Exercice 8 Questions de divisibilité traitée avec les congruences
Les questions suivantes sont indépendantes.
1) Montrer que le cube de tout entier naturel est de la forme
ou
ou
2) Soit
et
deux entiers relatifs, montrer que l’un des trois nombres suivants
est un multiple
de 3, (vous pouvez déjà essayer sur des exemples).
3) Démontrer que si
est un multiple de 7 alors
et
sont des multiples de 7.
Exercice 9 : Recherche des restes dans la division par n des puissances d’un entier.
Exercice 91 p 31
Exercice 10
1. Pour chacun des entiers k entre 0 et 9, déterminer le reste de la division euclidienne de
par 10.
2. Si n est un entier naturel, quel sera le chiffre des unités de
?
Exercice 11
1) Montrer que pour tout entier n de ,
est un multiple de 6. On fera 2 démonstrations, une par
récurrence et l’autre en utilisant les congruences.
2) En déduire que les entiers suivants sont aussi des multiples de 6
33
17 12; 2003n n n n
;
.
Exercice 12
1) Déterminer suivant les valeurs de l’entier naturel
le reste de la division euclidienne
par 7.
2) En déduire que si l’entier naturel
n’est pas divisible par
alors
est divisible par 7
Exercices sur la numération
Exercice 1 Une curiosité numérique :
1) Vérifier que les entiers suivants sont des multiples de 37 :
a) Les nombres de trois chiffres identiques comme 222, 777, ….
b) Les nombres de six chiffres identiques comme 555 555, …
c) Les nombres écrits en juxtaposant trois fois deux chiffres identiques comme 717171, …
2) Démontrer tout cela.
Exercices sur les calendriers
Exercice 1
Sachant que le premier janvier 2002 était un mardi, à quel jour de la semaine correspondra le premier janvier
2040 ?
1) Calculer le nombre N de jours séparant ces deux dates.
2) Déterminer le reste de la division euclidienne de N par 7. Conclure.
Rappel : les années bissextiles sont :
- les années non séculaires dont le millésime est un multiple de 4.
- Les années séculaires dont le millésime est un multiple de 400 comme par exemple l’année 2000 (4x500).
Les années 2100, 2200, 2300 ne le sont pas et l’année 2400 (400x6) est bissextile.
3) A quel jour de la semaine correspond le 14 juillet 1789 ?