Chap. 7` Fonctions trigonométriques

Enseignement spécifique
Chap. 7’ Fonctions trigonométriques
I. Cosinus et sinus d’un nombre réel


Dans un repère orthonormé (O ; OI , OJ ), on note C le cercle de centre O et de rayon 1.
On oriente le plan dans le sens direct. C est appelé le cercle trigonométrique.
Définition : Sinus et cosinus d’un angle
Le plan est muni d’un repère orthonormal direct O; i ; j  . Soit  un nombre réel et M le point du cercle
 


trigonométrique tel que  est une mesure de i ; OM .
 
On appelle cosinus du nombre , noté cos , l’abscisse de M dans O; i ; j 
 
sinus du nombre , noté sin , l’ordonnée de M dans O; i ; j  .
Premières propriétés :
Pour tout réel x et pour tout entier naturel k,
– 1  cos x  1 ;
Angles associés :
– 1  sin x  1

;
;
cos² x + sin² x = 1

Soit  une mesure de i ; OM dans un repère orthonormal direct
 
O; i ; j  .
cos (– ) = cos 
cos (  ) =  cos 
cos (  ) =  cos 
sin (– ) = – sin 
sin (  ) = sin 
sin (  ) =  sin 
A
1
A
o
cos
sin
2
A
2
A
3
2
cos
sin
2
2
II. Fonctions cosinus et sinus
Périodicité
Quel que soit le réel x, on a vu que cos(x + 2) = cos x et sin(x + 2) = sin x.
On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2.
Parité
Quel que soit le réel x, cos(-x) = cos(x) . On dit que la fonction cosinus est paire.
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Terminale S
Enseeignement spéécifique
On a aussi que quel que so
oit le réel x, sin(-x) = -sin(x) . Onn dit que la fonction
f
sin
nus est impaaire.
f
cosinus est syymétrique paar rapport à l’axe des
On a alors que la représenttation graphhique de la fonction
onnées et ceelle de la fonction sinus est symétrrique par rappport à l’orrigine du rep
père.
ordo
Thééorème :
1. La fonnction sinus est dérivabble sur R et sa fonction dérivée est la fonction
n cosinus
2. La fonnction cosinus est dérivvable sur R et
e sa fonctioon dérivée est
e la fonction – sinus
f
co
os et sin sur [- ; ] :
On peut alors étabblir les tableeaux de varriation des fonctions


-
0

x
2
2
1
0
cos
0
-1
-1
-
x
sin

2
-

2
1
0

0
0
0
-1
Rep
présentation
ns graphiqu
ues
x
0
cos x
1
sin x
0

6
3
2
1
2

4
2
2
2
2

3
1
2
3
2

2
0
1
2
3
1
2
3
2
3
4
2
2
2
2
5
6
3
2
1
2

-1
0
d chaque fonction
f
et à la périodiccité, il est maintenant
m
p
possible
de tracer
t
la cou
urbe
Grâce à la parité de
représentative de chacune dees fonctions.
be représen
ntative de la fonction cos :
Courb
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F
trigoonométriques
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Term
minale S
Enseeignement spéécifique
be représen
ntative de la fonction sin :
Courb
Limite remarquable :
Soitt f la fonctioon sinus,
. ett lim
→
0
cos 0
1.
D’après la ddéfinition du
d nombre dérivé,
d
on obbtient :
lim
→
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