Bernoulli, binomiale et variables aléatoires

Epreuve de Bernoulli - Schéma de Bernoulli
Variable aléatoire - Loi binomiale
I- Epreuve de Bernoulli :
On appelle épreuve de Bernoulli toute épreuve/expérience aléatoire ne possédant que deux issues
possibles, que l’on appelle succès et échec. La probabilité du succès est p et celle de l’échec est q=1-p
Cette épreuve de Bernoulli de paramètre p est notée B(p).
L’espérance et la variance d’une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli sont données par :
E(X) =p
Var(X) =p(1−p) =pq
II- Schéma de Bernoulli
Un schéma de Bernoulli consiste à la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes
de paramètre p.
III- Variables aléatoires
On appelle X la variable aléatoire qui compte le nombre de succès sur les n épreuves. X peut prendre les
valeurs entières de 0 à n.
IV- Loi binomiale
X suit une loi binomiale de paramètre n,p. Cette loi est notée B(n , p)
La loi de probabilité de X est donnée par
n est le nombre d’expériences
p est la probabilité du succès
q est la probabilité de l’échec
k est le nombre de succès (de la probabilité cherchée)
n-k est le nombre d’échecs (de la probabilité cherchée)
L’espérance et la variance d’une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli sont données par
E(X) =np
Var(X) =np(1−p) =npq
Rédaction type - exemple d’exercice : En gras ce qu'il faut toujours écrire, après à adapter à chaque
exercice.
Enoncé : On lance une pièce truquée. La probabilité d’obtenir face est 2/3. On effectue 10 lancés. Quelle
est la probabilité d’obtenir 6 piles ?
Une expérience (ou une épreuve de Bernoulli) consiste à jeter la pièce une fois et regarder sur quelle
face elle tombe.
Le succès est « obtenir pile ».
La probabilité du succès est 1/3 (1-2/3=1/3).
On répète 10 fois cette même expérience de façon indépendante. On a ici un schéma de Bernoulli.
X est la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où on obtient pile sur les n=10 épreuves
X suit une loi binomiale de paramètre n=10 et p=1/3
P(X=6)= (10C6) (1/3)^6X(1-1/3)^(10-6) environ égal à 0,057
flavieprofesseurdemaths.wordpress.com