ARITHMETIQUE (1)

ARITHMETIQUE (1) : Exercices à rédiger
 Exercice 1 :
Petites questions indépendantes entre elles
1) Combien y a t-il de multiples de 53 compris entre –1027 et 1112
2) Démontrer que la somme de 5 entiers consécutifs est toujours un multiple de 5.
3) a ; b deux entiers relatifs
a) Démontrer que si a 2 est impair alors a est impair.
b) démontrer que si a et b vérifient a 2  2b2  1 alors a est impair et b est pair.
4) Montrer que si n est un entier impair alors n 2  1 est un multiple de 8
 Exercice 2 :
Exercice 23 (1 a,c ; 2)
 Exercice 3 :
Démonstration du cours
En utilisant une démonstration par récurrence démontrer que
1) Pour tout entier n ;  a  b  divise an  bn
2) Pour tout entier n impair ;  a  b  divise an  bn
3) Faire l’exercice 5 p 24

Exercice 4 :  
1) Déterminer les diviseurs de 36 .
2) En déduire l’ensemble des entiers n tels que n  4 divise 3n  24
 Exercice 5 : Equations dans N2 ou Z2
L’objectif est de résoudre x 2  y 2  76  dans
2
1) Montrer que si  x ; y  est solution alors   x ; y  ;  x ;  y  ;   x ;  y  est solution. En déduire qu’il suffit de
résoudre cette équation dans 2
2) On suppose maintenant que x ; y sont des entiers naturels. On pose a  x  y ; b  x  y
a) Montrer que si  x ; y  est solution de  alors a et b divisent 76 .
b) Prouver que a  0 ; b  0 ; a  b .
c) Déterminer tous les couples  a ; b  qui conviennent
3) Terminer la résolution de 
 Exercice 6  
1) Déterminer les entiers relatifs n tels que n  3 divise n2  3 (on pourra remarquer que n2  3  n2  9  12 )
2)


a) Développer  n  3 n2  3n  9 .
b) Déterminer les entiers relatifs n tels que n  3 divise n3  3
 Exercice 7 Calcul sur les congruences
On sait que 102  9 mod (13) (vérifiez le)
1) Prouver que 103  1 mod (13)
2) Déterminer un nombre positif inférieur à 13 congrue à 10 4 ; 10 6 ; 11110 ; 10 6 k  3 mod(13)
3) Dire si les nombres suivant sont divisible par 13 : 1012  10 3 ; 310 5  2 10 4  10 2
 Exercice 8 Questions de divisibilité traitée avec les congruences
Les questions suivantes sont indépendantes.
1) Montrer que le cube de tout entier naturel est de la forme 7n ou 7n  1 ou 7n  1  
2) Soit a et b deux entiers relatifs, montrer que l’un des trois nombres suivants a ; b ; a  b ; a  b est un multiple
de 3, (vous pouvez déjà essayer sur des exemples).
3) Démontrer que si a 2  b 2 est un multiple de 7 alors a et b sont des multiples de 7.
 Exercice 9 : Recherche des restes dans la division par n des puissances d’un entier.
Exercice 91 p 31  
 Exercice 10
1.
Pour chacun des entiers k entre 0 et 9, déterminer le reste de la division euclidienne de k
4
par 10.
2. Si n est un entier naturel, quel sera le chiffre des unités de n ?
4
 Exercice 11  
1) Montrer que pour tout entier n de
, n  5n est un multiple de 6. On fera 2 démonstrations, une par
récurrence et l’autre en utilisant les congruences.
2) En déduire que les entiers suivants sont aussi des multiples de 6
3
n3  17n  12 ; n3  2003n ; n(n  1)(n  2) .
 Exercice 12  
1) Déterminer suivant les valeurs de l’entier naturel n le reste de la division euclidienne 2 n par 7.
2) En déduire que si l’entier naturel k n’est pas divisible par 3 alors 22 k  2k  1 est divisible par 7
Exercices sur la numération
Exercice 1 Une curiosité numérique :
1) Vérifier que les entiers suivants sont des multiples de 37 :
a) Les nombres de trois chiffres identiques comme 222, 777, ….
b) Les nombres de six chiffres identiques comme 555 555, …
c) Les nombres écrits en juxtaposant trois fois deux chiffres identiques comme 717171, …
2) Démontrer tout cela.
Exercices sur les calendriers
Exercice 1
Sachant que le premier janvier 2002 était un mardi, à quel jour de la semaine correspondra le premier janvier
2040 ?
1) Calculer le nombre N de jours séparant ces deux dates.
2) Déterminer le reste de la division euclidienne de N par 7. Conclure.
Rappel : les années bissextiles sont :
- les années non séculaires dont le millésime est un multiple de 4.
- Les années séculaires dont le millésime est un multiple de 400 comme par exemple l’année 2000 (4x500).
Les années 2100, 2200, 2300 ne le sont pas et l’année 2400 (400x6) est bissextile.
3) A quel jour de la semaine correspond le 14 juillet 1789 ?