6 Fonctions trigonométriques

6 Fonctions trigonométriques
6.1 Les fonctions sinus et cosinus
Définition : Pour tout réel xon définit :
— la fonction sinus, notée sin, par : x7→ sin x;
— la fonction cosinus, notée cos, par : x7→ cos x.
Dérivabilité de la fonction sinus
Pour étudier la dérivabilité de la fonction sinus il faut étudier le comportement du rapport sin(x+h)−sin x
h
lorsque htend vers 0 :
sin(x+h)−sin x
h=sin xcos h+ cos xsin h−sin x h=sin hcos x−(1 −cos h) sin x h
or : cos(2α) = 1 −2 sin2α, donc : 1 −cos h= 1 −1−2 sin2h
2 = 2 sin2h 2
et sin(2α) = 2 sin αcos α, donc : sin h= 2 sin h
2cos h 2, alors :
sin(x+h)−sin x
h=2 sin h
2cos h 2cos x−2 sin2h 2sin x
h=2 sin h
2cos xcos h 2−sin xsin h 2
h
or cos xcos h
2−sin xsin h 2= cos x+h 2, d’où :
sin(x+h)−sin x
h=sin h
2
h
2
×cos Åx+h
2ã
ce qui montre que l’étude de la dérivabilité de la fonction sinus revient à étudier la limite du rapport
sin x
xlorsque xtend vers 0.
Théorème : La fonction sinus est dérivable en 0 et sin′(0) = 1.
Preuve : Pour montrer que la fonction sinus est dérivable en 0, il faut montrer que le rapport sin(0 + h)−sin 0
hadmet
une limite lorsque htend vers 0 et calculer cette limite ; or : sin(0 + h)−sin 0
h=sin h h.
O IH
M
T
Soit Mle point du cercle trigonométrique associé au réel x.
L’aire du triangle OM I est : A1=1
2OI ×MH =1 2sin x.
L’aire du secteur angulaire OM I est : A2=1
2OI ×x=1 2x.
L’aire du triangle OT I est : A3=1
2OI ×T I =1 2tan x=1 2
sin x
cos x.
Or par construction : A16A26A3, doù : 1
2sin x61 2x61 2
sin x
cos x,
et par suite, comme sin x6= 0 puisque x6= 0 : 1 6x
sin x61 cos x.
Alors d’après le « théorème des gendarmes », comme lim
x→0
1
cos x= 1, on peut affirmer que : lim x→0
x
sin x= 1 ou encore
lim
x→0
sin x
x= 1, ce qui prouve que sin est dérivable en 0 et sin′(0) = 1. 
Théorème : La fonction sinus est dérivable sur Ret : sin′(x) = cos x.
Preuve : On a montré que : sin(x+h)−sin x
h=sin h
2
h
2
×cos x+h
2; or lim
h→0cos x+h
2= cos xet, d’après le théorème
précédent : lim
h→0
sin h
2
h
2
= 1, ce qui prouve que : sin′(x) = lim
h→0
sin(x+h)−sin x
h= cos x.
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Maths Ts 6. Fonctions trigonométriques prog 2011
Théorème : La fonction cosinus est dérivable sur Ret : cos′(x) = −sin x.
Preuve : On sait que : cos x= sin Äx+π
2ä, alors d’après le théorème sur la dérivée de la fonction composée g(x) = f(ax+b),
on peut écrire que cos′(x) = 1 ×sin′Äx+π
2ä= cos Äx+π 2ä;
or cos Äx+π
2ä=−sin x, ce qui prouve que : cos′(x) = −sin x.
6.2 Propriétés des fonctions trigonométriques
Définition : On dit qu’une fonction fest périodique de période p, ou p-périodique, si pour tout réel
x:f(x+p) = f(x).
Théorème : Les fonctions trigonométriques sinus et cosinus sont périodiques de période 2π(2π-
périodiques).
Preuve : Pour tout réel x∈Ret tout entier relatif k∈Z: sin(x+ 2kπ) = sin xet cos(x+ 2kπ) = cos x.
Interprétation géométrique : Dans un repère (O;I,J) la courbe représentative des fonctions trigonomé-
triques est invariante par toute translation de vecteur 2kπ −→ OI, où kentier relatif (k∈Z).
Conséquence : La périodicité de période 2πdes fonctions trigonométriques permet de réduire leur inter-
valle d’étude à un intervalle de largeur 2π: par exemple [0 ; 2π] ou [−π;π].
Définition : On dit qu’une fonction fdéfinie sur Rest :
—impaire si pour tout réel x:f(−x) = −f(x) ;
—paire si pour tout réel x:f(−x) = f(x).
Exemples :•Les fonctions de référence : x,x3ou 1
xsont impaires. En effet : (−x) = −x, (−x)3=−x3
et 1
(−x)=−1 x;
•Les fonctions de référence : x2et |x|sont paires. En effet : (−x)2=x2et | − x|=|x|.
Interprétation géométrique : Dans un repère (O;I,J) la courbe représentative d’une fonction impaire est
symétrique par rapport à l’origine du repère : en effet, dès que le point M(x;f(x)) appartient à cette
courbe, alors le point M′(−x;−f(x)) appartient également à la courbe représentative.
De même la courbe représentative d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées :
en effet, dès que le point M(x;f(x)) appartient à cette courbe, alors le point M′(−x;f(x)) appartient
également à la courbe représentative.
Conséquences : Les propriétés de parité d’une fonction définie sur Rpermettent de restreindre l’étude
de cette fonction à l’intervalle des réels positifs : [0 ; +∞[.
Pour les fonctions sinus et cosinus, 2π-périodiques et respectivement impaire et paire, il est donc possible
de réduire l’intervalle d’étude à [0 ; π].
6.3 Étude des fonctions trigonométriques
Variations de la fonction sinus
La dérivée de la fonction sin est cos, d’où le tableau de variations de la fonction sin sur [0 ; π] :
x0π/2π
sin′(x) = cos x+ 0 −
sin x0
1
0
Représentation graphique de la fonction sinus sur l’intervalle [−π;π] :
math4
bac – 24 – v1.618

Maths Ts 6. Fonctions trigonométriques prog 2011
x
y
1
−1
−3π
2−π−π 20
π
2π
3π
2
La fonction sin étant impaire, sa représentation sur l’intervalle [−π; 0] est symétrique de la représentation
sur l’intervalle [0 ; π] par rapport à l’origine du repère.
Variations de la fonction cosinus
La dérivée de la fonction cos est −sin, d’où le tableau de variations de la fonction cos sur [0 ; π] :
x0π
cos′(x) = −sin x0−0
cos x1
−1
Représentation graphique de la fonction cosinus sur l’intervalle [−π;π] :
x
y
1
−1
−3π
2−π−π 20
π
2π
3π
2
La fonction cos étant paire, sa représentation sur l’intervalle [−π; 0] est symétrique de la représentation
sur l’intervalle [0 ; π] par rapport à l’axe des ordonnées.
math4
bac – 25 – v1.618