D’Arsonval, PSI? 2016-2017 Colles semaine 16, sujet A Machine synchrone Question de cours En se plaçant dans le cas d’une spire unique, décrire la nécessité du collecteur d’une MCC et son principe de fonctionnement. Éléments de correction de l’exercice 0 : Nécessité du synchronisme entre champ statorique et champ rotorique pour qu’un couple puisse s’exercer. Le champ statorique est permanent, donc le champ rotorique doit l’être aussi ... mais c’est incompatible avec l’existence d’un couple si le courant dans l’induit est permanent. Exercice 1 : Mesure des caractéristiques d’un moteur synchrone On étudie un moteur synchrone diphasé monopolaire dans le but de mesurer ses caractéristiques. Le rotor est parcouru par un courant continu d’intensité Ir dont on garde la valeur fixe pendant tout l’essai. Les deux phases du stator sont identiques, d’inductance L et de résistance négligeable. Dans un premier temps, on les suppose parcourues par des courants sinusoïdaux de même pulsation ω, en quadrature de phase, et de même valeur efficace I. 1 - On suppose la machine à pôles lisses. On note e l’épaisseur de l’entrefer, a son rayon et ` la longueur du rotor. On suppose e a ` et µr → +∞ dans les milieux ferromagnétiques. Exprimer le champ magnétique créé dans l’entrefer par une phase du stator constituée d’une seule spire parcourue par un courant d’intensité i. Tracer la courbe correspondante pour −3π/2 ≤ γ ≤ 3π/2. 2 - Tracer sur le même graphe la courbe que l’on obtiendrait en rajoutant deux spires en série avec la première, décalées ±π/3. Commenter. 3 - En notation complexe, u désigne la tension d’alimentation d’une phase du stator et i son intensité. Représenter son schéma électrique. 4 - Établir le lien entre la valeur efficace E de f.c.e.m. et la vitesse de rotation du rotor Ω. Préciser la dimension de la grandeur intervenant et les paramètres dont elle dépend. 5 - Pour mesurer les caractéristiques du moteur, on fait tourner son rotor à l’aide d’un moteur auxiliaire qui impose Ω = 6,0 · 103 tr · min−1 . On réalise : . un essai où l’on court-circuite les phases, on mesure alors la valeur efficace du courant dans une phase Icc = 120 A ; . un essai en circuit ouvert où les phases du stator ne débitent aucun courant, on mesure E = 120 V. En déduire les constantes caractéristiques de la machine. Éléments de correction de l’exercice 1 : 1 Machine cylindrique d’axe z. Analyse des symétries : les lignes de champ appartiennent au plan xOy qui est plan d’antisymétrie des courants et s’enroulent autour des courants. Elles sont radiales dans l’entrefer. Compte tenu des 1/7 Étienne Thibierge, 3 février 2017, www.etienne-thibierge.fr D’Arsonval, PSI? 2016-2017 Colles semaine 16, sujet A : Machine synchrone #” #” symétries, si B(M ) = B(γ) #” ur alors B(M 0 ) = −B(γ) #” ur . On déduit du théorème d’Ampère (H = 0 dans les ferros parfaits) que pour −π/2 ≤ γ ≤ π/2 alors B(γ) = µ0 i/2e et pour π/2 ≤ γ ≤ 3π/2 alors B(γ) = −µ0 i/2e. 2 On construit les courbes puis on somme. On va vers un champ sinusoïdal en θ. 3 Il suffit de lire l’énoncé mais il ne faut pas oublier la force contre-électromotrice. L i u e 4 E est la force contre-électromotrice (opposée de la fém d’induction) aux bornes du stator. E = ΩΦ est simplement une conséquence de la loi de Faraday. Φ est homogène à un flux magnétique et dépend de la géométrie de la machine, de la forme de l’enroulement rotorique et du courant rotorique. 5 Essai à vide donne i = 0 donc donne accès à E d’où on déduit Φ= E 60 =E× ∼ 0,2 Wb Ω 2nπ n vitesse de rotation en tours par minutes. Essai en court-circuit donne u = 0 donc e = jLΩi d’où en valeur efficace E = LωIcc d’où L= E = 2 mH ΩIcc Comme la vitesse de rotation ne change pas alors la f.c.e.m non plus. Exercice 2 : Électroaimant de levage Un électroaimant de levage, destiné à soulever des pièces métalliques, est formé d’un demi noyau magnétique de perméabilité µr1 = 2 · 103 carré de côté a = 2 cm. N = 100 spires parcourues par un courant d’intensité I = 1 A y sont bobinées. Les extrémités à l’air du noyau sont dirigées vers la pièce à soulever, elle aussi constituée d’un matériau magnétique de perméabilité µr2 = 5 · 102 , et modélisée par un parallélépipède de masse m = 4 kg. Les longueurs d’une ligne de champ moyenne dans le noyau de l’électroaimant et dans la pièce à soulever valent respectivement L1 = 2 cm et L2 = 1 cm. On suppose que la section du circuit magnétique à l’intérieur de la pièce est égale à 2a2 . 1 - Proposer une modélisation raisonnable du champ magnétique dans le dispositif en appuyant l’argumentation sur la carte de champ ci-dessus. 2 - Calculer la masse maximale que peut soulever cet électroaimant. Quelle influence a le sens de I ? 3 - Calculer à l’équilibre l’épaisseur de l’entrefer. Commenter son évolution lorsque la masse à soulever augmente. 4 - On aimerait utiliser le même électroaimant, alimenté de la même façon, pour soulever des pièces d’aluminium, de cuivre ou d’acier de forme et de masse comparable à celle étudiée précédemment. L’électroaimant est sans effet sur certaines d’entre elles et en soulève d’autres de masse égale à 20 kg. Expliquer. Éléments de correction de l’exercice 2 : Non tapé, l’exercice est adapté du livre « Physique tout-en-un PSI », éditions Dunod, exercice 23.2 p. 727. 2/7 Étienne Thibierge, 3 février 2017, www.etienne-thibierge.fr D’Arsonval, PSI? 2016-2017 Colles semaine 16, sujet B Machine synchrone Question de cours Décrire, en s’aidant d’analogies avec le moteur synchrone, la structure et le fonctionnement d’un moteur à courant continu. En déduire la nécessité du changement de sens du courant dans les spires au passage par le plan neutre. Exercice 1 : Traction d’une voiture électrique La traction de certaines petites voitures électriques citadines peut être assurée par des moteurs synchrones diphasés. Une telle voiture doit pouvoir gravir une pente de 10% à la vitesse constante v = 50 km · h−1 . Le moteur tourne alors en régime nominal à Ω = 6000 tr · min−1 . On suppose la voiture de masse m = 800 kg. Dans un fonctionnement usuel, la puissance mécanique perdue à cause des frottements et des pertes dans les transmissions est de l’ordre de Pf = 4 kW. Le moteur utilisé présente les caractéristiques suivantes : . force contre-électromotrice efficace dans une phase de l’induit : E = φΩ avec φ = 0,20 V · s · rad−1 ; . inductance propre du bobinage d’une phase : L = 1,6 · 10−3 H ; . auto-pilotage : l’alimentation électrique de l’induit est assurée par un onduleur qui impose un angle de pilotage ψ = −π/3 (déphasage de la f.c.e.m. par rapport au courant dans une phase). 1 - Quelle est la puissance Pem du couple électromagnétique développée par le moteur ? 2 - Déterminer l’intensité efficace du courant à fournir dans chaque phase. 3 - A l’aide d’un diagramme de Fresnel, calculer la tension d’alimentation d’une phase. 4 - Le couple utile délivré par le moteur vaut Γut = 23 N · m. Calculer son rendement. Éléments de correction de l’exercice 1 : Non tapé, l’exercice est adapté du livre « Physique tout-en-un PSI », éditions Dunod, exercice 24.2 p. 773. Exercice 2 : Transformateur à deux secondaires tore ferromagnétique N2 Un transformateur à deux secondaires possède trois enroulements : l’un de N1 spires appelé primaire, et deux autres de N2 et N20 spires appelés secondaires. On assimile la carcasse du transformateur à un tore magnétique parfait, de section S et circonférence moyenne L. On appelle respectivement u1 , i1 , u2 , i2 , u02 , i02 les tensions et intensités dans les différents enroulements, tous orientés de la même façon. N1 1 - Établir les lois de transformation des tensions et intensités. N20 2 - Proposer un schéma équivalent utilisant des transformateurs idéaux « classiques », c’est-à-dire à un seul secondaire. Éléments de correction de l’exercice 2 : Non tapée. 3/7 Étienne Thibierge, 3 février 2017, www.etienne-thibierge.fr D’Arsonval, PSI? 2016-2017 Colles semaine 16, sujet C Machine synchrone Question de cours Déterminer, en régime continu, les équations électrique et mécanique d’une MCC. En déduire, en régime stationnaire (et à tension d’induit constante), la caractéristique couple-vitesse du moteur. En déduire ses caractéristiques de fonctionnement (démarrage, vitesse angulaire à vide et réponse à une diminution de l’alimentation statorique). Éléments de correction de l’exercice 0 : Circuit induit : U = RIm + Ecem , Γ = ΦIm (admis) et Ecem = ΦΩ (déduit d’une conservation énergétique) avec Im intensité qui traverse le rotor, positive en fct moteur donne Φ Φ2 U− Ω R R Φ cste homogène à un flux magnétique et proportionnelle au courant inducteur. Γ= Exercice 1 : Turboalternateur À l’issue de la chaîne de production de l’énergie d’une centrale nucléaire se trouve un turboalternateur : une turbine tournant à grande vitesse (3000 tours/minute) entraîne un rotor constitué d’un électroaimant bipolaire dont le flux magnétique est canalisé vers trois enroulements statoriques fixes dans le référentiel terrestre, orientés à 120° l’un de l’autre, voir cicontre. La variation de flux dans chaque enroulement statorique induit une force électromotrice de pulsation égale à la vitesse angulaire de rotation du rotor. Chaque enroulement statorique est constitué de Ns boucles de conducteur, de surface S. Les enroulements (2) et (3) sont identiques à l’enroulement (1). On notera Oxyz le système d’axes orthogonal direct lié au référentiel du stator, tel que le vecteur unitaire normal orienté de l’enroulement (1) soit #” e y et que les axes des trois autres enroulements soient dans le plan (xOy). On suppose le régime sinusoïdal permanent atteint, et la vitesse de rotation du rotor, constante, est notée Ω. On admet que le champ excitateur créé par le rotor vaut µ0 Nr #” Br = Ir [cos(Ωt) #” e x + sin(Ωt) #” e y ] = B0 [cos(Ωt) #” e x + sin(Ωt) #” ey ] e où Ir est le courant permanent traversant le rotor, Nr le nombre de spires de l’enroulement rotorique et e l’épaisseur de l’entrefer. Ainsi, à t = 0 le champ excitateur est dirigé selon #” e x puis il tourne à vitesse angulaire Ω dans le sens trigonométrique autour de l’axe #” ez . 1 - Exprimer les flux Φrk (k = 1 à 3) du champ excitateur dans les trois enroulements statoriques en fonction de t. En déduire les tensions aux bornes des enroulements statoriques ek appelées tensions simples à vide. 2 - En notation complexe, ces tensions s’écrivent sous la forme ek = E0 ej(Ωt+ψk ) Exprimer l’amplitude E0 et les phases ψk . Représenter ces tensions dans le diagramme de Fresnel. Les trois enroulements sont connectés en étoile à un point neutre commun noté n pris comme référence des potentiels, voir ci-contre. On suppose en outre que la machine fonctionne à vide, c’est-à-dire i1 = i2 = i3 = 0. 3 - Exprimer les tensions entre les trois bornes libres, e12 , e23 et e31 , appelées tensions composées, en fonction des ek . Les représenter dans le diagramme de Fresnel. √ 4 - Montrer que l’amplitude des tensions composées vaut Ec = 3E0 et donner le déphasage de la tension composée e12 par rapport à la tension simple e1 . La machine synchrone reliée en étoile est maintenant supposée débiter des courants ik orientés comme sur la figure en convention générateur. On admet que le point neutre se comporte comme un nœud isolé de la terre. 5/7 Étienne Thibierge, 3 février 2017, www.etienne-thibierge.fr D’Arsonval, PSI? 2016-2017 Colles semaine 16, sujet C : Machine synchrone En plus du flux Φr1 induit par le rotor, l’enroulement statorique (1) est soumis à son flux propre Φ11 et aux flux = Ms i2 et Φ31 = Ms i3 créés par les enroulements (2) et (3), où Ms est le coefficient d’inductance mutuelle entre deux enroulements statoriques. On note Ls l’inductance propre de chaque enroulement statorique, et on définit Λs = Ls − Ms > 0 appelée inductance cyclique de l’enroulement. Enfin la résistance équivalente des conducteurs de chaque enroulement est notée Rs . Φ21 5 - Exprimer la tension u1 de sortie de l’enroulement statorique en fonction de la tension simple à vide e1 , de i1 , de Λs et de Rs . En déduire son impédance complexe et un schéma électrique équivalent. Que peut-on dire pour les enroulements (2) et (3) ? 6 - Représenter e1 , u1 et i1 sur un diagramme de Fresnel. Il est recommandé de prendre le courant i1 comme origine des phases. En régime de fonctionnement permanent en charge, dit régime nominal, les enroulements (1), (2) et (3) sont reliés à trois charges inductives identiques, voir ci-contre, d’impédances complexes Zc = Rc + jLc Ω. L’ensemble formé d’un enroulement et de sa charge est appelé ligne. Les trois lignes ont donc un fonctionnement symétrique : on dit qu’elles sont équilibrées. On admet que, dans ces conditions, on a toujours i1 + i2 + i3 = 0. 7 - Tracer le schéma électrique équivalent à la ligne (1). En déduire la relation entre i1 et u1 , puis celle entre les amplitudes U1n et I1n en régime nominal et enfin la valeur du déphasage ϕc de u1 par rapport à i1 . Que peut-on dire des lignes (2) et (3) ? 8 - Donner la relation entre l’amplitude de la tension simple à vide nominale E0n et I1n , puis la relation entre E0n et U1n . 9 - Exprimer la puissance instantanée Pn (t) débitée en régime nominal par le turboalternateur dans son ensemble. Que remarque-t-on ? L’exprimer en fonction des amplitudes nominales I1n et U1n et du déphasage ϕc . Éléments de correction de l’exercice 1 : 1 #” Vecteur normal à l’enroulement noté #” n k et on a alors Φrk = Ns S B · #” nk #” n 1 = #” ey 2π #” 2π #” #” n 2 = cos e x + sin ey 3 3 2π #” 2π #” #” n 3 = cos e x − sin ey 3 3 2 d’où d’où d’où Φr1 = Ns SB0 sin(Ωt) 2π 2π 2π r Φ2 = Ns SB0 cos cos Ωt + sin sin Ωt = Ns SB0 cos(Ωt − ) 3 3 3 2π Φr3 = Ns SB0 cos(Ωt + ) 3 Même orientation donc ce sont les fém d’induction (pas le fcem) ek = − avec θk l’angle formé par rapport à #” ey . dΦrk = +Ns SB0 Ω sin (Ωt + θk ) dt 3 ek = −jΩNs SB0 ej(Ωt+θk ) = ΩNs SB0 ej(Ωt+θk −π/2) donc E0 = ΩNs SB0 . Diagramme de Fresnel : on commence par placer les phases θk et on tourne de −π/2. Les trois tensions ont même amplitude. 4 e12 pointe vers 1 (c’est la convention habituelle pour une tension), donc e12 = e1 − e2 , etc. Dans le diagramme de Fresnel il suffit de sommer les vecteurs. 5 Si on connaît la relation trigonométrique sin p − sin q = 2 sin p−q p+q cos 2 2 il suffit de l’appliquer π π 2π 2π π 2π e12 = e1 − e2 = E0 cos Ωt − − E0 cos Ωt − + = 2E0 sin cos Ωt − + 2 2 3 3 2 3 6/7 Étienne Thibierge, 3 février 2017, www.etienne-thibierge.fr Colles semaine 16, sujet C : Machine synchrone D’Arsonval, PSI? 2016-2017 √ et le résultat tombe car sin 2π 3/2. Sinon, il faut faire de la géométrie dans le diagramme de Fresnel : on a un 3 = triangle isocèle qu’on coupe en deux pour avoir des triangles rectangles, et on fait de la trigo classique car on connaît les phases. r r 6 Le flux total au travers de l’enroulement (1) vaut Φtot 1 = Φ1 + Ms (i2 + i3 ) + Ls i1 = Φ1 + Λs i1 en appliquant la loi des nœuds en n. u1 est orienté en convention générateur et on a donc u1 = − dΦtot dΦr di1 1 − Ri1 = − 1 − Λs − Rs i1 dt dt dt dΦr Rien ne change au niveau du rotor, donc − 1 = e1 déterminé précédemment. Pour trouver l’impédance complexe dt il est plus habituel de raisonner en convention récepteur −u01 = e1 − jωΛs i1 − Rs i1 d’où u01 = −e1 + (Rs + jΛs i1 ) Mise en série d’un générateur de fém −e1 , d’une résistance et d’une bobine. C’est pareil pour les enroulements (2) et (3) sauf que les fém sont déphasées de 2π/3. 7 Pas compliqué, il faut remplacer Zc par une résistance et une inductance montées en série. On a alors u1 = Zc i1 8 soit p U1n = Zc I1n = Rc2 + L2c Ω2 I1n On a montré que u1 = e1 − (Rs + jΩΛs )I1 donc e1 = u1 + (Rs + jΩΛs )I1 et comme les impédances ont la même forme on déduit du résultat précédent p E0n = (Rc + Rs )2 + (Lc + Λs )2 Ω2 I1n 9 Puissance ne dépend pas du temps. 7/7 Étienne Thibierge, 3 février 2017, www.etienne-thibierge.fr