DS4-1-rail de Laplace _CCP national Deug 2005_-corrige

MP – Physique-chimie. Devoir surveillé
DS n°4-1 : corrigé
Premier problème : le rail de Laplace
Extrait du concours commun polytechnique (concours national Deug 2005)
Partie A : Électromagnétisme
I. Cadre horizontal dans un champ magnétique uniforme et constant
1) Expression du flux. : Φ = B0 x
2) Champ électromoteur.
Dans la barre en mouvement les porteurs de charge sont soumis à la force de Lorentz qui est, dans le
référentiel du laboratoire ; une force magnétique F = q v ∧ B0 . Cette force a la même expression dans
le référentiel de la barre en mouvement. Il s’agit alors d’une force électrique F = q v ∧ B0 = qEm . Le
champ Em = v ∧ B0 est le champ électromoteur
3) Signe du courant induit :
Le courant induit doit être à l’origine d’une force de Laplace F = i AB ∧ B0 qui, selon la loi de
modération de Lenz, s’oppose au mouvement de la barre. Cela implique que i soit négatif.
Nous pouvons tout aussi bien constater que le champ électromoteur Em = v ∧ B0 est dirigé selon BA
et donc que i est négatif.
Il est également possible d’argumenter à partir de la loi de Faraday : e = −
dΦ
dx
= − B0 . La vitesse
dt
dt
étant positive, e est donc négatif et donc i est négatif…
4) Expression de l’intensité du courant i : e = −
dΦ
= − B0 v = Ri
dt
⇒
i=−
B0 v
R
B 2 2v 5) Force de Laplace : F = i AB ∧ B0 = B0i ex = − 0
ex
R
F
6) Expression vectorielle de la vitesse :
La barre, de masse m étant supposée glisser sans frottement, le principe fondamental de la dynamique
s’écrit :
B02 2 dv
d v B02 2 soit encore
F =m
v
+
v = 0
=−
dt
mR
dt
R
Jean Le Hir, 6 décembre 2007
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LYCÉE DE KERICHEN
MP-Physique-chimie
Devoir surveillé n°4 -1
La solution générale de cette équation différentielle linéaire du premier ordre est une solution
− t
mR
exponentielle. En posant τ = 2 2 , cette solution générale s’écrit : v = K e τ . Il reste à choisir K
B0 pour satisfaire à la condition initiale v ( 0 ) = v0 et finalement :
− t  B 2 2t 
v = v0 e τ = v0 exp  − 0 
 mR 
7) Allure de la courbe représentant v ( t ) :
Note : Pour être valide, un graphe dont on demande
« l’allure » doit comporter sur chaque axe :
— indication de la grandeur physique concernée (ici t
en abscisse et v en ordonnée)
— indication de l’origine (ici 0 sur chaque axe)
— indication d’un facteur d’échelle (ici la constante
de temps τ en abscisse et v0 en ordonnée)
v (t )
v0
0
0
τ
t
8) Influence de R :
La constante de temps est proportionnelle à R. Diminuer R revient à ralentir la vitesse de la barre
d’autant plus rapidement.
II. Cadre incliné dans un champ magnétique uniforme et constant
1) Expression du flux : Φ′ = B0 ⋅ n+ x′ = B0x′ cos α
2) Intensité du courant induit : e′ = Ri′ = −
B v′ cos α
d Φ′
.
= − B0 v′ cos α et donc i′ = − 0
dt
R
3) Inventaire des forces :
R
F′
P
La force de Laplace F ′ est toujours orthogonale à B0 et à AB : elle est donc horizontale et a son
point d’application au milieu de AB.
Le poids P est bien sûr vertical et appliqué également au milieu de AB.
JLH 06/12/2007
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Enfin, les réactions RA et RB des rails sont égales, appliquées en A et B, et, en l’absence de
frottement, normales au rail. Leur résultante R = RA + RB est donc appliquée au milieu de AB et
inclinée d’un angle α par rapport à la verticale.
B 2 2v′ cos α 4) Expression vectorielle de la force de Laplace : F ′ = i′ AB ∧ B0 = − 0
ex
R
5) Équation différentielle du mouvement.
Il nous suffit d’écrire l’expression du principe fondamental de la dynamique en projection sur e′x ,
dv′
soit : F ′ + P + R ⋅ e′x = m
dt
(
Avec
)
2
B02 2 ( cos α )
B02 2 v′ cos α F ′ ⋅ e′x = −
ex ⋅ e′x = −
v′
R
R
P ⋅ e′x = − mgez ⋅ e′x = + mg sin α
et, du fait de l’absence de frottements R ⋅ e′x = 0
L’équation différentielle s’écrit donc : −
B02 2 ( cos α )
2
R
v′ + mg sin α = m
dv′
dt
6) Expression de v′ ( t )
Posons τ′ =
mR
B02 2 ( cos α )
2
l’équation différentielle s’écrit alors :
dv′ v′
+ = g sin α
dt τ′
′ = τ′g sin α
Il apparaît immédiatement une solution particulière constante : vpart
La solution générale de cette équation est donc v′ = τ′g sin α + Ke
−
t
τ′
et la constante d’intégration K
est déterminée par la condition initiale v′ ( 0 ) = 0 = τ′g sin α + K .
Finalement :
t
 B02 2 ( cos α )2 t  

− 
mRg sin α 
′
τ
 1 − exp  −

v′ ( t ) = τ′g sin α 1 − e  =

 B 2 2 ( cos α )2 


mR


0



7) Allure de la courbe représentant v′ ( t ) :
lim v′ ( t ) =
t →∞
v′ ( t )
mRg sin α
B02 2
( cos α )2
0
0
JLH 06/12/2007
τ′ =
mR
B02 2 ( cos α )
2
t
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