la probabilité de gagner au moins une fois ?
Remarque : le schéma de Bernoulli intervient souvent quand le tirage est successif avec remise.
2) Variable aléatoire associée à un schéma de Bernoulli
A un schéma de Bernoulli donné, correspond la variable aléatoire X égale aux nombre de succés obtenus lors des n
épreuves répétées de paramètre p.
Exemple : les questions posées dans la situation de l’exemple 2 se reformulent « ¬ calculer p(X = 2) et Á calculer
p(X ≥ 1) » en appelant X la variable aléatoire comptant le nombre de fois où le joueur a gagné.
Remarque : il est clair que X prend les valeurs de l’ensemble {0,1,2,...,n}.
3) Calcul des probabilités et espérance mathématique de la loi binomiale
Propriété : Soit X une variable aléatoire décrivant un schéma de Bernoulli de paramètres n et p.
• Pour tout entier k de l’ensemble {0,1,2,...,n}, la probabilité d'obtenir k succès au cours des n épreuves de Bernoulli
est : p(X = k) = C kn pk (1 − p) n − k ;
• L’espérance mathématique E(X) est égale à n p : E(X) = n × p .
n
Remarque : comme
n
∑ p(X = k) = ∑ C
k =0
k=0
k
n
pk (1 − p)n −k = ( p + (1 − p ) ) = 1 d’après la formule du binôme, on dit que la
n
variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n et p.
2
Exemple :
1
297
 3   11 
• La réponse à la question ¬ de l’exemple 2 est p ( X = 2) = C32     =
≈ 0,108 .
 14   14  2744
• L’astuce bien connue pour répondre à la question Á est « de passer par le contraire » : en effet le
0
3
3
 3   11   11  1331
contraire de l’événement (X ≥ 1) est (X = 0), et on a p ( X = 0 ) = C30     =   =
. On obtient alors
2744
 14   14   14 
1331 1413
p ( X ≥ 1) = 1 − p ( X = 0 ) = 1 −
=
≈ 0,515 .
2744 2744