6 Fonctions trigonométriques

6 Fonctions trigonométriques
6.1 Les fonctions sinus et cosinus
Définition : Pour tout réel x on définit :
— la fonction sinus, notée sin, par : x 7→ sin x ;
— la fonction cosinus, notée cos, par : x 7→ cos x.
Dérivabilité de la fonction sinus
Pour étudier la dérivabilité de la fonction sinus il faut étudier le comportement du rapport
lorsque h tend vers 0 :
sin(x + h) − sin x
h
sin x cos h + cos x sin h − sin x
sin h cos x − (1 − cos h) sin x
sin(x + h) − sin x
=
=
h
h
h
or : cos(2α) = 1 − 2 sin2 α, donc : 1 − cos h = 1 − 1 − 2 sin2 h2 = 2 sin2 h2
et sin(2α) = 2 sin α cos α, donc : sin h = 2 sin h2 cos h2 , alors :
2 sin h2 cos h2 cos x − 2 sin2 h2 sin x
2 sin h2 cos x cos h2 − sin x sin h2
sin(x + h) − sin x
=
=
h
h
h
h
h
h
or cos x cos 2 − sin x sin 2 = cos x + 2 , d’où :
Å
ã
sin h
h
sin(x + h) − sin x
= h 2 × cos x +
h
2
2
ce qui montre que l’étude de la dérivabilité de la fonction sinus revient à étudier la limite du rapport
sin x
lorsque x tend vers 0.
x
Théorème : La fonction sinus est dérivable en 0 et sin′ (0) = 1.
Preuve : Pour montrer que la fonction sinus est dérivable en 0, il faut montrer que le rapport
une limite lorsque h tend vers 0 et calculer cette limite ; or :
sin h
sin(0 + h) − sin 0
=
.
h
h
sin(0 + h) − sin 0
admet
h
Soit M le point du cercle trigonométrique associé au réel x.
T
1
1
M
L’aire du triangle OM I est : A1 = OI × M H = sin x.
2
2
1
1
L’aire du secteur angulaire OM I est : A2 = OI × x = x.
2
2
1
1 sin x
1
.
L’aire du triangle OT I est : A3 = OI × T I = tan x =
2
2
2 cos x
1
1
1 sin x
Or par construction : A1 6 A2 6 A3 , doù : sin x 6 x 6
,
2
2
2 cos x
x
1
O
H
I
et par suite, comme sin x 6= 0 puisque x 6= 0 : 1 6
6
.
sin x
cos x
x
1
= 1, on peut affirmer que : lim
= 1 ou encore
Alors d’après le « théorème des gendarmes », comme lim
x→0 sin x
x→0 cos x
sin x
lim
= 1, ce qui prouve que sin est dérivable en 0 et sin′ (0) = 1. x→0 x
Théorème : La fonction sinus est dérivable sur R et : sin′ (x) = cos x.
Preuve : On a montré que :
sin h
sin(x + h) − sin x
= h 2 × cos x +
h
2
précédent : lim
h→0
sin
h
2
h
2
= 1, ce qui prouve que : sin′ (x) = lim
h→0
h
2
; or lim cos x +
h→0
h
2
sin(x + h) − sin x
= cos x. h
23
= cos x et, d’après le théorème
Maths Ts
6. Fonctions trigonométriques
prog 2011
Théorème : La fonction cosinus est dérivable sur R et : cos′ (x) = − sin x.
πä
, alors d’après le théorème sur la dérivée de la fonction composée g(x) = f (ax+b),
Ä
Ä2 π ä
πä
= cos x +
;
on peut écrire que cos′ (x) = 1 × sin′ x +
2
2
Ä
πä
or cos x +
= − sin x, ce qui prouve que : cos′ (x) = − sin x. 2
Ä
Preuve : On sait que : cos x = sin x +
6.2 Propriétés des fonctions trigonométriques
Définition : On dit qu’une fonction f est périodique de période p, ou p-périodique, si pour tout réel
x : f (x + p) = f (x).
Théorème : Les fonctions trigonométriques sinus et cosinus sont périodiques de période 2π (2πpériodiques).
Preuve : Pour tout réel x ∈ R et tout entier relatif k ∈ Z : sin(x + 2kπ) = sin x et cos(x + 2kπ) = cos x.
Interprétation géométrique : Dans un repère (O ; I,J) la courbe représentative des fonctions trigonomé−→
triques est invariante par toute translation de vecteur 2kπ OI, où k entier relatif (k ∈ Z).
Conséquence : La périodicité de période 2π des fonctions trigonométriques permet de réduire leur intervalle d’étude à un intervalle de largeur 2π : par exemple [0 ; 2π] ou [−π ; π].
Définition : On dit qu’une fonction f définie sur R est :
— impaire si pour tout réel x : f (−x) = −f (x) ;
— paire si pour tout réel x : f (−x) = f (x).
1
Exemples : • Les fonctions de référence : x, x3 ou sont impaires. En effet : (−x) = −x, (−x)3 = −x3
x
1
1
=− ;
et
(−x)
x
• Les fonctions de référence : x2 et |x| sont paires. En effet : (−x)2 = x2 et | − x| = |x|.
Interprétation géométrique : Dans un repère (O ; I,J) la courbe représentative d’une fonction impaire est
symétrique par rapport à l’origine du repère : en effet, dès que le point M (x ; f (x)) appartient à cette
courbe, alors le point M ′ (−x ; −f (x)) appartient également à la courbe représentative.
De même la courbe représentative d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées :
en effet, dès que le point M (x ; f (x)) appartient à cette courbe, alors le point M ′ (−x ; f (x)) appartient
également à la courbe représentative.
Conséquences : Les propriétés de parité d’une fonction définie sur R permettent de restreindre l’étude
de cette fonction à l’intervalle des réels positifs : [0 ; +∞[.
Pour les fonctions sinus et cosinus, 2π-périodiques et respectivement impaire et paire, il est donc possible
de réduire l’intervalle d’étude à [0 ; π].
6.3 Étude des fonctions trigonométriques
Variations de la fonction sinus
La dérivée de la fonction sin est cos, d’où le tableau de variations de la fonction sin sur [0 ; π] :
x
sin′ (x) = cos x
sin x
0
+
π/2
0
1
π
−
0
0
Représentation graphique de la fonction sinus sur l’intervalle [−π ; π] :
math4bac
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Maths Ts
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y
1
− 3π
2
−π
2
−π
π
2
0
π
3π
2
x
−1
La fonction sin étant impaire, sa représentation sur l’intervalle [−π ; 0] est symétrique de la représentation
sur l’intervalle [0 ; π] par rapport à l’origine du repère.
Variations de la fonction cosinus
La dérivée de la fonction cos est − sin, d’où le tableau de variations de la fonction cos sur [0 ; π] :
x
cos′ (x) = − sin x
0
0
1
cos x
π
0
−
−1
Représentation graphique de la fonction cosinus sur l’intervalle [−π ; π] :
y
1
− 3π
2
−π
− π2
0
π
2
π
3π
2
x
−1
La fonction cos étant paire, sa représentation sur l’intervalle [−π ; 0] est symétrique de la représentation
sur l’intervalle [0 ; π] par rapport à l’axe des ordonnées.
math4bac
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