Leçon n°14 : Multiples, diviseurs, division euclidienne

Leçon n°14 : Multiples, diviseurs, division euclidienne
(En bleu : ce qui n'est pas projeté)
Introduction / Programmes
- Ces notions d'arithmétiques sont introduites dès l'école primaire, où les élèves apprennent à
effectuer (en la posant ou non) la division euclidienne de 2 entiers naturels ou d'un nombre décimal
par un entier.
- Au collège, de nouvelles notions d'arithmétiques sont introduites en 3e (notions de PGCD, de
nombres premiers entre eux).
- Au lycée, ce sont les élèves de TS en spécialité Maths qui approfondissent leurs connaissances en
arithmétique avec l'élargissement à l'ensemble des relatifs, l'introduction des nombres premiers, de
la notion de congruences, ainsi que les théorèmes de Bézout et de Gauss.
- En BTS, les élèves voient essentiellement des notions utiles en informatique telles que les calculs en
base 2, base 16,...
Dans notre leçon, nous nous placerons en TS spécialité Maths, de manière à étudier les propriétés
dans Z (toutes les propriétés étudiées jusqu'en TS concernent des entiers naturels).
Pré-requis : entiers naturels, relatifs
I. Multiples et diviseurs dans Z
1) Définition et propriétés
Définition : Soient a et b deux entiers relatifs, tels que b ≠ 0.
On dit que b divise a s'il existe un entier relatif k tel que a = bk.
b est un diviseur de a.
a est un multiple de b.
Exemple : 14 divise -84 car -84 = -6  14.
Remarques : Tout entier relatif divise 0.
Les seuls diviseurs de -1 et 1 sont -1 et 1.
Pour tout entier relatif a, -a et a sont des diviseurs de a.
Deux entiers relatifs opposés ont les mêmes diviseurs.
Propriétés : Comparaison :
Soient a et b deux entiers relatifs, b ≠ 0.
Si b divise a, alors –b divise a.
Si b divise a et a ≠ 0, alors b  a .
Démo : Si a = bk, on a
déduit que
a  b  k . Or, a ≠ 0 donc k ≠ 0. Comme k est un entier, on a alors k  1 . On en
b a.
Conséquence : la recherche des diviseurs d’un entier relatif a dans Z se ramène à la recherche des
diviseurs de l’entier naturel a dans N.
Exemple : Rechercher les diviseurs de -84 dans Z revient à chercher les diviseurs de 84 dans N.
En effet, si D+ est l'ensemble des diviseurs de 84 dans N : D+ = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84},
l'ensemble D des diviseurs de -84 sera alors composé de l'ensemble D+ des diviseurs de 84 dans N et
de l'ensemble D- constitué par les opposés de ces diviseurs :
D = {-84, -42, -28, -21, -14, -12, -7, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84}.
Propriété : Soient a et b deux entiers relatifs non nuls.
Si a divise b et b divise a, alors a = b .
En effet, on a 'a divise b' =>
a  b ; et 'b divise a' => b  a . Donc b  a . Puis a = b ou a = -b.
Propriété : Transitivité :
Soient a, b et c trois entiers relatifs tels que a ≠ 0 et b ≠ 0.
Si a divise b et b divise c, alors a divise c.
'a divise b' et 'b divise c' <=> il existe deux entiers k et k' tels que b = ak et c = bk'. On en déduit que c = akk', avec
kk' entier. Donc a divise c.
Exemple : 3 est un diviseur de 12, et 12 est un diviseur de -84, donc 3 est un diviseur de -84.
Propriété : Divisibilité d’une combinaison linéaire :
Soient a, b et c trois entiers relatifs tels que c ≠ 0.
Si c divise a et b, alors pour tous entiers relatifs u et v, c divise (au + bv).
En particulier, c divise (a + b) et (a – b).
Par hypothèse, il existe deux entiers relatifs k et k' tels que a = ck et b = ck'.
Donc ma + nb = m(ck) + n(ck') = c(mk + nk'), avec (mk + nk') entier relatif.
Donc c divise ma + nb.
Exercice (d'après Déclic TS, 92 p. 464) : On cherche à déterminer les entiers naturels k tels que
l'entier Nk = k² + k + 20 soit divisible par k.
1) Etablir une conjecture à l'aide d'un tableur
2) Démontrer cette conjecture.
2) Critères de divisibilité
Propriété : Soit a un entier relatif.
- a est divisible par 2 si et seulement si son chiffre des unités est pair.
- a est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
De même, a est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Exemple : 35 721 est divisible par 3 et par 9, car 3+5+7+2+1 = 18, multiple de 9.
- a est divisible par 5 si et seulement si son chiffre des unités est 0 ou 5.
(Remarque à l'oral : pour démontrer ces critères de divisibilité, le plus simple est d'utiliser les
congruences, que nous verrons dans la suite de la leçon.)
Démo pour le critère de divisibilité par 9 : Soit a un entier relatif. a peut s'écrire sous la forme :
n
n
a   ak  10 k . Or, 10  1(9). Donc 10k  1(9) pour tout entier k. Finalement, a   a k (9). Donc a est
k 0
k 0
n
divisible par 9 si et seulement si
a
k 0
k
= 0 (9), c'est-à-dire si et seulement si la somme des chiffres de a est
divisible par 9.
3) Nombres premiers
a) Définition et existence
Définition : Un entier naturel est dit premier s'il admet exactement deux diviseurs dans N : un et luimême.
Théorème : Tout nombre entier naturel a > 1 admet au moins un diviseur premier.
Raisonnons par disjonction des cas.
Si a est premier, le diviseur recherché est a.
Si a n'est pas premier, par définition, a admet au moins un diviseur strict (c'est-à-dire qui soit strictement
compris entre 1 et a). Soit D(a) l'ensemble des diviseurs de a ;
D(a) = {1; d1; d2; ... ; a} avec 1 < d1 < d2 < ... < a.
Prouvons par l'absurde que le plus petit diviseur de a, d 1, est un nombre premier.
On suppose que d1 n'est pas premier. d1 admet alors au moins un diviseur strict d tel que
1 < d < d1. Alors d divise d1 et d1 divise a, donc d est un diviseur strict de a strictement inférieur à a, ce qui est
impossible puisque d1 est le plus petit diviseur strict de a.
Donc d1 est un nombre premier. Donc a admet un diviseur premier.
Théorème : Tout nombre entier naturel a > 1 non premier admet au moins un diviseur inférieur ou
égal à
a.
a n'est pas premier donc il admet au moins un diviseur strict d, et on peut écrire
d' est également un diviseur strict de a puisque :
- si d' = 1, alors d = a, ce qui est impossible car d est un diviseur strict de a,
- si d' = a, alors d = 1, ce qui est impossible pour la même raison.
Donc 1 < d' < a, et d' est un diviseur strict de a.
Prouvons par l'absurde que l'un des 2 diviseurs d ou d' est inférieur ou égal à
On suppose d >
est impossible.
Donc
a et d' >
a . Comme d, d' et
a  d  d ' (d' entier naturel).
a.
a sont positifs, on a d  d ' >
a  a , soit a > a, ce qui
d  a ou d '  a . a admet donc un diviseur strict inférieur ou égal à a.
Théorème : Il existe une infinité de nombres premiers.
Raisonnons par l'absurde.
Supposons qu'il n'existe qu'un nombre fini de nombre premiers : 2 < 3 < ... < p.
On pose N  (2  3  ...  p)  1 . N est strictement supérieur à 1. Il admet donc un diviseur premier d.
Comme les nombres 2, 3, ..., p sont les seuls nombres premiers, d est nécessairement un de ces nombres. Le
nombre d divise donc le produit (2  3  ...  p) .
Comme d divise également le nombre N, il divise donc leur différence, 1, ce qui est impossible.
Il existe donc une infinité de nombres premiers.
b) Divisibilité par un nombre premier
Théorème : Si p est un nombre premier et a un nombre non divisible par p, alors a et p sont premiers
entre eux.
p est un nombre premier, donc ses seuls diviseurs sont 1 et p.
a n'étant pas divisible par p, des deux diviseurs de p seul 1 est diviseur commun à a et à p. a et p sont donc
premiers entre eux.
Théorème : Soit p un nombre premier.
Si p divise le produit ab de deux entiers, alors p divise a ou p divise b.
Si p divise le produit ab de deux nombres premiers, alors p = a ou p = b.
1. Si p divise a, le résultat est acquis.
Si p ne divise pas a, alors p est premier avec a. D'après le théorème de Gauss, il divise donc b.
2. D'après 1., p divise a ou p divise b. Or, a et b n'admettent que deux diviseurs qui sont 1 et eux-mêmes puisque
ce sont des nombres premiers. Comme p est différent de 1, on a nécessairement p = a ou p = b.
c) Décomposition en produit de facteurs premiers
Théorème fondamental : Un nombre entier naturel strictement supérieur à 1 est premier ou se
décompose de manière unique, à l'ordre près, en produit de nombres premiers.
- Soit n un entier naturel non premier. Il admet donc un diviseur strict premier p 1.
Donc n  p1  q1 , où q1 est aussi un diviseur strict de n (sinon, p1 = 1 ou p1 = n, ce qui est impossible). Donc q1
< n.
- Si q1 est premier, alors n est le produit de deux nombres premiers : n  p1  q1 .
- Si q1 n'est pas premier, alors il admet un diviseur strict premier p 2. Donc q1  p1  q2 , où q2 est un diviseur
strict de q1. Ainsi, q2 < q1 < n.
Si q2 est premier, n est le produit de trois nombres premiers : n  p1  q1  q2 .
- Tant que qi n'est pas premier, on réitère le processus. On construit ainsi une suite d'entiers naturels
1  qi <
qi-1 < ... < q2 < q1. Comme cette suite est finie, il existe donc un diviseur qk premier.
Ainsi, n est le produit de facteurs premiers p1  p2  ...  pk  qk .
Diviseurs d'un entier naturel non premier :
Théorème : Si a est un entier naturel non premier dont la décomposition en produit de facteurs

premiers est p1 1  p2

la forme : p1 1  p2
2
2

 ...  pk k , alors les diviseurs de a sont tous les nombres qui s'écrivent sous

 ...  pk k avec 0  1  1 , 0   2   2 , ..., 0   k   k .
Exemple : La décomposition en facteurs premiers de 7425 est la suivante : 7425 = 33  52  11.
II. Division euclidienne
1) Division euclidienne dans N
Théorème : Soient a et b deux entiers naturels tels que b ≠ 0.
Il existe un unique couple (q, r) d’entiers naturels tel que a = bq + r et 0  r < b.
- Existence : On considère
a
a
et q  E   , où E est la partie entière. La partie entière de 2 nombres positifs
b
b
étant un entier naturel, q est un entier naturel.
a a
a
E    E   1.
b b
b
a
Puis, en multipliant par b et en remplaçant E   par q, on obtient : qb  a  qb  b .
b
On a, par définition de la partie entière
On pose r = a – bq.
qb  a => a - bq  0 => r
Et
0
a  qb  b => r < b.
On sait de plus que r est un entier naturel car r = a – bq est une combinaison linéaire d’entiers, donc r est un
entier relatif, et r  0 => r entier naturel.
L’existence d’un couple d’entiers naturels (q,r) tel que a = bq + r et 0  r < b est donc démontrée.
- Unicité : On raisonne par l’absurde : on suppose qu’il existe 2 couples (q, r) et (q’, r’) tels que a = bq + r = bq’ +
r’, 0  r < b et 0  r’ < b.
On a alors r – r’ = b(q’ – q)
(*).
De plus, –b < r - r’ < b car –b < -r’  0.
D’où |r – r’| < |b|.
Dans (*) : |b||q’ – q| < |b|, ce qui est impossible si q – q’ ≠ 0. Donc q = q’, puis r = r’.
Définition : Effectuer la division euclidienne dans N de a par b, c’est déterminer le couple d’entiers
naturels (q, r) tel que a = bq + r et 0  r < b.
Terminologie :
a
b
q
r
dividende
diviseur
quotient
reste
Conséquence : Si a et b sont deux entiers naturels tels que b ≠ 0, a est divisible par b si et seulement
si le reste de la division euclidienne de a par b est nul.
Exercice (Déclic TS, 11 p. 449) : Un entier naturel n est tel que si on le divise par 4, le reste vaut 3 ; et
si on le divise par 5, le reste augmente de 1 et le quotient diminue de 1. Calculer n.
2) Division euclidienne dans Z
Théorème : Soient a et b deux entiers relatifs, b ≠ 0. Il existe un couple unique (q,r), avec q entier
relatif et r entier naturel tel que a = bq + r, avec 0  r < b .
Définition : Effectuer la division euclidienne dans Z de a par b, c’est déterminer le couple (q, r), avec
q entier relatif et r entier naturel, tel que a = bq + r et 0  r < b .
Conséquence : Ecriture d’un entier relatif :
Soit a un entier relatif et b un entier naturel non nul. Dans la division euclidienne de a par b, on note
q le quotient et r le reste. Il y a alors b valeurs de r possibles : 0, 1, ..., b-1.
a peut alors s’écrire sous l’une des formes a = bq, a = bq + 1, ..., bq+b-1, q entier relatif.
Exemple : Division euclidienne de -2013 par 58 : -2013 = 58  (-35) + 17
Division euclidienne de 2013 par 58 : 2013 = 58  34 + 41
III. Congruences
1) Définition et propriétés
Définition : Soit m un entier naturel non nul. On dit que deux entiers relatifs a et b sont congrus
modulo m s'ils ont le même reste dans la division euclidienne par m.
Remarque : Tout entier relatif a est congru modulo m à son reste r dans la division euclidienne par m.
Propriétés : Soient a et b deux entiers relatifs, et m un entier naturel non nul.
a  b (m) <=> m divise (a - b)
a  0 (m) <=> m divise a
si a  b (m) et b  c (m), alors a  c (m) (transitivité)
1) Si a  b (m), alors par définition, a et b ont le même reste dans le division euclidienne par m. Donc il existe q,
q' et r avec q, q' entiers relatifs et r entier naturel, tels que a = mq + r et
b = mq' + r, 0  r < m.
On obtient a - b = m(q - q'), avec q - q' entier relatif. Donc a - b divisible par m.
Réciproquement, si m divise a - b, alors il existe un entier k tel que a - b = km.
D'où a = b + km.
Soit r le reste de la division euclidienne de b par m. b = mq + r, avec 0  r < m.
Donc a = m(k + q) + r, 0  r < m. r est donc le reste de la division euclidienne de a par m. a et b ayant le même
reste dans la division euclidienne par m, ils sont congrus modulo m.
2) Cas particulier de 1) avec b = 0.
3) Si a  b (m) et b  c (m), alors m divise (a - b) et m divise (b-c). Donc m divise leur somme (a - c). Donc d'après
1), a  c (m).
2) Compatibilité avec les opérations usuelles
Propriétés : Soient a, b, c et d des entiers relatifs, et m un entier naturel non nul.
Si a  b (m) et c  d (m), alors a + c  b + d (m)
et ac  bd (m)
On dit que la relation de congruence modulo m est compatible avec l'addition et la multiplication.
Si a  b (m) et c  d (m), alors il existe k et k' entiers relatifs tels que a-b = km et c-d = k'm.
Par addition, on a alors (a+c) - (b+d) = (k+k')m, avec k+k' entier. Donc m divise la différence (a+c) - (b+d), donc
a+c  b+d (m).
Pour la multiplication, si a  b (m) et c  d (m), alors il existe k et k' entiers relatifs tels que a-b = km et c-d = k'm.
On a alors ac = (b+km)*(d+k’m) = bd + m(kk’m+bk’+dk).
D’où ac – bd = (kk’m+bk’+dk)m, avec (kk’m+bk’+dk) entier relatif. Donc m divise (ac – bd). Puis ac  bd (m).
Cas particuliers : Pour tout entier relatif k, a  b (m) => k + a  k + b (m) et ka  kb (m).
Pour tout entier naturel non nul p, a  b (m) => ap  bp (m).
Exercice (d'après Déclic TS, 17 p.451) : Démontrer que 17 est un diviseur de (35228 + 84501).
IV. Exercices
Exercice 1 (3e) (Phare 3e, 120 p.66)
On cherche un nombre entier.
- Je suis compris entre 100 et 400.
- Je suis pair.
- Je suis divisible par 11.
- J'ai aussi 3 et 5 comme diviseurs.
Qui suis-je ?
Intérêt de l'exercice : exercice sous forme de devinette, donc assez attractif pour les élèves.
Application directe des critères de divisibilité.
Exercice 2 (TS spé Maths, Transmath, 37 p.26)
Démontrer que pour tout entier naturel n, An = n*4n+1 - (n+1)*4n + 1 est divisible par 9.
Intérêt de l'exercice : plusieurs méthodes de résolution possibles : en utilisant les congruences, ou bien
par récurrence.
Exercice 3 (TS spé Maths, Déclic ancienne édition Maths TS 19p.359) :
Intérêt de l'exercice : recherche de l'"écart" entre deux nombres premiers. Permet de montrer que
plus on avance dans la liste des nombres premiers, moins ceux-ci sont fréquents.
Exercice 4 (TS spé Maths) :
1) Ecrire un algorithme permettant de trouver tous les diviseurs d’un nombre entier naturel.
2) Améliorer cet algorithme pour qu’il donne tous les diviseurs d’un nombre entier relatif.
Intérêt de l'exercice : faire travailler l’algorithmique dans un thème très propice à ce genre
d’exercices.